LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hàm số
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
I. SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
Dạng 1. Sự biến thiên của hàm không có tham số
Phương pháp:
+ Tìm tập xác định của hàm số.
+ Tính
'
y
và giả
i ph
ươ
ng trình
' 0
y
=
để
tìm các nghi
ệ
m.
+ L
ậ
p b
ả
ng bi
ế
n thiên (ho
ặ
c ch
ỉ
c
ầ
n b
ả
ng xét d
ấ
u
'
y
) và k
ế
t lu
ậ
n trên c
ơ
s
ở
các
đ
i
ể
m t
ớ
i h
ạ
n.
Chú ý:
Quy t
ắ
c xét d
ấ
u c
ủ
a hàm
đ
a th
ứ
c và phân th
ứ
c.
Các ví d
ụ
đ
i
ể
n hình:
Ví dụ 1:
Xét s
ự
bi
ế
n thiên c
ủ
a các hàm s
ố
sau
đ
ây:
a)
3 2
2 3 1.
y x x
= − + +
b)
3 2
3 3 1.
y x x x
= − + +
c)
4 2
2 1.
y x x
= − −
d)
2
5 4 3
1 1
2 1.
5 4 2
x
y x x x x
= − − + + −
Lời giải:
a)
3 2
2 3 1.
y x x
= − + +
T
ậ
p xác
đị
nh: D = R.
Đạ
o hàm:
( ) ( )
2
0
6 6 6 1 0 6 1 0
1
x
y x x x x y x x x
=
′ ′
= − + = − − → = ⇔ − − = ⇔
=
B
ả
ng xét d
ấ
u c
ủ
a
đạ
o hàm:
x
−∞
0 1 +
∞
'
y
−
0 + 0
−
V
ậ
y hàm s
ố
đồ
ng bi
ế
n trên (0; 1) và ngh
ị
ch bi
ế
n trên (
−∞
; 0) và (1; +
∞
).
b)
3 2
3 3 1.
y x x x
= − + +
T
ậ
p xác
đị
nh: D = R.
Đạ
o hàm:
( )
2
2
3 6 3 3 1 0 0, .
y x x x y x D
′ ′
= − + = − ≥ → ≥ ∀ ∈
V
ậ
y hàm s
ố
đ
ã cho luôn
đồ
ng bi
ế
n trên t
ậ
p xác
đị
nh.
c)
4 2
2 1
y x x
= − −
T
ậ
p xác
đị
nh: D = R.
Đạ
o hàm:
( ) ( )
3 2 2
0
4 4 4 1 0 4 1 0
1
x
y x x x x y x x x
=
′ ′
= − = − → = ⇔ − = ⇔
= ±
B
ả
ng xét d
ấ
u c
ủ
a
đạ
o hàm:
x −∞ −1 0 1 +∞
'
y
− 0 + 0 − 0 +
Hàm s
ố
đồ
ng bi
ế
n trên (−1; 0) và (1; +∞); hàm s
ố
ngh
ị
ch bi
ế
n trên (−∞; −1) và (0; 1).
d)
2
5 4 3
1 1
2 1.
5 4 2
x
y x x x x
= − − + + −
T
ậ
p xác
đị
nh: D = R.
Đạ
o hàm:
( ) ( )( )
2
4 3 2
1
3 2 1 1 2 0 1
2
x
y x x x x x x x y x
x
= −
′ ′
= − − + + = + − − → = ⇔ =
=
Do
( )
2
1 0,
x x
+ ≥ ∀
nên d
ấ
u c
ủ
a
'
y
ch
ỉ
ph
ụ
thu
ộ
c vào bi
ể
u th
ứ
c (x − 1)(x − 2).
Tài liệu bài giảng:
KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ P1
Thầy Đặng Việt Hùng
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hàm số
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
Bảng xét dấu của đạo hàm:
x −∞ −1 1 2 +∞
'
y
+ 0 + 0
−
0 +
Hàm s
ố
đồ
ng bi
ế
n trên (
−∞
; 1) và (2; +
∞
); hàm s
ố
ngh
ị
ch bi
ế
n trên (1; 2).
Ví dụ 2:
Xét s
ự
bi
ế
n thiên c
ủ
a các hàm s
ố
cho d
ướ
i
đ
ây:
a)
1
.
2 2
x
y
x
+
=
−
b)
2
3 3
.
1
x x
y
x
+ +
=+
c)
2
1 .
1
y x
x
= − +
+
d) 2
2 2.
y x x
= − +
e)
2
2 .
y x x
= −
f)
2 1
.
3 2
x
y
x
+
=−
Lời giải:
a)
1
.
2 2
x
y
x
+
=
−
T
ậ
p xác
đị
nh:
{
}
\ 1 .
D R=
Đạ
o hàm:
( )
2
40,
2 2
y x D
x
−
′
= > ∀ ∈ →
− hàm s
ố
luôn
đồ
ng bi
ế
n trên t
ậ
p xác
đị
nh.
b)
2
3 3
.
1
x x
y
x
+ +
=+
T
ậ
p xác
đị
nh:
{
}
\ 1 .
D R
= −
Đạ
o hàm:
(
)
(
)
( ) ( )
222
2 2
0
2 3 1 3 3 20 2 0
2
1 1
x
x x x x x x
y y x x x
x x
=
+ + − − −
+
′ ′
= = → = ⇔ + = ⇔
= −
+ +
B
ả
ng xét d
ấ
u c
ủ
a
đạ
o hàm:
x −∞ −2 −1 0 +∞
'
y
+ 0 − || − 0 +
Hàm s
ố
đồ
ng bi
ế
n trên (−∞; 2) và (0; +∞); hàm s
ố
ngh
ị
ch bi
ế
n trên (−2; −1) và (−1; 0).
c)
2
1 .
1
y x
x
= − +
+
T
ậ
p xác
đị
nh:
{
}
\ 1 .
D R
= −
Đạ
o hàm:
( )
2
2
1 0,
1
y x D
x
′
= − − < ∀ ∈ →
+hàm s
ố
luôn ngh
ị
ch bi
ế
n trên t
ậ
p xác
đị
nh c
ủ
a nó.
d)
2
2 2.
y x x
= − +
Hàm s
ố
xác
đị
nh khi
( )
2
2
2 2 0 1 1 0, .
x x x x D R
− + ≥ ⇔ − + > ∀ → =
Đạ
o hàm:
( )
2
2 2
2 2 1
0 1.
2 2 2 2 2
x x x
y y x
x x x x
′
− + −
′ ′
= = → = ⇔ =
− + − +
B
ả
ng xét d
ấ
u c
ủ
a
đạ
o hàm:
x −∞ 1 +∞
'
y
− 0 +
Hàm s
ố
đồ
ng bi
ế
n trên (1; +∞) và ngh
ị
ch bi
ế
n trên (−∞; 1).
e)
2
2 .
y x x
= −
Hàm s
ố
xác
đị
nh khi
(
)
[
]
2
2 0 2 0 0 2 0; 2 .
x x x x x D− ≥ ⇔ − ≤ ⇔ ≤ ≤ → =
Đạ
o hàm:
( )
2
2 2
21
0 1.
2 2 2
x x x
y y x
x x x x
′
−−
′ ′
= = → = ⇔ =
− −
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hàm số
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
Bảng xét dấu của đạo hàm:
x 0 1 2
'
y
+ 0
−
Hàm s
ố
đồ
ng bi
ế
n trên (0; 1) và ngh
ị
ch bi
ế
n trên (1; 2).
f)
2 1
.
3 2
x
y
x
+
=−
Hàm s
ố
xác
đị
nh khi
1
2 1 0
1 2
2
; \ .
22
2 3
33
xx
D
xx
+ ≥ ≥ −
⇔ → = − + ∞
≠
≠
Đạ
o hàm:
( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2
23 2 3 2 1 3 2 3 2 1
3 5 5 1
2 2 1 0
3 2
3 2 3 2 . 2 1 3 2 . 2 1
x x x x x
x
y y x
x x x x x
− − + − − + − −
+
′ ′
= = = → = ⇔ = − < −
− − + − +
B
ả
ng xét d
ấ
u c
ủ
a
đạ
o hàm:
x
1
2
−
2
3
+∞
y’
− || −
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên
1 2
;
2 3
−
và 2
; .
3
+∞
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Xét s
ự
bi
ế
n thiên c
ủ
a các hàm s
ố
sau:
1)
2 5.
y x
= − +
2)
3
3 2.
y x x
= − +
3)
3 2
2 3 2.
y x x
= − + +
4)
3 2
3 3 12.
y x x x= − + −
5)
4 2
2 5.
y x x
= − +
6)
4 2
4 1.
y x x
= − + −
7)
3 2
2 2.
y x x x
= + + −
8)
2
2 3 1.
y x x
= + +
9)
1
.
2
x
y
x
+
=
−
10)
2 1
.
1
x
y
x
−
=
+
11)
1
.
3 2
x
y
x
−
=
−
12)
2
3 3
.
1
x x
y
x
+ +
=+
13)
1
.
y x
x
= +
14)
1
2 3 .
1
y x
x
= − −
+
Dạng 2. Sự biến thiên của hàm có tham số
Phương pháp: Sử dụng các tính chất của tam thức bậc hai để giải
Xét tam thức bậc hai:
(
)
2
,
f x ax bx c
= + +
g
ọ
i x
1
; x
2
là hai nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình f(x) = 0, v
ớ
i x
1
< x
2
+ N
ế
u a > 0:
( )
( )
2
1
1 2
0
0
x x
f x x x
f x x x x
>
> ⇔ <
< ⇔ < <
+ N
ế
u a < 0:
(
)
( )
1 2
2
1
0
0
f x x x x
x x
f x x x
> ⇔ < <
>
< ⇔ <
+
( )
0
0,
0
a
f x x R
>
> ∀ ∈ ⇔
∆ <
+
( )
0
0,
0
a
f x x R
<
< ∀ ∈ ⇔
∆ <
+
( ) ( )
1 2
1 2
1 2
α β
0
α β
0,
α
;
β
:
0
α β
x x
a
x x
f x x
a x x
< < <
> →
< < <
> ∀ ∈
< → < < <
+
( ) ( )
1 2
1 2
1 2
0
α β
0,
α
;
β
:
α β
0
α β
a x x
f x x x x
a
x x
> → < < <
< ∀ ∈
< < <
< →
< < <
Các ví d
ụ
đ
i
ể
n hình:
Ví dụ:
Tìm m
để
hàm s
ố
a)
( )
321
3
x
y x m x m
= − + − +
đồ
ng bi
ế
n trên R.
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hàm số
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
b)
( )
3 2
1
3 2 1
3
y x mx m x
= − + + − +
nghịch biến trên R.
c)
(
)
( )
3
2
1
3 2 2
3
m x
y mx m x
−
= + + − +
đồ
ng bi
ế
n trên R.
Lời giải:
a)
( )
32 2
1 2 1
3
x
y x m x m y x x m
′
= − + − + → = − + −
Hàm s
ố
đồ
ng bi
ế
n trên R khi
(
)
0, 0 1 1 0 2.
y x R m m
′ ′
≥ ∀ ∈ ⇔ ∆ ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ ≥
V
ậ
y hàm s
ố
đồ
ng bi
ế
n trên R khi m
≥
2.
b)
( )
3 2 2
1
3 2 1 2 3 2.
3
y x mx m x y x mx m
′
= − + + − + → = − + + −
Hàm s
ố
ngh
ị
ch bi
ế
n trên R khi
( )
2
3 17 3 17
0, 0 3 2 0 .
2 2
y x R m m m
− − − +
′ ′
≤ ∀ ∈ ⇔ ∆ ≤ ⇔ + − ≤ ⇔ ≤ ≤
V
ậ
y hàm s
ố
đồ
ng bi
ế
n trên R khi
3 17 3 17
.
2 2
m
− − − +
≤ ≤
c)
(
)
( ) ( )
3
2 2
1
3 2 2 1 2 3 2
3
m x
y mx m x y m x mx m
−′
= + + − + → = − + + −
Để
hàm s
ố
luôn
đồ
ng bi
ế
n trên R thì
0, .
y x R
′
≥ ∀ ∈
Khi
1 0 1 2 1.
m m y x
′
− = ⇔ = → = +
Ta th
ấ
y hàm s
ố
ch
ỉ
đồ
ng biên trên
1;
2
− +∞
nên không th
ỏ
a mãn yêu c
ầ
u.
Khi
( )( )
22
11
1 0
1 0 1 0, 01 3 2 0
2 5 2 0
mm
m
m m y x R m m m m m
>>
− >
′
− ≠ ⇔ ≠ → ≥ ∀ ∈ ⇔ ⇔ ⇔
′
∆ ≤ − − − ≤
− + − ≤
1
2
2.
1
2
m
mm
m
>
≥
⇔ → ≥
≤
V
ậy với m ≥ 2 thì hàm số đã cho luôn đồng biến trên R.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
1) Tìm m để hàm số
( )
321
3
x
y x m x m
= − + − +
đồng biến trên R.
2) Tìm m để hàm số
(
)
3 2
3 3 2 1 1
y x mx m x
= − + − +
đồ
ng bi
ế
n trên R.
3)
Tìm m
để
hàm s
ố
( )
3 2
1
3 2 1
3
y x mx m x
= − + + − +
ngh
ị
ch bi
ế
n trên R.
4)
Tìm m
để
hàm s
ố
( ) ( )
3
2
5
1 2 3
3 3
x
y m x m x
= + − + − +
đồ
ng bi
ế
n trên R.
II. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
DẠNG 1. TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ BẰNG QUY TẮC I
Ph
ươ
ng pháp:
+ Tìm t
ậ
p xác
đị
nh c
ủ
a hàm s
ố
.
+ Tính
'
y
và gi
ả
i ph
ươ
ng trình
' 0
y
=
để
tìm các nghi
ệ
m.
+ L
ậ
p b
ả
ng bi
ế
n thiên và d
ự
a vào b
ả
ng bi
ế
n thiên
để
k
ế
t lu
ậ
n v
ề
đ
i
ể
m c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u c
ủ
a hàm s
ố
.
Chú ý: V
ớ
i m
ộ
t s
ố
d
ạ
ng hàm
đặ
c bi
ệ
t (th
ườ
ng là hàm vô t
ỉ
) thì ta ph
ả
i tính gi
ớ
i h
ạ
n t
ạ
i các
đ
i
ể
m biên
để
cho b
ả
ng
bi
ế
n thiên
đượ
c ch
ặ
t ch
ẽ
h
ơ
n.
Các ví d
ụ
đ
i
ể
n hình:
Ví dụ 1:
Tìm các kho
ả
ng
đơ
n
đ
i
ệ
u và c
ự
c tr
ị
c
ủ
a các hàm s
ố
sau:
a)
3 2
2 3 36 10.
y x x x= + − −
b)
4 2
2 3.
y x x
= + −
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hàm số
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
c)
2 4
2 .
y x x
= −
d)
4 3
1
3.
4
y x x
= − +
Lời giải:
a)
3 2
2 3 36 10.
y x x x= + − −
Tập xác định: D = R.
Đạo hàm:
( )
2 2 2
3
' 6 6 36 6 6 ' 0 6 0
2
x
y x x x x y x x x
= −
= + − = + − → = ⇔ + − = ⇔
=
B
ả
ng bi
ế
n thiên:
x
−∞
−
3 2 +
∞
'
y
+ 0
−
0 +
y
71 +
∞
−∞
−
54
T
ừ
b
ả
ng bi
ế
n thiên ta th
ấ
y hàm s
ố
đồ
ng bi
ế
n trên (
−∞
; 3) và (2; +
∞
); hàm s
ố
ngh
ị
ch bi
ế
n trên (
−
3; 2).
Hàm s
ố
đạ
t c
ự
c
đạ
i t
ạ
i x =
−
3; y = 71 và
đạ
t c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i x = 2; y =
−
54.
b)
4 2
2 3.
y x x
= + −
T
ậ
p xác
đị
nh: D = R.
Đạ
o hàm:
(
)
3 2
4 4 4 1 0 0.
y x x x x y x
′ ′
= + = + → = ⇔ =
B
ả
ng bi
ế
n thiên:
x −∞ 0 +∞
'
y
− 0 +
y
+∞ +∞
−3
T
ừ
b
ả
ng bi
ế
n thiên ta th
ấ
y hàm s
ố
đồ
ng bi
ế
n trên (−∞; 0) và ngh
ị
ch bi
ế
n trên (0; +∞).
Hàm s
ố
đạ
t c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i x = 0; y = −3.
c)
2 4
2 .
y x x
= −
T
ậ
p xác
đị
nh: D = R.
Đạ
o hàm:
( ) ( )
3 2 2
0
4 4 4 1 0 1 0
1
x
y x x x x y x x x
=
′ ′
= − = − → = ⇔ − = ⇔
= ±
B
ả
ng bi
ế
n thiên:
x −∞ −1 0 1 +∞
'
y
+ 0 − 0 + 0 −
y
1 1
−∞ 0 −∞
T
ừ
b
ả
ng bi
ế
n thiên ta th
ấ
y hàm s
ố
đồ
ng bi
ế
n trên (−∞; −1) và (0; 1); hàm s
ố
ngh
ị
ch bi
ế
n trên (−1; 0) và (1; +∞).
Hàm s
ố
đạ
t c
ự
c
đạ
i t
ạ
i x = −1; y = 1 và x = 1; y = 1.
Hàm s
ố
đạ
t c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i x = 0; y = 0.
d)
4 3
1
3.
4
y x x
= − +
T
ậ
p xác
đị
nh: D = R.
Đạ
o hàm:
( ) ( )
3 2 2 2
0
3 3 0 3 0
3
x
y x x x x y x x x
=
′ ′
= − = − → = ⇔ − = ⇔
=
D
ấ
u c
ủ
a y’ ch
ỉ
ph
ụ
thu
ộ
c vào d
ấ
u c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c (x − 3) nên ta có b
ả
ng bi
ế
n thiên nh
ư
hình v
ẽ
