Chuyên đề ôn thi Toán: Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp

Chia sẻ: Phan Công Trứ Trứ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:11

Thêm vào BST

Báo xấu

1.049
lượt xem 354
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề ôn thi Toán: Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp

HOÁN V – CH NH H P – T H P A. TÓM T T GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GI I TOÁN Gv: Phan Công Tr - Trư ng THPT Thanh Bình 2 – ð ng Tháp 1. Hoán v ð nh nghĩa Cho t p h p X g m n ph n t phân bi t ( n ≥ 0 ) . M i cách s p x p n ph n t c a X theo m t th t nào ñó ñư c g i là m t hoán v c a n ph n t . S các hoán v c a n ph n t ñư c ký hi u là Pn. Pn = n! = 1.2...n . Quy ư c: 0! = 1. Ví d 1. S p x p 5 ngư i vào m t băng gh có 5 ch . H i có bao nhiêu cách. Gi i M i cách ñ i ch 1 trong 5 ngư i trên băng gh là 1 hoán v . V y có P5 = 5! = 120 cách s p. Ví d 2. T các ch s 0, 1, 2, 3, 4 có th l p ñư c m y s t nhiên có 5 ch s khác nhau. Gi i G i A = a1a2 a3a4 a5 v i a1 ≠ 0 và a1 , a2 , a3 , a4 , a5 phân bi t là s c n l p. + Bư c 1: ch s a1 ≠ 0 nên có 4 cách ch n a1. + Bư c 2: s p 4 ch s còn l i vào 4 v trí có 4! = 24 cách. V y có 4.24 = 96 s . 2. Ch nh h p ð nh nghĩa Cho t p h p X g m n ph n t phân bi t ( n ≥ 0 ) . M i cách ch n ra k ( 0 ≤ k ≤ n ) ph n t c a X và s p x p theo m t th t nào ñó ñư c g i là m t ch nh h p ch p k c a n ph n t . S các ch nh h p ch p k k c a n ph n t ñư c ký hi u là An . n! An = k . (n − k )! Nh n xét: An = n ! = Pn . n Ví d 3. S p x p 5 ngư i vào m t băng gh có 7 ch . H i có bao nhiêu cách. Gi i M i cách ch n ra 5 ch ng i t băng gh ñ s p 5 ngư i vào và có hoán v là m t ch nh h p ch p 5 c a 7. 7! V y có A7 = 5 = 2520 cách s p. (7 − 5)! Ví d 4. T t p h p X = {0; 1; 2; 3; 4; 5} có th l p ñư c m y s t nhiên có 4 ch s khác nhau. Gi i G i A = a1a2 a3a4 v i a1 ≠ 0 và a1 , a2 , a3 , a4 phân bi t là s c n l p. + Bư c 1: ch s a1 ≠ 0 nên có 5 cách ch n a1. 3 + Bư c 2: ch n 3 trong 5 ch s còn l i ñ s p vào 3 v trí A5 cách. V y có 5 A5 = 300 s . 3 3. T h p ð nh nghĩa 1
Cho t p h p X g m n ph n t phân bi t ( n ≥ 0 ) . M i cách ch n ra k ( 0 ≤ k ≤ n ) ph n t c a X ñư c k g i là m t t h p ch p k c a n ph n t . S các t h p ch p k c a n ph n t ñư c ký hi u là Cn . n! Cn = k . k !( n − k )! Ví d 5. Có 10 cu n sách toán khác nhau. Ch n ra 4 cu n, h i có bao nhiêu cách. Gi i M i cách ch n ra 4 trong 10 cu n sách là m t t h p ch p 4 c a 10. V y có C10 = 210 cách ch n. 4 Ví d 6. M t nhóm có 5 nam và 3 n . Ch n ra 3 ngư i sao cho trong ñó có ít nh t 1 n . H i có bao nhiêu cách. Gi i + Trư ng h p 1: ch n 1 n và 2 nam. - Bư c 1: ch n ra 1 trong 3 n có 3 cách. - Bư c 2: ch n ra 2 trong 5 nam có C52 . Suy ra có 3C52 cách ch n. + Trư ng h p 2: ch n 2 n và 1 nam. - Bư c 1: ch n ra 2 trong 3 n có C32 cách. - Bư c 2: ch n ra 1 trong 5 nam có 5. Suy ra có 5C32 cách ch n. + Trư ng h p 3: ch n 3 n có 1 cách. V y có 3C52 + 5C32 + 1 = 46 cách ch n. Ví d 7. H i có th l p ñư c bao nhiêu s t nhiên có 4 ch s sao cho trong m i s ñó, ch s hàng ngàn l n hơn hàng trăm, ch s hàng trăm l n hơn hàng ch c và ch s hàng ch c l n hơn hàng ñơn v . Gi i G i A = a1a2 a3a4 v i 9 ≥ a1 > a2 > a3 > a4 ≥ 0 là s c n l p. X = {0; 1; 2; ...; 8; 9} . T 10 ph n t c a X ta ch n ra 4 ph n t b t kỳ thì ch l p ñư c 1 s A. Nghĩa là không có hoán v hay là m t t h p ch p 4 c a 10. V y có C10 = 210 s . 4 Nh n xét: i) ði u ki n ñ x y ra hoán v , ch nh h p và t h p là n ph n t ph i phân bi t. ii) Ch nh h p và t h p khác nhau ch là sau khi ch n ra k trong n ph n t thì ch nh h p có s p th t còn t h p thì không. 4. Phương pháp gi i toán 4.1. Phương pháp 1 Bư c 1. ð c k các yêu c u và s li u c a ñ bài. Phân bài toán ra các trư ng h p, trong m i trư ng h p l i phân thành các giai ño n. Bư c 2. Tùy t ng giai ño n c th và gi thi t bài toán ñ s d ng quy t c c ng, nhân, hoán v , ch nh h p hay t h p. Bư c 3. ðáp án là t ng k t qu c a các trư ng h p trên. Ví d 8. M t nhóm công nhân g m 15 nam và 5 n . Ngư i ta mu n ch n t nhóm ra 5 ngư i ñ l p 2
thành m t t công tác sao cho ph i có 1 t trư ng nam, 1 t phó nam và có ít nh t 1 n . H i có bao nhiêu cách l p t công tác. Gi i + Trư ng h p 1: ch n 1 n và 4 nam. - Bư c 1: ch n 1 trong 5 n có 5 cách. 2 - Bư c 2: ch n 2 trong 15 nam làm t trư ng và t phó có A15 cách. 2 - Bư c 3: ch n 2 trong 13 nam còn l i có C13 cách. 2 2 Suy ra có 5 A15 .C13 cách ch n cho trư ng h p 1. + Trư ng h p 2: ch n 2 n và 3 nam. - Bư c 1: ch n 2 trong 5 n có C52 cách. 2 - Bư c 2: ch n 2 trong 15 nam làm t trư ng và t phó có A15 cách. - Bư c 3: ch n 1 trong 13 nam còn l i có 13 cách. Suy ra có 13 A15 .C52 cách ch n cho trư ng h p 2. 2 + Trư ng h p 3: ch n 3 n và 2 nam. 3 - Bư c 1: ch n 3 trong 5 n có C5 cách. 2 - Bư c 2: ch n 2 trong 15 nam làm t trư ng và t phó có A15 cách. 2 3 Suy ra có A15 .C5 cách ch n cho trư ng h p 3. V y có 5 A15 .C13 + 13 A15 .C52 + A15 .C5 = 111300 cách. 2 2 2 2 3 Cách khác: 2 + Bư c 1: ch n 2 trong 15 nam làm t trư ng và t phó có A15 cách. + Bư c 2: ch n 3 t viên, trong ñó có n . 2 - Trư ng h p 1: ch n 1 n và 2 nam có 5.C13 cách. - Trư ng h p 2: ch n 2 n và 1 nam có 13.C52 cách. 3 - Trư ng h p 3: ch n 3 n có C5 cách. V y có A15 ( 5.C13 + 13.C52 + C5 ) = 111300 cách. 2 2 3 4.2. Phương pháp 2. ð i v i nhi u bài toán, phương pháp 1 r t dài. Do ñó ta s d ng phương pháp lo i tr (ph n bù) theo phép toán A ∪ A = X ⇒ A = X \ A . Bư c 1. Chia yêu c u c a ñ thành 2 ph n là yêu c u chung X (t ng quát) g i là lo i 1 và yêu c u riêng A. Xét A là ph ñ nh c a A, nghĩa là không th a yêu c u riêng g i là lo i 2. Bư c 2. Tính s cách ch n lo i 1 và lo i 2. Bư c 3. ðáp án là s cách ch n lo i 1 tr s cách ch n lo i 2. Chú ý: Cách phân lo i 1 và lo i 2 có tính tương ñ i, ph thu c vào ch quan c a ngư i gi i. Ví d 9. T các ch s 0, 1, 2, 3, 4 có th l p ñư c m y s t nhiên có 5 ch s khác nhau. Gi i + Lo i 1: ch s a1 tùy ý, ta có 5! = 120 s . + Lo i 2: ch s a1 = 0, ta có 4! = 24 s . V y có 120 – 24 = 96 s . Ví d 10. M t nhóm có 7 nam và 6 n . Ch n ra 3 ngư i sao cho trong ñó có ít nh t 1 n . H i có bao nhiêu cách. Gi i 3
3 + Lo i 1: ch n 3 ngư i tùy ý trong 13 ngư i có C13 cách. 3 + Lo i 2: ch n 3 nam (không có n ) trong 7 nam có C7 cách. V y có C13 − C7 = 251 cách ch n. 3 3 Ví d 11. T 20 câu h i tr c nghi m g m 9 câu d , 7 câu trung bình và 4 câu khó ngư i ta ch n ra 10 câu ñ làm ñ ki m tra sao cho ph i có ñ c 3 lo i d , trung bình và khó. H i có th l p ñư c bao nhiêu ñ ki m tra. Gi i 10 + Lo i 1: ch n 10 câu tùy ý trong 20 câu có C20 cách. + Lo i 2: ch n 10 câu có không quá 2 trong 3 lo i d , trung bình và khó. 10 - Trư ng h p 1: ch n 10 câu d và trung bình trong 16 câu có C16 cách. 10 - Trư ng h p 2: ch n 10 câu d và khó trong 13 câu có C13 cách. 10 - Trư ng h p 3: ch n 10 câu trung bình và khó trong 11 câu có C11 cách. 10 (10 10 10 ) V y có C20 − C16 + C13 + C11 = 176451 ñ ki m tra. Chú ý: Gi i b ng phương pháp ph n bù có ưu ñi m là ng n tuy nhiên như c ñi m là thư ng sai sót khi tính s lư ng t ng lo i. Ví d 12. T 20 câu h i tr c nghi m g m 9 câu d , 7 câu trung bình và 4 câu khó ngư i ta ch n ra 7 câu ñ làm ñ ki m tra sao cho ph i có ñ c 3 lo i d , trung bình và khó. H i có th l p ñư c bao nhiêu ñ ki m tra. Cách gi i sai: 7 + Lo i 1: ch n 7 câu tùy ý trong 20 câu có C20 cách. + Lo i 2: ch n 7 câu không th a yêu c u. - Trư ng h p 1: ch n 7 câu d trong 9 câu có C97 cách. - Trư ng h p 2: ch n 7 câu trung bình có 1 cách. 7 - Trư ng h p 3: ch n 7 câu d và trung bình trong 16 câu có C16 cách. 7 - Trư ng h p 4: ch n 7 câu d và khó trong 13 câu có C13 cách. 7 - Trư ng h p 5: ch n 7 câu trung bình và khó trong 11 câu có C11 cách. 7 ( 7 7 ) V y có C20 − 1 + C97 + C16 + C13 + C11 = 63997 ñ ki m tra! 7 Sai sót trong cách tính s ñ lo i 2. Ch ng h n, khi tính s ñ trong trư ng h p 3 ta ñã tính l p l i trư ng h p 1 và trư ng h p 2. Cách gi i sai khác: 7 + Lo i 1: ch n 7 câu tùy ý trong 20 câu có C20 cách. + Lo i 2: ch n 7 câu không th a yêu c u. 7 - Trư ng h p 1: ch n 7 câu d ho c trung bình trong 16 câu có C16 cách. 7 - Trư ng h p 2: ch n 7 câu d ho c khó trong 13 câu có C13 cách. 7 - Trư ng h p 3: ch n 7 câu trung bình ho c khó trong 11 câu có C11 cách. 7 (7 7 7 ) V y có C20 − C16 + C13 + C11 = 64034 ñ ki m tra. Sai sót do ta ñã tính l p l i s cách ch n ñ ch có 7 câu d và ñ ch có 7 câu trung bình trong trư ng h p 1 và trư ng h p 2. Cách gi i ñúng: 7 + Lo i 1: ch n 7 câu tùy ý trong 20 câu có C20 cách. 4
+ Lo i 2: ch n 7 câu không th a yêu c u. 7 - Trư ng h p 1: ch n 7 câu d ho c trung bình trong 16 câu có C16 cách. - Trư ng h p 2: ch n 7 câu d và khó trong 13 câu có C13 − C97 cách. 7 - Trư ng h p 3: ch n 7 câu trung bình và khó trong 11 câu có C11 − 1 cách. 7 7 (7 7 7 ) V y có C20 − C16 + C13 − C97 + C11 − 1 = 64071 ñ ki m tra. Ví d 13. H i ñ ng qu n tr c a m t công ty g m 12 ngư i, trong ñó có 5 n . T h i ñ ng qu n tr ñó ngư i ta b u ra 1 ch t ch h i ñ ng qu n tr , 1 phó ch t ch h i ñ ng qu n tr và 2 y viên. H i có m y cách b u sao cho trong 4 ngư i ñư c b u ph i có n . Gi i + Lo i 1: b u 4 ngư i tùy ý (không phân bi t nam, n ). 2 - Bư c 1: b u ch t ch và phó ch t ch có A12 cách. 2 - Bư c 2: b u 2 y viên có C10 cách. 2 2 Suy ra có A12 .C10 cách b u lo i 1. + Lo i 2: b u 4 ngư i toàn nam. - Bư c 1: b u ch t ch và phó ch t ch có A72 cách. - Bư c 2: b u 2 y viên có C52 cách. Suy ra có A72 .C52 cách b u lo i 2. V y có A12 .C10 − A72 .C52 = 5520 cách. 2 2 5. Hoán v l p (tham kh o) Cho t p h p X có n ph n t g m n1 ph n t gi ng nhau, n2 ph n t khác l i gi ng nhau, …, nk ph n t khác n a l i gi ng nhau ( n1 + n2 + ... + nk = n ) . M i cách s p n ph n t này vào n v trí là m t hoán v n! l p, s hoán v l p là . n1 !n2 !...nk ! Ví d 14. T các ch s 1, 2, 3 l p ñư c bao nhiêu s t nhiên có ñúng 5 ch s 1, 2 ch s 2 và 3 ch s 3. Gi i Xem s c n l p có 10 ch s g m 5 ch s 1 gi ng nhau, 2 ch s 2 gi ng nhau và 3 ch s 3 gi ng nhau. 10! V y có = 2520 s . 5!2!3! Cách gi i thư ng dùng: 5 + Bư c 1: ch n 5 trong 10 v trí ñ s p 5 ch s 1 có C10 cách. + Bư c 2: ch n 2 trong 5 v trí còn l i ñ s p 2 ch s 2 có C52 cách. + Bư c 3: s p 3 ch s 3 vào 3 v trí còn l i có 1 cách. V y có C10 .C52 .1 = 2520 s . 5 B. BÀI T P Bài 1. C n x p 3 nam và 2 n vào 1 hàng gh có 7 ch ng i sao cho 3 nam ng i k nhau và 2 n ng i k nhau. H i có bao nhiêu cách. Bài 2. Xét ña giác ñ u có n c nh, bi t s ñư ng chéo g p ñôi s c nh. Tính s c nh c a ña giác ñ u ñó. 5
Bài 3. Tính s các s t nhiên ñôi m t khác nhau có 6 ch s t o thành t các ch s 0, 1, 2, 3, 4, 5 sao cho 2 ch s 3 và 4 ñ ng c nh nhau. Bài 4. Tính s các s t nhiên có 4 ch s ñôi m t khác nhau ñư c thành l p t 0, 1, 2, 3, 4, 5 sao cho trong m i s ñó ñ u có m t ít nh t ch s 1 ho c 2. Bài 5. Hai nhóm ngư i c n mua n n nhà, nhóm th nh t có 2 ngư i và h mu n mua 2 n n k nhau, nhóm th hai có 3 ngư i và h mu n mua 3 n n k nhau. H tìm ñư c m t lô ñ t chia thành 7 n n ñang rao bán (các n n như nhau và chưa có ngư i mua). Tính s cách ch n n n c a m i ngư i th a yêu c u trên. Bài 6. T 4 ch s 0, 1, 2, 3 l p thành các s t nhiên có 3 ch s phân bi t. Tính t ng các s ñư c thành l p. Bài 7. Tính s hình ch nh t ñư c t o thành t 4 trong 20 ñ nh c a ña giác ñ u có 20 c nh n i ti p ñư ng tròn tâm O. Bài 8. Cho ña giác ñ u có 2n c nh n i ti p ñư ng tròn tâm O. Bi t s tam giác có các ñ nh là 3 trong 2n ñ nh c a ña giác nhi u g p 20 l n s hình ch nh t có các ñ nh là 4 trong 2n ñ nh c a ña giác. Tính s hình ch nh t. Bài 9. ð i tuy n h c sinh gi i c a m t trư ng g m 18 em, trong ñó có 7 em kh i 12, 6 em kh i 11 và 5 em kh i 10. Tính s cách ch n 6 em trong ñ i ñi d tr i hè sao cho m i kh i có ít nh t 1 em ñư c ch n. Bài 10. Cho t p h p X g m 10 ph n t khác nhau. Tính s t p h p con khác r ng ch a m t s ch n các ph n t c a X. Bài 11. M t h p ñ ng 15 viên bi khác nhau g m 4 bi ñ , 5 bi tr ng và 6 bi vàng. Tính s cách ch n 4 viên bi t h p ñó sao cho không có ñ 3 màu. Bài 12. Gi i vô ñ ch bóng ñá Qu c gia có 14 ñ i tham gia thi ñ u vòng tròn 1 lư t, bi t r ng trong 1 tr n ñ u: ñ i th ng ñư c 3 ñi m, hòa 1 ñi m, thua 0 ñi m và có 23 tr n hòa. Tính s ñi m trung bình c a 1 tr n trong toàn gi i. Bài 13. Tính s các s t nhiên g m 7 ch s ñư c ch n t 1, 2, 3, 4, 5 sao cho ch s 2 có m t ñúng 2 l n, ch s 3 có m t ñúng 3 l n và các ch s còn l i có m t không quá 1 l n. Bài 14. Tính s các s t nhiên g m 5 ch s phân bi t và m t trong 3 ch s ñ u tiên là 1 ñư c thành l p t các ch s 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Bài 15. T m t nhóm 30 h c sinh g m 15 h c sinh kh i A, 10 h c sinh kh i B và 5 h c sinh kh i C ch n ra 15 h c sinh sao cho có ít nh t 5 h c sinh kh i A và có ñúng 2 h c sinh kh i C. Tính s cách ch n. Bài 16. T m t nhóm 12 h c sinh g m 4 h c sinh kh i A, 4 h c sinh kh i B và 4 h c sinh kh i C ch n ra 5 h c sinh sao cho m i kh i có ít nh t 1 h c sinh. Tính s cách ch n. Bài 17. Tính s t p h p con c a X = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} ch a 1 mà không ch a 0. Bài 18. ð i thanh niên xung kích c a m t trư ng ph thông có 12 h c sinh g m 5 h c sinh l p A, 4 h c sinh l p B và 3 h c sinh l p C. Tính s cách ch n 4 h c sinh ñi làm nhi m v sao cho 4 h c sinh này 6
thu c không quá 2 trong 3 l p trên. Bài 19. T các ch s 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 l p thành s t nhiên ch n có 5 ch s phân bi t nh hơn 25000. Tính s các s l p ñư c. Bài 20. T p h p A g m n ph n t (n ≥ 4). Bi t r ng s t p h p con ch a 4 ph n t c a A b ng 20 l n s t p h p con ch a 2 ph n t c a A, tìm s k ∈ {1; 2; ...; n} sao cho s t p h p con ch a k ph n t c a A là l n nh t. C. HƯ NG D N GI I Bài 1. Xét 3 lo i gh g m 1 gh có 3 ch , 1 gh có 2 ch và 2 gh có 1 ch ng i. + Bư c 1: do 2 gh có 1 ch không phân bi t nên ch n 2 trong 4 v trí ñ s p gh 2 và 3 ch ng i có A4 = 12 cách. 2 + Bư c 2: s p 3 nam vào gh 3 ch có 3! = 6 cách. + Bư c 3: s p 2 n vào gh 2 ch có 2! = 2 cách. V y có 12.6.2 = 144 cách s p. Bài 2. Ch n 2 trong n ñ nh c a ña giác ta l p ñư c 1 c nh ho c ñư ng chéo. S c nh và ñư ng chéo là Cn . Suy ra s ñư ng chéo là Cn − n . 2 2 n! Ta có: Cn − n = 2n ⇔ 2 − n = 2n 2!( n − 2)! ⇔ n(n − 1) = 6n ⇔ n = 7 . V y có 7 c nh. Bài 3. Xét s có 5 ch s g m 0, 1, 2, 5 và ch s “kép” là (3, 4). + Lo i 1: ch s hàng trăm ngàn có th là 0. - Bư c 1: s p 5 ch s vào 5 v trí có 5! = 120 cách. - Bư c 2: v i m i cách s p ch s kép có 2 hoán v ch s 3 và 4. Suy ra có 120.2 = 240 s . + Lo i 2: ch s hàng trăm ngàn là 0. - Bư c 1: s p 4 ch s vào 4 v trí còn l i có 4! = 24 cách. - Bư c 2: v i m i cách s p ch s kép có 2 hoán v ch s 3 và 4. Suy ra có 24.2 = 48 s . V y có 240 – 48 = 192 s . Bài 4. + Lo i 1: ch s a1 có th là 0. S p 4 trong 6 ch s vào 4 v trí có A64 = 360 cách. S p 4 ch s 0, 3, 4, 5 vào 4 v trí có 4! = 24 cách. Suy ra có 360 – 24 = 336 s . + Lo i 2: ch s a1 là 0 (v trí a1 ñã có ch s 0). S p 3 trong 5 ch s vào 3 v trí có A5 = 60 cách. S p 3 ch s 3, 4, 5 vào 3 v trí có 3! = 6 cách. Suy ra 3 có 60 – 6 = 54 s . V y có 336 – 54 = 282 s . Cách khác: + Lo i 1: S t nhiên có 4 ch s tùy ý. - Bư c 1: Ch n 1 trong 5 ch s khác 0 s p vào a1 có 5 cách. - Bư c 2: Ch n 3 trong 5 ch s khác a1 s p vào 3 v trí còn l i có A5 = 60 cách. 3 Suy ra có 5.60 = 300 s . + Lo i 2: S t nhiên có 4 ch s g m 0, 3, 4, 5 (không có 1 và 2). 7
- Bư c 1: Ch n 1 trong 3 ch s khác 0 s p vào a1 có 3 cách. - Bư c 2: S p 3 ch s còn l i vào 3 v trí 3! = 6 cách. Suy ra có 3.6 = 18 s . V y có 300 – 18 = 282 s . Bài 5. Xem lô ñ t có 4 v trí g m 2 v trí 1 n n, 1 v trí 2 n n và 1 v trí 3 n n. + Bư c 1: nhóm th nh t ch n 1 v trí cho 2 n n có 4 cách và m i cách có 2! = 2 cách ch n n n cho m i ngư i. Suy ra có 4.2 = 8 cách ch n n n. + Bư c 2: nhóm th hai ch n 1 trong 3 v trí còn l i cho 3 n n có 3 cách và m i cách có 3! = 6 cách ch n n n cho m i ngư i. Suy ra có 3.6 = 18 cách ch n n n. V y có 8.18 = 144 cách ch n n n cho m i ngư i. Bài 6. + Xét s A có 3 ch s phân bi t và ch s hàng trăm có th là 0. T A4 = 24 s A ta l p ñư c 12 c p s có t ng là 333. Ví d 012 + 321 = 333. 3 Suy ra t ng các s A là 12.333 = 3996. + Xét s B có 3 ch s phân bi t và ch s hàng trăm là 0. T A32 = 6 s B ta l p ñư c 3 c p s có t ng là 44. Ví d 032 + 012 = 44. Suy ra t ng các s B là 3.44 = 132. V y t ng các s th a yêu c u là 3996 – 132 = 3864. Cách khác: + Xét s A có 3 ch s phân bi t và ch s hàng trăm có th là 0. - S các s A là A4 = 24 s . S l n các ch s có m t hàng trăm, hàng ch c và ñơn v là như nhau và 3 b ng 24 : 4 = 6 l n. - T ng các ch s hàng trăm (hàng ch c, ñơn v ) c a 24 s là: 6.(0 + 1 + 2 + 3) = 36. Suy ra t ng các s A là 36.(100 + 10 + 1) = 3996. + Xét s B có 3 ch s phân bi t và ch s hàng trăm là 0. - S các s B là A32 = 6 s . S l n các ch s 1, 2, 3 có m t hàng ch c và ñơn v là như nhau và b ng 6 : 3 = 2 l n. - T ng các ch s hàng ch c (ñơn v ) c a 6 s là 2.(1 + 2 + 3) = 12. Suy ra t ng các s B là 12.(10 + 1) = 132. V y t ng các s th a yêu c u là 3996 – 132 = 3864. Bài 7. Nh n th y các hình ch nh t ñư c t o thành có 2 ñư ng chéo là ñư ng kính c a ñư ng tròn. V ñư ng th ng d qua tâm O và không qua ñ nh c a ña giác ñ u thì d chia ña giác thành 2 ph n, m i ph n có 10 ñ nh. Suy ra s ñư ng chéo c a ña giác ñi qua tâm O là 10. Ch n 2 trong 10 ñư ng chéo thì l p ñư c 1 hình ch nh t. V y có C10 = 45 hình ch nh t. 2 2 Bài 8. + Lý lu n tương t câu 65 ta có Cn hình ch nh t. 3 + S tam giác t o thành t 3 trong 2n ñ nh c a ña giác là C2 n . (2n)! n! + T gi thi t ta có: C2 n = 20Cn ⇔ 3 2 = 20 3!( 2n − 3)! 2!( n − 2 )! 2n(2n − 1)(2n − 2) n( n − 1) ⇔ = 20 ⇔ n = 8. 6 2 V y có C82 = 28 hình ch nh t. Bài 9. Cách gi i sai: + Ch n tùy ý 6 em trong ñ i có C18 = 18564 cách. 6 + Ch n 6 em trong ñ i thu c kh i 12 ho c kh i 11 có C13 = 1716 cách. 6 8
+ Ch n 6 em trong ñ i thu c kh i 12 ho c kh i 10 có C12 = 924 cách. 6 + Ch n 6 em trong ñ i thu c kh i 11 ho c kh i 10 có C11 = 462 cách. 6 V y có 18564 – 1716 – 924 – 462 = 15462 cách ch n! Sai ch l p 12 và l p 11 ta ñã tính l p l i. Cách gi i ñúng: + Ch n tùy ý 6 em trong ñ i có C18 = 18564 cách. 6 + Ch n 6 em trong ñ i thu c kh i 12 ho c kh i 11 có C13 = 1716 cách. 6 + Ch n 6 em trong ñ i thu c kh i 12 và kh i 10 có C12 − C7 = 917 cách. 6 6 + Ch n 6 em trong ñ i thu c kh i 11 và kh i 10 có C11 − C6 = 461 cách. 6 6 V y có 18564 – 1716 – 917 – 461 = 15454 cách ch n. Bài 10. + S t p h p con ch a 2 ph n t c a X là C10 = 45 . 2 + S t p h p con ch a 4 ph n t c a X là C10 = 210 . 4 + S t p h p con ch a 6 ph n t c a X là C10 = 210 . 6 + S t p h p con ch a 8 ph n t c a X là C10 = 45 . 8 + S t p h p con ch a 10 ph n t c a X là 1. V y có 45 + 210 + 210 + 45 + 1 = 511 t p h p. Bài 11. + Trư ng h p 1: ch n 4 bi ñ ho c tr ng có C94 = 126 cách. + Trư ng h p 2: ch n 4 bi ñ và vàng ho c 4 bi vàng có C10 − C4 = 209 cách. 4 4 + Trư ng h p 3: ch n 4 bi tr ng và vàng có C11 − ( C54 + C64 ) = 310 cách. 4 V y có 126 + 209 + 310 = 645 cách. Cách khác: + Lo i 1: ch n tùy ý 4 trong 15 viên bi có C15 = 1365 cách. 4 + Lo i 2: ch n ñ c 3 màu có 720 cách g m các trư ng h p sau: - Ch n 2 bi ñ , 1 bi tr ng và 1 bi vàng có 180 cách. - Ch n 1 bi ñ , 2 bi tr ng và 1 bi vàng có 240 cách. - Ch n 1 bi ñ , 1 bi tr ng và 2 bi vàng có 300 cách. V y có 1365 – 720 = 645 cách. Bài 12. + Do thi ñ u vòng tròn 1 lư t nên 2 ñ i b t kỳ ch ñ u v i nhau ñúng 1 tr n. S tr n ñ u c a gi i là C14 = 91 . 2 + T ng s ñi m c a 2 ñ i trong 1 tr n hòa là 2 nên t ng s ñi m c a 23 tr n hòa là 2.23 = 46. + T ng s ñi m c a 2 ñ i trong 1 tr n không hòa là 3 nên t ng s ñi m c a 68 tr n không hòa là 3.68 = 204. 46 + 204 250 V y s ñi m trung bình c a 1 tr n là = ñi m. 91 91 Bài 13. Xem s có 7 ch s như 7 v trí th ng hàng. + Bư c 1: ch n 2 trong 7 v trí ñ s p 2 ch s 2 (không hoán v ) có C72 = 21 cách. + Bư c 2: ch n 3 trong 5 v trí còn l i ñ s p 3 ch s 3 (không hoán v ) có C5 = 10 cách. 3 + Bư c 3: ch n 2 trong 3 ch s 1, 4, 5 ñ s p vào 2 v trí còn l i (có hoán v ) có A32 = 6 cách. V y có 21.10.6 = 1260 s . Bài 14. + Lo i 1: ch s a1 có th là 0. - Bư c 1: ch n 1 trong 3 v trí ñ u ñ s p ch s 1 có 3 cách. 9
- Bư c 2: ch n 4 trong 7 ch s (tr ch s 1) ñ s p vào các v trí còn l i có A74 = 840 cách. Suy ra có 3.840 = 2520 s . + Lo i 2: ch s a1 là 0. - Bư c 1: ch n 1 trong 2 v trí th 2 và 3 ñ s p ch s 1 có 2 cách. - Bư c 2: ch n 3 trong 6 ch s (tr 0 và 1) ñ s p vào các v trí còn l i có A6 = 120 cách. Suy ra có 3 2.120 = 240 s . V y có 2520 – 240 = 2280 s . Bài 15. + Lo i 1: Ch n 2 h c sinh kh i C, 13 h c sinh kh i B ho c kh i A có C52C25 cách. 13 + Lo i 2: Ch n 2 h c sinh kh i C, 13 h c sinh kh i B và kh i A không th a yêu c u. - Trư ng h p 1: Ch n 2 h c sinh kh i C, 10 h c sinh kh i B và 3 h c sinh kh i A có C52C10 C15 cách. 10 3 - Trư ng h p 2: Ch n 2 h c sinh kh i C, 9 h c sinh kh i B và 4 h c sinh kh i A có C52C10C15 cách. 9 4 V y có C52 ( C25 − C10 C15 − C10C15 ) = 51861950 cách. 13 10 3 9 4 Bài 16. + Trư ng h p 1: 1 kh i có 3 h c sinh và 2 kh i còn l i m i kh i có 1 h c sinh. - Bư c 1: ch n 1 kh i có 3 h c sinh có 3 cách. - Bư c 2: trong kh i ñã ch n ta ch n 3 h c sinh có C4 = 4 cách. 3 - Bư c 3: 2 kh i còn l i m i kh i có 4 cách ch n. Suy ra có 3.4.4.4 = 192 cách. + Trư ng h p 2: 2 kh i có 2 h c sinh và kh i còn l i có 1 h c sinh. - Bư c 1: ch n 2 kh i có 2 h c sinh có C32 = 3 cách. - Bư c 2: trong 2 kh i ñã ch n ta ch n 2 h c sinh có C4 = 6 cách. 2 - Bư c 3: kh i còn l i có 4 cách ch n. Suy ra có 3.6.6.4 = 432 cách. V y có 192 + 432 = 624 cách. Cách khác: + Ch n 5 h c sinh tùy ý có C12 = 792 cách. 5 + Ch n 5 h c sinh kh i A và B (tương t kh i A và C, B và C) có C85 = 56 cách. V y có 792 – 3.56 = 624 cách. Bài 17. + S t p h p con không ch a ph n t nào c a X \ {0; 1} là C50 . + S t p h p con ch a 1 ph n t c a X \ {0; 1} là C5 . 1 + S t p h p con ch a 2 ph n t c a X \ {0; 1} là C52 . + S t p h p con ch a 3 ph n t c a X \ {0; 1} là C5 . 3 + S t p h p con ch a 4 ph n t c a X \ {0; 1} là C54 . + S t p h p con ch a 5 ph n t c a X \ {0; 1} là C5 . 5 Suy ra s t p h p con c a X \ {0; 1} là C50 + C5 + C52 + C5 + C54 + C5 = 32 . Ta h p các t p h p con này 1 3 5 v i {1} thì ñư c 32 t p h p th a bài toán. Bài 18. Cách gi i sai: + Trư ng h p 1: ch n 4 h c sinh l p A ho c l p B có C94 cách. + Trư ng h p 2: ch n 4 h c sinh l p A ho c l p C có C84 cách. + Trư ng h p 3: ch n 4 h c sinh l p B ho c l p C có C74 cách. 10
V y có C94 + C84 + C74 = 231 cách! Sai do ta ñã tính l p l i trư ng h p ch ch n 4 h c sinh l p A và trư ng h p ch ch n 4 h c sinh l p B. Cách gi i sai khác: + Lo i 1: ch n tùy ý 4 trong 12 h c sinh có C12 = 495 cách. 4 + Lo i 2: ch n 4 h c sinh có m t c 3 l p. - Bư c 1: ch n 1 h c sinh l p A, 1 h c sinh l p B và 1 h c sinh l p C có: 5.4.3 = 60 cách. - Bư c 2: ch n 1 h c sinh trong 9 h c sinh còn l i c a 3 l p có 9 cách. Suy ra có 9.60 = 540 cách ch n lo i 2 (l n hơn s cách ch n lo i 1!). Sai là do khi th c hi n bư c 1 và bư c 2, vô tình ta ñã t o ra th t trong cách ch n. Có nghĩa là t t h p chuy n sang ch nh h p! Cách gi i ñúng: + Lo i 1: ch n tùy ý 4 trong 12 h c sinh có C12 = 495 cách. 4 + Lo i 2: ch n 4 h c sinh có m t c 3 l p, ta có 3 trư ng h p sau: - Ch n 2 h c sinh l p A, 1 h c sinh l p B và 1 h c sinh l p C có C52 .4.3 = 120 cách. - Ch n 1 h c sinh l p A, 2 h c sinh l p B và 1 h c sinh l p C có 5.C4 .3 = 90 cách. 2 - Ch n 1 h c sinh l p A, 1 h c sinh l p B và 2 h c sinh l p C có 5.4.C32 = 60 cách. V y có 495 – (120 + 90 + 60) = 225 cách. Bài 19. G i s c n l p là A = a1a2 a3a4 a5 v i 1 ≤ a1 ≤ 2 . + Trư ng h p 1: a1 = 1. Có 4 cách ch n a5 và A5 cách ch n các ch s còn l i nên có 4. A5 = 240 s . 3 3 + Trư ng h p 2: a1 = 2, a2 l . Có 2 cách ch n a2, 3 cách ch n a5 và A4 cách ch n các ch s còn l i nên có 2.3. A4 = 72 s . 2 2 + Trư ng h p 3: a1 = 2, a2 ch n. Có 2 cách ch n a2, 2 cách ch n a5 và A4 cách ch n các ch s còn l i nên có 2.2. A4 = 48 s . 2 2 V y có 240 + 72 + 48 = 360 s . k Bài 20. S t p h p con ch a k ph n t c a A là Cn . Ta có: n! n! Cn = 20Cn ⇔ 4 2 = 20 4!( n − 4 )! 2!( n − 2 )! ⇔ (n − 2)( n − 3) = 240 ⇔ n = 18  18! 18!  ≥ C k ≥ C18−1  k !(18 − k )! ( k − 1)!(19 − k )! k  ⇒  18 k +1 ⇔ C18 ≥ C18 k   18! 18! ≥  k !(18 − k )! ( k + 1)!(17 − k )!  19 − k ≥ k 17 19 ⇔ ⇔ ≤k≤ .  k + 1 ≥ 18 − k 2 2 V y k = 9. 11