intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Luyện thi Đại học Toán chuyên đề: Phương trình mũ - Thầy Đặng Việt Hùng

Chia sẻ: Tran Binh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:23

Thêm vào BST
Báo xấu
130
lượt xem 13
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo môn Toán dành cho quý thầy cô và các bạn học sinh với chuyên đề: Phương trình mũ . Mời quý thầy cô và các bạn học sinh tham khảo nhằm củng cố kiến thức và ôn thi Đại học đạt kết quả cao nhất.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luyện thi Đại học Toán chuyên đề: Phương trình mũ - Thầy Đặng Việt Hùng

  1. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Tài li u bài gi ng: 04. PHƯƠNG TRÌNH MŨ – P1 Th y ng Vi t Hùng I. PHƯƠNG TRÌNH CƠ B N Các ví d gi i m u: Ví d 1. Gi i phương trình 2 x + 2 x +1 + 2 x + 2 = 5 x + 2.5 x −1 . Hư ng d n gi i: 1 Ta có 2 x + 2 x +1 + 2 x + 2 = 5 x + 2.5 x −1 ⇔ 2 x + 2 x.2 + 2 x.22 = 5 x + 2.5x. 5 x  2 7 5 ⇔ (1 + 2 + 4 ) .2 x = 1 +  .5 x ⇔ 7.2 x = .5 x ⇔   = 5 ⇔ x = log 5 5  5 5 2 2 V y phương trình ã cho có 1 nghi m là x = log 5 5. 2 Ví d 2. Gi i các phương trình sau x +10 x +5 +3 x −2 1 = 16 x +1 2) 3− x +4 x 2 2 1) 2 x = 3) 16 x −10 = 0,125.8 x −15 243 Hư ng d n gi i: +3 x −2 x = 2 = 16 x +1 ⇔ 2 x +3 x − 2 = 24 x + 4 ⇔ x 2 + 3x − 2 = 4 x + 4 ⇔ x 2 − x − 6 = 0   2 2 1) 2 x →  x = −3 V y phương trình có hai nghi m là x = 2 và x = –3. 1  x = −1 2) 3− x + 4 x = ⇔ 3− x + 4 x = 3−5 ⇔ − x 2 + 4 x = −5 ⇔  2 2 243 x = 5 V y phương trình có nghi m x = −1; x = 5. x +10 x +5 3) 16 x −10 = 0,125.8 x −15 , (1) .  x − 10 ≠ 0  x ≠ 10 i u ki n:  ⇔  x − 15 ≠ 0  x ≠ 15 x +10 x +5 1 x + 10 x+5 = 2−3 ; 8 = 23 nên ta có (1) ⇔ 2 x −10 = 2−3.2 x −15 ⇔ 4. 4. 3. Do 16 = 24 ; 0,125 = = −3 + 3. 8 x − 10 x − 15 4( x + 10) x = 0 ⇔ x − 10 = 60 x − 15 ( ⇔ x 2 − 5 x − 150 = 15 x − 150   →  x = 20 ) V y phương trình có nghi m x = 0; x = 20. Ví d 3. Gi i các phương trình sau: x x x −1 2 9 ( 5 + 2) = ( 5 − 2 ) x +1 27 x −1 1)   .  = 2) 4.9 x −1 = 3 22 x +1 3) 3 8 64 Hư ng d n gi i: x x x 3 x 3 2 9 27 2 9 3 3 3 1)   .   = ⇔  .  =   ⇔   =    x = 3. → 3 8 64 3 8 4 4 4 V y phương trình có nghi m duy nh t x = 3. 2 x +1 2x − 3 0 4.9x −1 ( 2)  3   3  2− 3− 2x 3 x −1 2 x +1 2x − 3 2x − 3 2) 4.9 =3 2 ⇔ 2 x +1 =1 ⇔ 3 .2 2 =1⇔ 3 . =1⇔   =1 =   ⇔ x = 2. 3.2 2  2  2 3 V y phương trình có nghi m duy nh t x = . 2 x 2x 3 81x  81  18.81  9  9 3 Cách khác: 4.9 x −1 = 3 22 x +1 ⇔ 16.81x −1 = 9.22 x +1 ⇔ 16. = 9.2.4 x ⇔   = ⇔  =  ⇔ x= . 81  4 16  2 2 2 H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  2. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 x −1 3) ( 5 + 2 ) = ( 5 − 2 ) x +1 , (1) . x −1 i u ki n: x + 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ −1. ( )( ) ( ) 1 −1 Do 5+2 5 − 2 = 1  5 − 2 = → = 5+2 5+2 1− x  1  x =1 (1) ⇔ x − 1 = ⇔ ( x − 1)  1 +  = 0 ⇔  x = −2 x +1  x +1  V y phương trình có hai nghi m là x = 1 và x = –2. Ví d 4. Gi i các phương trình sau: 2   ( ) ( ) 1 x −1 ( ) ( ) x 2 −5 x 6 x +3 2 2 2 +1 2 −1 2 −2 1)  2 2 x  =4 2) 3+ 2 = 3− 2 3) 5 x − 3x = 2 5x − 3x     Hư ng d n gi i: 2   ( ) x > 0 1 x −1 1)  2 2 x +3 2 x  = 4, (1) . i u ki n:      x ≠1 ( ) ) = 22 ⇔ 3 ( x + 1) = 2 ⇔ 2 x − 5 x − 3 = 0 ⇔ x = 3 ⇔ x = 9. 3 x +1 (1) ⇔ 2 ( x x −1 x ( x −1 ) V y phương trình ã cho có nghi m x = 9. ( ) ( ) x 2 −5 x ( 2 ). 6 2) 3+ 2 = 3− 2 , ( )( ) ( ) ( ) 1 −1 Do 3+ 2 3 − 2 = 1  → 3− 2 = = 3+ 2 . ( 3+ 2 ) x = 2 ( 2) ⇔ ( ) ( ) x2 −5 x −6 3+ 2 = ⇔ x2 − 5x + 6 = 0 ⇔  3+ 2 x = 3 V y phương trình ã cho có nghi m x = 2 và x = 3. 2 2 2 2 2 ( 2 2 2 2 2 5 9 2 2 2 5 ) 2 2 2 3) 5 x − 3x +1 = 2 5 x −1 − 3x − 2 ⇔ 5 x − 3.3x = 5 x − 3x ⇔ 5 x − 5 x = 3.3x − 3x 9 x2 x2 3 3 2 25 2 5 125 5 5 ⇔ 5 x = 3x ⇔   = ⇔   =    x = ± 3. → 5 9 3 27  3 3 V y phương trình ã cho có nghi m x = ± 3. Các ví d gi i m u trong video: Ví d 1: Gi i phương trình a) 7 x + 7 x +1 + 7 x + 2 = 342 b) 5 x + 10.5 x −1 + 18 = 3.5 x +1 c) 7.5 x − 2.5x−1 = 11 d) 14.7 x + 4.32 x = 19.32 x − 7 x Ví d 2: Gi i phương trình +3 x −2 −1 −1 +2 = 16 x +1 2 − 3x = 3x − 2x 2 2 2 2 a) 2 x b) 2 x x +10 x +5 x −1 ( 5 + 2) = ( 5 − 2 ) x +1 x −1 c) 16 x −10 = 0,125.8 x −15 d) Ví d 3: Gi i phương trình x −3 x +1 a) ( 10 + 3) x −1 = ( 10 − 3) x +3 b) 9 x 2 +1 = 32− 4 x 8 d) ( x 2 − 2 x + 2 ) 2x− 9 − x2 −4 =8 = 3 x2 − 2 x + 2 3 c) 2 x 3 H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  3. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 x +1 ( e) 2 cos x + x2 ) x = 2 cos x + x2 II. PHƯƠNG TRÌNH B C HAI, B C BA THEO M T HÀM S MŨ Các ví d m u: Ví d 1. Gi i phương trình: 25 x − 30.5 x + 125 = 0 Hư ng d n gi i: Phương trình ã cho tương ương: ( 5 x ) − 30.5 x + 125 = 0 . 2 t t = 5 x , i u ki n t > 0. t = 5 Khi ó phương trình tr thành: t 2 − 30t + 125 = 0 ⇔  t = 25 + V i t = 5 ⇔ 5 = 5 ⇔ x =1. x + V i t = 25 ⇔ 5 x = 25 ⇔ 5 x = 52 ⇔ x = 2 . V y phương trình ã cho có 2 nghi m là x = 1 và x = 2. Ví d 2. Gi i phương trình: 3x + 2 + 3− x = 10 . Hư ng d n gi i: 3x = 1 = 30 x = 0 Ta có 3x + 2 + 3− x = 10 ⇔ 9.3x + x = 10 ⇔ 9.( 3x ) − 10.3x + 1 = 0 ⇔  x 1 1 2 ⇔ 3 3 = = 3−2  x = −2   9 V y phương trình ã cho có 2 nghi m là x = 0, x = −2. Ví d 3. Gi i các phương trình sau: x 1− x 1) 5 x −5 +4=0 2) 3 x − 8.3 2 + 15 = 0 3) 32 x +8 − 4.3x +5 + 27 = 0 Hư ng d n gi i: 1) 5 x − 51− x + 4 = 0, (1) . i u ki n: x ≥ 0. 5 x = 1  x =0 ( ) x = 0 5 2 (1) ⇔ 5 x − +4=0⇔ 5 − 5 = 0   → ⇔ x + 4.5 ⇔ x 5 x 5 = 5  x = 1  x  x = 1 C hai nghi m u th a mãn i u ki n, v y phương trình có hai nghi m x = 0 và x = 1. x  3 x =3 x = 2 ( ) ( )  ( ) 2x x 2) 3x − 8.3 2 + 15 = 0 ⇔ 3 − 8. 3 + 15 = 0   → ⇔ x = log 3 5 = log 3 25 ( ) x  3 =5   V y phương trình có hai nghi m x = 2 ; x = log3 25. 3x + 4 = 3 ⇒ x = −3 3) 32 x +8 − 4.3x + 5 + 27 = 0 ⇔ 32( x + 4) − 4.3x + 4.3 + 27 = 0 ⇔ 32( x + 4) − 12.3x + 4 + 27 = 0   x + 4 → 3 = 9 = 3 ⇒ x = −2 2  V y phương trình ã cho có hai nghi m là x = –2 và x = –3. −x − 22+ x − x = 3. 2 2 Ví d 4. Gi i phương trình 2 x Hư ng d n gi i: −x 4 t = 4  x = −1 = t (t > 0). . Phương trình tr thành t − =3⇔  2 t 2x ⇒ t t = −1 ( L)  x = 2 Ví d 5. Gi i phương trình 4 x − x2 −5 − 12.2 x −1− x 2 −5 +8= 0. Hư ng d n gi i: H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  4. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 x = 3 t = 2  x − x − 5 = 1 2 t 2x− x 2 −5 = t (t > 0) ⇒  ⇒ ⇔ t = 4  x − x 2 − 5 = 2  x = 9  4 Các ví d gi i m u trong video: Ví d : Gi i phương trình +1 +1 −1 −3 − 3x −6=0 − 36.3x +3=0 2 2 2 2 a) 9 x b) 9 x c) 4 x + x2 − 2 − 5.2 x −1+ x2 − 2 −6=0 d) 43+ 2 cos x − 7.41+ cos x − 2 = 0 BÀI T P LUY N T P: Bài 1: Gi i các phương trình sau: x 2 − x −5 2 x +3 3  2 ( ) ( ) 4 x −1 2 x +3 1) ( 0, 2 ) x − x2 6 x −10 =5 2)   =  3) 3 + 2 2 = 3− 2 2 2  3 x2 −3 ( ) 1 x2 − x x −1 5 x 2 − 4 x −1 x 2 −1 4) 9. 3 = 81 5) 10 =1 6) e =  e x −1 5 x −7 x +1 4 x−2 1 ( 4) 1 1 x x 2 − 4 x −1 7)   = 16. 3 8) 9 =  9) 27 x −1 = .81 x + 2 8  3 9 x x 1  1  ( ) ( ) 5 x −3 x3 2 x 2 −1 10) 3x.  =   11) 10 − 3 = 19 + 6 10  3   27  Bài 2: Gi i các phương trình sau 5 x2 −6 x + 1) ( x + 1) x −3 =1 2) 2 2 = 16 2 ( ) ( ) x −1 2 x −2 3) x 2 − x + 1 =1 4) x − x2 =1 x +10 ( ) x2 − x −5 4 − x2 5) x 2 − 2 x + 2 =1 6) ( x + 2 ) = ( x + 2) /s: x = -1; x = 5  5 ± 13 x= ( ) x2 − 4 7) x − 5 x + 4 2 =1 /s:  2   x = −2   x = −1 = ( x − 3) /s:  x = 2 x2 − x 2 8) x − 3  x = 4  9) ( x + 1) x −3 = 1 /s: x = 3 Bài 3: Gi i các phương trình sau 7 1) 2 x.3x −1.5 x − 2 = 12 2) 5 4 x − 6 = 253 x − 4 /s : x = 5 x −5 x +17 3) 9.22 x = 8. 32 x+1 4) 32 x −7 = 0.25.128 x −3 /s : x = 13 x−4 x −3 ( ) ( ) ( ) ( ) x x −3 5) 10 + 3 x = 10 − 3 x+4 6) 5+2 = 5−2 x +1 1 7) 3.4 x +1 + 3−1.9 x + 2 = 6.4 x +1 − 2−1.9 x +1 /s: x = − 2 3 1 x+ x+  9  8) 9 x − 2 2 =2 2 − 32 x −1 /s: x = log 9   2 2 2  1 1 x+ x− 3 9) 5 2 − 9 x = 32 x − 2 − 5 2 /s: x = 2 10) 73 x + 9.52 x = 52 x + 9.73 x /s: x = 0 H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  5. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Tài li u bài gi ng: 04. PHƯƠNG TRÌNH MŨ – P2 Th y ng Vi t Hùng III. PHƯƠNG PHÁP T N PH GI I PHƯƠNG TRÌNH MŨ D ng 1: Phương trình chia r i t n ph Ví d 1. Gi i phương trình: 3.9 x + 7.6 x − 6.4 x = 0 . Hư ng d n gi i:  3  x 2 2x x   = ⇒ x = −1 3 3 2 3 Phương trình ã cho tương ương: 3.   + 7.   − 6 = 0 ⇔  . 2 2  x 3   = −3 < 0   2  V y phương trình ã cho có 1 nghi m là x = −1. Ví d 2. Gi i các phương trình sau: 1 1 1 − − − a) 64.9 x − 84.12 x + 27.16 x = 0 b) 4 x + 6 x = 9 x c) 32 x +4 + 45.6 x − 9.22 x + 2 = 0 d) ( H kh i A – 2006): 3.8 x + 4.12 x − 18 x − 2.27 x = 0 Hư ng d n gi i: x a) Chia c hai v c a (1) cho 9 ta ư c  4  x 4 x x 2x x   = x =1 (1) ⇔ 64 − 84.  + 27.  = 0 ⇔ 27.   − 84.  + 64 = 0   3  x 3  12   16  4  4  → ⇔ x = 2 2  9 9 3 3  4  16  4    = =    3  9 3 V y phương trình ã cho có hai nghi m x = 1 và x = 2. b) i u ki n: x ≠ 0.  3 t 1 + 5 t t 2t t   = t − = t , ( 2 ) ⇔ 4t + 6t = 9t ⇔   −   − 1 = 0 ⇔   −   − 1 = 0 ⇔  2 t 9 6 3 3 1 2      3  1 − 5 x 4 4 2 2   =
  6. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 D ng 2: Phương trình có tích cơ s b ng 1 Cách gi i: 1 Do ab = 1 ⇔ ( ab ) f ( x) = 1  b f ( x ) = → f ( x) a 1 T ó ta t a f ( x ) = t , (t > 0)  b f ( x ) = → t Chú ý: M t s c p a, b liên h p thư ng g p: ( 2 +1)( ) ( 2 + 3 )( 2 − 3 ) = 1 2 − 1 = 1; ( 5 + 2 )( 5 − 2 ) = 1; ( 7 + 4 3 )( 7 − 4 3 ) = 1... ( 2 ± 1) 2 3± 2 2 = M t s d ng h ng ng th c thư ng g p: 3 = (2 ± 3) 2 7±4 ... Ví d m u. Gi i các phương trình sau: ( ) +( ) ( ) +( ) x x x x a) 2+ 3 2− 3 =4 b) 3 3+ 8 3 3− 8 =6 c) ( 5 − 21 ) + 7 ( 5 + 21 ) = 2 x +3 d) ( 2 + 3 ) + (2 − 3) x x ( x −1) 2 x − 2 x −1 2 4 = 2− 3 Hư ng d n gi i: ( ) +( ) x x a) 2+ 3 2− 3 = 4, (1) . ( )( ) ( ) .( ) ( ) x x x 1 Do 2+ 3 2 − 3 =1⇔ 2+ 3 2− 3 = 1  → 2− 3 = ( ) x 2+ 3 ( ) ( ) x x 1 t 2+ 3 = t , (t > 0)  → 2− 3 = . t 1 t = 2 + 3 Khi ó (1) ⇔ t + − 4 = 0 ⇔ t 2 − 4t + 1 = 0   → t t = 2 − 3 ( ) ( )  x = 2. x 2 V i t =2+ 3 ⇔ 2+ 3 =2+ 3 = 2+ 3 → 3⇔( 3) =2− 3) = ( 2 + 3 ) −2 ( x −1 V i t =2− 2+ 3 = 2+  x = −2. → V y phương trình có hai nghi m x = ±2. ( ) +( ) x x b) 3 3+ 8 3 3− 8 = 6, ( 2). ( )( ) ( )( ) ( ) .( ) ( ) x x x 1 Do 3 3+ 8 3 3− 8 = 3 3+ 8 3 + 8 =1⇔ 3 3+ 8 3 3− 8 = 1  → 3 3− 8 = ( ) x 3 3+ 8 ( ) ( ) x x 1 t 3 3+ 8 = t ,(t > 0)  → 3 3− 8 = . t 1 t = 3 + 8 Khi ó ( 2 ) ⇔ t + − 6 = 0 ⇔ t 2 − 6t + 1 = 0   → t t = 3 − 8 ( ) x ( ) x V i t = 3+ 8 ⇔ 3 3+ 8 = 3+ 8 ⇔ 3+ 8 3 = 3 + 8  x = 3. → H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  7. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 ( ) x ( ) ( ) = (3 − 8 ) x −1 −1 V i t = 3− 8 ⇔ 3 3+ 8 = 3− 8 = 3− 8 ⇔ 3+ 8 3  x = −3. → V y phương trình có hai nghi m x = ±3. x x  5 − 21   5 + 21  c) ( 5 − 21 ) + 7 ( 5 + 21 ) = 2 ( 3) . x x x+ 3 ⇔  + 7.  = 8,  2   2  x x x x  5 − 21   5 + 21   5 − 21 5 − 21   5 − 21  1 Ta có     =  .  = 1    →  =  2   2   2 2   2   5 + 21  x    2  x x  5 + 21   5 − 21  1 t  = t ,(t > 0)   →  = .  2   2  t 1 t = 1 Khi ó ( 3) ⇔ + 7t − 8 = 0 ⇔ 7t − 8t + 1 = 0   1 2 → t t =  7 x  5 + 21  V i t =1⇔   = 1  x = 0. →  2  x 1  5 + 21  1 1 V i t= ⇔  =  x = log 5+ →  . 7  2  7 21 7 2 x = 0 V y phương trình có hai nghi m  x = log 1  5 + 21     2 7 d) ( 2 + 3 ) + (2 − 3) ( ⇔ 2 − 3 (2 + 3) ) + 2 − 3 (2 − 3) ( ) ( x −1)2 x 2 − 2 x −1 4 x 2 − 2 x +1 x 2 − 2 x −1 = =4 2− 3 ( ) 2 − 3 ( 2 + 3 )( 2 + 3 ) + (2 − 3) = 4 ⇔ (2 + 3) + (2 − 3) x2 − 2 x x2 − 2 x x2 − 2 x x2 − 2 x = 4, ( 4 ). t t = (2 + 3) , (t > 0)  ( 2 − 3 ) x2 − 2 x x2 − 2 x 1 → = . t  ( ) x2 − 2 x 1 t = 2 + 3  2+ 3 =2+ 3  x2 − 2 x = 1 Khi ó ( 4 ) ⇔ t + − 4 = 0 ⇔ t − 4t + 1 = 0   2 → ⇔ ⇔ 2 t = 2 − 3 ( )  x − 2 x = −1 x2 − 2 x t   2+ 3 =2− 3   V i phương trình x 2 − 2 x = 1 ⇔ x 2 − 2 x − 1 = 0 ⇔ x = 2 ± 2 V i phương trình x 2 − 2 x = −1 ⇔ x 2 − 2 x + 1 = 0 ⇔ x = 1. x = 1 V y phương trình có hai nghi m  x = 2 ± 2 D ng 3: Phương trình t n ph tr c ti p b ng phép quan sát 2x 18 8 Ví d 1: Gi i phương trình: x −1 = x −1 1− x + 2 +1 2 + 2 2 + 2 + 2 x Hư ng d n gi i: 8 1 18 Vi t l i phương trình dư i d ng: x −1 + 1− x = x −1 1− x 2 +1 2 +1 2 + 2 + 2 x −1 u = 2 + 1  t  1− x , u, v > 1 v = 2 + 1  H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  8. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 ( )( Ta có u.v = 2 x −1 + 1 . 21− x + 1 = 2 x −1 + 21− x + 2 = u + v ) 8 1 18 u = v = 2  + = u + 8v = 18  Phương trình tương ương v i h  u v u + v ⇔  ⇔ u + v = uv u + v = uv u = 9; v = 9    8 x −1  2 + 1 = 2 + V i u = v = 2, ta ư c:  1− x ⇔ x =1 2 + 1 = 2   2 x −1 + 1 = 9 9  + V i u = 9; v = , ta ư c:  1− x 9 ⇔ x=4 8 2 + 1 =  8 V y phương trình ã cho có các nghi m x = 1 và x = 4. Ví d 2: Gi i phương trình: 22 x − 2 x + 6 = 6 Hư ng d n gi i: t u = 2 ; u > 0. x Khi ó phương trình thành u 2 − u + 6 = 6 t v = u + 6, i u ki n v ≥ 6 ⇒ v 2 = u + 6  2 u = v + 6 u − v = 0 Khi ó phương trình ư c chuy n thành h  2 ⇔ u 2 − v 2 = − ( u − v ) ⇔ ( u − v )( u + v ) = 0 ⇔  v = u + 6  u + v + 1 = 0 u = 3 + V i u = v ta ư c: u 2 − u − 6 = 0 ⇔  ⇔ 2x = 3 ⇔ x = 8 u = −2( L)  −1 + 21 u = 21 − 1 21 − 1 2 + V i u + v + 1 = 0 ta ư c u 2 + u − 5 = 0 ⇔  ⇔ 2x = ⇔ x = log 2  −1 − 21 2 2 u = (1)  2 21 − 1 V y phương trình có 2 nghi m là x = 8 và x = log 2 . 2 Các ví d gi i m u trong video: Ví d 1: Gi i phương trình a) 125 x + 50 x = 2 3 x +1 1 1 1 − − − b) 4 x +6 x =9 x c) ( H kh i A – 2006): 3.8 x + 4.12 x − 18 x − 2.27 x = 0 Ví d 2: Gi i phương trình ( ) + (3 − 5 ) x x a) 3 + 5 − 7.2x = 0 b) 4lg10 x − 6lg x = 32lg100 x Ví d 3: Gi i phương trình a) ( 2 −1) x + ( 2 + 1) x − 2 2 = 0.B − 07 ( ) ( ) = x2 x2 − 1 b) 10 + 3 + 10 − 3 10 + 4 c) ( 2 + 3 ) + (2 − 3 ) x 2 − 2 x +1 x 2 − 2 x −1 101 = ( 10 2 − 3 ) Ví d 4: Gi i phương trình ( ) +( ) sin x sin x a) 7+4 3 7−4 3 =4 ( ) +( )( ) x x b) 7 + 5 2 2 −5 3+ 2 2 + 3(1 + 2) x + 1 − 2 = 0 H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  9. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Ví d 5: Gi i phương trình 3 x −1 a) 5.2 − 3.25−3 x + 7 = 0 b) 4.33 x − 3x +1 = 1 − 9 x BÀI T P LUY N T P: Bài 1: Gi i các phương trình sau: x x 7+3 5  7−3 5  a) ( 5 + 24 ) + ( 5 − 24 ) = 10 x x b)    + 7    =8   2   2  ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x x c) 5 + 21 + 5 − 21 = 5.22 d) 4 − 15 + 4 + 15 =8 ( e) 2 + 3 ) + (7 + 4 3 )(2 − 3 ) x x ( = 4 2+ 3 ) Bài 2: Gi i các phương trình sau: 1 1 1 1 1 1 a) 6.9 x − 13.6 x + 6.4 x = 0 b) 2.4 x + 6 x = 9 x c) 6.32 x − 13.6 x + 6.22 x = 0 d) 3.16 x + 2.81x = 5.36 x e) 64.9 x − 84.12 x + 27.16 x = 0 Bài 3: Gi i các phương trình sau: ( ) ( 5 − 1) = 2 x x a) 3 5 +1 − x+1 b) ( 26 + 15 3 ) + 2 ( 7 + 4 3 ) ( ) x x x −2 2+ 3 −1 = 0 Bài 4: Gi i các phương trình sau: a) 5.3 2 x −1 −7.3x −1 + 1 − 6.3x + 9 x +1 = 0 b) 4 x + 4− x + 2 x + 2− x = 10 c) 31− x − 31+ x + 9 x + 9− x = 6 d) 8 x +1 + 8.(0,5)3 x + 3.2 x + 3 = 125 − 24.(0,5) x H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  10. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Tài li u bài gi ng: 04. PHƯƠNG TRÌNH MŨ – P3 Th y ng Vi t Hùng IV. PHƯƠNG PHÁP LOGARITH HÓA GI I PHƯƠNG TRÌNH MŨ Khái ni m: Là phương trình có d ng a f ( x ) .b g ( x ) = c, (1) trong ó a, b nguyên t cùng nhau, f(x) và g(x) thư ng là hàm b c nh t ho c b c hai. Cách gi i: L y logarith cơ s a ho c cơ s b c hai v c a (1) ta ư c ( ) (1) ⇔ log a a f ( x ) .b g ( x ) = log a c ⇔ log a a f ( x ) + log a b g ( x ) = log a c ⇔ f ( x) + g ( x) log a b = log a c, ( 2). (2) thu ư c là phương trình b c nh t c a x, ho c phương trình b c hai có th gi i ơn gi n. Chú ý: Nh ng d ng phương trình ki u này chúng ta c g ng s d ng tính ch t c a hàm mũ bi n i sao cho c = 1. Khi ó vi c logarith hóa hai v v i c = 1 s cho phương trình thu ư c ơn gi n hơn r t nhi u. Ví d 1. Gi i các phương trình sau a) 3x.2 x+1 = 72 b) 5x.3x = 1 c) 73 x + 9.52 x = 52 x + 9.73 x 2 Hư ng d n gi i: 3x.2 x +1 a) 3x.2 x +1 = 72 ⇔ = 1 ⇔ 3x − 2.2 x − 2 = 1 ⇔ 6 x −2 = 1  x = 2. → 9.8 V y phương trình có nghi m x = 1. b) 5x.3x = 1 ⇔ log 3 5 x.3x 2 ( 2 ) = log 1 ⇔ log 5 3 3 x + log 3 3x = 0 ⇔ x log 3 5 + x 2 = 0 2 x = 0 ⇔ x ( log 3 5 + x ) = 0   →  x = − log 3 5 V y phương trình ã cho có hai nghi m x = 0 và x = –log35. ( ) c) 73 x + 9.52 x = 52 x + 9.73 x ⇔ 8.73 x = 8.52 x ⇔ 73 x = 52 x ⇔ lg 73 x = lg 52 x ⇔ 3 x.lg 7 − 2 x.lg 5 = 0 ( )  x ( 3lg 7 − 2lg 5 ) = 0 ⇔ x = 0. → V y phương trình ã cho có nghi m x = 0. Ví d 2. Gi i các phương trình sau: x +1 2 x −1 c) 2 x −3 = 5 x −5 x + 6 2 a) 5 x.8 x = 500 b) 5 x.2 x +1 = 50 d) x 2lg x = 10 x Hư ng d n gi i: x +1 a) 5 x.8 x = 500, (1) . i u ki n: x ≠ 0. x +1 x −3  x −3  x−3 (1) ⇔ 5x.2 ( = ( 3 − x ) log 2 5 ) 3 x = 53− x ⇔ log 2  2 x  = log 2 53− x ⇔ = 53.22 ⇔ 2 x   x   x = 3 ⇔ ( log 2 5 ) x 2 − 3 ( log 2 5 − 1) x − 3 = 0   → 1  x = log 5  2 2 x −1 b) 5 x.2 x +1 = 50, ( 2 ). i u ki n: x ≠ –1. 2 x −1 2 x −1 2 x −1  −1 −1  2x −1 ( 2 ) ⇔ 5x.2 x +1 = 52.2 ⇔ 5 x − 2.2 x +1 = 1 ⇔ log 2  5 x − 2.2 x +1  = log 2 1 = 0 ⇔   − 1 + ( x − 2 ) log 2 5 = 0   x +1 x = 2 x − 2 = 0 ⇔ x − 2 + ( x − 2 )( x + 1) log 2 5 = 0   → ⇔  (1 + log 2 5) 1 1 + ( x + 1) log 2 5 = 0 x = − =−   log 2 5 lg 5 H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  11. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 1 V y phương trình có hai nghi m x = 2 ; x = − . lg 5 c) 2 x −3 = 5 x 2 −5 x + 6 ( ) ⇔ log 2 2 x −3 = log 2 5 x ( 2 −5 x + 6 ) ⇔ x −3 = (x 2 ) − 5 x + 6 log 2 5 x = 3 x − 3 = 0  ⇔ ( x − 3) 1 − ( x − 2 ) log 2 5 = 0   → ⇔    x = log 2 50 = log 5 50  x log 2 5 = 1 + 2log 2 5  log 2 5  V y phương trình có hai nghi m x = 3 ; x = log5 50. d) x 2lg x = 10 x, ( 4). i u ki n: x > 0. lg x = 1  x = 10 ( 4 ) ⇔ lg ( x 2lg x ) = lg (10 x ) ⇔ 2lg x − lg x − 1 = 0 ⇔  2 lg x = 1⇔  2  x = 10 V y phương trình có hai nghi m x = 10 ; x = 10. BÀI T P LUY N TÂP: Bài 1. Gi i phương trình x −1 a) 5x.8 x = 500 x b) 3x.8 x +1 = 36 c) 34 = 43 x x Bài 2: Gi i các phương trình sau : a) 53− log5 x = 25 x b) 9.x log9 x = x 2 3 2 3( log x ) − log x c) x log 2 9 = x 2 .3log 2 x − x log2 3 d) x 3 = 100. 3 10 Bài 3: Gi i các phương trình sau : a) x log 9 + 9log x = 6 b) 3log 2 x + x log 2 3 = 63log2 x ( ) d) 4lg(10 x ) − 6lg x = 2.3 lg 100 x 2 c) 4log2 2 x − x log2 6 = 2.3log2 4 x 2 Bài 4: Gi i các phương trình sau : ( 2 log 3 x 2 −16 ) ( ) log 3 x 2 −16 +1 a) 2 +2 = 24 b) 21+( log2 x ) + 224 = x 2log 2 x 2 c) xlgx −3lg x−4,5 = 10−2lg x 2 Bài 5: Gi i các phương trình sau : 9 + 2 x −8 = 5x−2 b) 7 x.2 x+1 = 392 c) 2 x.39− x = 8 2 2 a) 4 x 2 x −1 −2 x 3 d) 5x.2 x +1 = 50 .3x = f) 3x −1 = 5x −1 2 2 e) 2 x 2 HƯ NG D N GI I: Bài 1. Gi i phương trình x −1 x = 500 b) 3x.8 x+1 = 36 c) 34 = 43 x x a) 5 x.8 x 3( x −1) 3( x −1) x −1 −2 x−3 x = 3 a) 5 x.8 x = 500 ⇔ 5 .2 x x = 5 .2 ⇔ 2 3 2 x = 53 − x ⇔ = ( 3 − x ) log 2 5 ⇔  x  x = − log 2 5 H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  12. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 x 3x x+1 3x −2 x−2  x ≠ −1  2 + log3 4 b) 3x.8 x +1 = 36 ⇔ 3 = 22.32 ⇔ 3 x +1 = 4 ⇔ = log3 4 ⇔  ⇒x= x +1 (1 − log3 4 ) x = 2 + log3 4  1 − log3 4 x  4 c) 34 = 43 ⇔ 4 x = 3x.log3 4 ⇔   = log3 4 ⇒ x = log 4 ( log3 4 ) x x  3 3 Bài 2: Gi i các phương trình sau : a) 53− log5 x = 25 x b) 9.x log9 x = x 2 3 2 3( log x ) − log x c) x log 2 9 = x 2 .3log 2 x − x log2 3 d) x 3 = 100. 3 10 GI I x > 0 3− log5 x  x > 0 a) 5 = 25 x ⇔  53 ⇔ 3 ⇔ x2 = 5 → x = 5  log5 x = 25 x 5 = 52 x 2 5 b) 9.x 9 = x 2 ⇔ L y loga cơ s 9 hai v , ta có phương trình : log x x > 0  x > 0  x > 0 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x=9>0 1 + ( log 9 x ) − 2log 9 x = 0 ( log 9 x − 1) = 0 log 9 x = 1 2 2   c) x log 2 9 = x 2 .3log 2 x − x log2 3 . S d ng công th c : a logc b = blogc a . Phương trình bi n i thành : 3log2 x > 0 ⇔ 9log2 x − x 2 .3log2 x + 3log2 x = 0 ⇔ 3log2 x ( 3log2 x − x 2 + 1) = 0 ⇔  log x ⇔ 3log2 x = x 2 − 1   3 2 − x2 + 1 = 0 t : t = log 2 x ⇒ x = 2t ↔ x 2 = 4t . Phương trình : t t 3 1 ⇔ 3log2 x = x 2 − 1 = 3t = 4t − 1 ⇔   +   − 1 = 0 . 4 4 t t t t 3 1 3 3 1 1 Xét hàm s f (t ) =   +   − 1 → f '(t ) =   ln   +   ln   < 0 . 4 4 4 4 4 4 Ch ng t hàm s f(t) là m t hàm s ngh ch bi n. Do f(1) = 0 cho nên v i t = 1 thì phương trình có nghi m duy nh t log 2 x = 1 → x = 2 . 3 2 3( log x ) − log x d) x 3 = 100. 3 10 . L y log hai v , phương trình tr thành :  t = log x 3 2 3( log x ) − log x  2  1  = 100. 3 10 ⇔  3( log x ) − log x  log x = 2 + ⇔ 0 < x ≠ 1 3 3 x  3  3  2 7 3t 4 − t 2 − = 0  3 3     0 < x ≠ 1 t = log x   − 7   7  x = 10 3 ⇔ 0 < x ≠ 1 ⇔ log x = − ⇔  2  3  x = 10 3 7  t = −1   7  2 7 log x =  t =  3   9 Bài 3: Gi i các phương trình sau : a) x log 9 + 9log x = 6 b) 3log 2 x + x log 2 3 = 63log2 x ( ) d) 4lg(10 x ) − 6lg x = 2.3 lg 100 x 2 c) 4log2 2 x − x log2 6 = 2.3log2 4 x 2 0 < x ≠ 1 0 < x ≠ 1 0 < x ≠ 1  0 < x ≠ 1  1 a) x log 9 + 9log x = 6 ⇔  log x ⇔  log x ⇔  2log x ⇔ 1 ↔ x = 10 2 = 10 9 + 9 = 6 log x 9 = 3 3 = 3 log x =  2 H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  13. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 log 2 x  3 1 b) 3log 2 x + x log2 3 = 63log2 x ⇔ 3log2 x + 3log2 x = 63log2 x ⇔ 2.3log2 x = 63log2 x ⇔  3  = 6  2 1 log 1 1 ⇔ log 2 x = log 1 ⇔ x = 2 72 2 72 2 2(1+ log 2 x ) − 6log2 x = 2.3( 2 ) 2 + 2log x −x = 2.3log2 4 x ⇔ 2 ⇔ 4.22 log 2 x − 6log2 x = 18.32log2 x 2 log 2 2 x log 2 6 c) 4 x > 0   3 log2 x  t =  >0 ⇔ 4.22 log2 x − 6log 2 x = 18.32log2 x ⇔   6 log2 x 3 2 log 2 x ⇔  2  4 −   = 18.    2  4 2 18t + t − 4 = 0 t > 0   t = − 1 < 0  3  log2 x 4  3  −2 1 ⇔  2 ⇒  = =   ↔ log 2 x = −2 → x =  4 2 9 2 4  t =  9  ( ) d) 4lg(10 x ) − 6lg x = 2.3 lg 100 x 2 ⇔ 41+ lg x − 6lg x = 2.32+ 2 lg x ⇔ 4.22 lg x − 6lg x = 18.32 lg x . Chia hai v cho 22 lg x > 0 ta ư c t > 0   3 lg x   6 lg x  3 2 lg x t =  >0  t = − 1 < 0  3  log2 x 4  3  −2 1 4 −   = 18.   ⇔  2 ⇔  2 ⇒  = =   ↔ log 2 x = −2 → x = 4 2  2  4 2 9 2 4 18t + t − 4 = 0  t =  9  Bài 4:. Gi i các phương trình sau : ( 2 log 3 x 2 −16 ) ( log 3 x 2 −16 +1 ) 1+ ( log 2 x ) 2 lg2 −3lg x −4,5 = 10−2lg x a) 2 +2 = 24 + 224 = x 2 log 2 x b) 2 c) x x t > 0 2 log3 ( x 2 −16 ) log3 ( x 2 −16 ) +1 t = 2log3 ( x2 −16) > 0   log ( x 2 −16 ) a) 2 +2 = 24 ⇔  ⇔  t = −6 ⇔ 2 3 = 22 t + 2t − 24 = 0  2  t = 4  ⇒ log 3 ( x 2 − 16 ) = 2 ⇔ x 2 − 16 = 32 = 9 ⇔ x 2 = 25 → x = 5 t = 2( log2 x ) > 0 2  + 224 = ( 2 ) 1+ ( log 2 x ) ( log 2 x )2 log 2 x 2 log 2 x 2 b) 2 + 224 = x 2log 2 x ⇔ 2.2 ⇔ t − 2t − 224 = 0 2  t > 0  −2 1   log 2 x = −2 x = 2 = 4 ⇔  t = −14 ⇔ 2 ( log 2 x )2 = 2 ⇔ ( log 2 x ) = 4 ⇔  ⇔ 4 2  log 2 x = 2   t = 16 = 24 x = 2 = 4 2   c) x lg x − 3lg x − 4,5 = 10−2lg x 2   lg x = 0 x = 1   ( ) 3− 10 3 − 10 L y lg hai v ⇒ lg 2 − 3lg x − 4,5 x lg x = −2 lg x ⇔ lg x ( lg 2 − 3lg x − 4,5 + 2 ) = 0 ⇔  lg x =  ⇔  x = 10 2 x 2    3+ 10  3 + 10  x = 10 2   lg x =  2 V. PHƯƠNG PHÁP HÀM S GI I PHƯƠNG TRÌNH MŨ Cơ s c a phương pháp: Xét phương trình f(x) = g(x), (1). N u f(x) ng bi n (ho c ngh ch bi n) và f(x) là hàm h ng thì (1) có nghi m duy nh t x = xo. N u f(x) ng bi n (ho c ngh ch bi n) và f(x) ngh ch bi n (ho c ng bi n) thì (1) có nghi m duy nh t x = xo. Các bư c th c hi n: Bi n i phương trình ã cho v d ng (1), d oán x = xo là m t nghi m c a (1). H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  14. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Ch ng minh tính ng bi n, ngh ch bi n hay h ng s c a (1). D a vào tính ng bi n, ngh ch bi n k t lu n trên ch ng t khi x > xo và x < xo thì (1) vô nghi m. T ó ta ư c x = xo là nghi m duy nh t c a phương trình. Chú ý: Hàm f(x) ng bi n thì x2 > x1  f ( x2 ) > f ( x1 ) ; f(x) ngh ch bi n thì x2 > x1  f ( x2 ) < f ( x1 ) → → Hàm f ( x ) = a u( x )  f ′( x ) = u(′ x ) .a u( x ) .ln a . Khi a > 1 thì hàm s → ng bi n, ngư c l i hàm ngh ch bi n. T ng ho c tích c a hai hàm ng bi n (ho c ngh ch bi n) là m t hàm ng bi n (ho c ngh ch bi n), không có tính ch t tương t cho hi u ho c thương c a hai hàm. ( ) V i nh ng phương trình có d ng f x;a u( x ) = 0, hay ơn gi n là phương trình có ch a x c h s và trên lũy th a, ta coi ó là phương trình n là hàm mũ và gi i như bình thư ng. Bài toán s quy v vi c gi i phương trình b ng phương pháp hàm s thu ư c nghi m cu i cùng. D ng 1: Phương trình s d ng s bi n thiên c a hàm s mũ Ví d 1. Gi i các phương trình sau x c) ( 3 + 2 2 ) + ( 3 − 2 2 ) = 6 x x x a) 3x = 5 − 2 x b) 2 x = 3 2 + 1 Hư ng d n gi i:  f ( x ) = 3x  a) 3x = 5 − 2 x, (1) . t   g ( x) = 5 − 2 x  g ′( x) = −2 < 0  → T ó ta th y f(x) ng bi n, còn g(x) ngh ch bi n. Nh n th y x = 1 là m t nghi m c a (1).  f ( x) > f (1) = 3 Khi x > 1 thì   (1) vô nghi m. →  g ( x) < g (1) = 3  f ( x) < f (1) = 3 Khi x < 1 thì   (1) vô nghi m. V y x = 1 là nghi m duy nh t c a phương trình (1). →  g ( x) > g (1) = 3 x x  3   1 x ( 3) ( 2 ). x b) 2 x =3 2 +1 ⇔ 2 = x +1 ⇔   2  +  2  = 1,      x x  3   1 x  3 3 1 x 1 t f ( x) =  ′( x) =   2  +  2   f    →  2  ln 2 +  2  ln 2 < 0  f(x) là hàm ngh ch bi n.    →     Nh n th y x = 2 là m t nghi m c a (2). Khi x > 2 thì f(x) < f(2) = 1 → (2) vô nghi m. Khi x < 2 thì f(x) > f(2) = 1 → (2) vô nghi m. V y x = 2 là nghi m duy nh t c a phương trình ã cho. x x  3+ 2 2   3−2 2  c) ( 3 + 2 2 ) + (3 − 2 2 ) x x =6 ⇔ x  +  = 1, ( 3) .  6   6  x x x x  3+ 2 2   3− 2 2   3+ 2 2  3+ 2 2  3− 2 2  3+ 2 2 t f ( x) =   +   f ′( x) =  →  ln +  ln < 0.  6   6   6  6  6  6 Do ó f(x) là hàm ngh ch bi n. Nh n th y x = 1 là m t nghi m c a (3). Khi x > 1 thì f(x) < f(1) = 1 → (3) vô nghi m. Khi x < 1 thì f(x) > f(1) = 1 → (3) vô nghi m. V y x = 1 là nghi m duy nh t c a phương trình ã cho. x x 1 1 Ví d 2. Gi i phương trình   − ( 3 x + 11) .   + 3 x + 10 = 0 . 4 2 Hư ng d n gi i: t = 3 x + 10 x 1 t t =   ⇒ t > 0. Khi ó phương trình ã cho tr thành t 2 − ( 3 x + 11) t + 3x + 10 = 0 ⇔  2 t = 1 x 1 + V i t =1⇔   =1⇔ x = 0 . 2 H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  15. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 x 1 + V i t = 3 x + 10 ⇔   = 3 x + 10 (*).  2 Ta có x = −2 th a mãn phương trình (*) nên là nghi m c a phương trình (*). x 1 Mà hàm s y =   luôn ngh ch bi n trên R, hàm s y = 3x + 10 luôn ng bi n trên R. Do ó x = −2 là nghi m duy  2 nh t c a phương trình (*). V y phương trình ã cho có 2 nghi m là x = 0, x = −2. BÀI T P T LUY N: Bài 1: Gi i các phương trình sau : ( ) ( )= x x a) 6 x + 8 x = 10 x b) 5+ 2 6 + 5−2 6 10 x x x x ( ) + (2 + 3 ) 1 1 1 x x c) 2 − 3 =2 x d) 3 −   + 2 x −   −   = −2 x + 6 x 3 2 6 x x x x x x  6 8  6 8  6  6 8 8 a) 6 + 8 = 10 ⇔   +   = 1 ⇔ f ( x) =   +   − 1 ⇔ f '( x) =   ln   +   .ln   < 0 x x x  10   10   10   10   10   10   10   10  V y phương trình có nghi m duy nh t là x = 2. x x ( ) +( ) x x  5+ 2 6   5−2 6  b) 5+ 2 6 5−2 6 = 10 ⇔  x  +  =1  10   10      x x  5+ 2 6   5−2 6  ⇔ f ( x) =   +  −1 = 0  10   10      x x  5+2 6   5+ 2 6   5−2 6   5−2 6  ⇒ f '( x) =   .ln  +  .ln  >0  10   10   10   10          V y phương trình có nghi m duy nh t là x = 1 x x x x 2− 3  2+ 3 2− 3 2+ 3  ( ) + (2 + 3 ) x x c) 2 − 3 =2 ⇔  2  +  2  = 1 ⇔ f ( x) =  2  +  2  − 1 = 0 x                x x 2− 3  2− 3  2+ 3  2+ 3 ⇒ f '( x) =   2  ln  2  +  2  ln  2  > 0                V y phương trình có nghi m duy nh t là x = 1. x x x x x x 1 1 1 1 1 1 d) 3x −   + 2 x −   −   = −2 x + 6 ⇔ 3x + 2 x + 2 =   +   +   + 6 3 2 6 3  2  6 VT = f ( x) = 3 + 2 + 2 → f '( x) = 3 ln 3 + 2 ln 2 > 0 ; f (1) = 7 x x x x x x x 1  1 1 VP = g ( x) =   +   +   + 6 . Là m t hàm s ngh ch bi n, m t khác g(1) = 7 3  2  6 Ch ng t x = 1 là nghi m duy nh t c a phương trình . Bài 2: Gi i các phương trình sau : a) 4 x − 3x = 1 b) 2 x + 3x + 5 x = 10 x c) 3 + 4 + 12 = 13 x x x x d) 3x + 5 x = 6 x + 2 x x x x 1 3 1 3 a) 4 x − 3x = 1 ⇔ 1 + 3x = 4 x ⇔   +   = 1 ⇔ f ( x) =   +   − 1 = 0 4 4 4 4 x x 1 1 3 3 Ta có f '( x) =   ln   +   ln   < 0 ⇒ f ( x) là hàm ngh ch bi n. 4 4 4 4 M t khác f(1) = 0 nên phương trình có nghi m duy nh t là x = 1 x x x  2  3  5 b) 2 x + 3x + 5 x = 10 x ⇔   +   +   = 1  10   10   10  H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  16. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 x x x x x x  2  3  5  2  2  3  3 5 5 t f ( x) =   +   +   − 1 ⇒ f '( x) =   ln   +   ln   +   ln   < 0  10   10   10   10   10   10   10   10   10  Suy ra f(x) là hàm ngh ch bi n, nên phương trình s có nghi m duy nh t. M t khác f(1) = 0, v y phương trình có nghi m duy nh t x = 1. x x x  3   4   12  c) 3x + 4 x + 12 x = 13x ⇔   +   +   = 1  13   13   13  x x x x x x  3   4   12   3   3   4   4   12   12  t f ( x) =   +   +   − 1 ⇒ f '( x) =   ln   +   ln   +   ln   < 0  13   13   13   13   13   13   13   13   13  V y f(x) là hàm s ngh ch bi n. M t khác f(2) = 0 nên phương trình có nghi m duy nh t x = 2. d) 3x + 5 x = 6 x + 2 ⇔ f ( x) = 3x + 5 x − 6 x − 2 . Rõ ràng phương trình có hai nghi m là x = 0 và x = 1. Ta có f '( x) = 3x.ln 3 + 2 x ln 2 − 6; f ''( x) = 3x (ln 3)2 + 2 x (ln 2)2 > 0 lim f ( x) = +∞; lim f ( x) = −6 x →+∞ x →−∞ Suy ra f '( x) là m t hàm s liên t c , ng bi n và nh n c giá tr dương l n giá tr âm trên R, nên phương trình f '( x) = 0 có nghi m duy nh t x0. Ta l p b ng bi n thiên s suy ra hai nghi m c a phương trình, s không còn nghi m nào khác. D ng 2: Phương trình s d ng phép t n ph không hoàn toàn Ví d . Gi i các phương trình sau a) 25x − 2(3 − x).5x + 2 x − 7 = 0 b) 3.25x −2 + (3x − 10).5x −2 + 3 − x = 0 2 2 c) 4 x + ( x 2 − 7).2 x + 12 − 4 x 2 = 0 d) 4 x 2 + x.3 x + 31+ x = 2.3 x .x 2 + 2 x + 6 Hư ng d n gi i: a) 25x − 2(3 − x).5x + 2 x − 7 = 0 ⇔ 52 x − 2(3 − x).5x + 2 x − 7 = 0, (1) . Ta coi (1) là phương trình b c hai n 5x. Ta có ∆′ = ( 3 − x ) − ( 2 x − 7 ) = x 2 − 6 x + 9 − 2 x + 7 = x 2 − 8 x + 10 = ( x − 4 ) 2 2 5 x = 3 − x + ( x − 4 ) 5 x = −1 < 0 Khi ó, (1) ⇔  ⇔ x  5 x = 7 − 2 x, → ( *) 5 = 3 − x − ( x − 4 )  x 5 = 7 − 2 x  (*) là phương trình quen thu c ví d 1 ã xét n, ta d dàng tìm ư c nghi m x = 1 là nghi m duy nh t c a (*). V y phương trình ã cho có nghi m duy nh t x = 1. ( ) ( 2) . 2 b) 3.25x −2 + (3x − 10).5x −2 + 3 − x = 0 ⇔ 3. 5x −2 + (3x − 10).5x − 2 + 3 − x = 0, Ta có ∆ = ( 3x − 10 ) − 12 ( 3 − x ) = 9 x 2 − 60 x + 100 − 36 + 12 x = 9 x 2 − 48 x + 64 = ( 3 x − 8 ) 2 2  x −1 10 − 3 x + ( 3x − 8 ) 5 =  x−2 1 Khi ó, ( 2 ) ⇔  6 ⇔ 5 = 3 , (*).  x − 2 10 − 3x − ( 3 x − 8 )  x−2 5 = 5 = 3 − x, (**)   6 1 1 1 25 Xét phương trình (*) ⇔ 5 x − 2 = ⇔ x − 2 = log 5 ⇔ x = 2 + log5 = log 5 3 3 3 3 x−2 x −2   f ( x) = 5  f ′( x) = 5 ln 5 > 0  Xét phương trình (**) ⇔ 5x −2 = 3 − x. t    →  g ( x) = 3 − x   g ′( x) = −1 < 0  T ó ta ư c f(x) ng bi n còn g(x) ngh ch bi n. Nh n th y x = 2 là m t nghi m c a (**).  f ( x) > f (2) = 1 Khi x > 2   →  (**) vô nghi m. →  g ( x) < g (2) = 1  f ( x) < f (2) = 1 Khi x < 2   →  (**) vô nghi m. →  g ( x) > g (2) = 1 H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  17. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 25 →x = 2 là nghi m duy nh t c a (**), v y phương trình ã cho có hai nghi m x = log5 ; x = 2. 3 ( ) ( 3) 2 2 c) 4 x + ( x 2 − 7).2 x + 12 − 4 x 2 = 0 ⇔ 4t + (t − 7).2t + 12 − 4t = 0, t = x 2 ≥ 0 Ta có ∆ = ( t − 7 ) − 4. (12 − 4t ) = t 2 − 14t + 49 − 48 + 16t = t 2 + 2t + 1 = ( t + 1) 2 2  t 7 − t + ( t + 1) 2 =  2t = 4  t = 2. → Khi ó, ( 3) ⇔  2 ⇔  t 7 − t − ( t + 1)  2 = 3 − t , (*)  t 2 =  2 V i t = 2 ⇔ x = ± 2. V i 2t = 3 − t  t = 1 ⇔ x = ±1. → V y phương trình ã cho có 4 nghi m x = ±1; x = ± 2. d) 4 x 2 + x.3 x + 31+ x = 2.3 x .x 2 + 2 x + 6, ( 4). i u ki n: x ≥ 0. ( 4 ) . ⇔ x 2 ( 4 − 2.3 x ) + x (3 x ) − 2 + 6 − 31+ x ( = 0 ⇔ 2 x2 2 − 3 x ) − x ( 2 − 3 ) + 3( 2 − 3 ) = 0 x x ( )(2x 2 − 3 x = 0 ⇔ 2−3 x − x + 3 = 0   2 2 → )  2 x − x + 3 = 0 ( vno )  x = log 3 2 ⇔ x = ( log3 2 ) . → 2  BÀI T P T LUY N: Bài 1: Gi i các phương trình sau : a) 32 x −1 + 3x −1 ( 3 x − 7 ) + 2 − x = 0 b) 255− x − 2.55− x ( x − 2 ) + 3 − 2 x = 0 c) 9 x + 2 ( x − 2 ) .3x + 2 x − 5 = 0 Bài 2: Gi i các phương trình sau : a) 32 x − 3 + ( 3 x − 10 ) .3x − 2 + 3 − x = 0 b) 3.4 x + ( 3 x − 10 ) .2 x + 3 − x = 0 ( ) ( ) log 2 x log 2 x c) 2 + 2 + x. 2 − 2 = 1 + x2 HƯ NG D N GI I: Bài 1: Gi i các phương trình sau : a) 32 x −1 + 3x −1 ( 3 x − 7 ) + 2 − x = 0 b) 255− x − 2.55− x ( x − 2 ) + 3 − 2 x = 0 c) 9 x + 2 ( x − 2 ) .3x + 2 x − 5 = 0 a) 32 x −1 + 3x −1 ( 3 x − 7 ) + 2 − x = 0 . t = 3x > 0  Ta nhân hai v phương trình v i 3 ta ư c 32 x + 3x ( 3 x − 7 ) + 3 ( 2 − x ) = 0 ⇔  2 t + ( 3 x − 7 ) t + 3 ( 2 − x ) = 0  t > 0   3x = 1 x = 0 ⇔  t = 6 − 3 x ⇔  ⇔  f ( x) = 3 + 3 x − 6 = 0  f '( x) = 3 ln 3 + 3 > 0 x x  t = 1   Suy ra phương trình f(x) = 0 có nghi m duy nh t x = 1. V y phương trình ã cho có nghi m x = 0, x = 1. t > 0 t = 55− x > 0   b) 25 − 2.5 ( x − 2 ) + 3 − 2 x = 0 ⇔  2 5− x 5− x ⇔  t = −1 t − 2 ( x − 2 ) t + 3 − 2 x = 0  t = 2 x − 3   5− x 5− x 5− x ⇒ 5 = 2 x − 3 ⇔ f ( x) = 5 − 2 x + 3 = 0 ⇒ f '( x) = −5 ln 5 − 2 < 0 H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  18. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 M t khác f(4) = 0 nên phương trình có nghi m duy nh t là x = 4 t > 0 t = 3x > 0   c) 9 + 2 ( x − 2 ) .3 + 2 x − 5 = 0 ⇔  2 x x ⇔  t = −1 ⇔ 3x = 5 − 2 x t + 2 ( x − 2 ) t + 2 x − 5 = 0  t = 5 − 2 x   ⇔ f ( x) = 3 + 2 x − 5 = 0 → f '( x) = 3 ln 3 + 2 > 0 x x Ch ng t f(x) luôn ng bi n. M t khác f(1) = 0 nên phương trình có nghi m duy nh t là x = 1. Bài 2: Gi i các phương trình sau : a) 32 x − 3 + ( 3 x − 10 ) .3x − 2 + 3 − x = 0 b) 3.4 x + ( 3 x − 10 ) .2 x + 3 − x = 0 ( ) ( ) log 2 x log 2 x c) 2 + 2 + x. 2 − 2 = 1 + x2 t = 3x − 2 > 0  + ( 3 x − 10 ) .3 + ( 3 x − 10 ) .3 2 x −3 x−2 2( x − 2 ) x−2 a) 3 + 3 − x = 0 ⇔ 3.3 +3− x = 0 ⇔  2 3t + ( 3 x − 10 ) t + 3 − x = 0  t > 0  3x − 2 = 3−1 x =1  1 ⇔  t = ⇔  x−2 ⇔ ⇒ f '( x) = 3x − 2 ln 3 + 1 > 0  3   3 = 3− x  f ( x ) = 3x − 2 + x − 3 = 0  t = 3 − x    Ch ng t f(x) luôn ng bi n. M t khác f(2) = 0 nên phương trình ã cho có hai nghi m là x = 1 và x = 2. t > 0 t = 2 x > 0   2 x = 3−1   t = 1 b) 3.4 + ( 3 x − 10 ) .2 + 3 − x = 0 ⇔  2 x x ⇔  ⇔ x 3t + ( 3 x − 10 ) .t + 3 − x = 0    3 2 = 3 − x   t = 3 − x   x = − log 2 3 ⇔ ⇒ f '( x) = 2 x ln 2 + 1 > 0  f ( x) = 2 + x − 3 = 0 x Ch ng t f(x) luôn ng bi n. M t khác f(1) = 0 nên f(x) = 0 có nghi m duy nh t x = 1. V y ch ng t phương trình ã cho có hai nghi m x = 1 và x = − log 2 3. ( ) ( ) log2 x log2 x c) 2 + 2 + x. 2 − 2 =1+ x2 . (2 + 2 ) ( ) ( ) x log 2 x log 2 x log 2 x Vì . 2− 2 = 2log2 x = x ⇒ 2 − 2 = (2 + 2 ) log 2 x t = 2 + 2 log2 x > 0   t > 0  t = 1 ( 2+ 2  ) ( ) log2 x =1 Khi ó, phương trình ã cho tr thành :  ⇔ 2 ⇔ ⇔ t + x − (1 + x2 ) = 0 t − (1 + x ) t + x = 0 t = x ( ) 2 2 2 2 log2 x   2+ 2  = x2   t  log 2 x = 0 x =1 ⇒ ⇔ ↔ x =1 (  log 2 x 2 + 2 = 2 log 2 x  )  2 log 2 x = 0 H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  19. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Tài li u bài gi ng: 04. PHƯƠNG TRÌNH MŨ – P4 Th y ng Vi t Hùng V. PHƯƠNG PHÁP HÀM S GI I PHƯƠNG TRÌNH MŨ (ti p) D ng 3: S d ng hàm c trưng gi i phương trình mũ Phương pháp: + Bi n i phương trình ã cho vè d ng f [u ( x) ] = f [v( x)] r i xét hàm c trưng f(t) + Ch ng minh r ng f(t) luôn ng bi n ho c ngh ch bi n, khi ó ta thu ư c u(x) = v(x). Ví d 1: Gi i phương trình sau: a) 2 x −1 − 2 x −x = ( x − 1) \ 2 2 b) 4 x −1 − 2 x −1 = ( x − 1) 2 2 Ví d 2: Gi i phương trình sau: − 3 x +1 − 2x−2 + x2 − 4 x + 3 = 0 \ 2 a) 2 x b) ecos x − esin = cos 2 x 2 2 x BÀI T P T LUY N Bài 1: Gi i các phương trình sau : a) 31− 2 x − 31+ 2 x = 4 x.3− x 2 b) 5x + 4 x +2 − 52 x +8 x+4 = x2 + 4x + 2 2 2 ( c) 2sin x + 3sin x − 2cos x + 3cos x = 2cos2x 2 2 2 2 ) Bài 2: Gi i các phương trình sau : 1− x 2 1− 2 x 2 x −5 x −1 1 1 1 1 x 2 − 3 x +1 a) e −e = − b) 2 x2 −2 x2 = − c) 2 − 2 x −2 + x 2 − 3x − x + 3 = 0 2x − 5 x − 1 2 x Bài 3: Gi i phương trình ( cos 36 0 ) + ( cos 72 0 ) = 3.2 − x x x HƯ NG D N GI I: Bài 1: Gi i các phương trình sau : a) 31− 2 x − 31+ 2 x = 4 x.3− x 2 b) 5x + 4 x +2 − 52 x +8 x+4 = x2 + 4x + 2 2 2 ( c) 2sin x + 3sin x − 2cos x + 3cos x = 2cos2x 2 2 2 2 ) a) PT ⇔ 31− 2 x − 31+ 2 x = 4 x.3− x ⇔ 3x − 2 x +1 − 3x + 2 x +1 = 4 x 2 2 2 Ta có ( x2 + 2x + 1) − ( x2 − 2x + 1) = 4x ⇔ u − v = 4x . Phương trình ã cho có d ng 3v − 3u = u − v ⇔3u + u = 3v + v Xét hàm s f (t ) = 3t + t ⇒ f '(t ) = 3t ln3 + 1 > 0 . Suy ra f(t) ng bi n, do ô ta có u = v ⇔ 4 x = 0 ⇔ x = 0 b) PT ⇔ 5x +4x+2 − 52 x +8x+4 = x2 + 4x + 2 = ( 2x2 + 8x + 4) − ( x2 + 4x + 2) 2 2 ⇒ 5x +4x+2 + ( x2 + 4x + 2) = 52x +8x+4 + ( 2x2 + 8x + 4) ⇔ f (u) = f (v) 2 2 Xét hàm s f (t ) = 5t + t ⇒ f '(t ) = 5t ln 5 + 1 > 0 .  x = −2 − 2 Suy ra f(t) ng bi n, do ô ta có u = v ⇔ x 2 + 4 x + 2 = 0 →   x = −2 + 2  2 ( 2 2 ) c) PT ⇔ 2sin x + 3sin x − 2cos x + 3cos x = 2cos 2 x ⇔ 2sin x + 3sin x + 2sin 2 x = 2cos x + 3cos x + 2cos 2 x . 2 2 2 ( 2 2 ) Xét hàm s f (t ) = 2 + 3 + 2t , t ∈ R ⇒ f '(t ) = 2 ln 2 + 3 ln 3 + 2 > 0 t t t t H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  20. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 π π π Suy ra cos 2 x = sin 2 x ⇔ cos 2 x = 0 ⇔ 2 x = kπ ⇔ x = + k ; ( k ∈ Z ) 2 4 2 Bài 2: Gi i các phương trình sau : 1− x 2 1− 2 x 2 x −5 x −1 1 1 1 1 x 2 − 3 x +1 a) e −e = − b) 2 x2 −2 x2 = − c) 2 − 2 x −2 + x 2 − 3x − x + 3 = 0 2x − 5 x − 1 2 x 2 x −5 1 x −1 1 1 1 a) e − =e − ⇒ f (t ) = et − ; t > 0 ⇔ f '(t ) = et + 2 > 0 . 2x − 5 x −1 t t x = 3 Ch ng t hàm s f(t) ng bi n. Do ó 2 x − 5 = x − 1 ⇔  x = 4 1− x 2 1− 2 x 1 1 1 − 2x  1 − x2  x2 − 2x  2  1 1 b) 2 x2 −2− ; x2 2 = − 2  = 2 = 1 −  = 2  −  . 2 x x  x  x  x 2 x 1 1 1 Cho nên phương trình ã cho có d ng 2a − 2b = ( b − a ) ⇔ 2a + a = 2b + b 2 2 2 1 1 Xét hàm c trưng f (t ) = 2t + t ⇒ f '(t ) = 2t .ln 2 + > 0 . 2 2 1 1 Ch ng t hàm f(t) luôn ng bi n. Suy ra  −  = 0 → x = 2 2 x c) PT ⇔ 2 x − 3 x +1 − 2 x − 2 + x 2 − 3x − x + 3 = 0 ⇔ 2 x − 3 x +1 + x 2 − 3 x + 1 = 2 x − 2 + x − 2 2 2 B ng cách xét như các bài trên ta có k t qu x ≥ 3 x ≥ 3 x 2 − 3x + 1 = x − 2 ⇔ x 2 − 3x = x − 3 ⇔  ⇔ → x=3 −3 x = −6 x + 9 x = 3 Bài 3: Gi i phương trình ( cos 36 0 ) + ( cos 72 0 ) = 3.2 − x x x Do cos 720 = sin180 ;cos 360 = sin 540 = sin 3.180 . Cho nên t t= t = sin180 > 0 , và dùng công th c nhân ba ta có : cos360 = sin 540 ⇔ 1 − 2sin 2 180 = 3sin180 − 4sin 3 180 ⇔ 4t 3 − 2t 2 − 3t + 1 = 0  −1 − 5 t =
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2