HOÁN V – CHNH HP – T HP
A. TÓM TT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GII TOÁN
Gv: Phan Công Tr - Trưng THPT Thanh Bình 2 – ðng Tháp
1. Hoán v
ðnh nghĩa
Cho tp hp X gm n phn t phân bit
(
)
0
n
≥
. Mi cách sp xp n phn t ca X theo mt th t nào
ñó ñưc gi là mt hoán v ca n phn t. S các hoán v ca n phn t ñưc ký hiu là P
n
.
! 1.2...
n
P n n
. Quy ưc: 0! = 1.
Ví d 1. Sp xp 5 ngưi vào mt băng gh có 5 ch. Hi có bao nhiêu cách.
Gii
Mi cách ñi ch 1 trong 5 ngưi trên băng gh là 1 hoán v.
Vy có P
5
= 5! = 120 cách sp.
Ví d 2. T các ch s 0, 1, 2, 3, 4 có th lp ñưc my s t nhiên có 5 ch s khác nhau.
Gii
Gi
12345
A a a a a a
=
vi
1
0
a
≠
và
1 2 3 4 5
, , , ,
a a a a a
phân bit là s cn lp.
+ Bưc 1: ch s
1
0
a
≠
nên có 4 cách chn a
1
.
+ Bưc 2: sp 4 ch s còn li vào 4 v trí có 4! = 24 cách.
Vy có 4.24 = 96 s.
2. Chnh hp
ðnh nghĩa
Cho tp hp X gm n phn t phân bit
(
)
0
n
≥
. Mi cách chn ra k
(
)
0
k n
≤ ≤
phn t ca X và sp
xp theo mt th t nào ñó ñưc gi là mt chnh hp chp k ca n phn t. S các chnh hp chp k
ca n phn t ñưc ký hiu là
k
n
A
.
!
( )!
k
n
n
A
n k
=−.
Nhn xét:
!
n
n n
A n P
= =
.
Ví d 3. Sp xp 5 ngưi vào mt băng gh có 7 ch. Hi có bao nhiêu cách.
Gii
Mi cách chn ra 5 ch ngi t băng gh ñ sp 5 ngưi vào và có hoán v là mt chnh hp chp 5 ca
7.
Vy có
5
7
7!
2520
(7 5)!
A= =
− cách sp.
Ví d 4. T tp hp
{
}
0; 1; 2; 3; 4; 5
X
=
có th lp ñưc my s t nhiên có 4 ch s khác nhau.
Gii
Gi
1 2 3 4
A a a a a
=
vi
1
0
a
≠
và
1 2 3 4
, , ,
a a a a
phân bit là s cn lp.
+ Bưc 1: ch s
1
0
a
≠
nên có 5 cách chn a
1
.
+ Bưc 2: chn 3 trong 5 ch s còn li ñ sp vào 3 v trí
3
5
A
cách.
Vy có
3
5
5 300
A=
s.
3. T hp
ðnh nghĩa
Cho tp hp X gm n phn t phân bit
(
)
0
n
≥
. Mi cách chn ra k
(
)
0
k n
≤ ≤
phn t ca X ñưc
gi là mt t hp chp k ca n phn t. S các t hp chp k ca n phn t ñưc ký hiu là
k
n
C
.
!
!( )!
k
n
n
C
k n k
=−.
Ví d 5. Có 10 cun sách toán khác nhau. Chn ra 4 cun, hi có bao nhiêu cách.
Gii
Mi cách chn ra 4 trong 10 cun sách là mt t hp chp 4 ca 10.
Vy có
4
10
210
C=
cách chn.
Ví d 6. Mt nhóm có 5 nam và 3 n. Chn ra 3 ngưi sao cho trong ñó có ít nht 1 n. Hi có bao
nhiêu cách.
Gii
+ Trưng hp 1: chn 1 n và 2 nam.
- Bưc 1: chn ra 1 trong 3 n có 3 cách.
- Bưc 2: chn ra 2 trong 5 nam có
2
5
C
.
Suy ra có
2
5
3
C
cách chn.
+ Trưng hp 2: chn 2 n và 1 nam.
- Bưc 1: chn ra 2 trong 3 n có
2
3
C
cách.
- Bưc 2: chn ra 1 trong 5 nam có 5.
Suy ra có
2
3
5
C
cách chn.
+ Trưng hp 3: chn 3 n có 1 cách.
Vy có
2 2
5 3
3 5 1 46
C C
+ + =
cách chn.
Ví d 7. Hi có th lp ñưc bao nhiêu s t nhiên có 4 ch s sao cho trong mi s ñó, ch s hàng
ngàn ln hơn hàng trăm, ch s hàng trăm ln hơn hàng chc và ch s hàng chc ln hơn hàng ñơn v.
Gii
Gi
1 2 3 4
A a a a a
=
vi
1 2 3 4
9 0
a a a a
≥ > > > ≥
là s cn lp.
{
}
0; 1; 2; ...; 8; 9
X
=
.
T 10 phn t ca X ta chn ra 4 phn t bt kỳ thì ch lp ñưc 1 s A. Nghĩa là không có hoán v hay
là mt t hp chp 4 ca 10.
Vy có
4
10
210
C=
s.
Nhn xét:
i) ði#u kin ñ x$y ra hoán v, chnh hp và t hp là n phn t ph$i phân bit.
ii) Chnh hp và t hp khác nhau % ch là sau khi chn ra k trong n phn t thì chnh hp có sp th t
còn t hp thì không.
4. Phương pháp gii toán
4.1. Phương pháp 1
Bưc 1. ðc k& các yêu cu và s liu ca ñ# bài. Phân bài toán ra các trưng hp, trong mi trưng
hp li phân thành các giai ñon.
Bưc 2. Tùy tng giai ñon c th và gi$ thit bài toán ñ s dng quy tc cng, nhân, hoán v, chnh
hp hay t hp.
Bưc 3. ðáp án là tng kt qu$ ca các trưng hp trên.
Ví d 8. Mt nhóm công nhân gm 15 nam và 5 n. Ngưi ta mun chn t nhóm ra 5 ngưi ñ lp
thành mt t công tác sao cho ph$i có 1 t trư%ng nam, 1 t phó nam và có ít nht 1 n. Hi có bao
nhiêu cách lp t công tác.
Gii
+ Trưng hp 1: chn 1 n và 4 nam.
- Bưc 1: chn 1 trong 5 n có 5 cách.
- Bưc 2: chn 2 trong 15 nam làm t trư%ng và t phó có
2
15
A
cách.
- Bưc 3: chn 2 trong 13 nam còn li có
2
13
C
cách.
Suy ra có
2 2
15 13
5 .
A C
cách chn cho trưng hp 1.
+ Trưng hp 2: chn 2 n và 3 nam.
- Bưc 1: chn 2 trong 5 n có
2
5
C
cách.
- Bưc 2: chn 2 trong 15 nam làm t trư%ng và t phó có
2
15
A
cách.
- Bưc 3: chn 1 trong 13 nam còn li có 13 cách.
Suy ra có
2 2
15 5
13 .
A C
cách chn cho trưng hp 2.
+ Trưng hp 3: chn 3 n và 2 nam.
- Bưc 1: chn 3 trong 5 n có
3
5
C
cách.
- Bưc 2: chn 2 trong 15 nam làm t trư%ng và t phó có
2
15
A
cách.
Suy ra có
2 3
15 5
.
A C
cách chn cho trưng hp 3.
Vy có
2 2 2 2 2 3
15 13 15 5 15 5
5 . 13 . . 111300
A C A C A C+ + =
cách.
Cách khác:
+ Bưc 1: chn 2 trong 15 nam làm t trư%ng và t phó có
2
15
A
cách.
+ Bưc 2: chn 3 t viên, trong ñó có n.
- Trưng hp 1: chn 1 n và 2 nam có
2
13
5.
C
cách.
- Trưng hp 2: chn 2 n và 1 nam có
2
5
13.
C
cách.
- Trưng hp 3: chn 3 n có
3
5
C
cách.
Vy có
(
)
2 2 2 3
15 13 5 5
5. 13. 111300
A C C C+ + = cách.
4.2. Phương pháp 2.
ði vi nhi#u bài toán, phương pháp 1 rt dài. Do ñó ta s dng phương pháp loi tr (phn bù) theo
phép toán
\
A A X A X A
=⇒=
∪
.
Bưc 1.
Chia yêu c
u c
a
ñ#
thành 2 ph
n là yêu c
u chung X (t
ng quát) g
i là
loi 1
và yêu c
u riêng
A. Xét
A
là ph
ñ
nh c
a A, ngh
ĩ
a là không th
a yêu c
u riêng g
i là
loi 2
.
Bưc 2.
Tính s
cách ch
n lo
i 1 và lo
i 2.
Bưc 3.
ð
áp án là s
cách ch
n lo
i 1 tr
s
cách ch
n lo
i 2.
Chú ý:
Cách phân lo
i 1 và lo
i 2 có tính t
ươ
ng
ñ
i, ph
thu
c vào ch
quan c
a ng
ư
i gi
$
i.
Ví d 9.
T
các ch
s
0, 1, 2, 3, 4 có th
l
p
ñư
c m
y s
t
nhiên có 5 ch
s
khác nhau.
Gii
+ Lo
i 1: ch
s
a
1
tùy ý, ta có 5! = 120 s
.
+ Lo
i 2: ch
s
a
1
= 0, ta có 4! = 24 s
.
V
y có 120 – 24 = 96 s
.
Ví d 10.
M
t nhóm có 7 nam và 6 n
. Ch
n ra 3 ng
ư
i sao cho trong
ñ
ó có ít nh
t 1 n
. H
i có bao
nhiêu cách.
Gii
+ Lo
i 1: ch
n 3 ng
ư
i tùy ý trong 13 ng
ư
i có
3
13
C
cách.
+ Lo
i 2: ch
n 3 nam (không có n
) trong 7 nam có
3
7
C
cách.
V
y có
3 3
13 7
251
C C− =
cách ch
n.
Ví d 11.
T
20 câu h
i tr
c nghi
m g
m 9 câu d
'
, 7 câu trung bình và 4 câu khó ng
ư
i ta ch
n ra 10
câu
ñ
làm
ñ#
ki
m tra sao cho ph
$
i có
ñ
c
$
3 lo
i d
'
, trung bình và khó. H
i có th
l
p
ñư
c bao nhiêu
ñ#
ki
m tra.
Gii
+ Lo
i 1: ch
n 10 câu tùy ý trong 20 câu có
10
20
C
cách.
+ Lo
i 2: ch
n 10 câu có không quá 2 trong 3 lo
i d
'
, trung bình và khó.
- Tr
ư
ng h
p 1: ch
n 10 câu d
'
và trung bình trong 16 câu có
10
16
C
cách.
- Tr
ư
ng h
p 2: ch
n 10 câu d
'
và khó trong 13 câu có
10
13
C
cách.
- Tr
ư
ng h
p 3: ch
n 10 câu trung bình và khó trong 11 câu có
10
11
C
cách.
V
y có
(
)
10 10 10 10
20 16 13 11
176451
C C C C− + + =
ñ#
ki
m tra.
Chú ý:
Gi
$
i b
(
ng ph
ươ
ng pháp ph
n bù có
ư
u
ñ
i
m là ng
n tuy nhiên nh
ư
c
ñ
i
m là th
ư
ng sai sót khi tính s
l
ư
ng t
ng lo
i.
Ví d 12.
T
20 câu h
i tr
c nghi
m g
m 9 câu d
'
, 7 câu trung bình và 4 câu khó ng
ư
i ta ch
n ra 7
câu
ñ
làm
ñ#
ki
m tra sao cho ph
$
i có
ñ
c
$
3 lo
i d
'
, trung bình và khó. H
i có th
l
p
ñư
c bao nhiêu
ñ#
ki
m tra.
Cách gii sai:
+ Lo
i 1: ch
n 7 câu tùy ý trong 20 câu có
7
20
C
cách.
+ Lo
i 2: ch
n 7 câu không th
a yêu c
u.
- Tr
ư
ng h
p 1: ch
n 7 câu d
'
trong 9 câu có
7
9
C
cách.
- Tr
ư
ng h
p 2: ch
n 7 câu trung bình có 1 cách.
- Tr
ư
ng h
p 3: ch
n 7 câu d
'
và
trung bình trong 16 câu có
7
16
C
cách.
- Tr
ư
ng h
p 4: ch
n 7 câu d
'
và
khó trong 13 câu có
7
13
C
cách.
- Tr
ư
ng h
p 5: ch
n 7 câu trung bình
và
khó trong 11 câu có
7
11
C
cách.
V
y có
(
)
7 7 7 7 7
20 9 16 13 11
1 63997
C C C C C
− + + + + =
ñ#
ki
m tra!
Sai sót trong cách tính s
ñ#
lo
i 2. Ch
)
ng h
n, khi tính s
ñ#
trong tr
ư
ng h
p 3 ta
ñ
ã tính l
*
p l
i
tr
ư
ng h
p 1 và tr
ư
ng h
p 2.
Cách gii sai khác:
+ Lo
i 1: ch
n 7 câu tùy ý trong 20 câu có
7
20
C
cách.
+ Lo
i 2: ch
n 7 câu không th
a yêu c
u.
- Tr
ư
ng h
p 1: ch
n 7 câu d
'
hoc
trung bình trong 16 câu có
7
16
C
cách.
- Tr
ư
ng h
p 2: ch
n 7 câu d
'
hoc
khó trong 13 câu có
7
13
C
cách.
- Tr
ư
ng h
p 3: ch
n 7 câu trung bình
hoc
khó trong 11 câu có
7
11
C
cách.
V
y có
(
)
7 7 7 7
20 16 13 11
64034
C C C C− + + =
ñ#
ki
m tra.
Sai sót do ta
ñ
ã tính l
*
p l
i s
cách ch
n
ñ#
ch
có 7 câu d
'
và
ñ#
ch
có 7 câu trung bình trong tr
ư
ng
h
p 1 và tr
ư
ng h
p 2.
Cách gii ñúng:
+ Lo
i 1: ch
n 7 câu tùy ý trong 20 câu có
7
20
C
cách.
+ Lo
i 2: ch
n 7 câu không th
a yêu c
u.
- Tr
ư
ng h
p 1: ch
n 7 câu d
'
hoc
trung bình trong 16 câu có
7
16
C
cách.
- Tr
ư
ng h
p 2: ch
n 7 câu d
'
và
khó trong 13 câu có
7 7
13 9
C C
−
cách.
- Tr
ư
ng h
p 3: ch
n 7 câu trung bình
và
khó trong 11 câu có
7
11
1
C
−
cách.
V
y có
(
)
7 7 7 7 7
20 16 13 9 11
1 64071
C C C C C− + − + − =
ñ#
ki
m tra.
Ví d 13.
H
i
ñ
ng qu
$
n tr
c
a m
t công ty g
m 12 ng
ư
i, trong
ñ
ó có 5 n
. T
h
i
ñ
ng qu
$
n tr
ñ
ó
ng
ư
i ta b
u ra 1 ch
t
ch h
i
ñ
ng qu
$
n tr
, 1 phó ch
t
ch h
i
ñ
ng qu
$
n tr
và 2
y viên. H
i có m
y
cách b
u sao cho trong 4 ng
ư
i
ñư
c b
u ph
$
i có n
.
Gii
+ Lo
i 1: b
u 4 ng
ư
i tùy ý (không phân bi
t nam, n
).
- B
ư
c 1: b
u ch
t
ch và phó ch
t
ch có
2
12
A
cách.
- B
ư
c 2: b
u 2
y viên có
2
10
C
cách.
Suy ra có
2 2
12 10
.
A C
cách b
u lo
i 1.
+ Lo
i 2: b
u 4 ng
ư
i toàn nam.
- B
ư
c 1: b
u ch
t
ch và phó ch
t
ch có
2
7
A
cách.
- B
ư
c 2: b
u 2
y viên có
2
5
C
cách.
Suy ra có
2 2
7 5
.
A C
cách b
u lo
i 2.
V
y có
2 2 2 2
12 10 7 5
. . 5520
A C A C− =
cách.
5. Hoán v lp (tham kho)
Cho t
p h
p X có n ph
n t
g
m n
1
ph
n t
gi
ng nhau, n
2
ph
n t
khác l
i gi
ng nhau, …, n
k
ph
n t
khác n
a l
i gi
ng nhau
(
)
1 2
...
k
n n n n
+ + + =
. M
i cách s
p n ph
n t
này vào n v
trí là m
t hoán v
l
*
p, s
hoán v
l
*
p là
1 2
!
! !... !
k
n
n n n
.
Ví d 14.
T
các ch
s
1, 2, 3 l
p
ñư
c bao nhiêu s
t
nhiên có
ñ
úng 5 ch
s
1, 2 ch
s
2 và 3 ch
s
3.
Gii
Xem s
c
n l
p có 10 ch
s
g
m 5 ch
s
1 gi
ng nhau, 2 ch
s
2 gi
ng nhau và 3 ch
s
3 gi
ng
nhau.
V
y có
10!
2520
5!2!3!
=
s
.
Cách gii thưng dùng:
+ B
ư
c 1: ch
n 5 trong 10 v
trí
ñ
s
p 5 ch
s
1 có
5
10
C
cách.
+ B
ư
c 2: ch
n 2 trong 5 v
trí còn l
i
ñ
s
p 2 ch
s
2 có
2
5
C
cách.
+ B
ư
c 3: s
p 3 ch
s
3 vào 3 v
trí còn l
i có 1 cách.
V
y có 5 2
10 5
. .1 2520
C C
=
s
.
B. BÀI TP
Bài 1.
C
n x
p 3 nam và 2 n
vào 1 hàng gh
có 7 ch
ng
i sao cho 3 nam ng
i k
#
nhau và 2 n
ng
i
k
#
nhau. H
i có bao nhiêu cách.
Bài 2.
Xét
ñ
a giác
ñ#
u có n c
nh, bi
t s
ñư
ng chéo g
p
ñ
ôi s
c
nh. Tính s
c
nh c
a
ñ
a giác
ñ#
u
ñ
ó.