zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Ôn thi ĐH-CĐ

Luyện thi Đại học Toán chuyên đề: Phương pháp đổi biến số tìm nguyên hàm - Thầy Đặng Việt Hùng

Chia sẻ: Tran Binh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Báo xấu

194
lượt xem 35
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo môn Toán dành cho quý thầy cô và các bạn học sinh với chuyên đề: Phương pháp đổi biến số tìm nguyên hàm. Mời quý thầy cô và các bạn học sinh tham khảo nhằm củng cố kiến thức và ôn thi Đại học đạt kết quả cao nhất.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luyện thi Đại học Toán chuyên đề: Phương pháp đổi biến số tìm nguyên hàm - Thầy Đặng Việt Hùng

Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Tài li u bài gi ng: 03. PP I BI N S TÌM NGUYÊN HÀM – P1 Th y ng Vi t Hùng D ng 1. i bi n s cho các hàm vô t Phương pháp gi i: N u hàm f(x) có ch a n g ( x) thì t t = n g ( x) ⇔ t n = g ( x)  n.t n −1 = g '( x)dx → Khi ó, I = ∫ f ( x)dx = ∫ h(t )dt , vi c tính nguyên hàm ∫ h(t )dt ơn gi n hơn so v i vi c tính ∫ f ( x)dx. M T S VÍ D M U: Ví d 1. Tìm nguyên hàm c a các hàm s sau: xdx x 2 dx a) I1 = ∫ 4x + 1 b) I 2 = x3 x 2 + 2 dx ∫ c) I 3 = ∫ 1− x L i gi i: 2tdt = 4dx t 2 − 1 tdt .  xdx 2 = 1 (t 2 − 1)dt a) t t = 4 x + 1 ⇔ t = 4 x + 1   → t 2 − 1  I1 = → ∫ = ∫ 4 ∫ 2 x = 4x + 1 t 8  4 1t  1  (4 x + 1)  3 3 =  −t+C =  − 4 x + 1  + C. 8 3  8 3    b) t t = x 2 + 2 ⇔ t 2 = x 2 + 2  x 2 = t 2 − 2 ⇔ 2 xdx = 2tdt  x3 dx = x 2 .xdx = (t 2 − 2).tdt → → ( ) ( ) 5 3 x2 + 2 2 x2 + 2 ∫ ( ) ∫( ) t5 t3 Khi ó I 2 = ∫ x + 2 .x dx = t. t − 2 tdt = t − 2t dt = − 2. + C = − +C 2 3 2 4 2 5 3 5 3 dx = −2tdt ( ) 2  x 2 dx 1 − t 2 .tdt c) t t = 1 − x ⇔ t = 1 − x ⇔ x = 1 − t   2 → 2  I 3 = → = −2 ∫ ∫ 2 2 x = 1 − t  2 ( 1− x ) t  t 5 2t 3   (1 − x)5 2 (1 − x)3  ∫( ) ∫( ) 2 = −2 1 − t 2 dt = −2 t 4 − 2t 2 + 1 dt = −2  − + t  + C = −2  − + 1− x  + C 5 3   5 3    (x ) (x ) 5 3 2 +2 2 2 +2 ∫ ( ) ∫ (t ) t5 t3 Khi ó I 2 = ∫ x + 2 .x dx = t. t − 2 tdt = − 2t dt = − 2. + C = − + C. 2 3 2 4 2 5 3 5 3 Ví d 2. Tìm nguyên hàm c a các hàm s sau: ln x dx ln 2 x dx ln x 3 + 2ln x dx a) I 4 = ∫ x 1 + ln x b) I 5 = x 3 2 − ln x ∫ c) I 6 = ∫ x L i gi i: ln x = t − 1 ( ) 2  ln x dx t 2 − 1 .2tdt a) t t = 1 + ln x ⇔ t = 1 + ln x   dx →  I 4 = → = ∫ ∫ 2  = 2tdt 1 + ln x x t x  t3   (1 + ln x)3  2 (1 + ln x)3 = 2 ∫ ( t 2 − 1) dt = 2  − t  + C = 2  − 1 + ln x  + C  I 4 = → − 2 1 + ln x + C . 3   3  3   ln x = 2 − t 3  ln 2 x dx (2 − t 3 ) 2 .3t 2 dt t t = 2 − ln x ⇔ t = 2 − ln x   dx →  I 5 = → ∫ = ∫ 3 3 b) .  = 3t dt 2 3 2 − ln x x t  x H c offline: Ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95  t 8 4t 5   3 (2 − ln x)8 4 3 (2 − ln x)5  = 3∫ ( t 7 − 4t 4 + 4t ) dt = 3  − + 2t 2  + C = 3  − + 2 3 (2 − ln x)2  + C 8 5   8 5     t2 − 3  ln x =  2 c) t t = 3 + 2ln x ⇔ t 2 = 3 + 2ln x   →  2dx = 2tdt  x  ln x 3 + 2ln x dx  t2 − 3  ∫ (t ) dx 1 ó ta có I 6 = ∫ ∫ = ln x 3 + 2ln x . =   .t.tdt = ∫ − 3t 2 dt 4 T x x  2  2 1  t5  t5 t3 ( 3 + 2 ln x )5 ( 3 + 2ln x )3 ( 3 + 2ln x )5 ( 3 + 2ln x )3 =  − t3  + C = − + C = − + C  I 6 = → − + C. 2 5  10 2 10 2 10 2 Ví d 3. Tìm nguyên hàm c a các hàm s sau: dx e 2 x dx dx dx a) I 7 = ∫ b) I8 = ∫ c) I 9 = ∫x d) I10 = ∫x ex −1 ( ) x +4 x4 + 1 3 2 ex + 1 L i gi i: e x = t 2 − 1 e x = t 2 − 1   a) t t = e − 1 ⇔ t = e − 1   x x 2 x → ← → 2tdt e dx = 2tdt  dx = 2  t −1 dx 2tdt 2dt 2dt (t + 1) − (t − 1) dt dt Khi ó I 7 = e −1 x = t.(t − 1) 2 ∫= 2 t −1 = ∫ (t − 1)(t + 1) = ∫(t − 1)(t + 1) ∫dt = t −1 − t +1 ∫ ∫ ∫ t −1 ex −1 −1 ex −1 − 1 = ln t − 1 − ln t + 1 + C = ln + C = ln + C  I 7 = ln → + C. t +1 ex − 1 + 1 ex −1 + 1 e x = t 2 − 1  e 2 x dx e x .e x dx (t 2 ) − 1 .2tdt t t = e + 1 ⇔ t = e + 1   x →  I8 = → ∫ = ∫ = ∫ x 2 x b) e dx = 2tdt (e ) (e ) 3  3 3 t x +1 x +1 (t 2 − 1 .2tdt) t2 −1  dt   1  1  = ∫ t3 =2 ∫ t2  ∫ t  ∫ dt = 2  dt − 2  = 2  t +  + C = 2  e x + 1 +  t    + C.  ex + 1   x2 = t 2 − 4 x2 = t 2 − 4   c) t t = x 2 + 4 ⇔ t 2 = x 2 + 4   → ←  dx xdx → tdt 2 xdx = 2tdt   = 2 = 2 x x t −4 dx 1 dx 1 tdt dt 1 (t + 2) − (t − 2) 1  dt dt  Khi ó, I 9 = x x2 + 4 = ∫ x2 + 4 x = . 2 t t −4 = 2∫ = ∫ t − 4 4 (t + 2)(t − 2) dt =  4 t −2 −∫t +2  ∫ ∫ ∫ − x2 + 4 − 2 x2 + 4 − 2 = 1 ( ln t − 2 − ln t + 2 ) + C = 1 ln tt + 2 + C = 1 ln + C  I 9 = → 1 ln + C. 4 4 2 4 x2 + 4 + 2 4 x2 + 4 + 2  x4 = t 2 − 1  x4 = t 2 − 1   d) t t = x 4 + 1 ⇔ t 2 = x 4 + 1   3 → ←  dx x3 dx → tdt  4 x dx = 2tdt   = 4 = x x 2(t 2 − 1) dx 1 dx 1 tdt 1 dt 1 (t + 1) − (t − 1) Khi ó, I10 = x x4 + 1 = ∫. = . 2 x4 + 1 x =∫ = ∫ t 2(t − 1) 2 t − 1 4 (t + 1)(t − 1) 2 dt ∫ ∫ 1  dt dt  1 1 t −1 x4 + 1 − 1  = ( ln t − 1 − ln t + 1 ) + C = ln 1 =  4  t −1 ∫ − t +1 4 ∫ 4 t +1 + C = ln 4 x4 + 1 + 1 + C. Ví d 4. Tìm nguyên hàm c a các hàm s sau: H c offline: Ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 dx x dx a) I11 = ∫1+ 2 − 5x b) I12 = ∫1− 2 + x2 x 3 dx 1 + 4ln 2 x ln x c) I13 = ∫ 3 4 + x2 d) I14 = ∫ x dx L i gi i: 2tdt a) t t = 2 − 5 x ⇔ t 2 = 2 − 5 x ⇔ 2tdt = −5dx  dx = − → 5 2 1+ t −1 2  1   dt = − ( t − ln t + 1 ) + C dx 2 t dt 2 Khi ó, I11 = ∫ 1 + 2 − 5x =− 5 1+ t ∫ =− 5 1+ t ∫ dt = − 1 − 5  1+ t  ∫ 5  I11 = − → 2 5 ( 2 − 5 x − ln 2 − 5 x + 1 + C . ) b) t t = 2 + x 2 ⇔ t 2 = 2 + x 2 ⇔ 2tdt = 2 xdx  xdx = tdt → x dx t dt 1 − (1 − t )  1  d (1 − t ) Khi ó, I12 = 1− 2 + x ∫ 2 = 1− t ∫= 1− t ∫ dt =   ∫ − 1 dt = − 1− t  1− t ∫ − dt = − ln 1 − t − t + C ∫  I12 = − ln 1 − 2 + x 2 − 2 + x 2 + C . → x2 = t3 − 4  x2 = t 3 − 4 c)  t t = 3 4 + x 2 ⇔ t 3 = 4 + x 2   2 → 3t dt = 2 xdx  ←  → 3 3 3t 2 dt  x dx = 2 t − 4 t dt → 3 2 ( )    xdx =  2 3 ( t − 4 ) t dt 3 4 33 ( 4 + x ) 2 5 33 ( 4 + x2 ) 2 3 2 x 3 dx 3  t5 2  I13 = ∫ → = ∫ = ∫ ( t − 4t ) dt =  − 2t  + C = − + C. 3 4 + x2 2 t 2 2 5  10 4 dx ln x dx tdt d) t t = 1 + 4 ln 2 x ⇔ t 2 = 1 + 4ln 2 x ← 2tdt = 4.2ln x.  → → = x x 4 (1 + 4 ln x ) 2 3 ln x dx tdt 1 2 t3  I14 = → ∫ 1 + 4ln 2 x x ∫ = t. = 4 4 ∫ t dt = + C = 12 12 + C. BÀI T P LUY N T P 4 − 3x xdx 1) I1 = ∫ dx 2) I 2 = ∫ x +1 2x + 1 x +1 dx 3) I 3 = ∫ x dx 4) I 4 = ∫1+ 1 + 3x xdx 5) I 7 = ∫ 6) I 6 = ∫ x 3 1 − x 2 dx 1 + 2x −1 7) I 7 = ∫ x 3 x + 4 dx 8) I 8 = ∫ x 2 3 − 2 x dx x 3 dx dx 9) I 9 = ∫ 10) I10 = ∫ 3 1 + x2 x x3 + 1 dx 1 + 3ln x ln x 11) I11 = ∫ x3 x 2 + 4 12) I12 = ∫ x dx e 2 x dx dx 13) I13 = ∫ 14) I14 = ∫ ( ) 2 1+ e −1 x x 1+ x H c offline: Ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Tài li u bài gi ng: 03. PP I BI N S TÌM NGUYÊN HÀM – P2 Th y ng Vi t Hùng D ng 2. PP lư ng giác hóa dx = d (a sin t ) = a cos t dt  N u hàm f(x) có ch a a 2 − x 2 thì t x = a sin t   2 →  a − x = a − a sin t = a cos t 2 2 2 2   adt dx = d (a tan t ) = cos 2 t  N u hàm f(x) có ch a a 2 + x 2 thì t x = a tan t   →  a 2 + x 2 = a 2 + a 2 tan 2 t = a   cos t M T S VÍ D M U: Ví d 1. Tìm nguyên hàm c a các hàm s sau: dx a) I1 = ∫ ; ( a = 2) b) I 2 = ∫ 1 − x 2 dx ; ( a = 1) 4 − x2 x 2 dx c) I 3 = ∫ ; ( a = 1) d) I 4 = x 2 9 − x 2 dx ; ( a = 3) ∫ 1− x 2 L i gi i:   dx = d (2sin t ) = 2cos t dt dx 2cos t dt a) t x = 2sin t   →  I1 = ∫ → =∫ = ∫ dt = t + C  4 − x = 4 − 4sin t = 2cos t 4− x 2 2  2 2cos t x  x T phép t x = 2sin t ⇔ t = arcsin    I1 = arcsin   + C → 2 2 dx = d (sin t ) = cos t dt  b) t x = sin t   →  1 − x = 1 − sin t = cos t 2 2  1 + cos 2t 1 1 t 1 Khi ó I 2 = ∫ ∫ 1 − x 2 dx = cos t.cos t dt = ∫ 2 dt = 2∫dt + 2 ∫ cos 2t dt = + sin 2t + C 2 4 cos t = 1 − sin 2 t = 1 − x 2  T x = sin t ⇒   sin 2t = 2sin t.cos t = 2 x 1 − x 2 →   t = arcsin x arcsin x 1  I 2 = → + x 1 − x2 + C 2 2 dx = d (sin t ) = cos t dt  c) t x = sin t   →  1 − x = 1 − sin t = cos t 2 2  x 2 dx sin 2 t.cos t dt 1 − cos2t 1 1 Khi ó, I 3 = ∫ =∫ = ∫ sin 2 t dt = ∫ dt = t − sin 2t + C 1 − x2 cos t 2 2 4 cos t = 1 − sin 2 t = 1 − x 2  T x = sin t ⇒   sin 2t = 2sin t.cos t = 2 x 1 − x 2 → t = arcsin x  arcsin x 1  I 3 = → − x 1 − x2 + C 2 2  dx = d (3sin t ) = 3cos t dt  d) t x = 3sin t   →  9 − x = 9 − 9sin t = 3cos t 2 2  81 81 1 − cos4t ∫ ∫ ∫ Khi ó, I 4 = x 2 9 − x 2 dx = 9sin 2 t.3cos t.3cos t dt = 81 sin 2 t.cos 2 t dt = 4 sin 2 2t dt = 4∫ 2 ∫ dt H c offline: Ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 81  1 1  81  t 1  = 4 ∫ ∫  2 dt − 2 cos4t dt  = 4  2 − 8 sin 4t  + C     x2 cos t = 1 − sin t = 1 − 2  9 2x x2 T x = 3sin t ⇒   sin 2t = → 1− t = arcsin  x  3 9     3 2  x 2x2 2x x2  2x2  M t khác, cos2t = 1 − 2sin 2 t = 1 − 2   = 1 −  sin 4t = 2sin 2t.cos2t = 2. → 1 − .1 −  3 9 3 9  9    x   arcsin  3  x x  2x  2 2  T ó ta ư c I 4 =  81  − 1 − .1 −   + C. 4 2 6 9  9      Ví d 2. Tìm nguyên hàm c a các hàm s sau: dx x 2 dx a) I1 = 2∫ ; ( a = 1) b) I 2 = x 2 + 2 x + 5 dx ∫ c) I 3 = ∫ ; ( a = 2) x +1 x2 + 4 L i gi i:  dt  dx = d (tan t ) = = (1 + tan 2 t )dt (1 + tan 2 t )dt a) t x = tan t   → cos 2 t  I1 = ∫ → = ∫ dt = t + C 1 + x 2 = 1 + tan 2 t 1 + tan 2 t  T gi thi t t x = tan t ⇔ t = arctan x  I1 = arctan x + C. → t = x +1 b) Ta có I 2 = ∫ x 2 + 2 x + 5 dx = ∫ ( x + 1) 2 + 4 d ( x + 1)  I = → ∫ t 2 + 4 dt  2du  dt = d (2 tan u ) = cos 2 u  2du du cos u du  I 2 = ∫ =∫ cos u ∫ cos 2 u t t = 2 tan u   → → =  4 + t 2 = 4 + 4 tan 2 u = 2 2 .cos 2 u   cos u cos u d (sin u ) 1 (1 + sin u ) + (1 − sin u ) 1 d (sin u ) 1 d (sin u ) 1 1 + sin u =∫ = ∫ d (sin u ) = ∫ 2 1 − sin u 2 ∫ 1 + sin u 2 1 − sin u + = ln + C. 1 − sin u 2 (1 + sin u )(1 − sin u ) 2 t 1 t2 4 t2 T phép t t = 2 tan u ⇔ tan u =  → = 1 +  sin 2 u = 1 − cos 2u = 1 − → = 2 cos 2 u 4 4 + t2 4 + t2 t x +1 1+ 1+ 1 1 + sin u 1 4 + t + C = 1 ln 2 x + 2 x + 5 + C. 2 T ó ta ư c I 2 = ln + C = ln 2 1 − sin u 2 1− t 2 1− x +1 4+t 2 x + 2x + 5 2  2dt  dx = d (2 tan t ) = cos 2 t = 2(1 + tan t ) dt 2 c) t x = 2 tan t  →  x 2 + 4 = 4 tan 2 t + 4  4 tan t.2(1 + tan 2 t ) dt 2 sin 2 t sin 2 t.cos t dt sin 2 t. d (sin t )  I 3 = ∫ → = 4 ∫ tan 2 t 1 + tan 2 t dt = 4 ∫ dt = 4 ∫ = 4∫ cos3 t cos 4 t (1 − sin 2 t ) 2 2 1 + tan 2 t 2  1 (1 + u ) − (1 − u )  2 u2  u  t u = sin t  I 3 = 4∫ → du = 4 ∫  2  du = 4 ∫   du (1 − u 2 ) 1− u   2 (1 + u )(1 − u )  2 d (1 − u ) d (1 + u ) (1 − u ) + (1 + u )du 2  1 1  du du 2du = ∫ −  du = ∫ +∫ −∫ = −∫ +∫ −∫ 1− u 1+ u  (1 − u ) (1 + u ) (1 − u )(1 + u ) (1 − u ) (1 + u ) (1 − u )(1 + u ) 2 2 2 2 1 1  1 1  1 1 du du 1 1 1− u 1+ u ∫1+ u 1− u  1− u 1+ u ∫1+ u ∫1− u − − −  +  du = − − − − =− − − ln 1 + u + ln u − 1 + C 1− u 1+ u H c offline: Ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 1 1 u −1 1 1 u −1 1 1 sin t − 1 = − + ln + C  I 3 = → − + ln +C = − + ln + C. u −1 1+ u u +1 u −1 u +1 u +1 sin t − 1 sin t + 1 sin t + 1 x 1 x2 4 x2 T gi thi t x = 2 tan t ⇔ tan t =  → = 1 + tan 2 t = 1 + ⇔ cos 2t =  sin 2 t = → 2 cos 2t 4 4 + x2 4 + x2 x −1 ⇔ sin t = x  I 3 = → 1 − 1 + ln 4 + x2 + C. 4 + x2 x x x −1 +1 +1 4 + x2 4 + x2 4 + x2 Ví d 3. Tìm nguyên hàm c a các hàm s sau: dx dx dx a) I1 = ∫ x2 − 1 b) I 2 = x2 x2 − 4 ∫ c) I 3 = x2 − 2x − 2 ∫ L i gi i:   1  − cos t dt  dx = d  sin t  = sin 2t  − cos t dt 1     dx = sin 2 t dx − cos t dt a) t x =   → ←  →  I1 = ∫ → =∫ 2 sin t  x2 − 1 = 1  x 2 − 1 = cot t x −1 2 sin t.cot t  2 −1   sin t sin t dt d (cos t ) d (cos t ) 1 (1 − cos t ) + (1 + cos t ) 1 1 + cos t = −∫ =∫ =∫ = ∫ d (cos t ) = ln + C. 2 sin t 1 − cos t 2 (1 − cos t )(1 + cos t ) 2 (1 − cos t )(1 + cos t ) 2 1 − cos t x2 − 1 1+ 1 1 x −1 2 1 x T phép t x=  cos 2 t = 1 − sin 2 t = 1 − 2 ⇔ cos t = →  I1 = ln → + C. sin t x x 2 x −1 2 1− x   2  −2cos t dt  −2 cos t dt dx = d  sin t  = sin 2 t  dx = sin 2 t 2     b) t x =   → ← → sin t  x2 − 4 = 4 −4  x 2 − 4 = 2cot t ⇒ x 2 x 2 − 4 = 8cot t   2 sin t   sin 2 t dx −2cos t dt 1 1 Khi ó, I 2 = ∫ x x −4 2 2 = ∫ 8cot t 4 4∫ = − sin t dt = cos t + C. sin 2 t. 2 sin t 2 4 x2 − 4 x2 − 4 T x=  cos 2t = 1 − sin 2 t = 1 − 2 ⇔ cos t = →  I 2 = → + C. sin t x x 4x dx d ( x − 1) t = x −1 dt dt c) I 3 = ∫ = ∫  I 3 = → ∫ = ∫ x − 2x − 2 ( x − 1) − 3 t −3 ( ) 2 2 2 2 t2 − 3   3  − 3 cos u du  dt = d   sin u  =   − 3 cos u du 3    sin 2u  dt = t t=   → ←  → sin 2 u sin u  2 3  2  t −3 = 2 −3  t − 3 = 3 cot u  sin u dt − 3 cos u du sin u du d (cos u ) d (cos u )  I 3 = ∫ → =∫ = −∫ =∫ =∫ t −3 2 2 sin u. 3 cot u 2 sin u 1 − cos u 2 (1 − cos u )(1 + cos u ) 1 (1 − cos u ) + (1 + cos u ) 1 1 + cos u 2∫ = d (cos u ) = ln + C. (1 − cos u )(1 + cos u ) 2 1 − cos u t2 − 3 x2 − 2x − 2 1+1+ 3 3 t −3 2 1 t 1 x −1 T t= ⇒ cos 2u = 1 − 2 ⇔ cos t =  I 3 = ln → + C = ln + C. sin u t t 2 t −3 2 2 x − 2x − 2 2 1− 1− t x −1 Chú ý: T ng h p các k t qu ta thu m t s k t qu quan tr ng sau: H c offline: Ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 dx 1 x ∫x 2 +a 2 = arc tan   + C. a a dx 1 x+a ∫ x 2 − a 2 = 2a ln x − a + C. dx 1 x−a ∫ a 2 − x 2 = 2a ln x + a + C. dx ∫ x 2 ± a = ln x + x ± a + C. 2 BÀI T P LUY N T P x 2 dx 1 − x2 x 2 dx 1) I1 = ∫ 2) I 2 = ∫ dx 3) I 3 = ∫ x2 + 4 x2 4 − x2 1 dx 4) I 4 = ∫ 3x − 2 x 2 dx 5) I 5 = ∫ 2 x 2 + 1 dx 6) I 6 = ∫ 2 x2 − 5 H c offline: Ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

EXAM.01: Bộ 300+ Đề Thi Thử THPT Quốc Gia 2019

315 tài liệu

1700 lượt tải

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.