intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Luyện thi Đại học Toán chuyên đề: Nguyên hàm của hàm hữu tỉ - Thầy Đặng Việt Hùng

Chia sẻ: Tran Binh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:14

Thêm vào BST
Báo xấu
163
lượt xem 22
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo môn Toán dành cho quý thầy cô và các bạn học sinh với chuyên đề: Nguyên hàm của hàm hữu tỉ. Mời quý thầy cô và các bạn học sinh tham khảo nhằm củng cố kiến thức và ôn thi Đại học đạt kết quả cao nhất.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luyện thi Đại học Toán chuyên đề: Nguyên hàm của hàm hữu tỉ - Thầy Đặng Việt Hùng

  1. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Tài li u bài gi ng: 04. NGUYÊN HÀM C A HÀM H U T - P1 Th y ng Vi t Hùng P ( x) Xét nguyên hàm c a hàm phân th c h u t I = ∫ dx Q( x) Nguyên t c gi i: Khi b c c a t s P(x) l n hơn Q(x) thì ta ph i chia a th c quy v nguyên hàm có b c c a t s nh hơn m u s . I. M U S LÀ B C NH T Khi ó Q(x) = ax + b. N u b c c a P(x) l n hơn thì ta chia a th c. P ( x) k k d (ax + b) k Khi P(x) là h ng s (b c b ng 0) thì ta có I = ∫ dx = ∫ dx = ∫ = ln ax + b + C. Q( x) ax + b a ax + b a Ví d 1. Tìm nguyên hàm c a các hàm s sau: 4 x +1 2x + 1 x2 + x + 4 a) I1 = ∫ 2x − 1 dx b) I 2 = x −1 dx ∫ c) I 3 = ∫ 3 − 4x dx d) I 4 = ∫ x+3 Hư ng d n gi i: 4 4 d (2 x − 1) a) Ta có I1 = ∫ 2 x − 1 dx = 2 ∫ 2x − 1 = 2ln 2 x − 1 + C. x +1 x −1+ 2  2  dx b) I 2 = ∫ x −1 dx = ∫ x −1 dx = 1 +  ∫  dx = dx + 2 x −1  ∫ x −1 ∫ = x + 2ln x − 1 + C. 1 5 − (3 − 4x ) + 2x + 1  2 dx =  − 1 + 5  1 5 dx 1 5 d (3 − 4x ) c) I 3 = ∫ 3 − 4x dx = 2 ∫ 3 − 4x ∫  2 2 (3 − 4x )     dx = − x + 2 2 3 − 4x =− x− 2 8 ∫ 3 − 4x ∫ 1 5 1 5 = − x − ln 3 − 4 x + C  I 3 = − x − ln 3 − 4 x + C. → 2 8 2 8 x2 + x + 4  10  d ( x + 3) x 2 d) I 4 = ∫ = ∫ x − 2 +  dx = ∫ ( x − 2 ) dx + 10 ∫ = − 2 x + 10ln x + 3 + C. x+3  x +3 x+3 2 Ví d 2. Tìm nguyên hàm c a các hàm s sau: x3 − x + 7 3 x3 + 3 x 2 + x + 2 4 x 4 + 3x 2 + x + 2 a) I 5 = ∫ dx b) I 6 = ∫ dx c) I 7 = ∫ dx 2x + 5 x −1 2x + 1 Hư ng d n gi i: 49 x3 − x + 7 1 2 5 21 a) Chia t s cho m u s ta ư c = x − x+ − 8 2x + 5 2 4 8 2x + 5  49  x3 − x + 7 1 5 21  1 5 21  49 dx Khi ó I 5 = ∫ dx = ∫  x 2 − x + − 8  dx = ∫  x 2 − x +  dx − ∫ 2x + 5 2 4 8 2x + 5  2 4 8  8 2x + 5   3 1 x 5 x 2 21 49 d ( 2 x + 5 ) x 5 x3 2 21x 49 = . − . + x− ∫ = − + − ln 2 x + 5 + C. 2 3 4 2 8 16 2x + 5 6 8 8 16 3 x3 + 3 x 2 + x + 2  2 9  b) Ta có I 6 = ∫ dx = ∫  3 x + 6 x + 7 +  dx = x + 3x + 7 x + 9ln x − 1 + C. 3 2 x −1  x −1  5 4 x 4 + 3x 2 + x + 2 1 c) Chia t s cho m u s ta ư c = 2x − x + 2x − + 2 3 2 2x +1 2 2x + 1 H c offline: Ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  2. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95  5  4 x 4 + 3x 2 + x + 2  3 1   1 5 dx Khi ó I 7 = ∫ dx = ∫  2 x − x + 2 x − + 2  dx = ∫  2 x 3 − x 2 + 2 x −  dx + ∫ 2 2x + 1  2 2x + 1   2 2 2x + 1   x 4 x3 1 5 d ( 2 x + 1) x 4 x 3 1 5 = 2. − + x 2 − x + ∫ = − + x 2 − x + ln 2 x + 1 + C. 4 3 2 4 2x + 1 2 3 2 4 II. M U S LÀ TAM TH C B C HAI Khi ó Q(x) = ax2 + bx + c. Ta có ba kh năng x y ra v i Q(x). TH1: Q(x) = 0 có 2 nghi m phân bi t x1 và x2 N u P(x) là h ng s thì ta s d ng thu t phân tích t s có ch a nghi m c a m u s . P( x) P ( x) 1 A B  N u P(x) b c nh t thì ta có phân tích Q( x) = a ( x − x1 )( x − x2 )  → = =  +  Q( x) a ( x − x1 )( x − x2 ) a  x − x1 x − x2  ng nh t h s hai v ta ư c A, B. T ó, quy v bài toán nguyên hàm có m u s là hàm b c nh t ã xét trên. N u P(x) có b c l n hơn ho c b ng 2 thì ta chia a th c, quy bài toán v hai trư ng h p có b c c a P(x) như trên gi i. Chú ý: Vi c phân tích a th c thành nhân t v i các phương trình b c hai có h s a khác 1 ph i theo quy t c ax 2 + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 ) ( x − 1)(3 x − 1) : dung '. Ví d : 3x − 4 x + 1 = 2  1 ( x − 1)  x −  : sai.  3 Khi t s là b c nh t thì ngoài cách ng nh t trên, ta có th phân tích t s có ch a o hàm c a m u, r i tách thành 2 nguyên hàm (xem các ví d dư i ây). Ví d 1. Tìm nguyên hàm c a các hàm s sau: dx 2dx ∫ a) I1 = 2 x − 2x − 3 dx b) I 2 = ∫ 2 −3 x + 4 x − 1 2x + 3 3x + 4 ∫ c) I 3 = 2 x − 3x − 4 dx d) I 4 = ∫ 2 5x + 6x + 1 dx Hư ng d n gi i: dx dx 1 ( x + 1) − ( x − 3) 1  dx dx  1 x − 3 ∫ a) I1 = 2 x − 2x − 3 dx = ∫ = ∫ ( x + 1)( x − 3) 4 ( x + 1)( x − 3) ∫ dx =  4 x−3 ∫ −  = ln x +1 4 x +1 + C. 2dx dx dx −2 (3 x − 1) − 3( x − 1) b) I 2 = ∫ = −2 ∫ 2 = −2 ∫ ( x − 1)(3 x − 1) 4 ∫ ( x − 1)(3 x − 1) = dx −3 x + 4 x − 1 2 3x − 4 x + 1 1  dx dx  1 1 d (3 x − 1) 1 1 1 3x − 1 = − ∫ − 3∫  = − ln x − 1 + ∫ = − ln x − 1 + ln 3 x − 1 + C = ln + C. 2  x −1 3x − 1  2 2 3x − 1 2 2 2 x −1 2x + 3 ∫ c) I 3 = 2 x − 3x − 4 dx Cách 1: 2x + 3 2x + 3 A B Nh n th y m u s có hai nghi m x = –1 và x = 4, khi ó 2 = = + x − 3 x − 4 ( x + 1)( x − 4 ) x + 1 x − 4  1  2= A+ B A = − 5  ng nh t ta ư c 2 x + 3 ≡ A ( x − 4 ) + B ( x + 1)   → ←  → 3 = −4 A + B  B = 11   5  1 11  2x + 3  −5  1 dx 11 dx 1 11 T ó I3 = 2 ∫ x − 3x − 4 dx =  ∫ + 5  dx = −  x +1 x − 4  ∫+ 5 x +1 5 x − 4 ∫ = − ln x + 1 + ln x − 4 + C . 5 5     H c offline: Ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  3. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 1 11 V y I 3 = − ln x + 1 + ln x − 4 + C. 5 5 Cách 2: Do m u s có o hàm là 2x – 3 nên ta s phân tích t s có ch a o hàm c a m u như sau: 2x + 3 2x − 3 + 6 (2 x − 3)dx dx d x 2 − 3x − 4 ( dx ) I3 = 2∫ x − 3x − 4 dx = 2 ∫ x − 3x − 4 dx = 2 ∫ x − 3x − 4 +6 2 x − 3x − 4∫= x − 3x − 4 2 ∫ +6 ( x + 1)( x − 4) ∫ 6 ( x + 1) − ( x − 4) 6  dx dx  6 x−4 = ln x 2 − 3x − 4 + ∫ ∫ dx = ln x 2 − 3 x − 4 +  − ∫  = ln x − 3 x − 4 + ln + C. 2 5 ( x + 1)( x − 4) 5 x−4 x +1 5 x +1 Nh n xét: Nhìn hai cách gi i, tho t nhìn chúng ta l m tư ng là bài toán ra hai áp s . Nhưng, ch b ng m t vài phép bi n i logarith ơn gi n ta có ngay cùng k t qu . Th t v y, theo cách 2 ta có: 6 x−4 6 6 1 11 ln x 2 − 3 x − 4 + ln = ln x − 4 + ln x + 1 + ln x − 4 − ln x + 1 + C = − ln x + 1 + ln x − 4 . 5 x +1 5 5 5 5 Rõ ràng, chúng ta th y ngay ưu i m c a cách 2 là không ph i ng nh t, và cũng không c n dùng n gi y nháp ta có th gi i quy t nhanh g n bài toán, và ó là i u mà tôi mong mu n các b n th c hi n ư c! 3x + 4 3x + 4 d) I 4 = ∫ 2 dx = ∫ dx 5x + 6x + 1 ( x + 1)(5 x + 1) Cách 1:  1 3x + 4 A B 3 = 5 A + B A = − 4  Ta có = +  3 x + 4 ≡ A(5 x + 1) + B ( x + 1) ←  → →   → ( x + 1)(5 x + 1) x + 1 5 x + 1 4 = A + B  B = 17   4 3x + 4  1 17  1 dx 17 dx T ó I4 = ∫ dx = ∫  −  dx = − ∫ 4 x + 1 4 ∫ 5x + 1 + + ( x + 1)(5 x + 6)  4( x + 1) 4(5 x + 1)  1 17  I 4 = − ln x + 1 + ln 5 x + 1 + C . → 4 20 Cách 2: Do m u s có o hàm là 10x + 6 nên ta s phân tích t s có ch a o hàm c a m u như sau: 3 22 3x + 4 (10 x + 6 ) + (10 x + 6 ) I4 = ∫ 2 dx = ∫ 10 2 10 dx = 3 22 dx 5x + 6x + 1 5x + 6x + 1 10 ∫ 5 x 2 + 6 x + 1 dx + 10 ∫ 5 x2 + 6 x + 1 3 d ( 5 x + 6 x + 1) 22 2 dx 3 22 (5 x + 1) − 5( x + 1) = ∫ + ∫ = ln 5 x 2 + 6 x + 1 − ∫ dx 10 5x + 6x + 1 2 10 (5 x + 1)( x + 1) 10 40 (5 x + 1)( x + 1) 3 22  dx 5dx  3 11 x +1 = ln 5 x 2 + 6 x + 1 −  ∫ −∫  = ln 5 x + 6 x + 1 − ln 2 + C. 10 40  x + 1 5 x + 1  10 20 5 x + 1 Ví d 2. Tìm nguyên hàm c a các hàm s sau: 4 x3 + 2 x − 1 5− x a) I 5 = ∫ dx b) I 6 = ∫ dx x2 − 1 3 − 2 x − x2 Hư ng d n gi i: 4 x3 + 2 x − 1  6x −1  a) Do t s có b c l n hơn m u nên chia a th c ta ư c I 5 = ∫ dx = ∫  4 x + 2  dx x −1 2  x −1   7 6x −1 6x −1 A B  6 = A+ B A = 2  Ta có 2 = = +  6 x − 1 ≡ A( x − 1) + B ( x + 1) ⇔  → ⇔ x − 1 ( x − 1)( x + 1) x + 1 x − 1  −1 = − A + B B = 5   2  7 5  7 5  I 5 = ∫  4 x + → +  dx = 2 x + ln x + 1 + ln x − 1 + C. 2   2 ( x + 1) 2 ( x − 1)   2 2 5− x x−5 x −5 A B b) Ta có = 2 = = +  x − 5 ≡ A( x + 3) + B ( x − 1) → 3 − 2x − x 2 x + 2 x − 3 ( x − 1)( x + 3) x − 1 x + 3 H c offline: Ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  4. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 1 = A + B  A = −1 5− x  −1 2  dx dx   → ⇔  I 6 = ∫ → dx = ∫  +  dx = − ∫ + 2∫  −5 = 3 A − B B = 2 3 − 2x − x  x −1 x + 3  x −1 x+3 2 = − ln x − 1 + 2ln x + 3 + C = ln ( x − 3)2 + C  I 6 = ln → ( x − 3) 2 + C. x −1 x −1 BÀI T P LUY N T P: Bài 1. Tính các nguyên hàm sau: 2x −1 x 2 + 3x − 1 3 x3 + 3x 2 + x + 2 a) I1 = ∫ dx b) I 2 = ∫ dx c) I 3 = ∫ dx x+3 x +1 x −1 Bài 2. Tính các nguyên hàm sau: x3 − x + 7 x +1 5x 4 − 3x2 + x a) I 4 = ∫ dx b) I 5 = ∫ dx c) I 6 = ∫ dx 2x + 5 4 − 3x 3x + 1 Bài 3. Tính các nguyên hàm sau: 2x −1 3x + 4 3x2 + 1 a) I1 = ∫ dx b) I 2 = ∫ dx c) I 3 = ∫ dx x + 3x + 2 2 5x + 6x + 1 2 2 x 2 + 3x + 1 Bài 4. Tính các nguyên hàm sau: 5 + 4x 5x + 3 1 − 5x a) I 4 = ∫ dx b) I 5 = ∫ dx c) I 6 = ∫ dx 3 − 2x − x2 2x2 − x − 1 4x + 5x + 1 2 H c offline: Ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  5. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Tài li u bài gi ng: 04. NGUYÊN HÀM C A HÀM H U T - P2 Th y ng Vi t Hùng P ( x) Xét nguyên hàm c a hàm phân th c h u t I = ∫ dx Q( x) Nguyên t c gi i: Khi b c c a t s P(x) l n hơn Q(x) thì ta ph i chia a th c quy v nguyên hàm có b c c a t s nh hơn m u s . II. M U S LÀ TAM TH C B C HAI (ti p theo) Khi ó Q(x) = ax2 + bx + c. Ta có ba kh năng x y ra v i Q(x). TH1: Q(x) = 0 có 2 nghi m phân bi t x1 và x2 TH2: Q(x) = 0 có nghi m kép P( x) Khi ó Q(x) ư c bi u di n dư i d ng Q( x) = ( ax + b )  I = ∫ 2 → dx ( ax + b )2  1  dx = a d ( ax + b )  N u P(x) là h ng s thì ta s d ng các bi n i sau   du = − 1 + C ∫ u 2  u m bm mx + n ( ax + b ) + n −  bm  N u P ( x) = mx + n  I = ∫ dx = ∫ a a dx = m dx dx → ( ax + b ) 2 ( ax + b ) 2 a ∫ ax + b +  n − a  ∫ ( ax + b )2   bm n− m d ( ax + b ) a d ( ax + b ) = m ln ax + b −  na − bm  . 1 + C = 2∫ a ∫ ( ax + b )2 a 2 +   a ax + b  a 2  ax + b N u P(x) có b c l n hơn ho c b ng 2 thì ta chia a th c, quy bài toán v hai trư ng h p có b c c a P(x) như trên gi i. Chú ý:  t −b x = Ngoài cách gi i ã nêu trên, d ng nguyên hàm này có cách gi i t ng quát là t t = ax + b   → a dt = adx  Ví d 1. Tìm nguyên hàm c a các hàm s sau: 2dx dx dx ∫ a) I1 = 2 x − 2x + 1 b) I 2 = ∫ 2 6x + 9x + 1 c) I 3 =∫ 25 x − 10 x + 1 2 Hư ng d n gi i: 2dx dx d ( x − 1) 2 2 ∫ a) I1 = 2 x − 2x + 1 ∫ =2 ( x − 1) 2∫=2 ( x − 1) 2 =− x −1 + C  I1 = − → x −1 + C. dx dx 1 d (3x + 1) 1 1 b) I 2 = ∫ 2 =∫ = ∫ =− + C  I 2 = − → + C. 6x + 9x + 1 (3 x + 1) 2 3 (3 x + 1) 2 3(3 x + 1) 3(3 x + 1) dx dx 1 d (5 x − 1) 1 1 c) I 3 = ∫ =∫ = ∫ =− + C  I 3 = − → + C. 25 x − 10 x + 1 2 (5 x − 1) 2 5 (5 x − 1) 2 5(5 x − 1) 5(5 x − 1) Ví d 2. Tìm nguyên hàm c a các hàm s sau: 2x −1 4x2 − 3 1 − 5x a) I 4 =∫4 x2 + 4 x + 1 dx b) I 5 = ∫ 2 4 x + 12 x + 9 dx c) I 6 = ∫ 9x 2 − 24 x + 16 dx Hư ng d n gi i: 2x − 1 2x −1 a) I 4 =∫4x + 4x + 1 2 dx =∫( 2 x + 1)2 dx H c offline: Ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  6. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Cách 1: 2 x = t − 1 2x −1 t − 2 dt 1  dt 2dt  1 1 t t = 2 x + 1   →  dt = 2dx  I 4 = → ∫ ( 2 x + 1) 2 dx = ∫ 2 =  t 2 2 t ∫ − 2  t  2 ∫ = ln t + + C t 1 1  I 4 = ln 2 x + 1 + → + C. 2 2x + 1 Cách 2: ( ) 1 2x −1 (8 x + 4 ) − 2 1 (8 x + 4 ) dx − 2 dx 1 d 4x + 4x + 1 2 d ( 2 x + 1) I4 = ∫4x + 4x + 1 2 dx = 4 2 4x + 4x + 1 ∫ dx = 4 4 x2 + 4 x + 1 ∫ ∫ ( 2 x + 1) 2 = 4 ∫ 4x + 4x + 1 2 − ∫ ( 2 x + 1)2 2 ( 1 d 4x + 4x + 1 ) d ( 2 x + 1) 1 1 1 1 = 4 ∫4x + 4x + 1 2 − ( 2 x + 1) 4 2 ∫ = ln 4 x 2 + 4 x + 1 + 2x + 1 + C = ln 2 x + 1 + 2 2x + 1 + C. 4x2 − 3  12 x + 12  dx d ( 2 x + 3) 6 b) I 5 = ∫ dx = ∫ 1 − 2  dx = ∫ dx − 12 ∫ = x − 6∫ =x+ + C. 4 x + 12 x + 9  4 x + 12 x + 9  ( 2 x + 3) ( 2 x + 3) 2x + 3 2 2 2 1 − 5x 1 − 5x c) I 6 = ∫ 9x 2 − 24 x + 16 dx = ∫ ( 3x − 4 ) 2 dx Cách 1: t+4 5(t + 4)  1− x = 1 − 5x dt 1 5t + 17 ∫ ∫ ∫ t t = 3 x − 4   → 3  I 6 = → dx = 3 =− dt  dt = 3dx  ( 3x − 4 ) 2 t 2 3 9 t2 1 17  1 17  5 17 = −  5ln t −  + C  I 6 = −  5ln 3 x − 4 − →  + C = − ln 3 x − 4 + + C. 9 t  9 3x − 4  9 9(3x − 4) Cách 2: 5 17 − ( 3x − 4 ) − 1 − 5x 3 dx = − 5 dx 17 dx 5 d ( 3 x − 4 ) 17 d ( 3x − 4 ) I6 = ∫ ( 3x − 4 ) 2 dx = ∫ 3 ( 3x − 4 ) 2 −∫ 3 3x − 4 3 ( 3 x − 4 ) 2 =− 9 ∫ 3x − 4 − ∫ 9 ( 3x − 4 )2 ∫ 5 17 1 5 17 = − ln 3x − 4 + . + C  I 6 = − ln 3x − 4 + → + C. 9 9 3x − 4 9 9 ( 3x − 4 ) TH3: Q(x) = 0 vô nghi m 2  b  4ac − b 2 ≡ ( mx + n ) + k 2 2 Khi ó, Q(x) ư c bi u di n dư i d ng Q( x) = ax + b + c = a  x + 2  +  2a  4a  1  dx = a d ( ax + b )  N u P(x) là h ng s thì ta s d ng các bi n i sau   du 1 u   ∫ u 2 + a 2 = a arctan  a  + C   N u P(x) = αx + β thì ta có phân tích sau: α bα ( 2ax + b ) + β − I =∫ 2 αx + β dx = ∫ 2a 2a dx = α ( 2ax + b ) dx dx +  β − bα  dx ax + bx + c ax + bx + c 2 2a ∫ ax 2 + bx + c  2a  ∫ ax 2 + bx + c   bα ( α d ax + bx + c 2  ) bα  dx α β− 2a dx = ∫ ax 2 + bx + c dx +  β − 2a  ∫  b 2 4ac − b 2 = 2a ln ax + bx + c + a ∫  b 2 4ac − b2 2  2a  a x +  + x+  +  2a  4a  2a  4a 2 bα  b   bα  β− dx+  2β −  α 2a  2a  α  2a  2ax + b = ln ax 2 + bx + c + ∫  b 2 4ac − b2 = 2a ln ax + bx + c + 4ac − b2 arctan 4ac − b2 + C. 2 2a a x+  +  2a  4a 2 H c offline: Ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  7. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 N u P(x) có b c l n hơn ho c b ng 2 thì ta chia a th c, quy bài toán v hai trư ng h p có b c c a P(x) như trên gi i. Nh n xét: Nhìn vào bi u th c c a bài toán t ng quát trên có th ban u làm cho các b n phát ho ng, nhưng ng quá b n tâm n nó, b n ch c n n m ư c ý tư ng th c hi n c a nó là phân tích t s có ch a o hàm c a m u s , r i tách thành hai bài toán nh hơn u thu c d ng ơn gi n ã h c. Ví d 1. Tìm nguyên hàm c a các hàm s sau: dx dx dx a) I1 = 2 ∫ x + 2x + 3 b) I 2 = ∫ 2 4x + 4x + 2 c) I 3 = 9 x + 24 x + 20 2 ∫ Hư ng d n gi i: dx dx d ( x + 1) 1  x +1 a) I1 = 2 ∫ = = ∫ = arctan ∫  + C. x + 2x + 3 ( x + 1) + 2 ( x + 1)2 + 2 ( ) 2 2 2  2  dx dx 1 d ( 2 x + 1) 1 b) I 2 = ∫ =∫ = ∫ = arctan ( 2 x + 1) + C. 4x + 4x + 2 ( 2 x + 1) + 1 2 ( 2 x + 1) + 1 2 2 2 2 2 dx dx d ( 3x + 4 ) 1  3x + 4  c) I 3 = ∫ 9 x + 24 x + 20 2 = ∫ ( 3x + 4 ) 2 +4 = ∫ ( 3x + 4 ) 2 +22 = arctan  2  2   + C. Ví d 2. Tìm nguyên hàm c a các hàm s sau: 3x + 5 4x −1 2 x4 − x a) I 4 = ∫ 2 x 2 + x + 10 dx b) I 5 = ∫ 2 6x + 9x + 4 dx c) I 6 = 2 x + 2x + 7 dx ∫ Hư ng d n gi i: 3 17 ( 4 x + 1) + 3x + 5 4 dx = 3 ( 4 x + 1) dx + 17 dx a) I 4 = ∫ 2 x + x + 10 2 dx = 4 2 2 x + x + 10 ∫ 4 2 x + x + 10 4 2 x + x + 10 2 2 ∫ ∫ d (2x 2 + x + 10 ) + 17 = 3 4 ∫ 2 x + x + 10 2 dx x 3 8 ∫ = ln 2 x 2 + x + 10 + 17 ( dx 2 ) ∫ x2 + + 5 4 8  1  79 x+  + 2   4  16  1 dx+   4x + 1  3 ( = ln 2 x 2 + x + 10 + 4 17 8  ) 4 ∫ 2 3 = ln 2 x 2 + x + 10 + . 4 17 4 8 79 ( arctan   79  ) + C. 1   79  2 x+  +   4  4    4x + 1  3 V y I 4 = ln 2 x 2 + x + 10 + 4 ( 17 2 79 arctan  )  79   + C. 1 4x − 1 (12 x + 9 ) − 4 1 (12 x + 9 ) dx dx b) I 5 = ∫ 2 dx = ∫ 3 2 dx = ∫ 2 dx − 4∫ 2 6x + 9x + 4 6x + 9x + 4 3 6x + 9x + 4 6x + 9x + 4 1 d (6x + 9x + 4) d ( 3 x + 1) 2 = ln ( 6 x 2 + 9 x + 4 ) − ∫ dx 1 4 = ∫ dx − 4∫ 6x + 9x + 4 ( 3x + 1) + 3 3 3 ( 3 x + 1)2 + 3 2 ( ) 2 2 3  3x + 1   3x + 1  = ln ( 6 x 2 + 9 x + 4 ) − .  + C  I 5 = 3 ln ( 6 x + 9 x + 4 ) − 1 4 1 1 4 arctan  → 2 arctan   + C. 3 3 3  3  3 3  3  2 x4 − x  25 x − 7  2 x3 25 x − 7 c) I 6 = 2 ∫ x + 2x + 7  ∫ dx =  2 x 2 − 4 x + 1 + 2 x + 2x + 7   dx = 3 − 2x2 + x + 2 x + 2x + 7 dx ∫ 25 25 x − 7 ( 2 x + 2 ) − 32 25 ( 2 x + 2 ) dx dx t J= 2 ∫ x + 2x + 7 dx = 2 2 x + 2x + 7 ∫ dx = 2 x + 2x + 7 2 dx − 32 2 ∫ x + 2x + 7 ∫ H c offline: Ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  8. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 ( 25 d x + 2 x + 7 2 ) d ( x + 1) = ∫ dx − 32 dx ∫ ( x + 1) = 25 ( ) ln x 2 + 2 x + 7 − 32 ∫ x2 + 2 x + 7 ( x + 1)2 + ( ) 2 2 2 +6 2 6 x +1  x +1 25 2 ( ln x 2 + 2 x + 7 − 32 6 )arctan 6  I 6 = → 2 x3 3 25 − 2 x 2 + x + ln x 2 + 2 x + 7 − 2 32 6 ( arctan   6   + C. ) T ng k t: Qua ba ph n trình bày v hàm phân th c có m u s là b c hai, chúng ta nh n th y i m m u ch t gi i quy t bài toán là x lý m u s . P ( x) 1 A B  ax 2 + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 )  2→ =  +  ax + bx + c a  x − x1 x − x2  P ( x) du 1 u ax 2 + bx + c = ( mx + n ) + k 2  ∫ 2 N u → = arctan + C ax + bx + c 2 u +α 2 α α2 du 1 ax 2 + bx + c = ( mx + n )  ∫ 2 = − + C 2 → u u III. M U S LÀ A TH C B C BA Khi ó Q(x) = ax + bx2 + cx + d. Ta có b n kh năng x y ra v i Q(x). 3 TH1: Q(x) = 0 có 3 nghi m phân bi t x1; x2; x3 Tương t như trư ng h p m u s là b c hai có hai nghi m phân bi t. Ta có cách gi i truy n th ng là phân tích và ng nh t h s . Ngoài ra ta còn có th s d ng phương pháp bi n i t s ch a o hàm c a m u (tùy thu c vào bi u th c c a t s là b c m y) P ( x) A B C Ta có Q( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d = a ( x − x1 )( x − x2 ) ( x − x3 )  → = + + Q ( x) x − x1 x − x2 x − x3 ng nh t h s hai v ta ư c A, B, C. Bài toán quy v nguyên hàm có m u s là b c nh t ã xét trên. Chú ý: vi c ng nh t ư c, thì ta v n ph i tuân th nguyên t c là bi n i sao cho b c c a t s ph i nh hơn b c c a m us . Ví d 1. Tìm nguyên hàm c a các hàm s sau: dx 6 x2 + x − 2 3x 4 − x 2 + 3x − 7 a) I1 = ∫ ( ( x − 2) x2 − 9 b) I 2 = ) x x2 − 1 ∫ ( dx ) c) I 3 = x x2 + x − 2 dx ∫ ( ) Hư ng d n gi i: dx dx a) I1 = ∫ ( x − 2) x − 9 2 ( = ) ∫ ( x − 2 )( x + 3)( x − 3) 1 A B C Ta có = + +  1 ≡ A( x 2 − 9) + B( x − 2)( x − 3) + C ( x − 2)( x + 3) → ( x − 2 )( x + 3)( x − 3) x − 2 x + 3 x − 3  1 A = − 5 0 = A + B + C    1 ⇔ 0 = −5B + C ⇔ B = 1 = −9 A + 6 B − 6C  30   1 C = 6  Nh n xét: Ngoài cách gi i truy n th ng trên, chúng ta có th bi n i cách khác như sau mà không m t nhi u th i gian cho vi c tính toán, suy nghĩ: dx 1 ( x + 3) − ( x − 3) 1 dx 1 dx I1 = ∫ = ∫ ( x − 2 )( x + 3)( x − 3) 6 ( x − 2 )( x + 3)( x − 3) dx = 6 ( x − 2 )( x − 3)∫dx − 6 ( x − 2 )( x + 3) ∫ n ây, bài toán tr v các d ng bi n i ơn gi n ã xét n! 6 x2 + x − 2 6 x2 + x − 2 b) I 2 = ∫ ( x x2 − 1 dx = ) ∫ x ( x + 1)( x − 1) dx H c offline: Ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  9. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 6 x2 + x − 2 A B C Cách 1: Ta có = + +  6 x 2 + x − 2 ≡ A( x 2 − 1) + Bx( x − 1) + Cx( x + 1) → x ( x + 1)( x − 1) x x + 1 x − 1  A = 2  5  6 = A + B + C  3   3 2 2 + 2  dx = 2ln x + 3 ln x + 1 + 5 ln x − 1 + C . ⇔ 1 = − B + C ⇔  B =  I 2 =  + −2 = − A  2 →   x x +1 x −1  2 2∫   5   C = 2  6 x2 + x − 2 ( ) 2 3 x 2 − 1 + ( x − 1) + 1 ( 3x 2 ) − 1 dx ( x − 1) dx + dx Cách 2: I 2 = ∫ x(x 2 −1 ) dx = ∫ x −x3 dx = 2 ∫ x −x3 dx + ∫ x −x 3 ∫x 3 −x = ( d x3 − x ) dx + dx dx =2 ∫ ∫ x( x + 1) + ∫ x( x − 1)( x + 1) = 2ln x −x +J +K 3 x −x3 ( x + 1) − x dx 1 1  x V i J= ∫ x( x + 1) = ∫ x( x + 1) dx =  −  x x +1 ∫  dx = ln x − ln x + 1 = ln x +1 dx ( x + 1) − x dx dx x − ( x − 1) 1 ( x + 1) − ( x − 1) K= ∫ x( x − 1)( x + 1) = ∫ x( x − 1)( x + 1) dx = x( x − 1) − ∫ ( x + 1)( x − 1) = x( x − 1) ∫ dx − 2 ( x + 1)( x − 1) dx =∫ ∫ x − ( x − 1) 1 ( x + 1) − ( x − 1)  1 1 1  1 1  x −1 1 x −1 = ∫ x( x − 1) dx − ∫ 2 ( x + 1)( x − 1) dx =  −  dx −  x −1 x   ∫ − 2  x −1 x +1   dx = ln x ∫ − ln 2 x +1 x x −1 1 x −1 T ó ta ư c I 2 = 2ln x3 − x + ln + ln − ln + C. x +1 x 2 x +1 Nh n xét: Cách phân tích như trên v n chưa th c s t i ưu, các em hãy tìm l i gi i khác thông minh hơn nhé! 3x 4 − x 2 + 3x − 7  8 x 2 − 3x + 7  2  dx = 3 x − 3 x + J c) I 3 = ∫ ( x x2 + x − 2 dx = 3x − 3 +  ) ∫ x x2 + x − 2  2 ( )   8 x 2 − 3x + 7 8 x 2 − 3x + 7 V i J= ∫ ( x x2 + x − 2 dx = ) ∫ x ( x − 1)( x + 2 ) dx 8 x 2 − 3x + 7 A B C Ta có = + +  8 x 2 − 3 x + 7 ≡ A( x − 1)( x + 2) + Bx( x + 2) + Cx( x − 1) → x ( x − 1)( x + 2 ) x x − 1 x + 2  7 8 = A + B + C A = − 2  7 15    −2 4  7 15 ⇔ −3 = A + 2 B − C ⇔  B = 4  J =    →  x + x −1 x + 2  2 ∫ + 2  dx = − ln x + 4ln x − 1 + ln x + 2 + C. 2 7 = −2 A C = 15    2 3x 2 7 15 V y I3 = − 3 x − ln x + 4ln x − 1 + ln x + 2 + C. 2 2 2 BÀI T P LUY N T P: Bài 1. Tính các nguyên hàm sau: 4x −1 3x + 7 3x 2 + 1 a) I 7 = ∫ dx b) I8 = ∫ dx c) I 9 = ∫ dx x + 2x + 1 2 4x + 4x + 1 2 9 x2 + 6 x + 1 Bài 2. Tính các nguyên hàm sau: 4 x 2 − 3x + 1 2 x 2 + 3x + 2 3 − 2x a) I10 = ∫ dx b) I11 = ∫ dx c) I12 = ∫ dx 4x2 − 4x + 1 x2 − 4 x + 4 x2 − 6x + 9 Bài 3. Tính các nguyên hàm sau: 2 − 3x 3x + 1 dx a) I13 = ∫ dx b) I14 = ∫ dx c) I15 = ∫ x − 4x + 5 2 x + x+2 2 2x − x + 1 2 H c offline: Ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  10. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Bài 4. Tính các nguyên hàm sau: 2x −1 x +1 4x + 1 a) I16 = ∫ dx b) I17 = ∫ dx c) I18 = ∫ dx x −x+4 2 4x + x + 1 2 x − x +1 2 Bài 5. Tính các nguyên hàm sau: dx 2x +1 x2 + x + 1 a) I1 = ∫ b) I 2 = ∫ dx c) I 3 = ∫ dx x( x 2 − 1) ( x + 1)( x 2 − 9) ( x + 2)( x 2 + 4 x + 3) Bài 6. Tính các nguyên hàm sau: 5x + 2 x +1 x2 a) I 4 = ∫ dx b) I 5 = ∫ dx c) I 6 = ∫ dx (1 + x)(4 − x 2 ) x( x 2 − 4) ( x − 1)( x + 2) 2 H c offline: Ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  11. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Tài li u bài gi ng: 04. NGUYÊN HÀM C A HÀM H U T - P3 Th y ng Vi t Hùng P ( x) Xét nguyên hàm c a hàm phân th c h u t I = ∫ dx Q( x) Nguyên t c gi i: Khi b c c a t s P(x) l n hơn Q(x) thì ta ph i chia a th c quy v nguyên hàm có b c c a t s nh hơn m u s . III. M U S LÀ A TH C B C BA Khi ó Q(x) = ax + bx2 + cx + d. Ta có b n kh năng x y ra v i Q(x). 3 TH1: Q(x) = 0 có 3 nghi m phân bi t x1; x2; x3 TH2: Q(x) = 0 có 2 nghi m: m t nghi m ơn, m t nghi m kép Khi ó ta có Q( x) = ax3 + bx 2 + cx + d = a ( x − x1 )( x − x2 ) 2 P( x) P ( x) A Bx + C ng nh t ư c, ta ph i phân tích theo quy t c: = = + Q ( x) a ( x − x1 )( x − x2 ) 2 x − x1 ( x − x2 )2 ng nh t h s hai v ta ư c A, B, C. Bài toán tr v các d ng cơ b n ã xét n. Chú ý: Ngoài vi c s d ng ng nh t, ta cũng có th phân tích t s theo o hàm c a m u gi i. Ví d 1. Tìm nguyên hàm c a các hàm s sau: dx x −1 2 x2 + x + 4 a) I1 = 2∫ x ( x + 2) b) I 2 = ∫ ( x + 1)2 ( 2 x − 3) dx c) I 3 = ∫ x 2 ( 2 x − 1) dx Hư ng d n gi i: dx a) Xét I1 = 2∫ x ( x + 2) Cách 1: ( ng nh t hai v )  1 A = 4 0 = A + B  1 A Bx + C   1 Ta có 2 = +  1 ≡ Ax + ( Bx + C )( x + 2 ) ⇔ 0 = 2 B + C   B = − → 2 → x ( x + 2) x + 2 x 2 1 = 2C  4   1 C = 2   1 1 1  4 − x+  dx 2 dx = 1 dx − 1 dx + 1 dx = 1 ln x + 2 − 1 + C. Khi ó, I1 = 2 ∫ x ( x + 2) =   x+2 ∫ + 4 x 2   ∫ ∫ 4 x + 2 4 x 2 x2 4 ∫ x 2x   Cách 2: (S d ng kĩ thu t phân tích nh y t ng l u ta ư c) 1 1 1 3 x 2 + 4 x − 3x( x + 2) + 2 x + 4 1  3x 2 + 4 x 3 x( x + 2) 2x + 4  = 3 = . =  3 − 3 + 3 = x ( x + 2) x + 2x 2 2 4 x + 2x 3 2 4  x + 2x 2 x + 2x 2 x + 2x2  1  3x 2 + 4 x 3 2  dx 1 3x 2 + 4 x 3 dx 1 dx =  3 4  x + 2x 2 − + 2   I1 = 2 x x  → ∫= x ( x + 2) 4 x + 2x 3 2 ∫ dx − + 4 x 2 x2 = ∫ ∫ ( 1 d x + 2x 3 2 ) 3 1 1 3 1 1 3 1 = 4 ∫ x + 2x 3 2 dx − ln x − 4 2x 4 = ln x3 + 2 x 2 − ln x − 4 2x + C  I1 = ln x3 + 2 x 2 − ln x − → 4 4 2x + C. ( x + 1) − 2 d ( x + 1) = 2 t−2 b) I 2 = ∫( x + 1)  2 ( x + 1) − 5 2 ∫ t ( 2t − 5 ) dt , v i t = x + 1.   Cách 1: ( ng nh t hai v ) H c offline: Ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  12. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95  1  A = − 25 0 = 2 A + C  t−2 At + B C   2 Ta có 2 = +  t − 2 ≡ ( At + B )( 2t − 5 ) + Ct ⇔ 1 = 2 B − 5 A   B = → 2 → t ( 2t − 5 ) t 2 2t − 5 −2 = −5B  5   2 C = 25   1 2 2  t −2  − 25 t + 5  1 dt 2 dt 1 d ( 2t − 5 ) T ó ta ư c I 2 = 2 ∫ t ( 2t − 5 ) dt =   ∫ t 2 + 25  dt = − 2t − 5  + 25 t 5 t 2 25 ∫ + ∫ 2t − 5 = ∫     1 2 1 1 2t − 5 2 1 2x − 3 2 = − ln t − + ln 2t − 5 + C = ln − + C = ln − + C. 25 5t 25 25 t 5t 25 x + 1 5( x + 1) Cách 2: (S d ng kĩ thu t phân tích nh y t ng l u ta ư c) t−2 1 2 1 ( 2t − 5 ) − 2t 4 ( ) 5 6t 2 − 10t − 3t ( 2t − 5 ) − ( 2t − 5 ) 2 = − 2 =− . − . = t ( 2t − 5 ) t ( 2t − 5 ) t ( 2t − 5 ) 2 5 t ( 2t − 5 ) 25 t ( 2t − 5 ) 2 1 1 2  4  6t 2 − 10t 3 5  = − . − − . − −  5  t 2t − 5  25  2t 3 − 5t 2 t 2t 2   1 dt 1 d ( 2t − 5 ) 4 6t 2 − 10t 12 dt 2 dt 7 dt 1 d ( 2t − 5 ) 4 d 2t − 5t 3 2 2 dt ( ) I2 = − ∫ + 5 t 5 ∫ 2t − 5 − ∫ 25 2t − 5t 3 2 dt + + 25 t 5 t 2 = ∫ + 25 t 5 2t − 5∫ − 25 2t − 5t 3 2 ∫+ 5 t2 = ∫ ∫ ∫ 7 1 4 2 1 1 2 1 2t − 5 2 = ln t + ln 2t − 5 − ln 2t 3 − 5t 2 − + C  I 2 = − ln t + ln 2t − 5 − + C = ln → − + C. 25 5 25 5t 25 25 5t 25 t 5t 1 2x − 3 2 Thay l i t = x + 1 ta ư c I 2 = ln − + C. 25 x + 1 5( x + 1) 2 x2 + x + 4 c) I 3 = ∫ x 2 ( 2 x − 1) dx Cách 1: ( ng nh t hai v ) 2 = 2 A + C  A = −9 2 x 2 + x + 4 Ax + B C   Ta có 2 = +  2 x + x + 4 ≡ ( Ax + B )( 2 x − 1) + Cx ⇔ 1 = − A + 2 B   B = −4 → 2 2 → x ( 2 x − 1) x 2 2x − 1 4 = − B C = 20   2x2 + x + 4  −9 x − 4 20  dx dx 20 4  I 3 = → ∫ x ( 2 x − 1) 2 dx = ∫  x 2 +  dx = −9 2x −1  x ∫ −4 2 + x 2x − 1 ∫ ∫ dx = −9ln x + + 10ln 2 x − 1 + C . x Cách 2: (S d ng kĩ thu t phân tích nh y t ng l u ta ư c) Ta có 2x2 + x + 4 = 2 + 1 + 2 4 = 2 − 2 ( ( 2 x − 1) − 2 x − 4. 6 x − 2 x − 6 x + ( 2 x − 1) = 2 ) x 2 ( 2 x − 1) 2 x − 1 x ( 2 x − 1) x ( 2 x − 1) 2 x − 1 x ( 2 x − 1) x 2 ( 2 x − 1) 2 1 2 ( 6x2 − 2 x )24 4  1 − 2  I 3 =  − − 4. 2 6 x2 − 2x 28 4  ( − 2  dx = ) = − + 2x − 1 x 2x − 1 − 4. 2 x3 − x 2 + 2x −1 x →  x ∫ + x ( 2 x − 1) 2 x − 1 x    4 4 = − ln x − 4ln 2 x3 − x 2 + 14ln 2 x − 1 + + C = −9ln x + 10ln 2 x − 1 + + C . x x TH3: Q(x) = 0 có 1 nghi m ơn ( ) Khi ó ta có Q ( x) = ax3 + bx 2 + cx + d = ( x − x1 ) mx 2 + nx + p , trong ó mx 2 + nx + p = 0 vô nghi m. P( x) P ( x) A Bx + C ng nh t ư c, ta ph i phân tích theo quy t c: = = + 2 ( Q ( x) ( x − x1 ) mx + nx + p x − x1 mx + nx + p 2 ) ng nh t h s hai v ta ư c A, B, C. Bài toán tr v các d ng cơ b n ã xét n. Chú ý: H c offline: Ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  13. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 du 1 u - Nguyên hàm ∫ u 2 + a 2 = u arctan  a  + C.   - Ngoài vi c s d ng ng nh t, ta cũng có th phân tích t s theo o hàm c a m u gi i. Ví d 2. Tìm nguyên hàm c a các hàm s sau: dx 2x + 3 x2 − x + 1 a) I1 = ∫ ( x x +1 2 b) I 2 = ) ( x − 1) x 2 + 4 dx ∫ ( ) c) I 3 = ∫ x(x 2 + x −1 ) dx Hư ng d n gi i: dx a) I1 = ∫ x(x 2 +1 ) Cách 1: ( ng nh t hai v ) 0 = A + B A =1 A Bx + C 1 = + 2   1 ≡ A x + 1 + ( Bx + C ) x ⇔ 0 = C → 2    B = −1 → ( ) ( x x +1 2 x x +1 ) 1 = A  C = 0  −x  −x 1 d x +1 2 ( ) 1 ∫ ( dx dx 1 ( ) ) ∫ ∫ ∫ ∫ Khi ó, I1 = =  + 2  dx = + 2 dx = ln x − = ln x − ln x 2 + 1 + C . x x +1  x x +1 x +1 x +1 2 2 x 2 2 Cách 2: (S d ng kĩ thu t phân tích nh y t ng l u ta ư c) (x 2 + 1 − x2 ) 1 = = 1 − x  I1 = → dx − 2 xdx ∫ 1 ∫ dx = ln x − ln x 2 + 1 + C. ( ) ( x x +12 ) ( x x +1 2 ) x x2 + 1 x x +1 2 2x + 3 b) I 2 = ∫ ( x − 1) ( x 2 +4 ) dx Cách 1: ( ng nh t hai v )  3 A = 5 0 = A + B  2x + 3 Bx + C = A + 2    2 x + 3 ≡ A x + 4 + ( Bx + C )( x − 1) ⇔ 2 = − B + C   B = − → 2 → 3 ( ) ( ( x − 1) x 2 + 4 x − 1 x + 4 ) 3 = 4 A − C   5  7 C = 5  2x + 3 3 dx 1 −3 x + 7 3 3 x dx 7 dx Khi ó ta có I 2 = ( ) ( x − 1) x + 4 2 dx =∫ ∫ ∫ + . 2 5 x −1 5 x + 4 5 = ln x − 1 − + 5 x +4 5 x +4 2 2 = ∫ ∫ = ln x − 1 − ln ( x + 4 ) + . arctan   + C = ln x − 1 − ln ( x ) 3 3 7 1 x 3 3 7  x 2 2 +4 + arctan   + C . 5 10 5 2 2 5 10 10 2 Cách 2: (S d ng kĩ thu t phân tích nh y t ng l u ta ư c) 2x + 3 2 ( x − 1) + 3 2t + 3 2 3 Ta có = = 2 = 2 + 2 ; t = x −1 ( ) ( x − 1) x + 4 ( x − 1) ( x − 1) + 2 ( x − 1) + 5 t t + 2t + 5 t + 2t + 5 t t + 2t + 5 2  2  ( ) ( ) Mà 1 3t + 4t − 3 t + 2t + 5 + 2t 3 =− . 2 2 1 3t 2 + 4t =− . 3 ( 3 2 + − . 2 1 ) ( ) ( t t + 2t + 5 2 5 ) t t + 2t + 5 2 5 t + 2t + 5 5t 5 t + 2t + 5 2 ( ) Suy ra 2 3 1 3t 2 + 4t 3 2 1 2 1 3t 2 + 4t 3 8 1 + 2 =− . 3 + − . 2 + 2 =− . 3 + − . 2 t + 2t + 5 t t + 2t + 5 2 ( 5 t + 2t + 5 5t 5 t + 2t + 5 t + 2t + 5 2 ) 5 t + 2t + 5 5t 5 t + 2t + 5 2 2x + 3 2t + 3 1 3t 2 + 4t 3 dt 8 dt Thay vào ta ư c I 2 = ∫ ( x − 1) ( x 2 +4 ) dx = ∫( t t + 2t + 5 2 dt = − . 3 ) ∫ 5 t + 2t + 5 2 dt + − . 5 t 5 ∫ ∫ ( t + 1) 2 +4 = 1 3 8 1  t +1 1 3 8 1  t +1 = − ln t 3 + 2t 2 + 5 + ln t − . arctan   + C = − ln t + 2t + 5 + ln t − . arctan  3 2  + C. 5 5 5 2  2  5 5 5 2  2  TH4: Q(x) = 0 có 1 nghi m b i ba: Trư ng h p này d , th y b qua! H c offline: Ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  14. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 BÀI T P LUY N T P: Phương trình b c ba có hai nghi m (m t nghi m ơn, m t nghi m kép): x −1 x2 + 3 2x2 + 1 7) I 7 = ∫ dx 8) I8 = ∫ dx 9) I 9 = ∫ dx x ( x + 1) 2 ( x + 2)2 (2 x − 1) x( x 2 + 2 x + 1) 4x + 1 4−x x+5 10) I10 = ∫ dx 11) I11 = ∫ 2 dx 12) I12 = ∫ dx (2 x − 1)( x + 1) 2 2 x (3 − 2 x) ( x + 2)2 ( x + 3) Phương trình b c ba có m t nghi m b i ba: 2−x 3x − 2 (3 x 2 + 2 x)dx 13) I10 = ∫ dx 14) I14 = ∫ dx 15) I15 = ∫ ( x + 2)3 (2 x + 1)3 (4 x + 3)3 x4 x3 − 1 x2 − 4 16) I16 = ∫ dx 17) I17 = ∫ dx 18) I18 = ∫ dx ( x + 2)3 ( x + 1)3 ( x − 1)3 Phương trình b c ba có m t nghi m ơn: 2x + 5 3x + 4 2 x dx 19) I19 = ∫ dx 20) I 20 = ∫ dx 21) I 21 = ∫ x( x 2 + x + 1) x3 − 1 x3 + 1 x2 + 1 x+2 4 x2 − 3 22) I 22 = ∫ dx 23) I 23 = ∫ dx 24) I 24 = ∫ dx ( x 2 + 3) x (2 x 2 + 3)( x − 1) (3x 2 + 1)(1 − 2 x) H c offline: Ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

EXAM.05: Bộ 300+ Đề Thi Thử THPT Quốc Gia 2022
304 tài liệu
926 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
8=>2