Chuyên đề về hệ phương trình

Chia sẻ: Trần Minh Phương | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:134

Thêm vào BST

Báo xấu

265
lượt xem 46
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Với kết cấu nội dung gồm 4 phần, tài liệu "Chuyên đề về hệ phương trình" cung cấp cho các bạn những nội dung về hệ phương trình đơn giản, hệ phương trình không mẫu mực, trắc nghiệm hệ phương trình. Với các bạn đang học và ôn thi môn Toán thì đây là tài liệu tham khảo hữu ích.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề về hệ phương trình

Trang PHẦN 1.HỆ PHƢƠNG TRÌNH ĐƠN GIẢN 4 A.HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 4 I.HỆ PHƢƠNG TRÌNH CỔ ĐIỂN 4 B.HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN 13 C.HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN 16 I.HỆ GỒM 1 PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ 1 PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI 16 II. HỆ PHƢƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 1 17 III. HỆ PHƢƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 2 29 IV. HỆ PHƢƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP 35 D. HỆ PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỈ 42 E.HÊ PHƢƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 75 F.HỆ PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC 92 PHẦN 2. HỆ PHƢƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC 103 PHẦN 3. TRẮC NGHIỆM 122 PHẦN 4. CÓ THỂ EM CHƢA BIẾT ? 133 PHẦN 5. PHỤ LỤC 137 1
A.HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN I. Hệ phương trình cổ điển: 1/ Phƣơng pháp: a1x  b1y  c1 Hệ pt bậc nhất 2 ẩn có dạng:  a 2 x  b 2 y  c 2 0  c1  Đúng: hpt có vô số nghiệm x  R, y  R * TH 1: a1 = b1= a2= b2=0, ta có;   0  c2  Sai: hpt vô nghiệm * TH2: a1  b1  a2  b2  0 . 2 1 2 2 a1 b1 c1 b1 a1 c1 Tính: D  ; Dx  ; Dy  a2 b2 c2 b2 a2 c2  Dx  x   D + Nếu D  0 : hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất:   y  Dy   D + Nếu D = 0 Dx  0 hay Dy  0 : hệ phương trình vô nghiệm. Dx = Dy = 0 : hệ phương trình có vô số nghiệm: x  R , được tính theo x 2/ Ví dụ:  6x  3 2 y  y 1  x 1  5  VD1: Giải hệ phương trình:   4x  2  4 y  2  y  1 x  1 u  2 2x 1 y 3u  2v  5  Đặt u  ,v  . Hệ đã cho trở thành   1 y 1 x 1 2u  4v  2 v  2  2x 1  y  1  2 2 x  2 y  1  x  0 Ta được hệ phương trình:    1  y 1  x  2 y  1  y  2  x  1 2  1   Vậy S   0;    2   2
VD2:Định m để hệ vô nghiệm 2m x  3  m  1 y  3  2  I  m  x  y   y  2  2m x  3  m  1 y  3  2 I    mx   m  2  y  2  D  2m2  m  2   3m  m  1  2m3  7m 2  3m Ta có Dx  3  m  2   6  m  1  3m Hệ đã cho vô nghiệm D  0 I     Dx  0 2m3  7m 2  3m  0 m  2m 2  7m  3  0   3m  0 m  0 1  2m 2  7 m  3  0  m  3  m  2 1 Vậy hệ vô nghiệm khi: m  3  m  2 4 x  my  m  1  VD3: định m để hệ có vô số nghiệm:   m  6  x  2 y  m  3  Ta có: D  8  m  m  6   m2  6m  8 Dx  2  m  1  m  m  3  m 2  m  2 Dy  4  m  3   m  1 m  6   m2  11m  18 D  0  Hệ có vô số nghiệm   Dx  0 D  0  y   m 2  6m  8 m  2  m  4  2   m  m  2  m  2  m  1  m  2 m2  11m  18 m  2  m  9   Vậy hệ có vô số nghiệm khi m= -2. VD 4: Tìm các giá trị của b sao cho với mọi thì hệ phương trình sau có nghiệm  x  2ay  b   ax  1  a  y  b 2  Ta có: D  1  a  2a 2 1 D  0  2a 2  a  1  0  a  1  a  2 3
Thì hệ luôn có nghiệm x  2 y  b Khi a = -1, hệ trở thành:   x  2 y  b 2 Hệ có nghiệm  b  b2  b  b2  0  b  0  b  1 1 x  y  b Khi a  , hệ trở thành    x  y  2b 2 2 1 Hệ có nghiệm  b  2b2  b  2b  1  0  b  0  b   2 Vậy hệ có nghiệm với mọi a   khi: b  0  b  1   1 b0 b  0b    2 VD5: Giải và biện luận hệ phương trình sau: a  x  1  by  1  b  x  1  ay  1 ax  a  by  1 ax  by  a  1 Hệ tương đương:   bx  b  ay  1 bx  ay  b  1 Ta có: D  a 2  b 2   a  b  a  b  Dx   a  b  a  b  1 Dy  a  b Biện luận: 1/ D  0  a2  b2  0  a  b Hệ có nghiệm duy nhất: D  a  b  a  b  1 x x  D  a  b  a  b  Dy 1 y  D ab 2/ a  b  D  0; Dx  0; Dy  0 * b  0 : Hệ có vô số nghiệm. 3/ a  b; D  0; Dy  2b b  0; D  0; Dy  0  hệ vô nghiệm 0.x  0. y  1 4/ a  b  0 :   hệ vô nghiệm 0.x  0. y  1 (m  1) x  8 y  4m VD6: Tìm m để hệ phương trình  có nghiệm duy nhất  mx  ( m  3) y  3m  1 Hướng dẫn giải: m 1 8 Ta có: D   (m  1)(m  3)  8m  m2  4m  3 m m3 Hệ đã cho có nghiệm duy nhất  D  0  m  4m  3  0 2 4
 m  1và m  3 . mx  y  2m(1) VD7:Giải và biện luận hệ phương trình:  4 x  my  m  6(2) Hướng dẫn giải: Từ (1) suy ra y  mx  2m , thay vào (2) ta được: 4 x  m(mx  2m)  m  6  (4  m)2 x  2m2  m  6  (m2  4) x  (m  2)(2m  3) (3) i) m  4  0  m  2 : Hệ có nghiệm duy nhất: 2 2m  3 2m2  3m m x ; y  mx  2m   2m  m2 m2 m2 2 x  y  4 ii) m=2: Hệ trở thành   2x  y  4 . 4 x  2 y  8 Hệ có vô số nghiệm ( x;2 x  4); x  R iii) m=-2:(3) trở thành 0 x  4 :Hệ vô nghiệm. Bài tập củng cố: Bài 1:Giải hệ phƣơng trình: ( x  3) y  5)  xy a)  ( x  2)( y  5)  xy 1 1 3 x  y  4  b)  1  1  2  6 x 5 y 15 5 x  4 y  3 c/  7 x  9 y  8 3 x  2 y  7 d/  5 x  3 y  1   3 x  2 y  1 e/  2 2 x  3 y  0   3( x  y )  x  y  7  f  5x  y 5    y  x 3 5
6 5 x  y 3   g/ 9 10   1  x y  6 2  x  2y x  2y  3    h/  3  4  1  x  2 y x  2 y  1 1 x y x y  m   k/   1  1 n  x  y x  y 4 1 x  y 1 3   j/ 2   2 4  x y 1   2 x  4 y  1 l/  2 x  4 2 y  5  Bài 2: Giải và biện luận hệ phƣơng trình:  x  my  2 a)  mx  4 y  m  2 7 x  4 y  2  b) 5 x  3 y  1 mx  3 y  m2  6   x  my  0 c/  mx  y  m  1 2ax  3 y  5 d/  (a  1) x  y  0 mx  y  4  m e/  2 x  (m  1) y  m 6
mx  3 y  m  1 f/  2 x  (m  1) y  3 mx  y  1  0 g/   x  my  2  0 Bài 3:Tìm các giá trị của m để nghiệm của hệ phƣơng trình sau là số dƣơng: x  y  2  mx  y  3 mx  y  2m Bài 4: Cho hệ phƣơng trình:   x  my  m  1 a/ tìm m đễ hệ có nghiệm duy nhất. Tìm hệ thức liên hệ x, y độc lập với m. b/ Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên.  x  my  3m  0 Bài 5: Cho hệ phƣơng trình:  mx  y  2m  1  0 a/ Định m để hệ có nghiệm duy nhất b/ gọi (x,y) là nhgiệm của hệ,tìm hệ thức liên hệ giữa x,y độc lập với m. Bài 6: Định m nguyên để hệ có nghiệm nguyên mx  2 y  m mx  2 y  m  2 1/  2/  (m  1) x  (m  1) y  1 (m  1) x  y  m  1 ; 2 2 Bài 7: Định m để hệ sau có vô số nghiệm: 2(m  2) x  (5m  3) y  2(m  2) 4 x  my  1  m 1/  2/  (m  2) x  3my  m  2 (m  6) x  2 y  3  m 2 x  (m  1) y  2 3/  mx  3 y  m  2 Bài 8: Cho 4 số a,b,p,q thỏa mãn abpq (p-q) khác 0. Hãy giải hệ phƣơng trình.  ap  bq  x   ap 2  bq 2  y  ap 3  pq 3  0   2  ap  bq  x   ap  bq  y  ap  bq  0  2 3 3 4 4 Bài 9: Bằng định thức, giải các hệ phương trình sau: 5 x  4 y  3 3x  2 y  7  3 x  2 y  1 1/  2/  3/  7 x  9 y  8 5 x  3 y  1 2 2 x  3 y  0 7
4 1  3( x  y )  2 x  4 y  1 x  y 1 3  x  y  7   4/  5/  6/  2 x  4 2 y  5 2  2 4  5x  y  5  x y 1  y  x 3 6 5  6 2 x  y 3  x  2y  x  2y  3  x  a  1   7/  8/  9/   9  10  1  3  4  1  y  2 x  5  x y  x  2 y x  2 y  1 1 x y  x y  m  x  y  2  10/  11/   1  1 n 2 x  y  1  x  y x  y Bài 10: Một ca nô chạy trên dòng sông trong 8 giờ, xuôi dòng 135 km và ngược dòng 63 km. Một lần khác, ca nô cũng chạy trên sông trong 8 giờ, xuôi dòng 108 km và ngược dòng 84 km. Tính vận tốc dòng nước chảy và vận tốc của ca nô( biết rằng vận tốc thật của ca nô và vận tốc dòng nước chảy trong cả hai lần là bằng nhau và không đổi) Bài 11 : Một miếng đất hình chữ nhật có chu vi 2p ( mét). Nếu mở rộng miếng đất đó bằng cách tăng một cạnh thêm 3 mét và cạnh kia thêm 2 m thì diện tích tăng thêm 246 m2. Tính các kích thước của miếng đất đó ( biện luận theo p). Bài 12 : Giải và biện luận các hệ phương trình:  x  my  0 2ax  3 y  5 ax  2 y  1 1/  2/  3/  mx  y  m  1 (a  1) x  y  0  x  (a  1) y  a (a  2) x  (a  4) y  2  a  1 x  (2a  3) y  a   x  my  1 4/  5/  6/  (a  1) x  (3a  2) y  1 (a  1) x  3 y  6  mx  3my  2m  3  3( x  y ) mx  y  4  m  x y a 6a.x  (2  a) y  3  7/  8/  9/  2 x  (m  1) y  m  2x  y  a  1 (a  1) x  ay  2  y  x  x  my  1 a.x  b. y  a  1 mx  y  1  0 10/  11/  12/  mx  y  2m  1 b.x  a. y  b  1  x  my  2  0 a.x  by  a 2  b 2 a.x  y  a 2  a.x  b. y  a  b 2 13/  14/  15/  bx  ay  2ab bx  y  b bx  b y  4b  2 2 mx  3 y  m  1 5 x  (a  2) y  a 16/  17/  2 x  (m  1) y  3 (a  3) x  (a  3) y  2a Bài 13 : Với giá trị nào của a thì mỗi hệ phương trình sau có nghiệm: (a  1) x  y  a  1 (a  2) x  3 y  3a  9 1/  2/   x  (a  1) y  2  x  (a  4) y  2 ax  2 y  a 3x  ay  1 3/  4/  (a  1) x  (a  1) y  1 ax  3 y  a  4 a(a  1) x  a(a  1) y  a  2  3 5/  2 (a  1) x  (a  1) y  a  1  3 4 8
Bài 14: Tìm tất cả các cặp số nguyên (a;b) sao cho hệ phương trình sau có nghiệm: ax  by  2  6 x  by  4 Bài 15 : Định m để các hệ phương trình sau vô nghiệm: mx  my  m  1 2m2 x  3(m  1) y  3 m2 x  (2  m)  4  m  1/  2 2/  3/  (m  m) x  my  2 m( x  y )  2 y  2 mx  (2m  1) y  m  2  5 ax  by  a  b Bài 16 : Định ( a; b ) để hệ phương trình sau vô nghiệm :  bx  ay  a  b Bài 17: Định m để hệ phương trình sau có vô số nghiệâm: 2(m  2) x  (5m  3) y  2(m  2) 4 x  my  1  m 1/  2/  (m  2) x  3my  m  2 (m  6) x  2 y  3  m mx  (m  1) y  m 2 x  (m  1) y  2 3/  4/  3x  (5  m) y  2m  1 mx  3 y  m  2 (1  a) x  (a  b) y  b  a  a x  by  a  b 2 2 5/  6/  (5  a) x  2(a  b) y  b  1 bx  by  2  4b  2 ( a 2  b 2 ) x  ( a 2  b 2 ) y  a 2 7/  ( a  b ) x  ( a  b ) y  a  1 Bài 18: Định m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:  2 1  m  (m  1)  m  1 mx  8 y  4  4m  0  x y 1/  2/  (m  1) x  (m  2) y  4  3m  0 (m  3) 2  2  2(m  2)  x y (m  5) x  (2m  3)  3m  2  m x  (m  1)( y  2)  m  1 3/  4/  (3m  10) x  (5m  6) y  2m  4 (m  3) x  2( y  2)  2m  4   mx  2 y  m x  2 y  m  2 5/  2 6/   x  (m  3) y  m  1   mx  my  m  1   x  my  1 7/   mx  y  2m mx  y  2m Bài 19: Cho hệ phương trình :   x  my  m  1 1/ Định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất .Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y độc lập với m. 2/ Định m nguyên để hệ nghiệm nguyên có nghiệm duy nhất của hệ là nghiệm nguyên. Bài 20: Định m nguyên để hệ có nghiệm nguyên: mx  2 y  m mx  2 y  m  2 1/  2/  (m  1) x  (m  1) y  1 (m  1) x  y  m  1 2 2 Bài 21: Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất nguyên: (m  1) x  2 y  m  1 mx  y  6  0 1/  2 2/   m x  y  m  2m  x  my  2m  1  0 2 9
mx  y  3m 3/   x  my  2m  1 (m  1) x  my  3m  1 Bài 22: Cho hệ phƣơng trình:  2 x  y  m  5 Định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) mà x2 + y2 nhỏ nhất (m  1) x  my  2m  1 Bài 23: Cho hệ phƣơng trình  mx  y  m  2 2 Định m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) mà x.y lớn nhất. a.x  2 y  2 Bài 24: Cho hệ phƣơng trình :   x  ay  1 1/ Chứng minh rằng hệ phương trình có nghiệm với mọi a. 2/ Tìm a để hệ có nghiệm ( x; y) thỏa mãn: x + y > 0 Bài 25: Tìm b để hệ phương trình sau có nghiệm với mọi giá trị của a: ax  y  3b   x  ay  b  b 2 ax  by  2a  b Bài 26: Xác định a, b, c để hệ phƣơng trình  có vô số nghiệm, (c  1) x  cy  10  a  3b đồng thời x = 1, y = 3 là một nghiệm trong các nghiệm đó. (m  1) x  (m  1) y  m Bài 27: Cho hệ phương trình:  (3  m) x  3 y  2 1/ Tìm các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm. Khi đó, hãy tính theo m các nghiệm của hệ . 2/ Tìm nghiệm gần đúng của hệ, chính xáx đến hàng phần nghìn khi m  x  my  3m  0 Bài 28: Cho hệ phƣơng trình:  mx  y  2m  1  0 1/ Định m để hệ có nghiệm duy nhất 2/ Gọi (x;y) là nghiệm của hệ. Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y độc lập với m. B. HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 3 ẨN: 1. Phƣơng pháp: Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng : 10
a1 x  b1 y  c1 z  d1  a2 x  b2 y  c2 z  d 2 , ai  bi  ci  0, i  1,2,3 2 2 2 a x  b y  c z  d  3 3 3 3 Các phương pháp giải hệ phương trình này là: pp Gau – xơ, pp Cramer, pp thế. 2. Ví dụ:  x  3 y  z  2(1)  VD1: Giải hệ: 4 x  2 y  3 z  15(2) 2 x  y  4 z  7(3)  Hướng dẫn giải: Ta khử ẩn z ở phương trình (2) và (3) bằng cách nhân (1) với 3 rồi cộng vào (2), nhân (1) với -4 rồi cộng vào (3). Khi đó ta được:  x  3 y  z  2  7 x  7 y  21(2') 2 x  11y  15(3')  Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn (2’) và (3’) ta được x=-2,y=1. Thay các giá rị này vào (1) ta được z=3. Vậy hệ đã cho có nghiệm (-2;1;3). ax  by  c  VD 2:Biết rằng hệ phương trình bx  cy  a có nghiệm cx  ay  b  Hãy chứng minh: a  b  c  3abc 3 3 3 Hướng dẫn giải: ax  by  c c 2 (ax  by )  c3   2 bx  cy  a , suy ra a (bx  cy )  a 3 Giả sử (x;y) là nghiệm của hệ đã cho. Khi đó: cx  ay  b b 2 (cx  ay )  b3   Cộng từng vế ta được: a  b  c  a bx  a cy  b cx  b ay  c ax  c by 3 3 3 2 2 2 2 2 2  ab(ax  by )  bc(bx  cy )  ca(cx  ay )  abc  bca  cab  3abc Bài tập củng cố: 1/Giải hệ phƣơng trình: 11
 2 x  y  z  1  a ) 6 x  3 y  2 z  5  4 x  2 y  3 z  16  3 x  2 y  z  5  b)  x  y  z  0 4 x  y  5 z  3  2 x  y  z  5  c )  x  2 y  2 z  5 7 x  y  z  10   4 x  y  4 z  0 d)  x  5 y  2z  3  z  8 y  2 z  1   x  y  z  11  e)  2 x  y  z  5 3 x  2 y  z  14   x 2  xy  xz  2  f)  y 2  yz  xy  3  z 2  xz  yz  4   3 x  2 y  z  9  g)  2 x  3 y  2 z  3  4 x  3 y  z  11   x  3 y  2 z  2  h) 2 x  5 y  z  5 3x  7 y  4 z  8   x  5 y  z  2  j) 2 x  9 y  2 z  8 3x  4 y  z  5  2/ Giải và biện luận hệ phƣơng trình theo tham số m,a  x  y  z  12  a )  ax  5 y  4 z  46 5 x  ay  3 z  38  ax  y  z  a 2  b)  x  ay  z  3a  x  y  az  2  12
x  y  2 c)  2 x  y  4   x  4 y  ( m  1) z  m  x  y  z  1  e)  2 x  3 y  mx  3  x  my  3 z  2  3/ Giải và biện luận hệ phƣơng trình (với a,b,c là tham số, a+b+c  0) ax  by  cz  0  a ) bx  cy  az  0 cx  ay  bz  0  ax  by  cz  a  b  c  b) bx  cy  az  a  b  c cx  ay  bz  a  b  c  (a  b)( x  y )  cz  a  b  c) (b  c)( y  z )  ax  b  c (a  c)( x  z )  by  c  a   x  2 y  3z  a  d) 3 x  y  2 z  b  x  5 y  8z  c   xy 6  xy  x  y  5  x  y 5  2)  yz  y  z  11   zx  z  x  7  yz 4    4/ Giải hệ phƣơng trình:1/ y  z 3 ;   x( y  z )  4  zx 12  3)  y ( z  x)  9   z  x 7  z( x  y)  1  ax  by  c  Bài 5: Giả sử hệ : bx  cy  a có nghiệm cx  ay  b  Chứng minh rằng: a3  b3  c3  3abc Bài 6: Cho tam giác ABC có các cạnh a = 7, b = 5, c = 3.Hãy tìm bán kính đƣờng tròn tâm A, tâm B, tâm C đôi một tiếp xác nhau. 13
C.HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN: I. Hệ phƣơng trình gốm 1 phƣơng trình bậc nhất và 1 phƣơng trình bậc hai: 1. Phƣơng pháp: ax  by  c Có dạng :  dx  exy  fy  gx  hy  k 2 2 Từ phương trình bậc nhất, ta tính y theo x ( hay x theo y) và thế vào phương trình bậc hai để được phương trình bậc hai theo 1 ẩn x ( hay ẩn y) 2. Ví dụ: Bài tập củng cố: Bài 1:Giải các hệ phƣơng trình sau: 2 x  3 y  1 3x  4 y  1  0 2 x  3 y  2 1/  2 2/  3/   x  xy  24  xy  3( x  y )  9  xy  x  y  6  0  y  x2  4x 2 x  3 y  5 2 x  y  5 4/  5/  2 6/  2 2 x  y  5  0 3x  y  2 y  4  x  xy  y  7 2 2  x 2  xy  3 y 2  2 x  5 y  4  0 x  y  2  x 2  5 xy  y 2  7 7/  8/  2 9/  x  2 y  4  x  y  164 2 x  y  1 2 2 x  y  7  0 4 x  9 y  6 10/  2 11/  2  y  x  2x  2 y  4  0 3x  6 xy  x  3 y  0 2 2 x 2  xy  3 y 2  7 x  12 y  1 (2 x  3 y  2)( x  5 y  3)  0 12/  13/  x  y 1  0 x  3y  1 Bài 2: Giải các hệ phƣơng trình sau: 1 1 1  1 1 1  3x  2 y  3  x 1  y  3   1/  2/   1  1 1  1  1 1  9 x 4 y 2 2 4  ( x  1) 2 y 2 4  3x  y x  y   2 3/  x  1 2y x  y  4  Bài 3: Giải các hệ phƣơng trình : ( x  y) 4  4( x  y) 2  117  0 (18 x 2  18 x  18 y  17)(12 x 2  12 xy  1)  0 1/  2/   x  y  25 3x  4 y  0 x  y  1 ( x  y )( x 2  y 2 )  45 3/  3 4/  x  y  7 x  y  5 3 Bài4: Giải các hệ phƣơng trình: 14
( x  a)2  2( y  a) 2  ( x  a)( y  a)  2 1/  x  y  2 ( x  m)2  y 2  y ( x  m)  11 2/  x  2 y  7  m 2( x  m)2  ( y  2m)2  m  2 3/   x  3 y  2  5m Bài 5: Giải và biện luận theo tham số a của hệ phƣơng trình: x  y  a  4 x  y  a 4 4 II. Hệ phƣơng trình đối xứng loại 1: 1. Phƣơng pháp: Hệ đối xứng loại 1 có đặc trưng là nếu thay x bởi y, y bởi x thì mỗi phương trình trong hệ không đổi.  f ( x; y )  0 Cho hệ đối xứng loại 1: (I)   g ( x; y )  0 - Đặt S = x + y và P = x.y, biến đổi hệ (I) thành hệ theo S và P :  F ( S ; P)  0 (II)  G ( S ; P)  0 Giải hệ (II) để tính S và P. Điều kiện để tồn tại x, y là S0  4 P0  0 2 Với mỗi cặp nghiệm ( S0 ; P0) của (II) thì x, y là nghiệm của phương trình X2 – S0P + P0 = 0. Ngoài ra, ta cũng có thể đặt ẩn phụ thì hệ phương trình mới có dạng đối xứng, nhưng khi đó ta cần lưu ý đến điều kiện. * Chú ý: Tính chất của nghiệm đối xứng : - Nếu ( xo ; y0) là một nghiệm thì ( x0 ; y0) cũng là một nghiệm của hệ. Do đó, nếu hệ có nghiệm duy nhất ( x0 ; y0) thì nghiệm đó cũng là ( y0 ; x0), suy ra x0 = y0. 2. Ví dụ: VD1: Giải hpt sau:  x  y  xy  3  2 I  x y  y x  2 2 Đây là hpt đối xứng loại 1  x  y   xy  3  I     xy  x  y   2  S  x  y Đặt:  với S 2  4P  0  P  xy Hpt đã cho trở thành: 15
S  P  3   SP  2 S  1  P  2  l  S  2    P  1 S  2 x  y  2 Với  thì  P  1  xy  1 x  1  y 1 Vậy hệ có nghiệm x = 1 và y = 1 VD2: Giải hệ phương trình:  x  y  x  y  8 2 2  2  x  y  xy  7  2 Hướng dẫn giải:  x  y  x  y  8 2 2 ( x  y )2  xy  x  y  8 Ta có  2    x  y  xy  7  ( x  y )  xy  7 2  2 S 2  2P  S  8 S  x  y Có dạng  với   S P7  P  xy 2  S 2  2( S 2  7)  S  8   P  S2  7 thoả S2 – 4P  0  S  x  y  2  x  3  x 1 Với   hay   P  xy  3  y 1  y  3 S  x  y  3  x  1 x  2 Với   hay   P  xy  2 y  2  y 1 VD3: Giải hệ phương trình:   x  xy  y  2  3 2  2 x  y  6  2 Hướng dẫn giải: Đặt S  x  y ; P  xy , ta có hệ:  S  P  2  3 2  S 2  2S  10  6 2  ( S  1)  (3  2) 2 2  2   S  2P  6  S  P  2  3 2  P  2  3 2  S  16
  S  2  2    P  2 2    S  4  2    P  6  4 2 Với S  2  2 ; P  2 2 ; x,y là nghiệm phương trình: X  2 X 2  (2  2) X  2 2  0   X  2 Với S  4  2 ; P  6  4 2 ;x,y là nghiệm phương trình: X 2  (4  2) X  6  4 2  0 : vô nghiệm. Vậy hệ có nghiệm: (2; 2) và ( 2;2) . VD4: Giải hệ phương trình:  x3  y 3  2   xy ( x  y )  2 Hướng dẫn giải:  x3  y 3  2 ( x  y )3  3xy ( x  y )  2    xy ( x  y )  2  xy ( x  y )  2 Đặt: u  x  y; v  xy u 3  3uv  2 u 3  6  2 Ta có   uv  2 uv  2 u  2 u  2   uv  2 v  1 x  y  2 Vậy   xy  1 x,y là nghiệm của phương trình X  2 X  1  0 2  X 1 Vậy nghiệm ( x; y) của hệ đã cho là (1;1) . VD5: Cho hệ phương trình:  x  y  xy  m  2  x y m 2 1/ Giải hệ với m=5 2/ Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm? Giải: 1/Với m=5, ta có: 17
 S  3   x  y  xy  5  x  y  xy  5  SP5  P  2S P  2  2   2  2    S  5  x  y 5 ( x  y )  2 xy  5  S  2 P  5  S  2S  15  0 2 2    P  10 S  3 Ta chỉ nhận  thoả S2- 4P  0 P  2 S  3 Ta chỉ nhận  thoả S2 – 4P  0 nên x,y là nghiệm của phương trình X2 – 3X +2 =0  P  2  X 1  X  2  x 1 x  2 Vậy  hay  y  2  y 1 2/ Giá trị của m để hệ có nghiệm Ta có:  x  y  xy  m  S  P  m(1) S  x  y  2   với   x y m  S  2 P  m(2)  P  xy 2 2  P  mS  2  S 2  3S  3m  0  S  2(m  S )  m   S1  1  1  3m    P1  m  S1 1  ( với điều kiện 1+3m  0  m  - )   S 2  1  1  3m 3   P  m  S  2 2 1 Với m  - hệ phương trình sẽ có nghiệm nếu S2  4P hay: 3  S1  4 P1 2 (1  1  3m ) 2  4(m  1  1  3m )  2   S2  4 P2 (1  1  3m )  4(m  1  1  3m ) 2 1  1  3m  2 1  3m  4m  4  4 1  3m   1  1  3m  2 1  3m  4m  4  1  3m  2 1  3m  (m  2) 1   (loại vì m  - )  2 1  3m  m  2  0 3 1 ( với m  - ) 3  4(1+3m)  m +4m+4 2  m2-8m  0  m  0;8 Vậy m  0;8 Giả sử (x,y) là nghiệm của hệ phương trình: 18
 x  y  2a  1 VD6:Cho hệ phƣơng trình  2  x  y  a  2a  3 2 2 Xác định a để tích xy nhỏ nhất Giải Ta có:   S  2s  1  S  2a  1   2  3a 2  S  2 P  a 2  2 a  3 P   3a  2   2 3a 2 Để phương trình có nghiệm thì :S2 - 2P  0  (2a – 1)2-4( - 3a + 2)  0 2  2 2  -2a + 8a -7  0  a   2  ;2    2 2  3a 2 P = xy =  3a  2 là biểu thức hàm bậc hai có hoành độ đỉnh cực tiểu nhỏ nhất tại a= 1  2- 2 2 2 2 Vậy xy đạt giá trị nhỏ nhất tại a=2- 2  x  y  xy  a VD7: Cho hệ phương trình  2  x y  xy  3a  8 2 7 a/ Giải hệ với a = 2 b/ Với giá trị nào của a thì hệ có nghiệm Giải a/ Ta có :  x  y  xy  a  2  x y  xy  3a  8 2   x  y  xy  7  2   x 2 y  xy 2  5  2  S  1   7  P  5  S  P  2   2    S .P  5   S  5  2  2  P  1   5 S  2 thoả điểu kiện S – 4P  0 và x, y là nghiệm của phương trình 2 Ta chỉ nhận   P  1 19
X 2 5 X2 - X + 1= 0   2 X  1  2 x 2  1  x  Vậy  1 hay  2 y  2  y  2   SPa b/ Trường hợp tổng quát  thì S,P là nghiệm của phương trình X2 – aX +3a – 8  S .P  3a  8 =0 (1) Phương trình có nghiệm khi   a 2  4(3a  8)  0 a  4  a 2  12a  32  0   a  8 Với điều kiện đó phương trình (1) có nghiệm a  a 2  12a  32 X1  2 a  a 2  12a  32 X2  2 a  a 2  12a  32 a  a 2  12a  32  Nếu chọn S= và P= thì hệ có nghiệm khi 2 2 S2 – 4P  0  ( a  a 2  12a  32 )2  8( a  a 2  12a  32 )  a2 – 10a +16  (a+4) a 2  12a  32  (a - 2)(a – 8)  (a+4) (a  4)(a  8) (2) a  a 2  12a  32 a  a 2  12a  32  Nếu chọn S= và P= thì hệ có nghiệm khi: 2 2 S2 – 4P  0  (a – 2)(a – 8)  -(a+4) (a  4)(a  8) (3) Từ (2) va (3) suy ra: (a – 2)(a – 8)  - a  4 (a  4)(a  8) (4) a  2 Vì (a – 2)(a – 8)  0   thì thỏa (4)  a  8 Do đó với a   2; 4 thì (a – 2)(a – 8) < 0 nên 20