zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Ôn thi ĐH-CĐ

Luyện thi Đại học Toán chuyên đề: Khoảng cách trong hàm số - Thầy Đặng Việt Hùng

Chia sẻ: Tran Binh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:12

Báo xấu

121
lượt xem 17
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo môn Toán dành cho quý thầy cô và các bạn học sinh với chuyên đề: Khoảng cách trong hàm số. Mời quý thầy cô và các bạn học sinh tham khảo nhằm củng cố kiến thức và ôn thi Đại học đạt kết quả cao nhất.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luyện thi Đại học Toán chuyên đề: Khoảng cách trong hàm số - Thầy Đặng Việt Hùng

LUY N THI I H C MÔN TOÁN – Th y Hùng Chuyên HÀM S 04. BÀI TOÁN KHO NG CÁCH TRONG HÀM S - P1 I. KHO NG CÁCH T M T I M TRÊN TH T I HAI TR C T A , HAI TI M C N ax + b  ax + b  Cho hàm s (C ) : y = , M ( xo ; yo ) ∈ ( C )  M  xo ; o →  cx + d  cxo + d  axo + b Kho ng cách t M n tr c Ox là d1 = yo = cxo + d Kho ng cách t M n tr c Oy là d 2 = xo d d Kho ng cách t M n ti m c n ng x = −là d 3 = xo + c c a a Kho ng cách t M n ti m c n ngang y = là d 4 = yo − c c Axo + Byo + C Kho ng cách t M n ư ng th ng d : Ax + By + C = 0  d5 = → A2 + B 2 Kho ng cách gi a hai i m A ( x A ; y A ) , B ( xB ; yB )  AB = → ( x A − xB ) 2 + ( y A − y B ) 2 x−2 Ví d 1: Cho hàm s ( C ) : y = . x +1 Tìm i m M thu c th hàm s sao cho a) kho ng cách t M n Oy b ng ba l n kho ng cách t M n Ox. b) kho ng cách t M n ti m c n ng b ng hai l n kho ng cách t M n ti m c n ngang. Hư ng d n gi i: x−2  x −2 G i M ( xo ; yo ) ∈ ( C ) : y =  M  xo ; o →  x +1  xo + 1  a) Kho ng cách t M n các tr c t a l n l n lư t là d1 = xo ; d 2 = yo .  3xo − 6  x + 1 = xo  xo − 2 xo + 6 = 0 ⇒ vno 2 xo − 2 Theo bài ta có d1 = 3d 2 ⇔ xo = 3 yo ⇔ xo = 3 ⇔ ⇔ o xo + 1  3xo − 6  xo + 4 xo − 6 = 0  xo = −2 ± 10 2 →  = − xo   xo + 1 V y có hai i m M v i hoành là xo = −2 ± 10 th a mãn yêu c u bài toán. b) th hàm s có ti m c n ng là x = −1 và ti m c n ngang là y = 1. Kho ng cách t M n ti m c n ng là d1 = xo + 1 . xo − 2 3 Kho ng cách t M n ti m c n ng là d 2 = yo − 1 = −1 = xo + 1 xo + 1 6 Theo bài ta có d1 = 2d 2 ⇔ xo + 1 = ⇔ xo + 1 = ± 6  xo = −1 ± 6 → xo + 1 V y có hai i m M v i hoành là xo = −1 ± 6 th a mãn yêu c u bài toán. 2x + 1 Ví d 2: Cho hàm s ( C ) : y = . x −3 Tìm i m M thu c th hàm s sao cho kho ng cách t M n i m I ng n nh t, v i I là giao i m c a hai ư ng ti m c n. Hư ng d n gi i: 2x + 1 7  7  G i M ( xo ; yo ) ∈ ( C ) : y = =2+  M  xo ;2 + →  x−3 x−3  xo − 3  th có ti m c n ng là x = 3 và ti m c n ngang là y = 2 nên giao i m c a hai ti m c n là I(3 ; 2). Tham gia khóa TOÁN 2014 t 9 i m Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95
LUY N THI I H C MÔN TOÁN – Th y Hùng Chuyên HÀM S 2  7  49 Ta có MI = ( xM − xI ) + ( y M − y I ) = 2 2 ( xo − 3)2 + ( yo − 2 )2 = ( xo − 3)2 +   = ( xo − 3)2 +  xo − 3  ( xo − 3)2 49 49 ng th c Cô-si ta có ( xo − 3) + ( xo − 3)2 . 2 Áp d ng b t ≥2 = 14  MI ≥ 14 → ( xo − 3) 2 ( xo − 3)2 49 V y MI min = 14 ⇔ ( xo + 3) = ⇔ ( xo + 3) = 7 ⇔ xo + 3 = ± 7  xo = −3 ± 7 2 2 → ( xo + 3) 2 V y có hai i m M v i hoành là xo = −3 ± 7 th a mãn yêu c u bài toán. 2x + 3 Ví d 3. Tìm M thu c th hàm s y= sao cho x +1 a) kho ng cách t M n ti m c n ng b ng hai l n kho ng cách t M n ti m c n ngang. b) kho ng cách t M n ti m c n ng b ng ba l n kho ng cách t M n tr c Oy. c) t ng kho ng cách t M n các ti m c n nh nh t. Hư ng d n gi i:  2x + 3  G i M(x0; y0) là i m thu c th ⇒ M  x0 ; 0 .  x0 + 1  th có ti m c n ng là x + 1 = 0 và ti m c n ngang là y − 2 = 0 Kho ng cách t M n ti m c n ng là d1 = |x0 + 1| Kho ng cách t M n ti m c n ngang là d2 = |y0 – 2|  y0 = x0 + 3 Theo bài ta có d1 = 2d 2 ⇔ x0 + 1 = y0 − 2 ⇔   y0 = − x0 + 1 2x + 3  x0 = 0 ⇒ y0 = 3 V i y0 = x0 + 3 ⇔ 0 = x0 + 3 ⇔ x0 + 2 x0 = 0 ⇔  2 x0 + 1  x0 = −2 ⇒ y0 = 1 2x + 3 V i y0 = − x0 + 1 ⇔ 0 = − x0 + 1 ⇔ x0 + 2 x0 + 2 = 0, phương trình vô nghi m. 2 x0 + 1 V y trên th có hai i m M th a mãn bài là M(0; 3) và M(–2; 1). b) Kho ng cách t M n ti m c n ng là d1 = |x0 + 1| Kho ng cách t M n tr c Oy là d2 = |x0|  1 8  x0 = 2 ⇒ y0 = 3 Theo bài ta có d1 = 3d 2 ⇔ x0 + 1 = 3 x0 ⇔   x = − 1 ⇒ y = 10  0  4 0 3 1 8  1 10  V y trên th có hai i m M th a mãn là M  ;  , M  − ;  .  2 3  4 3 2x + 3 2x + 2 + 1 1 c) Ta có y = = =2+ x +1 x +1 x +1  1  G i M(x0; y0) là i m thu c th ⇒ M  x0 ;2 + .  x0 + 1  Kho ng cách t M n ti m c n ng là h1 = |x0 + 1| 1 Kho ng cách t M n ti m c n ngang là h2 = y0 − 2 = x0 + 1 1 BDT Co-si 1 T ng kho ng cách t M n hai ti m c n là d = h1 + h2 = x0 + 1 + ≥ 2 x0 + 1 . =2⇒d ≥2 x0 + 1 x0 + 1  7 D u b ng t ư c khi x0 + 1 = 1 ⇔ ( x0 + 1) = 1 ⇔ 2  x0 + 1 = 1 ⇒ x0 = 0 ⇒ y0 = 3 x0 + 1   x0 + 1 = −1 ⇒ x0 = −2 ⇒ y0 = 1   7 V y trên th có hai i m M th a mãn yêu c u là M  0;  , M ( −2;1) .  3 Tham gia khóa TOÁN 2014 t 9 i m Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95
LUY N THI I H C MÔN TOÁN – Th y Hùng Chuyên HÀM S BÀI T P LUY N T P : 2x + 1 Bài 1. Cho hàm s (C ) : y = . x −1 Tìm i m M trên (C) sao cho a) kho ng cách t M n ti m c n ng b ng hai l n kho ng cách t M n tr c Ox. b) kho ng cach t M n hai ti m c ng b ng nhau. c) kho ng cách MI ng n nh t, v i I là giao c a hai ti m c n. x +1 Bài 2. Cho hàm s (C ) : y = . 2x + 3 Tìm i m M trên (C) sao cho a) ti p tuy n t i M vuông góc v i ư ng th ng IM, v i I là giao i m c a hai ti m c n b) kho ng cach t M n hai ti m c ng b ng nhau. c) kho ng cách MI ng n nh t, v i I là giao c a hai ti m c n. II. T NG KHO NG CÁCH N HAI TI M C N f ( x) Gi s có th hàm s y= , trong ó f(x) và g(x) là các hàm b c nh t. g ( x)  f (a)  i m M thu c th nên M  a; .  g (a)  th có ti m c n ng là x = α hay x – α = 0 và có ti m c n ngang là y = β hay y – β = 0. d1 = a − α  k Kho ng cách t M n các ti m c n l n lư t là  f (a) k  d = d1 + d 2 = a − α + → d = −β = a−α  g (a) a−α k k Theo b t ng th c Cô-si ta ư c d = a − α + ≥ 2 a−α . =2 k a−α a−α k ⇒ d min = 2 k ⇔ a − α = ⇔ a−α = k ⇔a=α± k  M → a−α x Ví d 1: Cho hàm s y= , ( C ) . Tìm i m M thu c th sao cho x+2 a) M có t a là s nguyên. b) t ng kho ng cách t M n hai ti m c n là nh nh t. Hư ng d n gi i: x x+2−2 2 a) Ta có y = = =1− x+2 x+2 x+2  x + 2 = ±1 G i M(x; y) thu c th , M có t a là s nguyên thì 2 ( x + 2 ) ⇔   x + 2 = ±2 x + 2 = 1 ⇔ x = −1 ⇒ y = −1 ⇒ M ( −1; −1) x + 2 = −1 ⇔ x = −3 ⇒ y = 3 ⇒ M ( −3;3) x + 2 = 2 ⇔ x = 0 ⇒ y = 0 ⇒ M ( 0;0 ) x + 2 = −2 ⇔ x = −4 ⇒ y = 2 ⇒ M ( −4;2 ) V y trên th hàm s có 4 i m M có t a là nh ng s nguyên.  a  b) Gi s M  a;  ∈ ( C ) là i m c n tìm.  a+2 th có ti m c n ng x + 2 = 0 và ti m c n ngang y – 1 = 0. Tham gia khóa TOÁN 2014 t 9 i m Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95
LUY N THI I H C MÔN TOÁN – Th y Hùng Chuyên HÀM S a 2 Kho ng cách t M n ti m c n ng là d1 = a + 2 , kho ng cách n ti m c n ngang là d 2 = −1 = a+2 a+2 2 2 Khi ó, t ng kho ng cách t M n hai ti m c n là d = d1 + d 2 = a + 2 + ≥2 a+2. =2 2 a+2 a+2 2 V y d min = 2 2 ⇔ a + 2 = ⇔ a + 2 = ± 2 ⇔ a = −2 ± 2 a+2  −2 + 2   2+ 2  T ó ta ư c hai i m M th a mãn là M 1  −2 + 2;  , M 2  −2 − 2; .  2    2    2x + 1 Ví d 2: Cho hàm s y = , ( C ) . Tìm i m M thu c th sao cho x−3 a) t ng kho ng cách t M n hai ti m c n là nh nh t. b) t ng kho ng cách t M n hai ti m c n b ng 8. Hư ng d n gi i: 2 x + 1 2( x − 3) + 7 7  7  Ta có y = = =2+ . Gi s M  a; 2 +  ∈ ( C ) là i m c n tìm. x−3 x−3 x−3  a −3 th có ti m c n ng x − 3 = 0 và ti m c n ngang y – 2 = 0. 7 7 Kho ng cách t M n ti m c n ng là d1 = a − 3 , kho ng cách n ti m c n ngang là d 2 = = a−3 a−3 7 7 a) T ng kho ng cách t M n hai ti m c n là d = d1 + d 2 = a − 3 + ≥ 2 a −3. =2 7 a −3 a −3 7 V y d min = 2 7 ⇔ a − 3 = ⇔ a −3= ± 7 ⇔ a = 3± 7 a −3 T ó ta ư c hai i m M th a mãn yêu c u bài toán. a = 4  a − 3 =1 a = 2 7 = 8 ⇔ ( a − 3) − 8 a − 3 + 7 = 0 ⇔  ⇔ 2 b) Theo bài ta có d = d1 + d 2 = a − 3 + a−3 a −3 =7  a = 10    a = −4 Tương ng trên th có 4 i m M th a mãn là M1 ( 4;9 ) , M 2 ( 2; −5 ) , M 3 (10;3) , M 4 ( −4;1) . 2x + m Ví d 3: Cho hàm s y= , ( C ) . G i M là m t i m thu c th hàm s . x −1 Tìm m t ng kho ng cách t M n hai ti m c n t giá tr nh nh t b ng 10. Hư ng d n gi i:  2a + m  Gi s M  a;  ∈ ( C ) là i m c n tìm.  a −1  th hàm s có ti m c n ng x – 1 = 0 và ti m c n ngang là y – 2 = 0. 2a + m m+2 Kho ng cách t M n ti m c n ng là d1 = a − 1 và kho ng cách n ti m c n ngang là d 2 = −2 = a −1 a −1 m+2 m+2 Khi ó, t ng kho ng cách t M n hai ti m c n là d = d1 + d 2 = a − 1 + ≥ 2 a −1 . =2 m+2 a −1 a −1  m = 23 ⇒ d min = 2 m + 2 = 10 ⇔ m + 2 = 25 ⇔   m = −27 25  a = 6 ⇒ M ( 6;7 ) V i m = 23 ta có i u ki n cho dmin: a − 1 = ⇔ a −1 = 5 ⇔  a −1  a = −4 ⇒ M ( −4; −3)  25  a = 6 ⇒ M ( 6; −3) V i m = −27 ta có i u ki n cho dmin: a − 1 = ⇔ a −1 = 5 ⇔  a −1  a = −4 ⇒ M ( −4;7 )  V y có hai giá tr c a m th a mãn và tương ng có hai i m M th a mãn yêu c u bài toán. Tham gia khóa TOÁN 2014 t 9 i m Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95
LUY N THI I H C MÔN TOÁN – Th y Hùng Chuyên HÀM S BÀI T P LUY N T P : x +1 Bài 1. Cho hàm s (C ) : y = . 2x −1 Tìm i m M trên (C) sao cho a) kho ng cách t M n ti m c n ng b ng hai l n kho ng cách t M n tr c Oy. b) t ng kho ng cách t M n các ti m c n nh nh t. c) kho ng cách MI ng n nh t, v i I là giao c a hai ti m c n. d) t ng kho ng cách t M n hai ti m c n b ng 2. 3x − 2 Bài 2. Cho hàm s (C ) : y = . 2x + 3 Tìm i m M trên (C) sao cho a) M có t a là s nguyên. b) kho ng cach t M n hai tr c t a b ng nhau. c) t ng kho ng cách t M n các ti m c n nh nh t. Tham gia khóa TOÁN 2014 t 9 i m Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95
LUY N THI I H C MÔN TOÁN – Th y Hùng Chuyên HÀM S 04. BÀI TOÁN KHO NG CÁCH TRONG HÀM S - P2 III. T NG KHO NG CÁCH N HAI TR C T A Gi s có th hàm s y = f(x) trong ó f(x) hàm phân th c b c nh t. Bài toán t ra là tìm i m M thu c th có t ng kho ng cách t M n hai tr c t a Ox, Oy nh nh t. Gi s M ( a; f ( a) ) , t ng kho ng cách t M n các tr c t a là d = a + f (a)  M 0 ( 0; y0 ) G i  là giao i m c a th và tr c Ox ho c Oy (thông thư ng ta l y giao v i tr c Ox).  M 0 ( x0 ;0 )  Khi ó d = y0 = k > 0 a 1 thì ta luôn có d > 1).  xo = −1 xo − 1 3xo + 1 2 9 xo + 6 xo − 3 2 Khi 0 ≤ xo < 1  d = xo − → =  d ′ = → =0⇔  3xo + 1 3 xo + 1 ( 3 xo + 1) 2  xo = 1   3 1 2 L p b ng bi n thiên ta ư c d min = d   = . 3 3 xo − 1 −3 xo − 2 xo + 1 2 −4 Khi −1 < xo < 0  d = − xo − → =  d ′ = → 2  d = a + → ≥ a > 2  d > 2, ∀ a > 2 → a +1 Tham gia khóa TOÁN 2014 t 9 i m Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95
LUY N THI I H C MÔN TOÁN – Th y Hùng Chuyên HÀM S 2a − 4 2a − 4 2a − 4 2a − 4 N u > 2  d = a + → ≥ > 2  d > 2, ∀ → >2 a +1 a +1 a +1 a +1 a ≤2  1 Do ó, tìm GTNN c a d, ta ch xét :  2a − 4 ⇔ ≤ a ≤ 2. , (*)  ≤2 2  a +1 1 4 − 2a 6 6 V i < a < 2  d = a + → =a−2+ = a +1+ − 3 ≥ 2 6 − 3, (2) 2 a +1 a +1 a +1 D u “=” x y ra khi a = 6 − 1 (th a mãn (*)). T (1), (2) suy ra d min = 2 6 − 3 ⇔ a = 6 − 1  M → ( 6 − 1; 2 − 6 ) V y i m M c n tìm là M = ( 6 − 1; 2 − 6 ) BÀI T P LUY N T P : 2x + 3 Bài 1. Cho hàm s (C ) : y = . x−2 Tìm i m M trên (C) sao cho a) M có t a là s nguyên. b) t ng kho ng cách t M n các ti m c n nh nh t. d) t ng kho ng cách t M n các tr c t a Ox, Oy nh nh t. x+2 Bài 2. Cho hàm s (C ) : y = . 2x − 3 Tìm i m M trên (C) sao cho a) M có t a là s nguyên. b) kho ng cach t M n hai ti m c n b ng nhau. c) t ng kho ng cách t M n các ti m c n nh nh t. d) t ng kho ng cách t M n hai tr c t a nh nh t. IV. KHO NG CÁCH GI A HAI I M TRÊN HAI NHÁNH C A TH g ( x) k Gi s có th hàm s y = f ( x) = =α+ . h( x ) x−a th có ti m c n ng x = a, khi ó ph n th n m bên ph i x = a ư c g i là nhánh trái c a th , ph n th n m bên ph i ư ng x = a ư c g i là nhánh ph i c a th . G i M ( x1 ; y1 ) ; N ( x2 ; y2 ) tương ng là các i m thu c nhánh trái và nhánh ph i c a th . a − x1 > 0 Khi ó x1 < a < x2 ⇔   x2 − a > 0 2  k k  Kho ng cách gi a hai i m MN ư c cho b i MN = ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) = ( x2 − x1 ) + − 2 2 2   x2 − a x1 − a  t1 = a − x1 ⇒ t1 > 0  x1 − a = −t1 t  ⇔ t2 = x2 − a ⇒ t2 > 0  x2 − a = t2 Thay vào bi u th c tính MN và dùng Cô-si ánh giá ta thu ư c MNmin. x+3 Ví d : Cho hàm s y = , (C ) . x−3 Tìm trên (C) hai i m A, B thu c hai nhánh khác nhau sao cho dài AB ng n nh t . Hư ng d n gi i: x+3 6 Ta có y = =1+ x −3 x−3 Tham gia khóa TOÁN 2014 t 9 i m Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95
LUY N THI I H C MÔN TOÁN – Th y Hùng Chuyên HÀM S 2  6   6   6 6  G i A  x1 ;1 +  ; B  x2 ;1 + th hàm s ⇒ AB = ( x2 − x1 ) + − 2 2  là các i m thu c   x1 − 3   x2 − 3   x2 − 3 x1 − 3  3 − x1 > 0 Gi s A thu c nhánh trái và B thu c nhánh ph i, khi ó x1 < 3 < x2 ⇔   x2 − 3 > 0 t1 = 3 − x1 ⇒ t1 > 0  x1 − 3 = −t1 t  ⇔ ⇒ x2 − x1 = t2 + t1 t2 = x2 − 3 ⇒ t2 > 0  x2 − 3 = t2 2  6 6 36 36 72  2 36   2 36   72  Ta có AB 2 = ( t2 + t1 ) +  +  = t12 + t2 + 2 + 2 + 2t1t2 + =  t1 + 2  +  t2 + 2  +  2t1t2 + 2 2   t2 t1  t1 t2 t1t2  t1   t2   t1t2  36 36 t12 + 2 ≥ 2 t12 . 2 = 12 t1 t1 36 2 36 Theo b t ng th c Cô-si ta có t2 + 2 2 ≥ 2 t2 . 2 = 12 t2 t2 72 72 2t1t2 + ≥ 2 2t1t2 . = 24 t1t2 t1t2  36   2 36   72  Khi ó AB 2 =  t12 + 2  +  t2 + 2  +  2t1t2 +  ≥ 12 + 12 + 24 = 72 ⇒ AB ≥ 6 2  t1   t2   t1t2   2 36 t1 = 2 t1 t1 = 6   2 36  ⇒ ABmin = 6 2 ⇔ t2 = 2   ⇔ t2 = 6 ⇔   t1 = 6 ⇔   x1 = 3 − 6   →  A 3 − 6;1 − 6  ( )   t2 t t = 6 12 t2 = 6   x2 = 3 + 6   A 3 + 6;1 + 6  ( ) 72  2t1t2 =   t1t2 BÀI T P LUY N T P : x +1 Bài 1. Cho hàm s (C ) : y = . x−2 Tìm i m M trên (C) sao cho a) t ng kho ng cách t M n hai ti m nh nh t. b) kho ng cách MI ng n nh t, v i I là giao c a hai ti m c n. c) t ng kho ng cách t M n hai tr c t a nh nh t. d) Tìm trên (C) hai i m MN thu c hai nhánh khác nhau sao cho MN ng n nh t. x −1 Bài 2. Cho hàm s (C ) : y = . 2x + 2 Tìm i m M, N trên (C) và thu c hai nhánh khác nhau sao cho dài MN nh nh t. x Bài 3. Cho hàm s (C ) : y = . x +1 Tìm i m A, B trên (C) và thu c hai nhánh khác nhau sao cho dài MN nh nh t. V. M T S BÀI TOÁN KHO NG CÁCH K T H P V I TƯƠNG GIAO ax + b Cho hàm s (C ) : y = và ư ng th ng d : y = mx + n. cx + d ax + b d Hai th c t nhau t i hai i m phân bi t A, B khi phương trình = mx + n có hai nghi m phân bi t khác − . cx + d c Gi s A ( xA ; y A ) , B ( xB ; yB ) là các giao i m, khi ó A ( xA ; mxA + n ) , B ( xB ; mxB + n ) Tham gia khóa TOÁN 2014 t 9 i m Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95
LUY N THI I H C MÔN TOÁN – Th y Hùng Chuyên HÀM S  AB = → ( x A − xB ) 2 + ( y A − yB ) = 2 ( x A − xB ) 2 +m 2 ( x A − xB ) 2 = (m 2 ) + 1  ( x A + xB ) − 4 x A x B   2  x A − xB m2 + 1 S d ng Vi-ét cho phương trình hoành giao i m ta ư c k t qu c a bài toán.  −b + ∆  xA = ∆ 2 ∆′  2a Ngoài cách bi n i trên ta có th th c hi n như sau :   xA − xB = → =  x = −b − ∆ a a   B 2a ∆ 2 ∆′ Khi ó AB = x A − xB m 2 + 1 = ( a ) . m2 + 1 = a . m2 + 1 2x + 4 Ví d 1. Cho hàm s (C ) : y = . 1− x G i d là ư ng th ng i qua M(1; 1) có h s góc là k .Tìm k d c t (C) t i hai i m A, B sao cho AB = 3 10. Hư ng d n gi i: ư ng th ng d qua M(1; 3) và có h s góc k nên d : y = k(x −1) + 1. 2x + 4 Phương trình hoành giao i m: = kx + 1 − k ⇔ g ( x) = kx 2 + ( 3 − 2k ) x + k + 3 = 0, (1) 1− x hai th c t nhau t i hai i m A, B phân bi t thì (1) có hai nghi m phân bi t khác 1. k ≠ 0 k ≠ 0  k ≠ 0  Ta có i u ki n: ∆ = ( 3 − 2k ) − 4k ( k + 3) > 0 ⇔  ⇔ 9 ( *) 2  g (1) = 6 ≠ 0 9 − 24k > 0 k <   24 V i i u ki n (*) thì d c t (C) t i hai i m A, B.  3k − 3 3  x1 + x2 = k = 3 − k  Theo nh lí Vi-ét ta có  x x = k + 3 =1+ 3  1 2  k k G i A ( x1 ; kx1 + 3 − k ) ; B ( x2 ; kx2 + 3 − k ) ⇒ AB = ( x2 − x1 ) 2 + k 2 ( x2 − x1 ) = 2 (k 2 + 1) ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2   2   3 2 12  Theo gi thi t ta có AB = 3 10 ⇔ AB 2 = 90 ⇔ ( k 2 + 1)  3 −  − 4 −  = 90   k k ⇔ ( 9 − 24k ) ( k 2 + 1) = 90k 2 ⇔ 24k 3 + 81k 2 + 24k + 9 = 0 ⇔ 3 ( k + 3) ( 8k 2 + 3k − 1) = 0  k = −3  k = −3 ⇔  k = −3 ± 41 ( )   2 → ** 8k + 3k − 1 = 0   16 V y v i k th a mãn (**) thì d c t (C) t i A, B và AB = 3 10. 3x − 2 Ví d 2: Cho hàm s ( C ) : y = . x −1 Vi t phương trình ư ng th ng d i qua M(1; 3) c t (C) t i hai i m phân bi t A, B sao cho AB = 2 3. Hư ng d n gi i: ư ng th ng d qua M(1; 3) và có h s góc k nên d : y = k(x −1) + 3. 3x − 2 Phương trình hoành giao i m: = kx + 3 − k ⇔ g ( x) = kx 2 − 2kx + k − 1 = 0, (1) x −1 hai th c t nhau t i hai i m A, B phân bi t thì (1) có hai nghi m phân bi t khác 1. k ≠ 0  k ≠ 0 Ta có i u ki n:  ∆ ' = k 2 − k ( k − 1) > 0 ⇔  ⇔ k > 0 ( *)  g (1; k ) = −1 ≠ 0 k > 0  G i A ( x1 ; kx1 + 3 − k ) ; B ( x2 ; kx2 + 3 − k ) ⇒ AB = ( x2 − x1 ) + k 2 ( x2 − x1 ) = x2 − x1 k2 +1 . 2 2 Trong ó x1; x2 là hai nghi m c a phương trình (1). Tham gia khóa TOÁN 2014 t 9 i m Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95
LUY N THI I H C MÔN TOÁN – Th y Hùng Chuyên HÀM S 2 ∆' . k 2 + 1 = 2 3 ⇔ k ( k 2 + 1) = k 3 ⇔ k ( k 2 + 1) = 3k 2 2 k T ó ta ư c AB = . k2 +1 = a k 3± 5 ⇔ k 2 + 1 = 3k ⇔ k 2 − 3k + 1 = 0 ⇔ k = . 2 3± 5 i chi u v i (*) ta ư c k = là giá tr c n tìm. 2 2x Ví d 3: Cho hàm s ( C ) : y = . x −1 Tìm các giá tr c a m ư ng th ng d : y = mx − m + 2 c t th (C) t i hai i m phân bi t A, B sao cho o n AB có dài nh nh t. Hư ng d n gi i: 2x Phương trình hoành giao i m: = mx − m + 2 ⇔ g ( x) = mx 2 − 2mx + m − 2 = 0, (1) x −1 hai th c t nhau t i hai i m A, B phân bi t thì (1) có hai nghi m phân bi t khác 1. m ≠ 0  m ≠ 0 Ta có i u ki n: ∆ ' = m 2 − m ( m − 2 ) > 0 ⇔   m > 0 ( *) →  g (1) = −2 ≠ 0 2m > 0  Gi s A ( x1 ; mx1 − m + 2 ) ; B ( x2 ; mx2 − m + 2 )  AB = → ( x2 − x1 ) + m2 ( x2 − x1 ) = x2 − x1 m2 + 1 2 2 2 ∆' 2 2m 2m ( m 2 + 1) 2 ( m 2 + 1) ⇔ AB = . m +1 = 2 . m +1 = 2 2 =2 ≥ 2 4 = 4. a m m2 m V y ABmin = 4 khi m = 1. 2x + 1 Ví d 4. Cho hàm s ( C ) : y = . x+2 Tìm m ư ng th ng d : y = −x + m c t (C) t i hai i m A, B sao cho AB nh nh t. Hư ng d n gi i: 2x + 1 Phương trình hoành giao i m: : = − x + m ⇔ g ( x) = x 2 + (4 − m) x + 1 − 2m = 0, (1) x+2 hai th c t nhau t i hai i m A, B phân bi t thì (1) có hai nghi m phân bi t khác −2.  ∆ = ( 4 − m ) 2 − 4 (1 − 2m ) > 0  m + 12 > 0   2 3 Ta có i u ki n:  ⇔ 3  m ≠ (*) →  g (−2) = 2m − 3 ≠ 0  m ≠ 2  2 Gi s A ( x1 ; − x1 + m ) ; B ( x2 ; − x2 + m )  AB 2 = ( x2 − x1 ) + ( x1 − x2 ) = 2 ( x2 − x1 ) → 2 2 2 ⇔ AB = x2 − x1 2 = ∆ 2 = 2. m 2 + 12 ≥ 2 12 = 2 6 ⇔ m = 0 . Khi m = 0 thì AB nh nh t b ng 2 6. BÀI T P LUY N T P : x +1 Bài 1. Cho hàm s (C ) : y = , và ư ng th ng d : y = 2x + m. Tìm m d c t (C) t i hai i m phân bi t A, B và x−3 a) AB = 1. b) dài AB ng n nh t. c) Tìm qu tích trung i m c a AB. 2x −1 Bài 2. Cho hàm s ( C ) : y = , ư ng th ng d i qua M(2 ; 1) và có h s góc k. Tìm k d c t (C) t i hai i m x+2 phân bi t A, B và a) AB = 2 2. b) dài AB ng n nh t. x+3 Bài 3. Cho hàm s y = , (C). x+2 Tham gia khóa TOÁN 2014 t 9 i m Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95
LUY N THI I H C MÔN TOÁN – Th y Hùng Chuyên HÀM S 1 CMR ư ng th ng d : y = x − m luôn c t (C) t i hai i m phân bi t A, B. Xác nh m sao cho dài o n AB là 2 nh nh t. 2x + 4 Bài 4. Cho hàm s y= , có th là (C). x +1 CMR ư ng th ng d: y = 2x + m luôn c t (C) t i hai i m phân bi t A, B. Xác nh m sao cho dài o n AB là ng n nh t. VI. M T S BÀI TOÁN KHO NG CÁCH K T H P V I TI P TUY N 2x + 1 5 Ví d 1: Cho hàm s (C ) : y = =2+ . x−2 x−2 G i d là ti p tuy n c a (C) t i M(0; 1). Hãy tìm trên (C) nh ng i m có hoành x > 1 mà kho ng cách t ó n d là ng n nh t. Hư ng d n gi i: 5 5 Ta có : y′ = − ⇒ y′(0) = − . ( x − 2) 2 4 5 5 Phương trình ti p tuy n d t i M : y = − ( x − 0) + 1 = − x + 1 ⇔ 5x + 4 y − 4 = 0 4 4 G i M ( x; y ) ∈ (C ) v i x > 1. Kho ng cách t M n d là d(M; d) thì 5x − 4 y + 4 1 1  5  1 20 ⇒ d ( M ;d ) = = 5x − 4 y + 4 = 5x + 4  2 + −4 = 5x + 4 + 25 + 16 41 41  x−2 41 x−2 20 20 x = 0 ⇒ g ( x) = 5 x + 4 + , ( x > 1) ; g '( x) = 5 − =0⇔ x−2 ( x − 2) x = 4 2 L p b ng bi n thiên, ta th y min g(x) = g(4) = 34 34 9  9 K t lu n : min h( M ;d ) = khi x = 4; y = ⇒ N  4;  . 41 2  2 2x + 1 Ví d 2: Cho hàm s ( C ) : y = . x−2 Tìm hai i m M, N thu c (C) sao cho ti p tuy n t i M, N song song v i nhau và kho ng cách gi a hai ti p tuy n là l n nh t. Hư ng d n gi i: 2x + 1 5 5 Ta có y = =2+ ⇒ y′ = − . x−2 x−2 ( x − 2) 2  5 kM = − ( x1 − 2 ) 2  G i M ( x1 ; y1 ) ; N ( x2 ; y2 ) ∈ ( C ) , ( x1 ≠ x2 ) ⇒  k = − 5  N ( x2 − 2 ) 2  N u hai ti p tuy n song song v i nhau thì 5 5 kM = k N ⇔ − =− ⇔ ( x2 − 2 ) − ( x1 − 2 ) = 0 ⇔ ( x2 − x1 )( x2 + x1 − 4 ) = 0 2 2 ( x1 − 2 ) ( x2 − 2 ) 2 2 ⇔ x1 + x2 − 4 = 0 ⇔ x1 − 2 = 2 − x2 Kho ng cách hai ti p tuy n ng n nh t khi MN vuông góc v i hai ti p tuy n ⇔ kMN .kM = −1 ( *) y2 − y1 1  5   5  −5 ( x2 − x1 ) 5 Trong ó k MN = =  2 +  −2+  = =− x2 − x1 ( x2 − x1 )  x2 − 2   x1 − 2   ( x2 − x1 )( x2 − 2 )( x1 − 2 ) ( x2 − 2 )( x1 − 2 ) 5 5 5 5 k MN .k M = = −1 ⇔ = −1 ( x2 − 2 )( x1 − 2 ) ( x1 − 2 ) 2 ( − x1 )( x1 − 2 ) ( x1 − 2 )2 1 ⇔ x1 ( x1 − 2 ) =⇔ 25 x14 − 150 x13 + 400 x12 − 200 x1 − 1 = 0 ⇒ x1 3 25 Ví d 3: Cho hàm s y = x 3 − 3 x + 2. Tham gia khóa TOÁN 2014 t 9 i m Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95
LUY N THI I H C MÔN TOÁN – Th y Hùng Chuyên HÀM S Tìm hai i m M, N thu c (C) sao cho ti p tuy n t i M c t (C) N sao cho MN = 2 6. Hư ng d n gi i:  x = −1 o hàm y ' = 3 x 2 − 3 = 0 ⇔  x =1 G i M ( x0 ; y0 ) ∈ ( C ) ⇒ y0 = x0 − 3 x0 + 2 3 Ti p tuy n t i M có phương trình ( d ) : y = ( 3x02 − 3) ( x − x0 ) + x03 − 3x0 + 2 = 3 ( x0 − 1) ( x0 + 1)( x − x0 ) + ( x02 + x0 − 2 )   N u d c t (C) t i N thì ta có phương trình hoành giao i m: x3 − 3 x + 2 = ( 3 x0 − 3) ( x − x0 ) + x0 − 3x0 + 2 2 3 ⇔ x3 − x0 − 3 ( x − x0 ) − ( 3 x0 − 3) ( x − x0 ) = 0 ⇔ ( x − x0 ) ( x 2 + xx0 + x0 ) − 3 − ( 3 x0 − 3)  = 0 3 2  2 2   x = x0  x − x0 = 0   x = x0 ⇔ 2 ⇔  x = −4 x0 ⇔  .  x + xx0 − 2 x0 = 0  x = −4 x0 2   x = x0 Như v y, i m N là i m có hoành ( là xN = −4 x0 ⇒ N −4 x0 ; ( 4 x0 + 1) ( 4 x0 − 2 ) 2 ) 2 Ta có : MN = ( −5 x0 ) + ( 4 x0 + 1) ( 4 x0 − 2 ) − ( x0 − 1) ( x0 − 2 )  2 2 2   ⇔ MN = 25 x0 + ( −65 x0 + 15 x0 ) = 5 x0 1 + ( 3 − 13 x0 ) = 5 x0 169 x0 − 78 x0 + 10 2 2 2 2 2 Theo gi thi t 5 x0 169 x0 − 78 x0 + 10 = 2 6 ⇔ ( 25 x0 )(169 x0 − 78 x0 + 10 ) = 24 2 2 2 Ví d 4: Cho hàm s y = x 3 − 3 x 2 + 1. Tìm hai i m A, B thu c (C) sao cho ti p tuy n t i A, B song song v i nhau và AB = 4 2. Hư ng d n gi i:  k A = 3 x12 − 6 x1  Ta có y ' = 3 x 2 − 6 x ⇒   k B = 3x2 − 6 x2 2  N u hai ti p tuy n t i A, B song song nhau thì :  x1 ≠ x2 ⇔ 3x2 − 6 x2 = 3 x12 − 6 x1 ; ⇔ 3 ( x2 − x1 )( x2 + x1 − 2 ) = 0 ⇔  2  x1 + x2 = 2 (*) - Do A, B ∈ (C ) ⇒ y1 = x13 − 3 x12 + 1; y2 = x2 − 3 x2 + 1 ⇔ y2 − y1 = ( x2 − x1 ) ( x12 + x1 x2 + x2 ) − 3 ( x1 + x2 )  3 2  2  ⇔ y2 − y1 = ( x2 − x1 ) ( x1 + x2 ) − 3 ( x1 + x2 ) − x1 x2  = ( x2 − x1 )( 4 − 3.2 − x1 x2 ) = − ( x2 − x1 )( 2 + x1 x2 ) (**) 2   ⇒ AB = ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) = ( x2 − x1 ) + ( x2 − x1 ) ( 2 + x1 x2 ) = x2 − x1 1 + ( 2 + x1 x2 ) 2 2 2 2 2 2 Theo gi thi t ta có x2 − x1 1 + ( 2 + x1 x2 ) = 4 2 ⇒ ( x2 − x1 ) 1 + ( 2 + x1 x2 )  = 32 ⇔ ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2  1 + ( 2 + x1 x2 )  = 32 2 2 2 2 2      t t = x1 x2 , và thay x1 + x2 = 2 (do *) ta có : ( 4 − 4t ) ( 5 + 4t + t 2 ) − 32 = 0; ⇔ t 3 + 3t 2 + t + 3 = 0 ⇔ ( t 2 + 1) ( t + 3) = 0 ⇒ t = −3   x1 = −1   x1 + x2 = 2  X = −1   x2 = 3 V y ta có h  ⇒ X 2 − 2X − 3 = 0 ⇒  ⇔  x1 x2 = −3 X = 3 x = 3  1   x2 = −1   A ( −1; −3) ; B ( 3;1) Do ó t n t i hai i m  th a mãn yêu c u bài toán .  A ( 3;1) ; B ( −1; −3)  Tham gia khóa TOÁN 2014 t 9 i m Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.