intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Luyện thi đại học môn Toán chuyên đề khảo sát hàm số

Chia sẻ: Nguyễn Cửu Quang | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:40

Thêm vào BST
Báo xấu
891
lượt xem 358
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luyện thi đại học môn Toán chuyên đề khảo sát hàm số trình bày về đồ thị hàm số và các bài toán liên quan giúp học sinh cũng cố kiến thức về các bài toán khảo sát hàm số.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luyện thi đại học môn Toán chuyên đề khảo sát hàm số

  1. WWW.MATHVN.COM Kh o sát hàm s th hàm s và các bài toán liên quan A. KI N TH C C N NH 1. Tính ơn i u c a hàm s 1.1. nh nghĩa. Cho hàm s f xác nh trên K , v i K là kho ng, o n hay n a kho ng. Khi ó f ng bi n trên K ⇔ ( ∀x1, x 2 ∈ K , x1 < x 2 ⇒ f (x1 ) < f (x 2 )) . f ngh ch bi n trên K ⇔ ( ∀x1, x 2 ∈ K , x1 < x 2 ⇒ f (x1 ) > f (x 2 )) . 1.2. i u ki n c n và Cho hàm s f có o hàm trên kho ng I . Khi ó f ng bi n trên I ⇔ f ′(x ) ≥ 0, ∀x ∈ I và f ′(x ) = 0 ch t i m t s i m h u h n thu c I . f ngh ch bi n trên I ⇔ f ′(x ) ≤ 0, ∀x ∈ I và f ′(x ) = 0 ch t i m t s i m h u h n thu c I . f là hàm h ng trên I ⇔ f ′(x ) = 0, ∀x ∈ I . 2. C c tr c a hàm s 2.1. i u ki n c n có c c tr Cho hàm s f có o hàm t i x 0 . N u hàm s f t c c tr t i x 0 thì f ′(x 0 ) = 0 . 2.2. i u ki n có c c tr 2.2.1. i u ki n th nh t. Cho hàm s f có o hàm trên kho ng (a;b) , x 0 ∈ (a;b) . Khi ó n u f ′(x ) i d u khi x qua x 0 thì f t c c tr t i x 0 . x x0 x x0 f ′ (x ) 0 f ′ (x ) 0 f (x ) C f (x ) C www.MATHVN.com 1
  2. WWW.MATHVN.COM Kh o sát hàm s 2.2.2. i u ki n th hai. Cho hàm s f có o hàm c p m t trên (a;b) ch a x 0 , f ′(x 0 ) = 0 và f ′′(x 0 ) ≠ 0 . Khi ó f ′′(x 0 ) < 0 ⇒ f tc c i t i x0 , f ′′(x 0 ) > 0 ⇒ f t c c ti u t i x 0 . Chú ý. Ta thư ng s d ng i u ki n th hai trong các bài toán có yêu c u liên quan nc c tr t i nh ng i m c th cho trư c. 2.3. ư ng th ng qua hai i m c c tr 2.3.1. Hàm s y = f (x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0) , (C ) Gi s th (C ) có hai i m c c tr A (x A; yA ) , B (x B ; yB ) . Th c hi n phép chia a th c f (x ) cho f ′(x ) , ta ư c f (x ) = g (x ).f ′(x ) + αx + β . Khi ó ta có yA = f (x A ) = g (x A ). f ′(x A ) + αx A + β = αx A + β ; =0 yB = f (x B ) = g (x B ). f ′(x B ) + αx B + β = αx B + β . =0 Suy ra A, B ∈ ∆ : y = αx + β nên ∆ là ư ng th ng qua hai i m c c tr c a th (C ) . ax 2 + bx + c 2.3.2. Hàm s y = f (x ) = (a ≠ 0) , (C ) dx + e Gi s th (C ) có hai i m c c tr A (x A ; yA ) , B (x B ; yB ) . t u(x ) = ax 2 + bx + c , u ′(x )v(x ) − u(x )v ′(x ) v(x ) = dx + e . Khi ó f ′(x ) = 2 .N u f t c c tr t i x 0 thì   v(x ) u(x 0 ) u ′(x 0 ) u ′(x 0 ) u ′(x 0 )v(x 0 ) − u(x 0 )v ′(x 0 ) = 0 ⇔ = hay f (x 0 ) = . v(x 0 ) v ′(x 0 ) v ′(x 0 ) 2ax A + b 2ax B + b 2ax + b Do ó ta có yA = f (x A ) = và yB = f (x B ) = . Suy ra A, B ∈ ∆ : y = d d d nên ∆ là ư ng th ng qua hai i m c c tr c a th (C ) . Chú ý. Ta thư ng s d ng thu t toán ư ng th ng qua hai i m c c tr i v i các bài toán liên quan n giá tr c c tr hay i m c c tr c a th hàm s . 3. Giá tr l n nh t và giá tr nh nh t ∀x ∈ D, f (x ) ≤ M   ∀x ∈ D, f (x ) ≥ m  M = max f (x ) ⇔  m = min f (x ) ⇔   . x ∈D ∃  x 0 ∈ D, f (x 0 ) = M x ∈D ∃  x 0 ∈ D, f (x 0 ) = m   N u y = f (x ) ng bi n trên [a;b ] thì min f (x ) = f (a ) và max f (x ) = f (b ) . x ∈[a ;b ] x ∈[a ;b ] N u y = f (x ) ngh ch bi n trên [a;b ] thì min f (x ) = f (b) và max f (x ) = f (a ) . x ∈[a ;b ] x ∈[a ;b ] 4. Ti m c n ư ng th ng x = x 0 ư c g i là ti m c n ng c a th hàm s y = f (x ) n u ít nh t m t trong các i u ki n sau ư c th a mãn lim f (x ) = +∞ ; lim f (x ) = +∞ ; lim f (x ) = −∞ ; lim f (x ) = −∞ . − + − + x →x 0 x →x 0 x →x 0 x →x 0 ư ng th ng y = y 0 ư c g i là ti m c n ngang c a th hàm s y = f (x ) n u www.MATHVN.com 2
  3. WWW.MATHVN.COM Kh o sát hàm s lim f (x ) = y 0 ho c lim f (x ) = y 0 . x →+∞ x →+∞ ư ng th ng y = ax + b (a ≠ 0) ư c g i là ti m c n xiên c a th hàm s y = f (x ) n u lim [ f (x ) − (ax + b )] = 0 ho c lim [ f (x ) − (ax + b )] = 0 . x →+∞ x →−∞ 5. M t s bài toán liên quan n th hàm s 5.1. Tìm i m c nh c a m t h th . Cho hàm s y = f (x , m ) , (C m ) . Khi ó h (C m ) qua i m c nh M (x 0 ; y 0 ) ⇔ y 0 = f (x 0 , m ), ∀m ⇔ gk (x 0 ; y 0 )m k + gk −1(x 0 ; y 0 )m k −1 + ... + g 0 (x 0 ; y 0 ) = 0, ∀m    gk (x 0 ; y 0 ) = 0  g (x ; y ) = 0  ⇔  k −1 0 0  . ......................   g (x ; y ) = 0  0 0 0   5.2. V trí tương i gi a hai th . Cho hàm s y = f (x ) , (C ) và hàm s y = g(x ) , (C ′) . Giao i m c a hai th S giao i m c a (C ) và (C ′) là s nghi m c a phương trình hoành giao i m f (x ) = g (x ) . i u ki n hai th ti p xúc nhau  f (x ) = g(x )  (C ) và (C ′) ti p xúc nhau ⇔   có nghi m.  f ′(x ) = g ′(x )   5.3. Vi t phương trình ti p tuy n v i th hàm s Bài toán Cách gi i Ti p tuy n t i i m thu c th Áp d ng công th c y − y 0 = f ′(x 0 )(x − x 0 ) . Cho (C ) : y = f (x ) và M (x 0 ; y 0 ) ∈ (C ) . Vi t phương trình ti p tuy n c a (C ) t i M . Ti p tuy n qua i m cho trư c Cách 1. G i d là ư ng th ng qua A (x A ; yA ) và Cho (C ) : y = f (x ) và i m A (x A ; yA ) . Vi t có h s góc k : y = k (x − x A ) + yA . Dùng i u phương trình ti p tuy n c a (C ) qua A . ki n ti p xúc 5.2 xác nh k . Cách 2. Pttt d t i i m M (x 0 ; y 0 ) b t kỳ: y − y 0 = f ′(x 0 )(x − x 0 ) . Vì d qua A nên yA − y 0 = f ′(x 0 )(x A − x 0 ) . T ây suy ra x 0 . Ti p tuy n có h s góc cho trư c Pttt d c a (C ) t i M (x 0 ; y 0 ) b t kỳ: Cho hàm s y = f (x ) , (C ) . Vi t phương y − y 0 = f ′(x 0 )(x − x 0 ) . Vì d có h s góc k nên trình ti p tuy n d c a (C ) bi t ti p d có h s góc k . suy ra f ′(x 0 ) = k . T ây suy ra x 0 . 5.4. th c a hàm s ch a giá tr tuy t i www.MATHVN.com 3
  4. WWW.MATHVN.COM Kh o sát hàm s Hàm s th  f (x ), f (x ) ≥ 0  T th (C ) : y = f (x ) , Do f (x ) =   nên ta v th (C 1 ) như sau −f (x ), f (x ) < 0  hãy v th (C ) : y = f (x ) .  1 Gi l i ph n th (C a ) c a (C ) không n m phía dư i tr c Ox . L y i x ng ph n th còn l i c a (C ) qua tr c Ox , ta ư c ph n th (C b ) . Khi ó (C 1 ) = (C a ) ∪ (C b ) .  T th (C ) : y = f (x ) ,  f (x ), x ≥ 0  ( ) Ta có f x =   f (−x ), x < 0 ( ) và f x là hàm ch n nên th   hãy v th (C ) : y = f ( x ) . 2  i x ng qua tr c tung. Do ó ta v th (C 1 ) như sau Gi ph n th (C a ) c a (C ) không n m bên trái tr c Oy. L y i x ng ph n th còn l i c a (C ) qua tr c Oy, ta ư c ph n th (C b ) . Khi ó (C 2 ) = (C a ) ∪ (C b ) . T th (C ) : y = f (x ) , Ta th c hi n như sau hãy v th (C 3 ) : V th c a hàm s y = f x . ( ) V th c a hàm s y = f (x ) . y= f x .( ) u (x ) .v (x ) , v (x ) ≥ 0  T th Vì u (x ) v (x ) =    −u (x ) .v (x ) , v (x ) < 0 , nên ta v (C ) như sau 4 (C ) : y = u (x ).v (x ) , hãy v    th (C ) : y = u(x ). v(x ) . Gi l i ph n th (C a ) c a (C ) ng v i u (x ) ≥ 0 . 4 L y ph n i x ng ph n th còn l i c a (C ) qua tr c hoành, ta ư c (Cb ) . Khi ó (C 4 ) = (C a ) ∪ (C b ) . 6. M t s ki n th c khác liên quan 6.1. Các v n liên quan n nh lí v d u c a tam th c b c hai 6.1.1. nh lí v d u c a tam th c b c hai Cho tam th c b c hai f (x ) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) . Khi ó ta có 3 trư ng h p ∆0 x −∞ x1 x2 +∞ f(x) cùng d u a 0 trái d u a 0 cùng d u a www.MATHVN.com 4
  5. WWW.MATHVN.COM Kh o sát hàm s 6.1.2. i u ki n tam th c không i d u trên » Cho tam th c f (x ) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) . Khi ó ta có ∆ < 0  ∆ < 0  f (x ) > 0, ∀x ∈ » ⇔   f (x ) < 0, ∀x ∈ » ⇔   . a > 0  a < 0    ∆ ≤ 0  ∆ ≤ 0  f (x ) ≥ 0, ∀x ∈ » ⇔   f (x ) ≤ 0, ∀x ∈ » ⇔   . a > 0  a < 0    6.1.3. So sánh các nghi m c a m t phương trình b c hai v i m t s th c cho trư c Xét phương trình b c hai f (x ) = ax 2 + bx + c = 0 (1) và m t s th c α cho trư c. Khi ó (1) có hai nghi m x1, x 2 th a mãn x1 < 0 < x 2 ⇔ P < 0 . ∆ > 0    (1) có hai nghi m x1, x 2 th a mãn 0 < x1 < x 2 ⇔ P > 0 .   S > 0    ∆ > 0    (1) có hai nghi m x1, x 2 th a mãn x1 < x 2 < 0 ⇔ P > 0 .   S < 0       ∆ > 0   (1) có hai nghi m x1, x 2 th a mãn x1 < x 2 < α ⇔ af (α ) > 0 .   S   0   (1) có hai nghi m x1, x 2 th a mãn α < x1 < x 2 ⇔  af (α ) > 0 .   S   >α  2  (1) có hai nghi m x1, x 2 th a mãn x1 < α < x 2 . t t = x − α , phương trình (1) tr thành g (t ) = 0 (2), ta c n ph i có (2) có hai nghi m t1, t2 th a mãn t1 < 0 < t 2 ⇔ P < 0 . 6.1.4. Liên h v s nghi m gi a phương trình trùng phương và phương trình b c hai tương ng Cho phương trình trùng phương ax 4 + bx 2 + c = 0 (1). t t = x 2 , phương trình (1) tr thành at 2 + bt + c = 0 (2). Khi ó  (2) vô nghi m ∆ < 0 (1) vô nghi m ⇔  ⇔  .  (2) có nghi m t1 ≤ t2 < 0 ∆ ≥ 0, P > 0, S < 0  P = 0 (1) có m t nghi m ⇔ (2) có nghi m t1 ≤ t 2 = 0 ⇔   . S ≤ 0    (2) có nghi m t = t > 0 ∆ = 0, S > 0 (1) có hai nghi m ⇔  1 2 ⇔  .  (2) có nghi m t1 < 0 < t 2 P < 0 www.MATHVN.com 5
  6. WWW.MATHVN.COM Kh o sát hàm s P = 0  (1) có ba nghi m ⇔ (2) có nghi m t1 = 0 < t2 ⇔   . S > 0    ∆ > 0   (1) có b n nghi m ⇔ (2) có nghi m 0 < t1 < t 2 ⇔ P > 0 .   S > 0    6.2. Góc gi a hai ư ng th ng Cho hai ư ng th ng ∆1 : a1x + b1y + c1 = 0 và ∆2 : a 2x + b2y + c2 = 0 . Khi ó ∆1 và ∆2 t o v i a1a 2 + b1b2 nhau m t góc α thì cos α = . a12 + b12 a 2 + b2 2 2 c bi t a1 b1 c1   a1  a 2  ∆1 song song ∆2 ⇔ = ≠ ∆1 vuông góc ∆2 ⇔ − . −  = −1 .  a2 b2 c2 b1  b2     k1 k2 6.3. Kho ng cách 6.3.1. Kho ng cách gi a hai i m Kho ng cách gi a hai i m A(x A ; yA ) và B(x B ; yB ) là AB = (x B − x A )2 + (yB − yA )2 . 6.3.2. Kho ng cách t m t i m t i m t ư ng th ng ax M + byM + c Kho ng cách t i m M (x M ; yM ) t i ∆ : ax + by + c = 0 là d (M , ∆) = . a2 + b2 B. M T S D NG TOÁN VÀ VÍ D CÓ L I GI I 1. Tính ơn i u c a hàm s D ng toán 1. Tìm các giá tr c a tham s hàm s ơn i utrên m t kho ng cho trư c 1 3 Bài 1. Tìm các giá tr c a m hàm s y = x + mx 2 + (3m − 2) x + 1 ng bi n trên kho ng 3 (1; 2) . Gi i Cách 1. Phương pháp th hàm s Yêu c u bài toán ⇔ y ′ = x + 2mx + 3m − 2 ≥ 0, ∀x ∈ (1; 2) 2 ⇔ y ′ = x 2 + 2mx + 3m − 2 ≥ 0, ∀x ∈ 1; 2 (vì y ′ liên t c t i x = 1 và x = 2 )   x2 − 2 ⇔ g (x ) = ≥ −m, ∀ ∈ 1; 2 hay min g (x ) ≥ −m . 2x + 3   x ∈1;2   2 2x + 6x + 4 x = −1 ∉ 1; 2 g ′ (x ) = 0 ⇔    , và g 1 = − 1 , g 2 = 2 . Ta có g ′ (x ) = 2 ; 1; 2 x = 2 ∈   () 5 ( ) 7 (2x + 3)  1 1 Do ó min g (x ) = g (1) = − . V y các giá tr c a m c n tìm là m ≥ . x ∈1;2 5 5   Cách 2. Phương pháp tam th c b c hai www.MATHVN.com 6
  7. WWW.MATHVN.COM Kh o sát hàm s Yêu c u bài toán ⇔ y ′ = f (x ) = x + 2mx + 3m − 2 ≥ 0, ∀x ∈ (1; 2) . 2 i u này x y ra n u m t trong hai i u ki n sau ây ư c th a mãn i. y ′ = x 2 + 2mx + 3m − 2 ≥ 0 ∀x ∈ » , t c là ∆′ = m 2 − 3m + 2 ≤ 0 ⇔ 1 ≤ m ≤ 2 . ii. f (x ) = 0 có hai nghi m x1, x 2 th a mãn x1 < x 2 ≤ 1 ho c 2 ≤ x1 < x 2 . Trư ng h p 1. f (x ) = 0 có hai nghi m x1, x 2 th a mãn x1 < x 2 ≤ 1 , ta có   m 2  ′ ∆ = m 2 − 3m + 2 > 0     1  af 1 = 5m − 1 ≥ 0  m ≥ 1  ≤ m −1  m > 2  = −m < 1    2    Trư ng h p 2. f (x ) = 0 có hai nghi m x1, x 2 th a mãn 2 < x1 < x 2 , ta có     ′ ∆ = m 2 − 3m + 2 > 0  m < 1 ∨ m > 2   af 2 = 7m + 2 ≥ 0 ⇔ m ≥ − 2    ( )  ⇔ m ∈ ∅.  S   7   = −m > 2 m < −2   2     1 K t h p các trư ng h p trên ta ư c các giá tr m c n tìm là m ≥ . 5 1 3 Bài 2. Tìm các giá tr c a m hàm s y = 3 ( ) x + (2m − 1) x 2 + m 2 − 9m + 9 x + 2 ng bi n trên kho ng (−∞;1) . Gi i Hàm s ã cho ng bi n trên kho ng (−∞;1) khi và ch khi y ′ = f (x ) = x 2 + 2 (2m − 1) x + m 2 − 9m + 9 ≥ 0 ∀x ∈ (−∞;1) . i u này x y ra khi và ch khi m t trong hai i u ki n sau ư c th a mãn 8 i. f (x ) ≥ 0 ∀x ∈ » ⇔ ∆′ = 3m 2 + 5m − 8 ≤ 0 ⇔ − ≤ m ≤ 1 . 3 ii. f (x ) = 0 có hai nghi m x1, x 2 th a mãn 1 ≤ x1 < x 2 , tương ương v i      ′ ∆ = 3m 2 + 5m − 8 > 0 − 8 < m < 1     3 af 1 = m 2 − 5m + 8 ≥ 0 ⇔  m ∈ »  8  ()  ⇔m
  8. WWW.MATHVN.COM Kh o sát hàm s Ta có y ′ = f (x ) = x + 2 (2m − 1) x + m + 1 . 2 a. Hàm s ng bi n trên » khi và ch khi y ′ = x 2 + 2 (2m − 1) x + m + 1 ≥ 0 ∀x ∈ » . Khi ó 2 ∆′ = (2m − 1) − m − 1 ≤ 0 ⇔ 0 ≤ m ≤ 5 . V y các giá tr c a m c n tìm là 0 ≤ m ≤ 5 . b. Hàm s ã cho ng bi n trên 1; +∞) khi và ch khi y ′ ≥ 0 ∀x ∈ 1; +∞) . i u này tương −x 2 + 2x ương v i g (x ) = ≤ m ∀x ∈ 1; +∞) hay max g (x ) ≤ m .  4x + 1 x ∈1;+∞)  x = −1 ∉ 1; +∞)  −4x 2 − 2x + 2 Ta có g ′ (x ) = ; g ′ (x ) = 0 ⇔  . 2 x = 1 ∉ 1; +∞) (4x + 1)  2  B ng bi n thiên x 1 +∞ g ′ (x ) − g (x ) 1 5 0 1 1 1 Ta th y max g (x ) = g (1) = . Do ó ta có m ≥ . V y các giá tr m c n tìm là m ≥ . x ∈1;+∞) 5 5 5 c. Yêu c u bài toán ⇔ y ′ ≤ 0 ∀x ∈ (0;1) y ′ ≤ 0 ∀x ∈ 0;1 (vì y ′ liên t c t i x = 0 và x = 1 ) −x 2 + 2x ⇔ g (x ) = ≥ m, ∀x ∈  0;1 , t c là min g (x ) ≥ m . 4x + 1   x ∈0;1  x = −1 ∉  0;1      1 1 1 Ta có g ′ (x ) = 0 ⇔  1   ; g (0) = 0 ; g   = và g (1) = . x = ∈ 0;1  4  2   5  2   Do ó min g (x ) = g (0) = 0 nên các giá tr m c n tìm là m ≤ 0 . x ∈0;1 x 2 + (2m + 1) x + 1 Bài 4. Tìm các giá tr c a m hàm s y = ngh ch bi n trên kho ng (0;1) . x −2 Gi i x 2 − 4x − 4m − 3 Hàm s ngh ch bi n trên kho ng (0;1) khi và ch khi y ′ = 2 ≥ 0 ∀x ∈ (0;1) , tương (x − 2) ương v i g (x ) = x 2 − 4x − 4m − 3 ≥ 0 ∀x ∈ (0;1) . Vì g liên t c t i x = 0 và t i x = 1 nên g (x ) = x 2 − 4x − 4m − 3 ≥ 0 ∀x ∈  0;1 hay min g (x ) ≥ 0 . x ∈0;1 Ta có g ′ (x ) = 2x − 4 = 0 ⇔ x = 2 ∉  0;1 ; g (0) = −4m − 3 và g (1) = −4m − 6 . 3 Suy ra min g (x ) = g (1) = −4m − 6 . Do ó các giá tr c a m c n tìm là m ≤ − . x ∈0;1 2 x 2 + (m + 1) x − 2m + 1 Bài 5. Tìm các giá tr c a m hàm s y = ng bi n trên kho ng x − 2m (1; +∞) . Gi i www.MATHVN.com 8
  9. WWW.MATHVN.COM Kh o sát hàm s 2 2 x − 4mx − 2m − 1 Hàm s ngh ch bi n trên kho ng (1; +∞) ⇔ y ′ = 2 ≥ 0 ∀x ∈ (1; +∞) , hay (x − m ) g (x ) = x 2 − 4mx − 2m 2 − 1 ≥ 0 ∀x ∈ (1; +∞)   Ta th y ∆g = 6m 2 + 1 > 0 ∀m ∈ » ′ nên  m ≤ 1    g (x ) > 0, ∀x ∈ » . Do ó các giá tr m c n tìm là m ≤ 1 . D ng toán 2. Tìm các giá tr c a tham s hàm s có c c tr th a mãn i u ki n s cho trư c 1 3 Bài 6. Tìm các giá tr c a m hàm s y = x + mx 2 + mx + 2 có hai c c tr x1, x 2 th a mãn 3 x1 − x 2 ≥ 4 . Gi i Hàm s ã cho có hai c c tr x1, x 2 ⇔ y ′ = x 2 + 2mx + 3m = 0 có hai nghi m phân bi t x1, x 2 m < 0 ⇔ m 2 − 3m > 0 ⇔  (1). m > 3 2 2 Khi ó x1 − x 2 ≥ 4 ⇔ (x1 − x 2 ) ≥ 16 ⇔ (x1 + x 2 ) − 4x1x 2 − 16 ≥ 0 (2). x + x = −2m  m ≤ −1 Theo nh lí Viet ta có  1  2 nên (2) ⇔ 4m 2 − 12m − 16 ≥ 0 ⇔  (3)  x1x 2 = 3m  m ≥ 4  K t h p (1) và (3) ta tìm ư c các giá tr m th a mãn yêu c u bài toán là m ≤ −1 ho c m ≥ 4 . 1 3 1 50 Bài 7. Tìm các giá tr c a m hàm s y = x − (2m − 1) x 2 + x + 1 có hai c c tr x1, x 2 3 2 9 th a mãn x1 = 2x 2 . Gi i 50 Hàm s ã cho các hai c c tr ⇔ y ′ = x 2 − (2m − 1) x + = 0 có hai nghi m phân bi t x1, x 2 9  m < 3 − 10 2 2 50  ⇔ ∆ = (2m − 1) − 4. > 0 ⇔  6 (1) 9  3 + 10 2 m >  6 2m − 1 Ta có x1 = 2x 2 nên theo nh lí Viet, ta có x1 + x 2 = 2m − 1 ⇔ x 2 = . 3  2m − 1 2  Khi ó x1x 2 = 50 2 50 2x 2 = ⇔ 2    = 50 ⇔  m = 3 .   m = −2 9 9  3   9  Hai giá tr v a tìm ư c c a m u th a mãn (1) nên m = 3 và m = −2 th a yêu c u bài toán. 1 3 1 Bài 8. Tìm các giá tr c a m hàm s y = x − (m + 4) x 2 + (2m + 5) x + 1 th a mãn 3 2 a. có hai c c tr l n hơn −1 ; b. có úng m t c c tr l n hơn −1 ; 3 c. có ít nh t m t c c tr l n hơn ; 2 www.MATHVN.com 9
  10. WWW.MATHVN.COM Kh o sát hàm s d. có hai c c tr nh hơn 4; e. có m t c c trong kho ng (3; 5) ; f. không có c c tr . Gi i x 2 − 4x + 5 Ta có y ′ = x 2 − (m + 4) x + 2m + 5 ; y ′ = 0 ⇔ m = . x −2 x 2 − 4x + 5 x 2 − 4x + 3 x = 1 Xét hàm s g (x ) = ; g ′ (x ) = ; g ′ (x ) = 0 ⇔  . x = 3 2 x −2 (x − 2) B ng bi n thiên 3 x −∞ −1 1 2 3 4 5 +∞ 2 g ′ (x ) + + − − − + + + −2 +∞ +∞ g (x ) 10 5 10 − − 5 3 2 3 −∞ −∞ 2 2 Vì nghi m c a phương trình y ′ = 0 cũng chính là hoành giao i m c a y = m và y = g (x ) nên t b ng bi n thiên c a hàm s y = g (x ) ta th y 10 a. Hàm s có hai c c tr l n hơn −1 ⇔ − < m < −2 ho c m > 2 . 3 10 b. Hàm s có úng m t c c tr l n hơn −1 m ≤ − . 3 3 5 c. Hàm s có ít nh t m t c c tr l n hơn ⇔ m < − ho c m > 2 . 2 2 5 d. Hàm s có hai c c tr nh hơn 4 ⇔ m < −2 ho c 2 < m < . 2 10 e. Hàm s có m t c c trong kho ng (3; 5) ⇔ 2 < m < . 3 f. Hàm s không có c c tr ⇔ −2 ≤ m ≤ 2 . Bài 9. Tìm các giá tr c a m hàm s y = x 4 + (1 − m ) x 2 + 2m + 1 có ba c c tr . Gi i ( ) Hàm s có ba c c tr ⇔ y ′ = 2x 2x 2 + 1 − m = 0 có ba nghi m phân bi t ⇔ 2x 2 + 1 − m = 0 có hai nghi m phân bi t khác 0 ∆′ = −2 (1 − m ) > 0  m > 1  ⇔ ⇔  . 3−m ≠ 0  m ≠ 3     m2 Bài 10. Tìm các giá tr c a m th hàm s y = x 4 + mx 2 + 6 − có ba i m c c tr 2 A, B,C (trong ó i m A thu c tr c tung) sao cho t giác ABOC là hình bình hành. Gi i www.MATHVN.com 10
  11. WWW.MATHVN.COM Kh o sát hàm s Hàm s ( ) ã cho có ba c c tr ⇔ y ′ = 2x 2x + m = 0 có ba nghi m phân bi t 2 ⇔ 2x 2 + m = 0 có hai nghi m phân bi t khác 0 ⇔ m < 0. m2  m2   . Hai nghi m còn l i c a y ′ = 0 là x = ± −m . V i x = 0 ta có y = 6 − nên A 0; 6 −     2    2  2   3m 2  −m  3m 2   −m  3m 2   −m       Ta u có y − = 6− và có th gi s B  − ;6 −  và C   ;6 − .    2    4    2 4     2   4     m m2    2 Khi ó  BA =  − ;  và OC =  − m ; 6 − 3m  .          2 4       2 4       −m = −m   Yêu c u bài toán ⇔ BA = OC ⇔  2 2 2 ⇔ m 2 = 6 ⇔ m = − 6 (vì ⇔ m < 0 ) m  3m 2  4 = 6− 4    mx 2 + 3mx + 1 Bài 11. Tìm các giá tr c a m th hàm s y = có hai i m c c tr n m v x +2 hai phía tr c tung. Gi i mx 2 + 4mx + 6m − 1 Ta có y′ = 2 . (x + 2) Hàm s ã cho có hai c c tr ⇔ mx 2 + 4mx + 6m − 1 = 0 (1) có hai nghi m phân bi t khác −2   m ≠ 0  1 ⇔ ∆′ = −2m 2 + m > 0 ⇔ 0 < m < (2).    2m − 1 ≠ 0 2    Khi ó g i x1, x 2 là các nghi m c a phương trình (1). Yêu c u bài toán tương ương v i 6m − 1 1 x1x 2 < 0 ⇔ < 0 ⇔ 0 < m < (th a mãn (2)). m 6 Bài 12. Tìm các giá tr c a m th hàm s y = x 3 + 3 (m − 1) x 2 + 3 (m − 1) x + 1 có hai i m c c tr , ng th i ư ng th ng n i hai i m c c tr i qua i m A (0; −3) . Gi i Hàm s ã cho có hai c c tr khi và ch khi y ′ = 3x 2 + 6 (m − 1) x + 3 (m − 1) = 0 có hai nghi m m < 1 phân bi t. i u này x y ra khi ∆′ = (m − 1)(m − 2) > 0 ⇔  (1). m > 2 G i M 1 (x1; y1 ) và M 2 (x 2 ; y 2 ) là các i m c c tr . Th c hi n phép chia a th c y cho y ′ , ta ư c   m − 1 1 y = x +  y ′ + 2 (m − 1)(2 − m ) x − m 2 + 2m . 3 3    www.MATHVN.com 11
  12. WWW.MATHVN.COM Kh o sát hàm s Vì x1, x 2 là nghi m c a phương trình y ′ = 0 nên ta có y1 = 2 (m − 1)(2 − m ) x1 − m 2 + 2m và y 2 = 2 (m − 1)(2 − m ) x 2 − m 2 + 2m . Do ó M1 , M 2 ∈ dm : y = 2 (m − 1)(2 − m ) x − m 2 + 2m , và như v y dm là ư ng th ng i qua hai i m c c tr M1 và M 2 . m = −1 Ta có A (0; −3) ∈ dm ⇔ m 2 − 2m − 3 = 0 ⇔  (th a mãn i u ki n (1)). V y các giá tr m = 3 m c n tìm là m = −1 và m = 3 . 1 3 m Bài 13. Tìm các giá tr c a m th hàm s y = x + mx 2 + x + có hai i m c c tr n m 3 3 cùng phía i v i ư ng th ng ∆ : y = −2x . Gi i Hàm s có hai c c tr ⇔ y ′ = x 2 + 2mx + 1 = 0 có hai nghi m phân bi t ⇔ ∆′ = m 2 − 1 > 0 hay m > 1 (1). V i i u ki n (1), ta g i M 1 (x1; y1 ) và M 2 (x 2 ; y 2 ) là các i m c c tr . Th c hi n phép chia y cho y′ ư c   1 1  2 ( y =  x + m  y ′ + 1 − m 2 x (2) ) 3 3   3  2 Vì x1, x 2 là các nghi m c a phương trình y ′ = 0 nên t (2) ta suy ra y1 = 3 ( ) 1 − m 2 x1 và 2 y2 = 3 ( ) 1 − m 2 x 2 . Các i m M 1 (x1; y1 ) và M 2 (x 2 ; y 2 ) n m cùng phía i v i ∆ : 2x + y = 0 tương ương v i      2x + 2 1 − m 2 x  .  2x + 2 1 − m 2 x  > 0 ( ) ( )  1 3 1  2 3 2     2 2 ( ) ⇔ 4 − m 2 x1x 2 > 0 ⇔ 4 − m 2 ( ) > 0 hay m ≠ ±2 (3). K t h p (1) và (3) ta ư c các giá tr m c n tìm là m > 1 và m ≠ ±2 . 1 3 Bài 14. Tìm các giá tr c a m hàm s y = x + x 2 + mx + m có c c i và c c ti u, ng th i 3 kho ng cách gi a hai i m c c tr b ng 2 15 . Gi i Hàm s có c c i và c c ti u ⇔ y ′ = x 2 + 2x + m = 0 có hai nghi m phân bi t ⇔ ∆′ = 1 − m > 0 hay m < 1 (1). V i i u ki n (1), ta g i M1 (x1; y1 ) và M 2 (x 2 ; y 2 ) là các i m c c tr . Th c hi n phép chia a th c y cho y ′ ư c 1 2 2 y= 3 (x + 1)y ′ + 3 (m − 1) x + 3 m (2). 2 2 Vì x1, x 2 là các nghi m c a phương trình y ′ = 0 nên t (2) ta suy ra y1 = 3 (m − 1) x1 + 3 m và 2 2 y2 = 3 (m − 1) x 2 + 3 m . www.MATHVN.com 12
  13. WWW.MATHVN.COM Kh o sát hàm s 2 2 Ta có M1M 2 = (x 2 − x1 ) + (y 2 − y1 ) = 2 15  4 2  2  ⇔ 1 + (m − 1)  (x1 + x 2 ) − 4x1x 2  = 60  9       4 2 ⇔ 1 + (m − 1)   4 − 4m  = 60  9    ⇔ 4m 3 − 12m 2 + 21m + 122 = 0 ( ⇔ (m + 2) 4m 2 − 20m + 60 = 0 ) ⇔ m = −2 (vì 4m 2 − 20m + 60 > 0 ∀m ∈ » ). Ta th y giá tr m = −2 th a mãn i u ki n (1) nên m = −2 là giá tr c n tìm. x 2 + mx + 3 Bài 15. Tìm các giá tr c a m th hàm s y = có hai i m c c tr cách u x −1 ư ng th ng ∆ : x + y − 2 = 0 . Gi i x 2 − 2x − m − 3 Hàm s có hai c c tr ⇔ y ′ = 2 = 0 có hai nghi m phân bi t (x − 1) ⇔ x 2 − 2x − m − 3 = 0 có hai nghi m phân bi t khác 1 ∆′ = m + 4 > 0  ⇔  ⇔ m > −4 (1). m + 4 ≠ 0   Khi ó, ta g i M 1 (x1; y1 ) và M 2 (x 2 ; y 2 ) là các i m c c tr . u ′ (x ) v (x ) − u (x )v ′ (x ) t u (x ) = x 2 + mx + 3 ; v (x ) = x − 1 thì y ′ = 2 . v (x )   u (x1 ) u ′ (x1 ) Vì x1 là nghi m c a phương trình y ′ = 0 nên u ′ (x1 ) v (x1 ) − u (x1 ) v ′ (x1 ) = 0 ⇔ = , v (x1 ) v ′ (x1 ) t c là y1 = 2x1 + m . Tương t y 2 = 2x 2 + m . x1 + 2x1 + m − 2 x 2 + 2x 2 + m − 2 Do M1, M 2 cách u ∆ nên = 2 2 3 (x + x ) + 2m − 4 = 0 ⇔ 3 (x1 − x 2 )  1  2  ⇔ 3 (x1 + x 2 ) + 2m − 4 = 0 (vì x1 ≠ x 2 ) ⇔ 3.2 + 2m − 4 = 0 ⇔ m = −2 (th a mãn i u ki n (1)). V y m = −2 là giá tr c n tìm. D ng toán 3. Các bài toán liên quan n ti p tuy n c a th hàm s 1 3  22 27  Bài 16. Cho hàm s y = x + x 2 + x + 1 có th (C ) và ba i m A (1;1), B (0; 2),C  ;  .   3 5 5    Vi t phương trình ti p tuy n ∆ v i th (C ) bi t r ng giao i m c a ∆ và ư ng th ng d : y = x + 1 là tr ng tâm c a tam giác ABC . www.MATHVN.com 13
  14. WWW.MATHVN.COM Kh o sát hàm s Gi i Ta có y ′ = x 2 + 2x + 1 . Phương trình ti p tuy n ∆ c a (C ) t i i m (x 0 ; y 0 ) có d ng 2 2 3 y = (x 0 + 1) x − x 0 − x 0 + 1 . 2 3 Hoành giao i m G c a ∆ và d là nghi m c a phương trình 2 2 2x 2 + 3x 0 (x 0 + 1) x − 3 x 03 − x 02 + 1 = x + 1 ⇔ x = 0 3 (x 0 + 2) ( x 0 ≠ 0; x 0 ≠ −2 (1). ) Tung giao i m tương ng là y = ( 2 2 x 0 + 3x 0 + 3 ) , nên G  2x   2 0 ( 2 + 3x 0 2 x 0 + 3x 0 + 3 ) .    3 (x 0 + 2) 3 x + 2 ;     ( 0   ) 3 (x 0 + 2)     22  2  2x + 3x 1+ 0 +  0  0 = 5 =9   3 (x + 2) 3 5 i m G là tr ng tâm c a tam giác ABC ⇔   0 .   2 x 2 + 3x + 3 27    0 ( 0 = 1+ 2 + ) 5 = 14   3 (x 0 + 2) 3 5    9 Gi i h phương trình trên ta ư c x 0 = 3 ho c x 0 = − . C hai giá tr này u th a mãn i u 5 ki n phương trình (1). 9 16 206 V i x 0 = 3 ho c x 0 = − ta ư c các ti p tuy n c n tìm là y = 16x − 26 và y = x+ . 5 25 125 1 3 Bài 17. Cho hàm s y= x + 2mx 2 + (3m − 1) x + 1 có th (C m ) . Vi t phương trình ti p 3 tuy n ∆ c a (C m ) t i i m có hoành b ng 1. Tìm các giá tr c a m giao i m c a ∆ và d : y = 2x cách u các tr c t a . Gi i 1 Ta có y ′ = x 2 + 4mx + 3m − 1 ; y ′ (1) = 7m và y (1) = 5m + . 3  1  1 Phương trình ti p tuy n c a (C m ) t i 1; 5m +  là y = 7mx − 2m + .      3 3 Hoành giao i m c a ∆ và d là nghi m c a phương trình 1 6m − 1 7mx − 2m + = 2x ⇔ x = . 3 3 (7m − 2) 12m − 2 Tung giao i m tương ng là y = . Giao i m c a ∆ và d cách u hai tr c t a 3 (7m − 2) khi và ch khi 6m − 1 12m − 2 = 3 (7m − 2) 3 (7m − 2)   m ≠ 2    m ≠ 2  7    ⇔  6m − 1 = 12m − 2 ⇔  7 ⇔m = 1.    m = 1 6  6m − 1 = −12m + 2        6 www.MATHVN.com 14
  15. WWW.MATHVN.COM Kh o sát hàm s x +2 Bài 18. Cho hàm s y = có th (C ) . G i I là giao i m c a hai ư ng ti m c n c a x −1 (C ) . Ch ng minh r ng m t ti p tuy n b t kỳ v i (C ) luôn c t hai ti m c n t i hai i m A, B sao cho tam giác IAB có di n tích không i. Gi i Trư c h t ta th y lim y = +∞ và lim y = −∞ nên (C ) có ti m c n + − ng là ∆1 : x = 1 . x →1 x →1 lim y = 1 và lim y = 1 nên (C ) có ti m c n ngang là ∆2 : y = 1 . x →+∞ x →1−∞ Do ó giao i m c a ∆1 và ∆2 là I (1;1) . −3 Ta có y ′ = 2 . Phương trình d ti p tuy n v i (C ) t i i m (x 0 ; y 0 ) có d ng (x − 1) 2 −3 x0 + 2 −3 x 0 + 4x 0 − 2 2 ( y= x − x0 ) + hay y = 2 x+ 2 . (x − 1) x0 + 1 (x − 1) (x − 1) 0 0 0  2  2 x 0 + 4x 0 − 5  x + 4x − 5   0  V i x = 1 thì y = nên A 1; 0  là giao i m c a d và ∆ .  2   2  1 (x − 1)  (x 0 − 1)   0  V i y = 1 thì x = x = 2x 0 − 1 nên B (2x 0 − 1;1) là giao i m c a d và ∆2 . 6 Khi ó IA = và IB = 2 x 0 − 1 nên di n tích tam giác IAB là x0 − 1 1 1 6 S IAB = IA.IB = . .2 x 0 − 1 = 6 (không i) ( ccm). 2 2 x0 − 1 x +2 Bài 19. Vi t phương trình ti p tuy n v i th (C ) hàm s y = , bi t ti p tuy n c t Ox và x −2 Oy l n lư t t i A và B sao cho tam giác OAB vuông cân. Gi i −4 Ta có y ′ = 2 . Phương trình ti p tuy n v i (C ) t i i m M (x 0 ; y 0 ) , (x 0 ≠ 2) có d ng (x − 2) −4 x0 + 2 d:y= 2 (x − x ) + x 0 −2 . − 2) (x 0 0 Do ti p tuy n d c t Ox và Oy l n lư t t i A và B sao cho tam giác OAB vuông cân nên d vuông góc v i m t trong các ư ng th ng ∆1 : y = x ho c ∆2 : y = −x . −4 2 x = 4 N u d ⊥ ∆1 thì = −1 ⇔ (x 0 − 2) = 4 ⇔  0 . x 0 = 0 2 (x 0 − 2) V i x 0 = 0 ta có ti p tuy n y = −x − 1 . V i x 0 = 4 ta có ti p tuy n y = −x + 7 . −4 N u d ⊥ ∆2 thì 2 = 1 . Phương trình này vô nghi m. (x 0 − 2) V y có hai ti p tuy n th a mãn yêu c u bài toán là y = −x − 1 và y = −x + 7 . www.MATHVN.com 15
  16. WWW.MATHVN.COM Kh o sát hàm s Bài 20. Vi t phương trình ti p tuy n v i th (C ) c a hàm s y = x − 3x + 1 , bi t ti p tuy n 3 2 i qua i m A (2; −3) . Gi i G i dk là ư ng th ng i qua i m A (2; −3) và có h s góc k thì dk : y = k (x − 2) − 3 . x 3 − 3x 2 + 1 = k (x − 2) − 3 (1)   Khi ó, dk ti p xúc v i (C ) ⇔  2 có nghi m.  3x − 6x = k (2)   ( Thay (2) vào (1), ta ư c x − 3x 2 + 1 = 3x 2 − 6x (x − 2) − 3 3 ) x = 2  3 2 ⇔ 2x − 9x + 12x − 4 = 0 ⇔  . x = 1  2 V i x = 2 , thay vào (2) ư c k = 0 , ta có ti p tuy n dk : y = −3 . 1 9 9 3 V ix= , thay vào (2) ư c k = − , ta có ti p tuy n dk : y = − x + . 2 4 4 2 Bài 21. Vi t phương trình ti p tuy n v i th (C ) c a hàm s y = x 3 − 3x + 1 , bi t ti p tuy n 5 t o v i ư ng th ng ∆ : y = x + 3 m t góc α sao cho cos α = . 41 Gi i Gi s ti p tuy n d c n tìm có h s góc k . Các VTPT c a d và ∆ l n lư t là nd = (k ; −1) và n ∆ = (1; −1) . Ti p tuy n d t o v i ∆ m t góc α sao cho 5 k +1 5 cos α = ⇔ = 2 41 2 k +1 41 2 ⇔ 41(k + 1) = 50 k 2 + 1( ) k = 9  2 ⇔ 9k − 82k + 9 = 0 ⇔  . k = 1  9 V i k = 9 ta có f ′ (x 0 ) = 3x 0 − 3 = 9 ⇔ x 0 = ±2 . Các ti p tuy n c a (C ) t i x 0 = 2 và 2 x 0 = −2 l n lư t có phương trình y = 9x − 15 và y = 9x + 17 . 1 1 2 21 V i k= ta có f ′ (x 0 ) = 3x 0 − 3 = ⇔ x 0 = ± 2 . Các ti p tuy n c a (C ) t i 9 9 9 2 21 1 243 ± 112 21 x0 = ± có phương trình y = x + . 9 9 243 D ng toán 4. Tìm các giá tr c a tham s giao i m th hàm s và ư ng th ng th a mãn i u ki n cho trư c x 2 + 2x − 1 Bài 22. Tìm các giá tr c a m ư ng th ng dm : y = mx − m c t th (C ) : y = x −1 t i hai i m phân bi t A, B sao cho tam giác ABC vuông t i ( nh C 1; 2 . ) www.MATHVN.com 16
  17. WWW.MATHVN.COM Kh o sát hàm s Gi i x 2 + 2x − 1 ư ng th ng dm c t (C ) t i hai i m phân bi t ⇔ mx − m = có hai nghi m phân x −1 bi t, t c là (m − 1) x 2 − 2 (m − 1) x + m + 1 = 0 (1) có hai nghi m phân bi t khác 1   m ≠ 1 m −1 ≠ 0     2   ⇔ ∆′ = (m − 1) − (m − 1)(m + 1) > 0 ⇔ m < 1 ⇔ m < 1 .    m ∈ »  m − 1 − 2 (m − 1) + m + 1 ≠ 0       V i i u ki n ó, g i x1, x 2 là các nghi m c a phương trình (1); các giao i m c a dm và (C ) là A (x1; mx1 − m ) , B (x 2 ; mx 2 − m ) . Ta có CA = (x1 − 1; mx1 − m − 1) ; CB = (x 2 − 1; mx 2 − m − 1) . ABC vuông t i nh C ⇔ CACB = 0 ⇔ (x1 − 1)(x 2 − 1) + (mx1 − m − 1)(mx 2 − m − 1) = 0 . 2   ( ) ( ) ( ) ⇔ 1 + m 2 x1x 2 − 1 + m m + 2  (x1 + x 2 ) + m + 2 + 1 = 0   m +1   2 ( ) ⇔ 1 + m2 . m −1 ( ) ( ) − 2 1 + m m + 2  + m + 2 + 1 = 0   ⇔ 2 2m (m − 1) = 0 ⇔ m = 0 (vì m < 1 ). Bài 23. Cho hàm s y = x 3 − 3 (m + 1) x 2 − 3x + 1, (C m ) . Tìm các giá tr c a m ư ng th ng d : y = x + 1 c t (C m ) t i ba i m phân bi t A; B (0;1);C sao cho AC = 5 2 . Gi i Giao i m c a (C m ) và d có hoành là nghi m c a phương trình x 3 − 3 (m + 1) x 2 − 3x + 1 = x + 1 (1) x = 0 ⇔ x x 2 − 3 (m + 1) x − 4 = 0 ⇔  2 ( ) . x − 3 (m + 1) x − 4 = 0 (2) (C ) m và d có 3 giao i m ⇔ (1) có 3 nghi m phân bi t ⇔ (2) có hai nghi m phân bi t khác 0  ∆ = 9m + 18m + 25 > 0( ∀m ∈ » )  2 ⇔ .  3 ≠ 0 ( ∀m ∈ » )    2 2 Gi s A (x1; x1 + 1) và C (x 2 ; x 2 + 1) thì AC 2 = 50 ⇔ (x 2 − x1 ) + (x 2 + 1) − (x1 + 1) = 50   2 ⇔ (x 2 − x1 ) = 25 2 ⇔ (x1 + x 2 ) − 4x1x 2 = 25 2 m = 0 ⇔ 9 (m + 1) + 16 = 25 ⇔  . m = −2 Bài 24. Tìm các giá tr c a m ư ng th ng dk : y = kx + 2 − k c t th (C ) c a hàm s 2x + 1 y= t i hai i m phân bi t A và B sao cho A và B cách u i m D (2; −1) . x −1 www.MATHVN.com 17
  18. WWW.MATHVN.COM Kh o sát hàm s Gi i 2x + 1 dk c t (C ) t i hai i m phân bi t ⇔ = kx + 2 − k có hai nghi m phân bi t x −1 ⇔ kx 2 − 2kx + k − 3 = 0 (1) có hai nghi m phân bi t khác 1 k ≠ 0  ⇔  ⇔ k > 0 (2) ∆′ = k 2 − k (k − 3) > 0    Gi s A (x1; y1 ), B (x 2 ; y 2 ) là các giao i m c a dk và (C ) . Ta có 2 2 2 2 AD = BD ⇔ (x1 − 2) + (kx1 − k + 3) = (x 2 − 2) + (kx 2 − k + 3) ⇔ (x1 − x 2 )(x1 + x 2 − 4) + k (x1 − x 2 ) k (x1 + x 2 ) − 2k + 6 = 0   ⇔ (x1 − x 2 ) (x1 + x 2 ) − 4 + k (x1 + x 2 ) − 2k + 6k  = 0 2 2   ⇔ (x1 + x 2 ) − 4 + k 2 (x1 + x 2 ) − 2k 2 + 6k = 0 (vì x1 ≠ x 2 ) ⇔ 2 − 4 + 2k 2 − 2k 2 + 6k = 0 (do x1; x 2 là nghi m c a phương trình (1) 1 ⇔k = (th a mãn i u ki n (2)) 3 D ng toán 5. Các bài toán liên quan n th c a hàm s ch a d u giá tr tuy t i Bài 25. T th c a hàm s (C ) : y = x 3 − 3x 2 + 3 hãy v th c a các hàm s sau 3 3 a. y = x 3 − 3x 2 + 3 b. y = x − 3x 2 + 3 c. y = x − 3x 2 + 3 Gi i y Trư c h t ta v th (C ) c a hàm s y = f (x ) = x 3 − 3x 2 + 3 . 3 (C )  f (x ) , f (x ) ≥ 0  a. Ta có y = x 3 − 3x 2 + 3 =   , (C 1 ) . −f (x ), f (x ) < 0    2 O 1 x Do v y ta v (C ) như sau 1 -1 Gi l i ph n th c a (C ) không n m bên dư i tr c hoành, ( ) ta g i là C 1a . y L y i x ng ph n còn l i c a (C ) qua tr c Ox, ta g i là C 1 . b ( ) 3 (C )1 th (C 1 ) g m có hai ph n C ( ) và (C ) . a 1 b 1  f (x ) , x ≥ 0  1  ( ) 3 b. Ta có y = x − 3x 2 + 3 =  , ng th i hàm s f x 2  f (−x ), x < 0    O 1 x -1 là hàm ch n nên th c a nó i x ng qua tr c tung. Do ó ta v th (C 2 ) c a nó như sau Gi l i ph n th c a (C ) không n m bên trái tr c hoành, ta www.MATHVN.com 18
  19. WWW.MATHVN.COM Kh o sát hàm s y g i là C ( ). a 2 3 L y ( ) i x ng C 2 qua tr c tung ta ư c C 2 . a b ( ) th (C 2 ) g m có hai ph n (C ) và (C ) . a 2 b 2 -2 2 3 O 1 x c. Ta v th (C 3 ) c a hàm s y = x − 3x 2 + 3 như sau -1 T th (C ) c a hàm s (C ) : y = x 3 − 3x 2 + 3 , ta v th 3 (C ) c 2 a hàm s y = x − 3x 2 + 3 . y 3 T th (C 2 ) , ta v th (C 3 ) c a hàm s y = x − 3x 2 + 3 . 3 1 2 -2 O 1 x -1 Bài 26. Cho hàm s y = x 4 − 4x 2 + 3, (C ) . a. Kh o sát s bi n thiên và v th (C ) c a hàm s . b. Tìm các giá tr c a m phương trình x 4 − 4x 2 + 3 − log2 m + 1 = 0 có 8 nghi m phân bi t. Gi i a. (H c sinh t kh o sát) y (C ) 3 1 O 1 x -1 b. Ta bi n i x 4 − 4x 2 + 3 − log 2 m + 1 = 0 ⇔ x 4 − 4x 2 + 3 = log 2 m − 1 (1). S nghi m c a phương trình (1) b ng s giao i m c a y (C ) 1 (C ) : y = x 1 4 − 4x 2 + 3 và ư ng th ng dm : y = log 2 m − 1 . 3 x 4 − 4x 2 + 3, x 4 − 4x 2 + 3 ≥ 0 dm  Vì x − 4x + 3 =  4 4  2 , nên ta v 1 x − 4x 2 + 3, x 4 − 4x 2 + 3 < 0    O 1 x th (C 1 ) như sau -1 Gi l i ph n th c a (C ) không n m dư i tr c hoành, ta ( ) g i là C 1a . L y i x ng ph n còn l i c a (C ) qua tr c hoành, ta ư c C 1 . b ( ) ( ) th g m có C 1a và C 1 . b ( ) www.MATHVN.com 19
  20. WWW.MATHVN.COM Kh o sát hàm s D ng toán 6. Tìm các i m trên th hàm s th a mãn i u ki n cho trư c 2x + 1 Bài 27. Cho hàm s y = , (C ) . Tìm i m M thu c (C ) sao cho x −1 a. M có t a nguyên; b. M cách u hai tr c t a ; c. T ng kho ng cách t M t i hai ư ng ti m c n là nh nh t; d. M cách ug ct a ( O và A 2 + 2 5; 2 ; ) 3 3 e. M có kho ng cách t i ∆ : x + 3y − 2 3 = 0 b ng . 2 Gi i  2x + 1  V i M ∈ (C ) b t kỳ, ta có M x 0 ; 0    , x ≠ 1.     x0 − 1  0 x ∈ »  0   a. i m M có t a nguyên, t c là  2x 0 + 1  3   x −1 = 2 + x −1 ∈ »  0   0 ⇔ (x 0 − 1) 3 và x 0 ∈ » ⇔ (x 0 − 1) ∈ {±1; ±3} ⇔ x 0 ∈ {−2; 0; 2; 4} . V y có 4 i m trên (C ) có t a nguyên là M1 (−2;1) ; M 2 (0; −1) ; M 3 (2; 5) và M 4 (4; 3) . 2x 0 + 1 b. Kho ng cách t i m M t i các các tr c Ox và Oy l n lư t là và x 0 . x0 − 1  2  Yêu c u bài toán ⇔ 2x 0 + 1 x 0 − 3x 0 − 1 = 0 = x0 ⇔  2 ⇔ x 0 = 3 + 13 .  x0 − 1 x 0 + x 0 + 1 = 0 (VN )  x 0 = 3 − 13   4 + 13      4 − 13     V y có hai i m tho n mãn yêu c u bài toán là M 5 3 + 13;   và M 6 3 − 13;  .    3       3    c. Ta có lim y = +∞ và lim y = −∞ nên (C ) có ti m c n ng là ∆1 : x = 1 . + x →1 x →1− lim y = 2 và lim y = 2 nên (C ) có ti m c n ngang là ∆2 : y = 2 . x →+∞ x →−∞ 3 Kho ng cách t i m M l n lư t t i các ti m c n là d (M , ∆1 ) = x 0 − 1 và d (M , ∆2 ) = . x0 − 1 Cosi 3 3 Khi ó d (M , ∆1 ) + d (M , ∆2 ) = x 0 − 1 + ≥ 2 x0 −1 . =2 3 x0 − 1 x0 − 1  3 x 0 = 1 + 3 2 ng th c x y ra ⇔ x 0 − 1 = ⇔ x0 − 1 = 3 ⇔  . x0 −1 x 0 = 1 − 3  ( ) V y có hai i m th a mãn yêu c u bài toán là M 7 1 + 3; 2 + 3 và M 8 1 − 3; 2 − 3 . ( ) www.MATHVN.com 20
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

EXAM.04: Bộ 290+ Đề Thi Vào Lớp 10 Năm 2020
290 tài liệu
513 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2