zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Ôn thi ĐH-CĐ

Luyện thi Đại học Toán chuyên đề: Hệ phương trình mũ và Logarit - Thầy Đặng Việt Hùng

Chia sẻ: Tran Binh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:11

Báo xấu

288
lượt xem 58
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo môn Toán dành cho quý thầy cô và các bạn học sinh với chuyên đề: Hệ phương trình mũ và Logarit. Mời quý thầy cô và các bạn học sinh tham khảo nhằm củng cố kiến thức và ôn thi Đại học đạt kết quả cao nhất.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luyện thi Đại học Toán chuyên đề: Hệ phương trình mũ và Logarit - Thầy Đặng Việt Hùng

Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 09. H PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARITH – P1 Th y ng Vi t Hùng I. PP BI N I TƯƠNG ƯƠNG GI I H PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGA Ví d 1. Gi i các h phương trình sau: log 3 x + log 3 y = 2 + log 3 2 log y x − log 2 y 2 = 1   log 4 x − log 2 y = 0  a)  b)  2 c)  2 log 4 x − log 4 y = 1 log 27 ( x + y ) = 3 x − 5y + 4 = 0 2    Hư ng d n gi i: log x − log 2 y 2 = 1  a)  y (I ) log 4 x − log 4 y = 1  i u ki n: x, y > 0. log y x − 2log 2 y = 1  log y x − 2log 2 y = 1, (*) Ta có ( I ) ⇔  x ⇔ log 4 y = 1 x = 4 y  1 Thay x = 4y vào (*) ta ư c log y ( 4 y ) − 2log 2 y = 1 ⇔ 2log y 2 + 1 − 2log 2 y − 1 = 0 ⇔ = log 2 y ⇔ log 2 y = ±1 log 2 y y = 2 ⇒ x = 8  1   → . V y h ã cho có hai nghi m là {8; 2} ,  2;  . y = 1 ⇒ x = 2  2  2 log 3 x + log 3 y = 2 + log 3 2  b)  2 (I ) log 27 ( x + y ) = 3  i u ki n: x, y > 0.  x = 6 log 3 ( xy ) = log 3 ( 9.2 )    xy = 18 y = 3 Ta có ( I ) ⇔  ⇔ ⇔ 2 x + y = 9  x = 3   x + y = 27 3   y = 6  V y h ã cho có nghi m ( 6 ;3) , ( 3 ;6) . Ví d 2. Gi i các h phương trình sau:  x − 2y x − y 1 x + y = 6 ( 3 ) =  a)  b)  3 log2 x + log2 y = 3 log ( x + y ) + log ( x − y ) = 4  2 2 x −2 y   c)  ( ) 3 x− y 1 =   x+y  d) 4 y x = 32 3 log ( x + y ) + log ( x − y ) = 4 log3 ( x − y ) = 1 − log3 ( x + y )  2 2  Ví d 3. Gi i các h phương trình sau: log y + log y x = 2  x + log2 y = 4 a)  x b)  x + y = 6 2 x − log2 y = 2 H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95   x 2(log y x + log x y ) = 5 log2  1 −  = 2 − log2 y  c)  d)   y  xy = 8 log 3 x + log 3 y = 4   2 2 Ví d 4. Gi i các h phương trình sau: log2 ( xy ) = 4 log x − log y 2 = 1   a)  y 2 b)  x log 4 x − log 4 y = 1  log2  y  = 2     5  y log x + log y x = log − log2 x = 1 c)  y 2 d)  xy x y log ( x 2 + y 2 ) = 1 log2 ( y − x ) = 1  6  BÀI T P T LUY N: Bài 1. Gi i các h phương trình sau:  log 2 x = y 4  log x y + log y x = 2  a) 2 b)  log2 x − log2 y = 1  x − y = 20 2   Bài 2. Gi i các h phương trình sau: log 4 x + log 4 y = 1 + log 4 9 log 2 ( x 2 + y 2 ) = 5 a)  b)   x + y − 20 = 0 2 log 4 x + log 2 y = 4 Bài 3. Gi i các h phương trình sau: 3x + y = 81  x + y = 25 2 2  a)  b)  log 2 x + log 4 y = 1  log 2 x − log 2 y = 2 Bài 4. Gi i các h phương trình sau: 4 x 2 − y 2 = 2  a)   b)  ( ) lg x 2 + y 2 = 1 + lg 8 log 2 ( 2 x + y ) − log 2 ( 2 x − y ) = 1  lg ( x + y ) − lg ( x − y ) = lg 3  Bài 5. Gi i các h phương trình sau: log xy ( x − y ) = 1  a)  log xy ( x + y ) = 0   (  x + 1 3y = b)  ) 3 4− x x /s: ( x; y ) = (3; 0)  y + log x = 1  3 Bài 6. Gi i các h phương trình sau:  y + lg x 2 = 2  1 a)  /s: x = ; y = 36  y + 4 lg x = 28  100 x − 4 y + 3 = 0  b)   log 4 x − log 2 y = 0  H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Bài 7. Gi i các h phương trình sau: 4 x + y = 2 y − x  a)  log x 4 2 = y − 5 4  23 x +8 y = 9.( 3) x − 4 y +1  3 b)  /s: x = −2; y = x + 4 y −1 = 0  4 Bài 8. Gi i các h phương trình sau:  x −1 + 2 − y = 1   x 2 − 2 y 2 − xy − 3 y − 1 = 0  a)  b)  x +1 y+2 3log 9 (9 x ) − log 3 y = 3  2 3 2 + 2 = 5  Bài 9. Gi i các h phương trình sau: 2 x + 3 y = 8  a) log x + log (2 y ) = − log 2 2 2 1   2 log x ( xy ) = log y x 2  b)  2log x /s: x = y = 3 y y = 4y −3  Bài 10. Gi i các h phương trình sau: x y 9  2+ 2 =8 log x + 2 log2 y = 3 a)  y x b)  2 2 4 log x + log y =3  x + y = 16  2 2 1 1 2  − = c)  x y 15 log x + log y = 1 + log 5  3 3 3 H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 09. H PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARITH – P2 Th y ng Vi t Hùng II. PP T N PH GI I H PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGA Ví d 1. Gi i các h phương trình sau: 5log 2 x = log 2 y 3 − log 2 2  lg 2 x = lg 2 y + lg 2 ( xy )  a)  b)  2 log 2 y = 8 − log 2 x  lg ( x − y ) + lg x.lg y = 0  L i gi i: a) i u ki n: x, y > 0.  5 y3 log 2 x = log 2 y − log 2 4 5 3  x = , (1)   Ta có ( I ) ⇔  4 ⇔ log 2 y = log 2 2 − log 2 x 8 2 8   y = 2 , (2)   x2 3  28   2 24  x = 22 = 4 x   Thay (2) vào (1) ta ư c x5 =  2 ⇔ x5 = 6 ⇔ x11 = 222   → 28 4 4x  y = 4 = 16  2 Các nghi m này u th a mãn, v y h ã cho có nghi m (4; 16). lg 2 x = lg 2 y + lg 2 ( xy ),  (1) b)  2 lg ( x − y ) + lg x.lg y = 0,  ( 2)  x > 0, y > 0 i u ki n:  x > y (1) ⇔ lg 2 x − lg 2 y = lg 2 ( xy ) ⇔ ( lg x − lg y )( lg x + lg y ) = ( lg x + lg y )2 ⇔ ( lg x + lg y ) ( lg x − lg y ) − ( lg x + lg y ) = 0    1  lg x + lg y = 0  xy = 1  y = ⇔ ⇔ ⇔ x  −2lg y = 0 y =1    y =1 1 1 x − y = x  y = 0, ( L) V i y = , ( 2 ) ⇔ lg 2 ( x − y ) + lg x.lg = 0 ⇔ lg 2 ( x − y ) − lg 2 x = 0 ⇔  ⇔ x x  x − y = −x  y = 2x  1 1 1 x =  = 2 x ⇔ x =   → 2 → 2 x 2 y = 2  V i y = 1, ( 2 ) ⇔ lg ( x − 1) + lg x.lg1 = 0 ⇔ lg 2 ( x − 1) = 0 ⇔ x − 1 = 1 ⇔ x = 2 2  1  V yh ã cho có nghi m  ; 2  , ( 2 ;1) .  2  Ví d 2. Gi i các h phương trình sau: lg ( x + y )2 = 1   x log3 y + 2 y log3 x = 27  a)  b)  lg y − lg x = lg 2  log 3 y − log 3 x = 1   y + lg x 2 = 2 9log 2 ( xy ) − 3 = 2 ( xy )log 2 3   c)  d)   y + 4lg x = 28 ( x + 1) + ( y + 1) = 1 2 2   L i gi i: lg ( x + y )2 = 1 x + y ≠ 0  a)  ( I ) . i u ki n:  y > 0  lg y − lg x = lg 2  x ≠ 0  H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95  x>0  10   x = 3    x + y = 10   →  ( x + y ) 2 = 10   y = 20   x + y = 10   y = 2x (I ) ⇔  y ⇔ ⇔   3  lg = lg 2   y=2 x  x < 0  x   x + y = 10   x = −10 →   y = 20  y = −2 x   10 20  V y h ã cho có nghi m  ;  , ( −10 ;20 ) . 3 3   x log3 y + 2 y log3 x = 27, (1)   x > 0, x ≠ 1 b)  . i u ki n:  log 3 y − log 3 x = 1, ( 2 )   y > 0, y ≠ 1 y Ta có ( 2 ) ⇔ log 3 = 1 ⇔ y = 3x. x Khi ó, x 3 ( ) + 2 ( 3x ) 3 = 27 ⇔ x1+ log3 x + 2.3log3 x.x log3 x = 27 ⇔ x1+ log3 x + 2 x1+ log3 x = 27 ⇔ x1+ log3 x = 9 log 3 x log x x = 3  log 3 x = 1 ⇔ log 3 x( 1+ log 3 x ) = log 39 ⇔ (1 + log 3 x ) log 3 x = 2 ⇔ ( log 3 x ) 2 + log 3 x − 2 = 0 ⇔  log 3 x = −2 ⇔ x = 1    9 x = 3 y = 9 T ó ta ư c    → x = 1 y = 1   9   3 1 1 V y h ã cho có nghi m ( 3 ;9) ,  ;  .  9 3  y + lg x 2 = 2  c)  (I ) . i u ki n: x, y > 0.  y + 4lg x = 28   y + 2lg x = 2  2 y + 4lg x = 4    y =6 Ta có ( I ) ⇔  ⇔  y − 2 y = 24 ⇔  →  y = 36. →  y + 4 lg x = 28   y + 4lg x = 28   y = −4  1 V i y = 36 thay vào ta ư c 4 lg x = 28 − 36 ⇔ lg x = −2 ⇔ x = . 100  1  V yh ã cho có nghi m  ; 36  .  100  9log 2 ( xy ) − 3 = 2 ( xy )log 2 3 , (1)  xy > 0  d)  . i u ki n:  ( x + 1) + ( y + 1) = 1,  xy ≠ 1 2 2  (2) t t = log 2 ( xy )  xy = 2t . → 3t = −1 ( L ) Khi ó, (1) ⇔ 9 − 3 = 2 2 ( ) ( ) log 2 3 t t t ⇔ 9 − 3 = 2. 2 t log 2 3 ⇔ 9 − 2.3 − 3 = 0   t t t → ⇒ xy = 2 3 = 3  Ta có x + y =1 ( 2 ) ⇔ x 2 + y 2 + 2 ( x + y ) + 2 = 1 ⇔ ( x + y )2 + 2 ( x + y ) + 1 − 2 xy = 0 ⇔ ( x + y )2 + 2 ( x + y ) − 3 = 0 ⇔   x + y = −3 x + y = 1 TH1: V i x + y = 1 ⇒  ⇒ x, y là hai nghi m c a phương trình X 2 − X + 2 = 0 ⇒ vô nghi m.  xy = 2  x + y = −3  X = −1 TH2: V i x + y = −3 ⇒  ⇒ x, y là hai nghi m c a phương trình X 2 + 3 X + 2 = 0 ⇔   xy = 2  X = −2 V y h ã cho có hai nghi m (−1; −2),(−2; −1) H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 4 2 x 2 − 2 − 22 x2 + y + 4 y = 1  Ví d 3. Gi i các h phương trình sau  2 2 y + 2 − 3.22 x + y = 16 2  Ví d 4. Gi i các h phương trình sau:  x log8 y + y log8 x = 4 4log3 ( xy ) = 2 + ( xy )log3 2  a)  b)  log 4 x − log 4 y = 1  x 2 + y 2 − 3 x − 3 y = 12   x log 2 ( xy ) .log 2   = −3 log 5 x + log 5 7.log 7 y = 1 + log 5 2  b)   y d)   2 3 + log 2 y = log 2 5 (1 + 3log 5 x )  log 2 x + log 2 y = 5 2 BÀI T P T LUY N: Bài 1. Gi i các h phương trình sau: 1 2 2 2 x − y + 2 x = 21+ y   log3 x − log3 y = 0 a)  b)  2 log 2 x. ( log 4 y − 1) = 4   x 3 + y2 − 2y = 0  Bài 2. Gi i các h phương trình sau: log2 ( xy ) = 4   3.2 x − 2.3y = −8 a)  x b)  x +1 y +1 log2  y  = 2 2 − 3 = −19    Bài 3. Gi i các h phương trình sau: 3x + 3 y = 28  x + 3 y −1 = 2 a)  x + y b)   3 = 27 3x + 9 = 18 y Bài 4. Gi i các h phương trình sau:  y2 = 4x + 2  y2 = 4x + 8 a)  x + 2 b)  x +1 2 + 2 y + 1 = 0 2 + y + 1 = 0 Bài 5. Gi i các h phương trình sau: 3.2 x − 2.3 y = −6 2 x + xy + y = 14   a)  x +1 b)  log ( x +1) ( y + 2 ) − log y + 2 ( x + 1) = 3 8 2 − 3 y +1 = −19   Bài 6. Gi i các h phương trình sau: ( ) (  3 − 2 2 x + 1+ 2 ) y =4 ( ) log 4 x 2 + y 2 − log 4 (2 x ) + 1 = log 4 (x + 3 y )   a)  ( y ) (  3 + 2 2 + 1+ 2  ) x =4 b)  ( ) log 4 ( xy + 1) − log 4 4 y + 2 y − 2 x + 4 = log 4 y − 1 2 x  Bài 7. Gi i các h phương trình sau: log 2 (log 4 x ) = log 4 (log 2 y ) 5. log 2 x − log 4 y 2 = −8  a)  b)  log 4 (log 2 x ) = log 2 (log 4 x ) 5. log 2 x 3 − log 4 y = −9  Bài 8. Gi i các h phương trình sau: H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 ( ) 2. log1− x (− xy − 2 x + y + 2 ) + log 2+ y x 2 − 2 x + 1 = 6  a)  log1− x ( y + 5) − log 2+ y (x + 4 ) = 1  log x (3 x + 5 y ) + log y (3 y + 5 x ) = 4  b)  log x (3 x + 5 y ). log y (3 y + 5 x ) = 4  Bài 9. Gi i các h phương trình sau: log 2 x + log 2 y = 5 log 2 x + 3 5 − log3 y = 5   a)  3 b)   log x 2 + log y 2 = 2  3 log 2 x − 1 − log3 y = −1  Bài 10. Gi i các h phương trình sau: 3x + 2 4 − 3 y = 5  32 x + 2 + 22 y + 2 = 17  a)  b)  x +1 2.3 + 3.2 = 8 y 3 y + 2 4 − 3x = 5   Bài 11. Gi i các h phương trình sau: log 2 ( x + y ) = x + y − 1  log 2 x + 3 5 − log3 y = 5  a)  b)  log x + y + 2 ( xy + 1) = x + y − 1  3 log 2 x − 1 − log3 y = −1  Bài 12. Gi i các h phương trình sau: 2 3 x +1 + 2 y −2 = 3.2 y +3 x  22 x +1 − 3.2 x = y 2 − 2  a)  b)   3x 2 + xy + 1 = x + 1  2 y − 3 y = 2 − 2  2 2x H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 09. H PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARITH – P3 Th y ng Vi t Hùng III. PP MŨ HÓA VÀ LOGARITH HÓA GI I H MŨ, LOGA Ví d 1. Gi i các h phương trình sau −  x − 2 yy 1  y = 1 + log 2 x 5 .8 = 20 a)  y b)   x = 64 x −1  y −2 x 5 .8 = 20 5 x.2 y = 500  3x.2 y = 972  c)  d)  log 2 (2 x − y ) = 4  log 3 ( x − y ) = 2  Ví d 2. Gi i các h phương trình sau 2 x + 5x + y = 7  3log x = 4log y  a)  x −1 x + y b)  2 .5 = 5 (4 x) = (3 y ) log 4 log 3   +  x −1 y y 1  5 3 .4 = 24 ( x + y ).3y − x = c)  x +1 d)  27  y −1 x 3 log5 ( x + y ) = x − y 3 .4 = 24  BÀI T P T LUY N: Bài 1. Gi i các h phương trình sau: 2  log 1 x − 2 log 2 y  + 5 = 0  x lg x + lg y = 4 a)   y   b)  lg y  xy 2 = 32  x = 1000  Bài 2. Gi i các h phương trình sau: b) ( ) ( )  x x −2 y = 36   x+y x = x−y y  a)  4 ( x − 2 y ) + log6 x = 9  log2 x − log2 y = 1  Bài 3. Gi i các h phương trình sau: log y = 2 + log 1 x 2 − y  1 −1  y 2 = x 2 2 a)  b)  28 x − 7 y log x = 2 + log 1 y 2 − x ( xy ) x .x − y = y 2  2 2  Bài 4. Gi i các h phương trình sau:  y +x 4 9 x .3 y = 81   x = y3 a)  b)  lg( x + y ) 2 − lg x = 2 lg 3  4  y x+ y = x 3  Bài 5. Gi i các h phương trình sau: H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95  1 1 x− y x y =9  = ( x + y)  a)  2 3 b)  1  y−x (234) y = 2 x 2 ( x + y ).2 = 48  Bài 6. Gi i các h phương trình sau:  x 2 = 1 + 6 log 4 y  3.x log2 y + 2.y log2 x = 10  a)  2 b)  2 log 4 x + log2 y = 2 2 x +1  y = 2 .y + 2 x   Bài 7. Gi i các h phương trình sau:  log2 y + y log2 x = 16  3log x 2 = y log5 y  a)  x b)  log 3 log2 x − log2 y = 2  2 y = x 7  log x  lg y c)  x = 2  xy = 20 H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 09. H PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARITH – P4 Th y ng Vi t Hùng III. PHƯƠNG PHÁP HÀM S GI I H MŨ, LOGARITH Phương pháp:  f (u ) = f (v) Phân tích h phương trình v d ng  r i xét hàm c trưng.  g ( x; y ) = 0 Ví d 1. Gi i các h phương trình sau 3x = 2 y + 1 3x + 2 x = y + 11 a)  y b)  y 3 = 2 x + 1 3 + 2 y = x + 11 2 x − 2 y = y − x 7 x −1 = 6 y − 5  c)  2 2 d)  y −1  x + xy + y = 3 7 = 6 x − 5  Ví d 2. Gi i các h phương trình sau  x + x2 + 1 = 3y  e x − e y = x − y  a)  b)   y + y +1 = 3  2 x log 2 x + log 2 ( xy ) = 5  e x = 1 + y  2 x − 2 y = ( y − x)( xy + 2)  c)  y d)  2 e = 1 + x x + y = 2 2   Ví d 3. Gi i các h phương trình sau 3x − 3y = y − x 2 x + 2 x = 3 + y a)  2 2 b)  y  x + xy + y = 12 2 + 2 y = 3 + x  x − y = ex − e y ln x − ln y = y − x  c)  2 d)  x x + y − 6x − 2 y + 6 = 0 log 2 + log 2 (4 y ) = 10 2 3  2 BÀI T P T LUY N: Bài 1. Gi i các h phương trình sau: log x + 3 = log 3 (3 y )   x + x 2 − 2 x + 2 = 3 y −1 + 1  a)  2 b)  log 2 y + 3 = log 3 (3 x)   y + y − 2 y + 2 = 3 +1  2 x −1 Bài 2. Gi i các h phương trình sau:  x2 + y = y 2 + x  a)  x + y x −1 2 − 2 = x − y   y 2 − x2 x 2 + 1 e = 2 b)*  y +1 3log ( x + 2 y + 6) = 2 log ( x + y + 2) + 1  2 2 Bài 3. Gi i các h phương trình sau: H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 log (1 + 3 1 − x 2 ) = log (1 − y 2 ) + 2  a)  2 3 log 2 (1 + 3 1 − y ) = log 3 (1 − x ) + 2 2 2  ln(1 + x) − ln(1 + y ) = x − y b)  2 /s: x = 0; y = 0 2 x − 5 xy + y = 0 2 Bài 4. Gi i các h phương trình sau:  2 x  x + x + log 2 y = 8 y + 2 y + 1 3  1 a)  /s: x = 1; y =  y 2 − xy + 1 = 0 2   4 log ( x + 1) = y − 1 b)  2 log 2 y = x Bài 5. Gi i các h phương trình sau: a) { x − y = (log 2 y − log 2 x)(1 + xy ) xy − 3 y + 2 = 0 e x − e y = (ln y − ln x)(1 + xy ) b)  ln x + 2 ln y 2 − 3.4ln x = 4.2ln y log sin x + 3 = log 3 (3cos y )  Bài 6. Gi i h phương trình  2 log 2 cos y + 3 = log 3 (3sin x)  H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

EXAM.02: Bộ 500+ Đề Thi Thử THPT Quốc Gia 2020

576 tài liệu

913 lượt tải

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.