intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Luyện thi Đại học Toán chuyên đề: Khảo sát đồ thị hàm số - Thầy Đặng Việt Hùng

Chia sẻ: Tran Binh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:16

Thêm vào BST
Báo xấu
110
lượt xem 21
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo môn Toán dành cho quý thầy cô và các bạn học sinh với chuyên đề: Khảo sát đồ thị hàm số. Mời quý thầy cô và các bạn học sinh tham khảo nhằm củng cố kiến thức và ôn thi Đại học đạt kết quả cao nhất.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luyện thi Đại học Toán chuyên đề: Khảo sát đồ thị hàm số - Thầy Đặng Việt Hùng

  1. LUY N THI I H C MÔN TOÁN – Th y Hùng Chuyên Hàm s Tài li u bài gi ng: KH O SÁT VÀ V TH HÀM S - P1 Th y ng Vi t Hùng I. S BI N THIÊN C A HÀM S D ng 1. S bi n thiên c a hàm không có tham s Phương pháp: + Tìm t p xác nh c a hàm s . + Tính y ' và gi i phương trình y ' = 0 tìm các nghi m. + L p b ng bi n thiên (ho c ch c n b ng xét d u y ' ) và k t lu n trên cơ s các i m t i h n. Chú ý: Quy t c xét d u c a hàm a th c và phân th c. Các ví d i n hình: Ví d 1: Xét s bi n thiên c a các hàm s sau ây: a) y = −2 x 3 + 3 x 2 + 1. b) y = x3 − 3x 2 + 3x + 1. 1 1 x2 c) y = x 4 − 2 x 2 − 1. d) y = x5 − x 4 − x3 + + 2 x − 1. 5 4 2 L i gi i: a) y = −2 x 3 + 3 x 2 + 1. T p xác nh: D = R. x = 0 o hàm: y′ = −6 x 2 + 6 x = −6 x ( x − 1)  y ′ = 0 ⇔ −6 x ( x − 1) = 0 ⇔  → x =1 B ng xét d u c a o hàm: x −∞ 0 1 +∞ y' − 0 + 0 − V y hàm s ng bi n trên (0; 1) và ngh ch bi n trên (−∞; 0) và (1; +∞). b) y = x − 3x + 3x + 1. 3 2 T p xác nh: D = R. o hàm: y′ = 3 x 2 − 6 x + 3 = 3 ( x − 1) ≥ 0  y′ ≥ 0, ∀x ∈ D. 2 → V y hàm s ã cho luôn ng bi n trên t p xác nh. c) y = x 4 − 2 x 2 − 1 T p xác nh: D = R. x = 0 ( ) o hàm: y′ = 4 x3 − 4 x = 4 x x 2 − 1  y′ = 0 ⇔ 4 x x 2 − 1 = 0 ⇔  → (  x = ±1 ) B ng xét d u c a o hàm: x −∞ −1 0 1 +∞ y' − 0 + 0 − 0 + Hàm s ng bi n trên (−1; 0) và (1; +∞); hàm s ngh ch bi n trên (−∞; −1) và (0; 1). 1 1 x2 d) y = x5 − x 4 − x3 + + 2 x − 1. 5 4 2 T p xác nh: D = R.  x = −1 o hàm: y′ = x − x − 3 x + x + 2 = ( x + 1) ( x − 1)( x − 2 )  y ′ = 0 ⇔  x = 1 2 4 3 2 →  x = 2  Do ( x + 1) ≥ 0, ∀x nên d u c a y ' ch ph thu c vào bi u th c (x − 1)(x − 2). 2 Tham gia khóa TOÁN 2014 t 9 i m Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
  2. LUY N THI I H C MÔN TOÁN – Th y Hùng Chuyên Hàm s B ng xét d u c a o hàm: x −∞ −1 1 2 +∞ y' + 0 + 0 − 0 + Hàm s ng bi n trên (−∞; 1) và (2; +∞); hàm s ngh ch bi n trên (1; 2). Ví d 2: Xét s bi n thiên c a các hàm s cho dư i ây: x +1 x 2 + 3x + 3 a) y = . b) y = . 2x − 2 x +1 2 c) y = 1 − x + . d) y = x 2 − 2 x + 2. x +1 2x + 1 e) y = 2 x − x 2 . f) y = . 3x − 2 L i gi i: x +1 a) y = . 2x − 2 T p xác nh: D = R \ {1} . −4 o hàm: y′ = > 0, ∀x ∈ D  hàm s luôn → ng bi n trên t p xác nh. ( 2 x − 2 )2 x 2 + 3x + 3 b) y = . x +1 T p xác nh: D = R \ {−1} . o hàm: y′ = ( 2 x + 3)( x + 1) − x 2 − 3x − 3 = x 2 + 2 x  y′ = 0 ⇔ x 2 + 2 x = 0 ⇔  x = 0 →  ( x + 1)2 ( x + 1)2  x = −2 B ng xét d u c a o hàm: x −∞ −2 −1 0 +∞ y' + 0 − || − 0 + Hàm s ng bi n trên (−∞; 2) và (0; +∞); hàm s ngh ch bi n trên (−2; −1) và (−1; 0). 2 c) y = 1 − x + . x +1 T p xác nh: D = R \ {−1} . 2 o hàm: y′ = −1 − < 0, ∀x ∈ D  hàm s luôn ngh ch bi n trên t p xác → nh c a nó. ( x + 1)2 d) y = x 2 − 2 x + 2. nh khi x 2 − 2 x + 2 ≥ 0 ⇔ ( x − 1) + 1 > 0, ∀x  D = R. 2 Hàm s xác → o hàm: y′ = (x 2 − 2x + 2 )′ = x −1  y ′ = 0 ⇔ x = 1. → 2 x − 2x + 2 2 x − 2x + 2 2 B ng xét d u c a o hàm: x −∞ 1 +∞ y' − 0 + Hàm s ng bi n trên (1; +∞) và ngh ch bi n trên (−∞; 1). e) y = 2 x − x 2 . Hàm s xác nh khi 2 x − x 2 ≥ 0 ⇔ x ( x − 2 ) ≤ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ 2  D = [ 0; 2]. → o hàm: y′ = ( 2 x − x )′ = 2 1− x  y′ = 0 ⇔ x = 1. → 2 2 x − x2 2x − x2 Tham gia khóa TOÁN 2014 t 9 i m Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
  3. LUY N THI I H C MÔN TOÁN – Th y Hùng Chuyên Hàm s B ng xét d u c a o hàm: x 0 1 2 y' + 0 − Hàm s ng bi n trên (0; 1) và ngh ch bi n trên (1; 2). 2x + 1 f) y = . 3x − 2  1 2 x + 1 ≥ 0  x ≥ −   2  1  2 Hàm s xác nh khi  2 ⇔  D =  − ; + ∞  \   . → x ≠ 3  x ≠ 2  2  3   3 2 ( 3x − 2 ) − 3 2 x + 1 3x − 2 − 3 ( 2 x + 1) −3 x − 5 o hàm: y′ = 2 2x + 1 = = 5  y ′ = 0 ⇔ x = − < − → 1 ( 3x − 2 ) ( 3x − 2 ) . 2 x + 1 ( 3x − 2 ) . 2 x + 1 2 2 2 3 2 B ng xét d u c a o hàm: x 1 2 − +∞ 2 3 y’ − || −  1 2 2  T b ng bi n thiên ta th y hàm s ngh ch bi n trên  − ;  và  ; +∞  .  2 3 3  BÀI T P LUY N T P Xét s bi n thiên c a các hàm s sau: 1) y = −2 x + 5. 2) y = x 3 − 3 x + 2. 3) y = −2 x3 + 3x 2 + 2. 4) y = x 3 − 3 x 2 + 3 x − 12. 5) y = x 4 − 2 x 2 + 5. 6) y = − x 4 + 4 x 2 − 1. 7) y = x 3 + x 2 + 2 x − 2. 8) y = 2 x + 3 x 2 + 1. x +1 2x −1 9) y = . 10) y = . x−2 x +1 1− x x2 + 3x + 3 11) y = . 12) y = . 3x − 2 x +1 1 1 13) y = x + . 14) y = 2 x − 3 − . x x +1 D ng 2. S bi n thiên c a hàm có tham s Phương pháp: S d ng các tính ch t c a tam th c b c hai gi i Xét tam th c b c hai: f ( x ) = ax 2 + bx + c, g i x1; x2 là hai nghi m c a phương trình f(x) = 0, v i x1 < x2  x > x2 f ( x ) > 0 ⇔ x1 < x < x2 f ( x) > 0 ⇔  + N u a > 0:  x < x1 + N u a < 0:  x > x2 f ( x) < 0 ⇔  f ( x ) < 0 ⇔ x1 < x < x2  x < x1 a > 0 a < 0 + f ( x ) > 0, ∀x ∈ R ⇔  + f ( x ) < 0, ∀x ∈ R ⇔  ∆ < 0 ∆ < 0  x < x2 < α < β a > 0  x1 < α < β < x2 → a > 0   1 → + f ( x ) > 0, ∀x ∈ ( α; β ) :  α < β < x1 < x2 + f ( x ) < 0, ∀x ∈ ( α; β ) :  x1 < x2 < α < β a < 0   → a < 0  x1 < α < β < x2 →  α < β < x1 < x2 Các ví d i n hình: Ví d : Tìm m hàm s x3 a) y = − x 2 + ( m − 1) x + m ng bi n trên R. 3 Tham gia khóa TOÁN 2014 t 9 i m Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
  4. LUY N THI I H C MÔN TOÁN – Th y Hùng Chuyên Hàm s 1 b) y = − x3 + mx 2 + ( 3m − 2 ) x + 1 ngh ch bi n trên R. 3 ( m − 1) x 3 + mx 2 + 3m − 2 x + 2 ng bi n trên R. c) y = ( ) 3 L i gi i: 3 x a) y = − x 2 + ( m − 1) x + m  y ′ = x 2 − 2 x + m − 1 → 3 Hàm s ng bi n trên R khi y′ ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆′ ≤ 0 ⇔ 1 − ( m − 1) ≤ 0 ⇔ m ≥ 2. V y hàm s ng bi n trên R khi m ≥ 2. 1 b) y = − x3 + mx 2 + ( 3m − 2 ) x + 1  y ′ = − x 2 + 2mx + 3m − 2. → 3 −3 − 17 −3 + 17 Hàm s ngh ch bi n trên R khi y′ ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆′ ≤ 0 ⇔ m 2 + ( 3m − 2 ) ≤ 0 ⇔ ≤m≤ . 2 2 −3 − 17 −3 + 17 V y hàm s ng bi n trên R khi ≤m≤ . 2 2 ( m − 1) x 3 + mx 2 + c) y = ( 3m − 2 ) x + 2  y′ = ( m − 1) x 2 + 2mx + 3m − 2 → 3 hàm s luôn ng bi n trên R thì y′ ≥ 0, ∀x ∈ R. Khi m − 1 = 0 ⇔ m = 1  y′ = 2 x + 1. →  1  Ta th y hàm s ch ng biên trên  − ; +∞  nên không th a mãn yêu c u.  2  m − 1 > 0 m > 1  m > 1  Khi m − 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1  y′ ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔  → ⇔ 2 ⇔  ∆′ ≤ 0 m − ( m − 1)( 3m − 2 ) ≤ 0 −2m + 5m − 2 ≤ 0 2   m > 1  m ≥ 2 ⇔   m ≥ 2. → m ≤ 1   2 V y v i m ≥ 2 thì hàm s ã cho luôn ng bi n trên R. BÀI T P LUY N T P x3 1) Tìm m hàm s y= − x 2 + ( m − 1) x + m ng bi n trên R. 3 2) Tìm m hàm s y = x3 − 3mx 2 + 3 ( 2m − 1) x + 1 ng bi n trên R. 1 3) Tìm m y = − x3 + mx 2 + ( 3m − 2 ) x + 1 ngh ch bi n trên R. hàm s 3 3 x 5 4) Tìm m hàm s y = + ( m − 1) x 2 + ( 2m − 3) x + ng bi n trên R. 3 3 II. C C TR C A HÀM S D NG 1. TÌM C C TR C A HÀM S B NG QUY T C I Phương pháp: + Tìm t p xác nh c a hàm s . + Tính y ' và gi i phương trình y ' = 0 tìm các nghi m. + L p b ng bi n thiên và d a vào b ng bi n thiên k t lu n v i m c c i, c c ti u c a hàm s . Chú ý: V i m t s d ng hàm c bi t (thư ng là hàm vô t ) thì ta ph i tính gi i h n t i các i m biên cho b ng bi n thiên ư c ch t ch hơn. Các ví d i n hình: Ví d 1: Tìm các kho ng ơn i u và c c tr c a các hàm s sau: a) y = 2 x3 + 3 x 2 − 36 x − 10. b) y = x 4 + 2 x 2 − 3. Tham gia khóa TOÁN 2014 t 9 i m Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
  5. LUY N THI I H C MÔN TOÁN – Th y Hùng Chuyên Hàm s 1 4 c) y = 2 x 2 − x 4 . d) y = x − x3 + 3. 4 L i gi i: a) y = 2 x3 + 3 x 2 − 36 x − 10. T p xác nh: D = R.  x = −3 ( ) o hàm: y ' = 6 x 2 + 6 x − 36 = 6 x 2 + x − 6  y ' = 0 ⇔ x 2 + x − 6 = 0 ⇔  → x = 2 B ng bi n thiên: x −∞ −3 2 +∞ y' + 0 − 0 + 71 +∞ y −∞ −54 T b ng bi n thiên ta th y hàm s ng bi n trên (−∞; 3) và (2; +∞); hàm s ngh ch bi n trên (−3; 2). Hàm s t c c i t i x = −3; y = 71 và t c c ti u t i x = 2; y = −54. b) y = x 4 + 2 x 2 − 3. T p xác nh: D = R. ( ) o hàm: y′ = 4 x3 + 4 x = 4 x x 2 + 1  y ′ = 0 ⇔ x = 0. → B ng bi n thiên: x −∞ 0 +∞ y' − 0 + +∞ +∞ y −3 T b ng bi n thiên ta th y hàm s ng bi n trên (−∞; 0) và ngh ch bi n trên (0; +∞). Hàm s t c c ti u t i x = 0; y = −3. c) y = 2 x 2 − x 4 . T p xác nh: D = R. x = 0 ( ) o hàm: y′ = 4 x − 4 x3 = 4 x 1 − x 2  y′ = 0 ⇔ x 1 − x 2 = 0 ⇔  → ( )  x = ±1 B ng bi n thiên: x −∞ −1 0 1 +∞ y' + 0 − 0 + 0 − 1 1 y −∞ 0 −∞ T b ng bi n thiên ta th y hàm s ng bi n trên (−∞; −1) và (0; 1); hàm s ngh ch bi n trên (−1; 0) và (1; +∞). Hàm s t c c i t i x = −1; y = 1 và x = 1; y = 1. Hàm s t c c ti u t i x = 0; y = 0. 1 4 d) y = x − x3 + 3. 4 T p xác nh: D = R. x = 0 o hàm: y′ = x 3 − 3 x 2 = x 2 ( x − 3)  y ′ = 0 ⇔ x 2 ( x − 3) = 0 ⇔  → x = 3 D u c a y’ ch ph thu c vào d u c a bi u th c (x − 3) nên ta có b ng bi n thiên như hình v Tham gia khóa TOÁN 2014 t 9 i m Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
  6. LUY N THI I H C MÔN TOÁN – Th y Hùng Chuyên Hàm s x −∞ 0 3 +∞ y' − 0 − 0 + +∞ +∞ y 15 − 4 T b ng bi n thiên ta th y hàm s ng bi n trên (3; +∞) và hàm s ngh ch bi n trên (−∞; 3). 15 Hàm s t c c ti u t i x = 3; y = − . 4 Ví d 2: Tìm các kho ng ơn i u và c c tr c a các hàm s sau: x +1 a) y = x 1 − x 2 . b) y = 2 x + 3 x 2 + 1. c) y = . x+3 L i gi i: a) y = x 1 − x 2 . Hàm s xác nh khi 1 − x 2 ≥ 0 ⇔ −1 ≤ x ≤ 1  D = [ −1;1]. → x2 1 − 2x2 1 o hàm: y′ = 1 − x 2 − =  y ′ = 0 ⇔ 1 − 2 x 2 = 0 ⇔ x = ± → 1− x 2 1− x 2 2 B ng bi n thiên: 1 1 x −1 − +1 2 2 y' − 0 + 0 − 1 0 2 y 1 − 0 2  1 1   1   1  Hàm s ng bi n trên  − ;  ; hàm s ngh ch bi n trên  −1; −  và  ;1 .  2 2  2  2  1 1 1 1 Hàm s tc c it i x= ;y= và t c c ti u t i x = − ;y =− . 2 2 2 2 b) y = 2 x + 3 x 2 + 1. T p xác nh: D = R. 3x 2 x 2 + 1 + 3x o hàm: y′ = 2 + =  y ′ = 0 ⇔ 2 x 2 + 1 + 3 x = 0 ⇔ 2 x 2 + 1 = −3 x → x +12 x +1 2 x < 0 x < 0  x < 0   2 ⇔ 2 ⇔ 2 ⇔ 2  x = − → 4 x + 4 = 9 x  2 5 x = 4   x=± 5  5 Gi i h n: x  −∞ → ( ) x    1    x  x  −∞  → 1  lim 2 x + 3 x 2 + 1 = lim  2 x + 3 x 1 + 2  = lim x  2 − 3 1 + 2  = +∞ →−∞   x  x  +∞ → ( ) x    1    x  x  +∞  → 1  lim 2 x + 3 x 2 + 1 = lim  2 x + 3 x 1 + 2  = lim x  2 + 3 1 + 2  = +∞ →+∞   x  B ng bi n thiên: Tham gia khóa TOÁN 2014 t 9 i m Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
  7. LUY N THI I H C MÔN TOÁN – Th y Hùng Chuyên Hàm s 2 x −∞ − +∞ 5 y' − 0 + 0 +∞ +∞ y 5  2   2  Hàm s ng bi n trên  −∞; −  ; hàm s ngh ch bi n trên  ; +∞  .  5  5  2 Hàm s t c c ti u t i x = − ; y = 5. 5 x +1 c) y = . x+3 Hàm s xác nh khi x + 3 > 0 ⇔ x > −3  D = [ −3; + ∞ ]. → x +1 x+3 − o hàm: y′ = 2 x + 3 = 2 ( x + 3) − x − 1 = x+5 = ( x + 3) + 2  y′ > 0, ∀x ∈ D. → x+3 2 ( x + 3) x + 3 2 ( x + 3) x + 3 2 ( x + 3) x + 3 B ng bi n thiên: x −3 +∞ y' + +∞ y −∞ Hàm s ã cho luôn ng bi n trên mi n xác nh và không có c c tr . BÀI T P LUY N T P: Tìm c c tr c a các hàm s sau b ng quy t c I: 1 1) y = 3x 2 − 2 x3 2) y = x3 − 2 x2 + 2 x − 1. 3) y = − x 3 + 4 x 2 − 15 x. 3 x4 x4 3 4) y = − x 2 + 3. 5) y = x 4 − 4 x 2 + 5. 6) y = − + x 2 + . 2 2 2 D NG 2. TÌM C C TR C A HÀM S B NG QUY T C II Phương pháp: + Tìm t p xác nh c a hàm s . + Tính y ' và gi i phương trình y ' = 0 tìm các nghi m. + Tính y '' t i các giá tr nghi m tìm ư c trên r i k t lu n. Chú ý: Quy t c II tìm c c tr thư ng ư c áp d ng cho các hàm s khó l p b ng bi n thiên như hàm lư ng giác, hàm siêu vi t, hàm vô t ... Các ví d i n hình: Ví d m u: Tìm các kho ng ơn i u và c c tr c a các hàm s sau: 1 a) y = sin 2 x − x. b) y = cos x + cos 2 x. c) y = x + 2 x − x 2 . 2 L i gi i: a) y = sin 2 x − x. T p xác nh: D = R. 1 π π o hàm: y′ = 2cos 2 x − 1  y ′ = 0 ⇔ cos 2 x = ⇔ 2 x = ± + k 2 π  x = ± + kπ → → 2 3 6 Tham gia khóa TOÁN 2014 t 9 i m Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
  8. LUY N THI I H C MÔN TOÁN – Th y Hùng Chuyên Hàm s π  π  y ′′  + kπ  = −4sin  + k 2π  = −2 3 < 0 6  3  o hàm b c hai: y′′ = −4sin 2 x  →  π   π  y ′′  − + kπ  = −4sin  − + k 2π  = 2 3 > 0  6   3  π π  π 3 π V y hàm s tc c it i x= + kπ; y = sin  + k 2π  − − kπ = − − kπ. 6 3  6 2 6 π  π  π 3 π Hàm s t c c ti u t i x = − + kπ; y = sin  − + k 2π  + − kπ = − + − kπ. 6  3  6 2 6 1 b) y = cos x + cos 2 x. 2 T p xác nh: D = R.  1  2π o hàm: y′ = − sin x − sin 2 x = − sin x (1 + 2cos x )  y ′ = 0 ⇔ → cos x = − 2 ⇔  x = ± 3 + k 2π   sin x = 0  x = kπ  o hàm b c hai: y′′ = − cos x − 2cos 2 x  2π   2π   4π  3 y ′′  ± + 4nπ  = − cos  ± + 4nπ  − 2cos  ± + 8nπ  = > 0 + N u k = 2n  →  3   3   3  2 y ′′ ( 2nπ ) = − cos ( 2nπ ) − 2cos ( 4nπ ) = −3 < 0  2π   2π   4π  3 y ′′  ± + 4nπ + 2π  = − cos  ± + 4nπ + 2π  − 2cos  ± + 8nπ + 4π  = > 0 + N u k = 2n + 1  →  3   3   3  2 y ′′ ( π + 2nπ ) = − cos ( π + 2nπ ) − 2cos ( 2π + 4nπ ) = −1 < 0 3 1  2 ; k = 2n V y hàm s tc c i t i x = kπ; y = cos ( kπ ) + cos ( k 2π ) =  2  − 1 ; k = 2n + 1  2   3 − ; k = 2n 2π  2π  1  4π   4 Hàm s t c c ti u t i x = ± + kπ; y = cos  ± + kπ  + cos  ± + k 2π  =  3  3  2  3   1 ; k = 2n + 1 4  c) y = x + 2 x − x 2 . Hàm s xác nh khi 2 x − x 2 ≥ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ 2  D = [ 0; 2]. → o hàm: 2 − 2x 2 x − x2 + 1 − x x ≥ 1  y′ = 1 + =  y ′ = 0 ⇔ 2 x − x 2 + 1 − x ⇔ 2 x − x 2 = x − 1 ⇔  → 2 x − x = x − 2 x + 1 2 2 2 2 x − x2 2x − x2  x ≥ 1  x ≥1  2+ 2 1    x = =1+ 2+ 2 ⇔ 2 ⇔  2 2  x = → . 2 x − 4 x + 1 = 0    2  x = 2 − 2 = 1 − 1   2 2 − 2x − x − 2 (1 − x )2  1− x ′ 2 x − x2 = x − 2 x − x + 2 x − 1 = − 2 2 1 o hàm b c hai: y′′ =   =
  9. LUY N THI I H C MÔN TOÁN – Th y Hùng Chuyên Hàm s 1) y = x x 2 − 4. 2) y = x 2 − 2 x + 5. 3) y = x − 4sin 2 x. x x x2 − 4 4) y = cos 2 3 x. 5) y = sin − cos . 6) y = . 2 2 3x − 2 D NG 3. TÌM I U KI N HÀM S CÓ C C TR Phương pháp: + Hàm s có c c tr khi y ' = 0 có nghi m và i d u qua các nghi m. + Hàm s t c c i, c c ti u t i các i m có hoành x1; x2 thì khi ó x1; x2 là hai nghi m c a y ' = 0.  y′ ( x0 ) = 0  + Hàm s tc c i t i i m có hoành x0 khi   y′′ ( x0 ) < 0   y′ ( x0 ) = 0  + Hàm s t c c ti u t i i m có hoành x0 khi   y′′ ( x0 ) > 0  Các ví d i n hình: Ví d m u: Cho hàm s y = x 3 − 3mx 2 + 2 x − 3m + 1 . Tìm giá tr c a m a) hàm s có c c tr . b) hàm s t c c i, c c ti u t i x1, x2 th a mãn x1 + 2x2 = 3. c) hàm s t c c ti u t i i m có hoành x = 2. d) hàm s t c c i t i i m có hoành x = –1. L i gi i: a) Ta có y′ = 3x 2 − 6mx + 2 Hàm s ã cho có c c tr khi y ' = 0 có nghi m và i d u khi qua các nghi m.  6 2 m > 3 ⇔ y’ = 0 có hai nghi m phân bi t ⇔ ∆′ > 0 ⇔ 9m 2 − 6 > 0 ⇔ m 2 > ⇔  3  6 m < −  3 6 6 V yv i m> ; m
  10. LUY N THI I H C MÔN TOÁN – Th y Hùng Chuyên Hàm s 5 Giá tr m = − th a mãn i u ki n t n t i c c tr nên là giá tr c n tìm. 6 BÀI T P LUY N T P: 1 Bài 1. Cho hàm s y = x3 + mx 2 + ( 2m + 3) x + 2. Tìm giá tr c a m 3 a) hàm s có c c tr . b) hàm s t c c i, c c ti u t i x1, x2 th a mãn 2x1 + 3x2 = –2. c) hàm s t c c i t i i m có hoành x = 0. d) hàm s t c c ti u t i i m có hoành x = –2. 1 Bài 2. Cho hàm s y = x3 + mx 2 + ( m + 6 ) x − 1 . Tìm giá tr c a m 3 a) hàm s có c c tr . 1 1 x1 + x1 b) hàm s t c c i, c c ti u t i x1, x2 th a mãn + = . x1 x2 3 c) hàm s t c c i t i i m có hoành x = 1. d) hàm s t c c ti u t i i m có hoành x = 0. Bài 3. Tìm m các hàm s sau không có c c tr ? a) y = x3 – 3x2 + 3mx + 3m + 4. b) y = mx3 + 3mx2 – (m – 1)x – 1. Bài 4. Tìm a, b hàm s a) y = ax4 + bx2 t c c tr b ng –9 t i i m x = 3. ax 2 + bx + ab b) y = t c c tr t i x = 0 và x = 4. bx + a ax 2 + 2 x + b c) y = t c c i b ng 5 t i i m x = 1. x2 + 1 Bài 5. Tìm m hàm s ( ) ( ) a) y = x3 + 2 ( m − 1) x 2 + m2 − 4m + 1 x − 2 m2 + 1 t c c tr t i hai i m x1, x2 sao cho 1 1 1 + = ( x1 + x2 ) . x1 x2 2 1 b) y = x3 − mx 2 + mx − 1 t c c tr t i hai i m x1, x2 sao cho x1 − x2 ≥ 8. 3 1 1 c) y = mx3 − (m − 1) x 2 + 3(m − 2) x + t c c tr t i hai i m x1, x2 sao cho x1 + 2x2 = 1. 3 3 Tham gia khóa TOÁN 2014 t 9 i m Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
  11. LUY N THI I H C MÔN TOÁN – Th y Hùng Chuyên Hàm s Tài li u bài gi ng: KH O SÁT VÀ V TH HÀM S - P2 Th y ng Vi t Hùng III. I M U N, TÍNH L I LÕM Quy t c xét tính l i lõm, tìm i m u n: Tính o hàm y ' r i tính ti p y '' Gi i phương trình y '' = 0 , t ó tìm ư c t a i m u n. Xét d u c a y '' k t lu n: + n u y '' > 0 thì th hàm s lõm. + n u y '' < 0 thì th hàm s l i. Ví d 1: Tìm t a i m u n và các kho ng l i, lõm c a th các hàm s sau: 3 2 a) y = 2x – 6x + 2x. b) y = x3 + 6x – 4. 1 5 x4 x2 c) y = x 4 − 3x 2 + . d) y = + − 2. 2 2 4 2 Ví d 2: Tìm a, b hàm s y = ax3 + bx2 + x + 2 nh n i m U(1; –1) làm i m u n. 3x 2 Ví d 3: Tìm m hàm s y = x3 + + 1 nh n i m U(–1; 3) làm i m u n. m BÀI T P T LUY N : Bài 1: Tìm m ti p tuy n t i i m u n c a th hàm s a) y = x3 + 3x2 – mx + 2 song song v i ư ng th ng d: y = 3x – 5. b) y = x3 + 3mx2 – 2mx + 3 vuông góc v i ư ng th ng ∆: y = x – 3. Bài 2: Tìm m, n th các hàm s a) y = x 4 − 2 x3 − 6 x 2 + mx + 2m − 1 có hai i m u n th ng hàng v i i m A(1; –2). x3 2 b) y = − − x 2 + mx + có i m u n n m trên ư ng th ng d : y = x + 2. 3 3 Bài 3: Tìm m, n th các hàm s 3 2 a) y = x – 3mx + 9x + 1 có i m u n thu c ư ng th ng d: y = x + 1. b) y = 3x3 – 9x2 + 6x + m – 2 có i m u n n m trên tr c hoành. c) y = x3 – 3mx2 + (3 + 2m2)x + m2 + 3 có i m u n cách u hai tr c t a Ox, Oy. IV. TI M C N C A TH HÀM S 1) Nh c l i m t s gi i h n quan tr ng      +∞ khi a > 0 lim ( ax n + bx n −1 + cx n − 2 ...) = lim  x n  a + + 2 + ...   =  b c x  ∞ → x  ∞ →   x x    −∞ khi a < 0  1 1  x  ∞ x = 0  x  ∞ x n = 0 lim → → lim →    1  1  x  0+ x = +∞ lim →  lim = ∞   →  x  0 x →  lim 1 = −∞   x  0− x   → Tham gia khóa TOÁN 2014 t 9 i m Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
  12. LUY N THI I H C MÔN TOÁN – Th y Hùng Chuyên Hàm s   0; khi m > n a n x n + an −1 x n −1 + ... + a1 x + a0  lim m −1 =  ∞; khi m < n x  ∞ b x + b + ... + b1 x + b0  m → m m −1 x  an ; khi m = n  bm  2) Ti m c n ng c a th hàm s nh nghĩa: ư ng th ng x = a ư c g i là ti m c n ng (TC ) c a th y = f(x) khi lim f ( x) = ∞ x  a → + n u lim f ( x) = +∞ thì x = a là ti m c n ng bên ph i. x  a → + n u lim f ( x) = −∞ thì x = a là ti m c n ng bên trái. x  a → Cách tìm ti m cân ng: th hàm phân th c thư ng có ti m c n ng, và giá tr x = a thư ng là nghi m c a m u s , ho c t i x = a thì hàm s ã cho không xác nh. Ví d 1: Tìm ti m c n ng c a các th hàm s sau x x+2 a) y = b) y = 2 x −9 2 x + 4x − 5 Hư ng d n gi i :  x  a) Ta có lim   = ∞  x = ±3 là ti m c n ng c a → th hàm s . x  3  x 2 − 9  →±   x =1 b) Xét phương trình x 2 + 4 x − 5 = 0 ⇔   x = −5   x+2   x lim 1  2   x + 4 x − 5  =∞  → Ta có   x = 1; x = 5 là các ti m c n → ng c a th hàm s .  lim  x+2   →−  2 =∞  x  5  x + 4 x − 5  x−2 Ví d 2: Bi n lu n theo m s ti m c n ng c a th hàm s y= . x + 3x + m 2 Hư ng d n gi i : S ti m c n ng c a th hàm s ã cho là s nghi m khác 2 c a phương trình x2 + 3x + m = 0. 9 th hàm s không có ti m c n ng khi x2 + 3x + m = 0 vô nghi m ⇔ ∆ < 0 ⇔ 9 − 4m < 0 ⇔ m > . 4 th hàm s có m t ti m c n khi phương trình x2 + 3x + m = 0 có nghi m kép khác 2, ho c có hai nghi m phân bi t, trong ó m t nghi m x = 2.  9   ∆ = 0 ⇔ 9 − 4m = 0 ⇔ m = 4  9   m = →  x = − b ≠ 2 ⇔ − 3 ≠ 2 4  i u ó x y ra khi  2a 2   9  ∆ > 0 ⇔ 9 − 4m > 0 ⇔ m < 4  m = −10  →  2  2 + 6 + m = 0 ⇔ m = −10  th hàm s có hai ti m c n khi phương trình x2 + 3x + m = 0 có hai nghi m phân bi t khác 2.  9  9  ∆ > 0 ⇔ 9 − 4m > 0 ⇔ m < m < Khi ó ta có  4   → 4  22 + 6 + m ≠ 0 ⇔ m ≠ −10  m ≠ −10   3) Ti m c n ngang c a th hàm s nh nghĩa: ư ng th ng y = b ư c g i là ti m c n ngang (TCN) c a th y = f(x) khi lim f ( x) = b x  ∞ → Cách tìm ti m cân ngang: Tham gia khóa TOÁN 2014 t 9 i m Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
  13. LUY N THI I H C MÔN TOÁN – Th y Hùng Chuyên Hàm s th hàm phân th c ch có ti m c n ngang khi b c c a t s không l n hơn b c c a m u s . Thông thư ng, v i hàm phân th c ta thư ng chia c t và m u s cho lũy th a mũ cao nh t c a x tìm ti m c n ngang. Chú ý: V i các gi i h n mà hàm s có ch a căn thì chúng ta th c hi n theo quy t c sau: B C x A+ + khi x  +∞ →  B C B C x x2 Ax 2 + Bx + C = x 2  A + + 2  = x A+ + =  x x  x x2 B C −x A + + khi x  −∞ → x x2 Ví d m u: Tìm các ti m c n ng và ti m c n ngang c a các th hàm s sau x +1 3 − 2x x +1 a) y = . b) y = . c) y = . 2x − 3 x +1 x − 2x + 1 2 x2 + 2 x +1 d) y = . e) y = . x −3 2x2 + 3 Hư ng d n gi i : x +1 3 a) Ta có lim = +∞  x = là ti m c n → ng c a th hàm s . x  2 x − 3 2 3 → 2 1 1+ x +1 x = 1  y = 1 là ti m c n ngang c a M t khác, lim = lim → th hàm s . x  2 x − 3 →∞ x  →∞ 3 2 2 2− x 3 − 2x b) Ta có lim = +∞  x = −1 là ti m c n ng c a th hàm s . → x  1 x + 1 →− 3 −2 3 − 2x M t khác, lim = lim x = −2  y = −2 là ti m c n ngang c a → th hàm s . x →∞ x + 1 x  →∞ 1 1+ x x +1 c) Ta có lim 2 = +∞  x = 1 là ti m c n ng c a → th hàm s . x  1 x − 2 x + 1 → 1 1 + 2 x +1 M t khác, lim 2 = lim x x = 0  y = 0 là ti m c n ngang c a → th hàm s . x →∞ x − 2 x + 1 x →∞ 2 1 1− + 2 x x x2 + 2 d) Ta có lim = +∞  x = 3 là ti m c n → ng c a th hàm s . x  3 → x−3  2  2 x 2 1 + 2  x 1+ 2 x +2 2  x  x Xét lim = lim = lim x →∞ x − 3 x  →∞ x −3 x →∞ x−3 2 2 x 1+ 2 1+ 2 Khi x  +∞ thì |x| = x nên ta ư c lim → x = lim x = 1  y = 1 là ti m c n ngang. → x →+∞ x −3 x →+∞ 1− 3 x 2 2 −x 1+ 2 − 1+ 2 Khi x  −∞ thì |x| = −x nên ta ư c lim → x = lim x = −1  y = −1 là ti m c n ngang. → x →−∞ x −3 x  →−∞ 1− 3 x x +1 x +1 x +1 e) Xét lim = lim = lim →∞ 2 x 2 + 3 x  x  →∞  3  x →∞ 3 x2  2 + 2  x 2+ 2  x  x Tham gia khóa TOÁN 2014 t 9 i m Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
  14. LUY N THI I H C MÔN TOÁN – Th y Hùng Chuyên Hàm s 1 1+ x +1 x +1 x = 1 Khi x  +∞ thì |x| = x nên ta ư c → lim = lim = lim x  →+∞ 3 x  →+∞ 3 x  →+∞ 3 2 x 2+ 2 x 2+ 2 2+ 2 x x x 1 ⇒y= là ti m c n ngang. 2 1 1+ x +1 x +1 x −1 Khi x  −∞ thì |x| = −x nên ta ư c → lim = lim = lim = x  →−∞ 3 x  →−∞ 3 x  →−∞ 3 2 x 2+ −x 2 + − 2+ x2 x2 x2 −1 ⇒ y= là ti m c n ngang. 2 4) Ti m c n xiên c a th hàm s . nh nghĩa: ư ng th ng y = ax +b ư c g i là ti m c n xiên (TCX) c a th y = f(x) khi lim x  ∞ → [ f ( x) − (ax + b)] = 0 Cách tìm ti m cân xiên: th hàm phân th c ch có ti m c n xiên khi b c c a t s ph i l n hơn b c c a m u s m t b c. Cách 1: f ( x) + Tìm h s a = lim x  →∞ x + Tìm b = lim [ f ( x) − ax ] . T ó suy ra ư ng ti m c n xiên là y = ax + b. x  →∞ Cách 2: g ( x) r ( x) r ( x) Th c hi n phép chia a th c f ( x) = = ax + b + ⇒ f ( x) − (ax + b) = h( x ) h( x ) h( x) r ( x) Suy ra lim x  ∞ → [ f ( x) − (ax + b)] = x  ∞ lim → = 0 do r(x) có b c nh hơn h(x). h( x ) Ví d 1: Tìm các ti m c n c a các th hàm s sau x2 + x + 1 −2 x 2 + x + 3 3x 2 + x + 3 a) y = . b) y = . c) y = . x−2 2x + 1 x+2 Hư ng d n gi i : x2 + x + 1 a) y = . x−2 + Ta d dàng nh n th y th có ti m c n ng là x = 2. x2 + x + 1 7 7 + Ta có y = f ( x) = = x −3+ ⇒ f ( x) − ( x − 3) = x−2 x−2 x−2 7 Suy ra lim [ f ( x) − ( x − 3) ] = lim = 0 ⇒ y = x − 3 là ti m c n xiên c a th hàm s . x  ∞ → x →∞ x − 2 −2 x 2 + x + 3 b) y = . 2x + 1 1 + Ta d dàng nh n th y th có ti m c n ng là x = − . 2 −2 x + x + 3 2 2 2 + Ta có y = f ( x) = = x +1+ ⇒ f ( x) − ( x + 1) = 2x + 1 2x + 1 2x + 1 2 Suy ra lim [ f ( x) − ( x + 1)] = lim = 0 ⇒ y = x + 1 là ti m c n xiên c a th hàm s . x  ∞ → x →∞ 2 x + 1 3x 2 + x + 3 c) y = . x+2 + Ta d dàng nh n th y th có ti m c n ng là x = −2. 3x 2 + x + 3 13 13 + Ta có y = f ( x) = = 3x − 5 + ⇒ f ( x) − (3 x − 5) = x+2 x+2 x+2 Tham gia khóa TOÁN 2014 t 9 i m Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
  15. LUY N THI I H C MÔN TOÁN – Th y Hùng Chuyên Hàm s 13 Suy ra lim [ f ( x) − (3x − 5)] = x  lim = 0 ⇒ y = 3x − 5 là ti m c n xiên c a th hàm s . x  ∞ → →∞ x+2 2 x 2 + mx − 2 Ví d 2: Tìm m th hàm s y= có ti m c n xiên t o v i hai tr c t a m t tam giác có di n tích x +1 b ng 4. Hư ng d n gi i : 2 x 2 + mx − 2 m + Ta có y = = 2x + m − 2 − x +1 x +1 th có ti m c n xiên khi m ≠ 0. V i m ≠ 0 thì ti m c n xiên c a th hàm s là y = 2x + m – 2, (d). 2−m  + Gi s A = d ∩ Ox, B = d ∩ Oy uy ra A  ;0  , B (0; m − 2)  2  2−m 1 Ta d dàng tính ư c OA = ; OB = 2 − m . Tam giác OAB vuông t i O nên SOAB = OA.OB ⇒ OA.OB = 8 2 2 2−m m = 6 ⇔ . 2 − m = 8 ⇔ (2 − m) 2 = 16 ⇔  2  m = −2 V y m = 6 và m = –2 là các giá tr c n tìm. m2 + 1 Ví d 3: Cho hàm s y = 2mx + m + 2 − . Tìm m bi t r ng x +1 a) ti m c n xiên c a th vuông góc v i ư ng th ng y = 3x – 5. 1 b) ti m c n xiên c a th cách g c t a O m t kho ng b ng . 17 BÀI T P LUY N T P: Bài 1: Tìm ti m c n ng và ti m c n ngang các th hàm s sau : 2x + 3 1 1 a). y = b) y = c) y = x −1 1− x 4 − x2 1 −3x x2 + 2 d) y = 1 + e) y = f) y = x2 x2 + 3 x −1 Bài 2: Tìm các ư ng ti m c n các th hàm s sau : x 2 + 3x + 4 x2 x 2 + 3x + 4 1) y = 2) y = 3) y = x−2 1− x x2 + 1 x +2 3 2x 5 − 3x 2 4) y = 2 5) y = 2 6) y = x −1 6 x + 11x − 10 1 − x2 −1 1 7) y = 8) y = 9) y = x2 + x + 1 x + 5x + 6 2 ( 2 x − 3) 2 x2 x 10) y = x − x 2 + 1 11) y = 12) y = x +4 2 x + x +1 2 2x2 + 1 13) y = x − x2 − 4 x + 1 14) y = 2 x + 1 + 4 x 2 − 2 x + 1 15) y = 2x −1 −2 x − 1 4x2 − 5x + 1 16) y = 17) y = 2 x − 4 x 2 − x + 2 18*) y = x2 + x + 2 x −1 19) y = 2 x − 3 + x 2 + x + 4 20) y = 3x 2 − 2 x + 4 Bài 3: Bi n lu n theo tham s m s ti m c n c a các th hàm s sau 2 x 2 + mx − 4 mx + 1 mx3 − 1 b) y = c) y = d) y = x+m x+m x 2 − 3x + 2 Tham gia khóa TOÁN 2014 t 9 i m Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
  16. LUY N THI I H C MÔN TOÁN – Th y Hùng Chuyên Hàm s x 2 + 2mx + m − 4 Bài 4: Tim m th hàm s y = có ti m c n xiên i qua i m M(1; 2). x +1 2 x 2 + (m + 1) x − 3 Bài 5: Cho hàm s y= x+m a) Tìm m th có ti m c n xiên c a th hàm s i qua i m A(1; 1). b) Tìm m giao c a hai ti m c n thu c (P): y = x 2 + 3 . Bài 6: Tìm m ti m c n xiên th hàm s x 2 + (m − 2) x + −2 a) y = t o v i hai tr c t a m t tam giác có di n tích b ng 4. x −1 x 2 + mx − 1 b) y = t o v i hai tr c t a m t tam giác có di n tích b ng 8. x −1 2 x 2 + 3mx − m + 2 c) y = t o v i hai tr c t a m t tam giác có di n tích b ng 8. x −1 2x + m Bài 7: Cho hàm s y= . Tìm m th hàm s có ti m c n ng, ti m c n ngang và các ti m c n cùng v i mx − 1 hai tr c t a t o thành m t hình ch nh t có di n tích b ng 8. mx 2 + (3m + 1) x − m + 2 Bài 8: Cho hàm s y= . x +1 Tìm m th hàm s có ti m c n xiên ∆ bi t ∆ ti p xúc v i ư ng tròn tâm I(1; 2), bán kính R = 2 . Bài 9: Ch ng minh r ng tích các kho ng cách t m t i m b t kỳ trên th c a các hàm s sau n hai ti m c n luôn là m t h ng s x2 − x + 1 2 x2 + 5 x − 4 x2 + x − 7 a) y = b) y = c) y = x −1 x+3 x −3 Tham gia khóa TOÁN 2014 t 9 i m Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

EXAM.02: Bộ 500+ Đề Thi Thử THPT Quốc Gia 2020
576 tài liệu
913 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
5=>2