intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Chuyên đề: Hệ phương trình đối xứng - GV. Ngô Minh Tuấn

Chia sẻ: Ngô Minh Tuấn | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:30

Thêm vào BST
Báo xấu
194
lượt xem 19
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Với kết cấu nội dung gồm 3 chương, chuyên đề "Hệ phương trình đối xứng" giới thiệu đến các bạn những nội dung về hệ phương trình đối xứng loại 1, hệ phương trình đối xứng loại 2, hệ phương trình đối xứng và một số bài toán có liên quan. Với các bạn đang học và ôn thi môn Toán thì đây là tài liệu tham khảo hữu ích.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề: Hệ phương trình đối xứng - GV. Ngô Minh Tuấn

  1. Chuyên đề “Hệ phương trình đối xứng” MỤC LỤC NỘI DUNG Mục lục 1,2 Ký hiệu viết tắt 3 PHẦN MỞ ĐẦU 1/Lý do chọn đề tài 4 2/Mục đích yêu cầu 4 3/Đối tượng, phạm vi nghiên cứu 5 4/Nhiệm vụ nghiên cứu  5 5/Phương pháp nghiên cứu 5 Gv: Ngô Minh Tuấn 1 Tổ toán­tin trường THPT Võ Thị Sáu                                                                           
  2. Chuyên đề “Hệ phương trình đối xứng” PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG I. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI  I I.1. Tóm tắt giáo khoa và phương pháp giải toán 6 I.1.1.  Hệ đối xứng loại (kiểu) I có dạng tổng quát 6 I.1.2. Phương pháp giải chung 6 I.1.3.  Các ví dụ 6 I.2. Điều kiện tham số để hệ đối xứng loại (kiểu) I có nghiệm 6 I.2.1. Phương pháp giải chung 6 I.2.2. Các ví dụ 7,8 I.3. Bài tập vận dụng 8,9,10,11,12 CHƯƠNG II. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI II II.1. Dạng 1: Phương pháp giải chung 13 II.1.1. Cách giải 1  13,14 II.1.2. Cách giải 2 (nên dùng khi cách 1 không giải được) 14,15 II.1.3. Cách 3. Sử dụng hàm số đơn điệu để suy ra x = y 15 II.2. Dạng 2: Phương pháp giải chung 16 II.2.1. Cách giải 1 16,17 II.2.2. Cách giải 2 (nên dùng khi cách 1 không giải được) 17 II.3. Bài tập vận dụng 17,18,19 CHƯƠNG III. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN III.1.  Dùng ẩn phụ để đưa hệ phương trình đối xứng không giải  được theo cách giải “quen thuộc” về hệ phương trình đối xứng  20,21,22 giải được theo cách giải “quen thuộc” 22,23,24 III.2. Dùng ẩn phụ để đưa phương trình về hệ phương trình đối  xứng 24 III.3. Bài tập vận dụng bổ sung Gv: Ngô Minh Tuấn 2 Tổ toán­tin trường THPT Võ Thị Sáu                                                                           
  3. Chuyên đề “Hệ phương trình đối xứng” PHẦN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ I.  Nh ữ ng k ế t qu ả  đ ạ t đ ượ c 25 II. Bài học kinh nghiệm 25 III. Những kiến nghị và đề xuất 25,26 KÝ HIỆU VIẾT TẮT ĐH­CĐ Đại học­cao đẳng HSG Học sinh giỏi KS Khảo sát THPT Trung học phổ thông Gv: Ngô Minh Tuấn 3 Tổ toán­tin trường THPT Võ Thị Sáu                                                                           
  4. Chuyên đề “Hệ phương trình đối xứng” PHẦN MỞ ĐẦU 1/ Lý do chọn đề tài:  Hệ  phương trình là một dạng toán khá phổ  biến trong các đề  thi tuyển sinh   ĐH­CĐ và đề thi HSG các cấp. Đối với nhiều học sinh, bài toán giải hệ phương trình  được coi là bài toán khó, thậm chí là câu khó nhất trong cấu trúc đề thi ĐH­CĐ. Qua quá trình giảng dạy học sinh ôn thi ĐH­CĐ và bồi dưỡng học sinh giỏi phải   trực tiếp hướng dẫn học sinh giải các hệ phương trình này, tôi thấy cần phải rèn cho   học sinh thành thạo các kĩ năng giải hệ  phương trình thông thường và chú ý tới một   số kĩ năng thường áp dụng khi giải “ Hệ phương trình đối xứng”. Trong bài viết này  Gv: Ngô Minh Tuấn 4 Tổ toán­tin trường THPT Võ Thị Sáu                                                                           
  5. Chuyên đề “Hệ phương trình đối xứng” tôi xin gọi như vậy đối với các hệ  phương trình mà thuật giải không được trình bày   trong sách giáo khoa.        Bài viết được chia làm ba phần:        PHẦN MỞ ĐẦU:       PHẦN NỘI DUNG: ­ Chương I: Hệ phương trình đối xứng loại I. ­ Chương II: Hệ phương trình đối xứng loại II. ­ Chương III: Hệ phương trình đối xứng và một số bài toán có liên quan.       PHẦN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ:           Ở  mỗi phần trong phần nội dung, mở  đầu mỗi phần là tóm tắt khái niệm hệ  phương trình đối xứng. Mục thứ hai là một số kĩ năng giải hệ phương trình đối xứng.   Các bài toán đưa ra phần lớn là tôi sưu tầm từ nhiều nguồn tài liệu khác nhau, một số  ít do tôi ra trong các kì thi KS, …Lời giải các bài toán này tôi chỉ chú ý đến cách đưa   hệ  không đối xứng về  dạng đối xứng quen thuộc mà không quan tâm đến kết quả  cuối cùng. Cuối cùng là hệ thống các bài tập để bạn đọc tham khảo.        Chuyên đề dùng giảng dạy ôn thi ĐH­CĐ và ôn thi HSG cho học sinh khối 10,11,   12. Thời gian giảng dạy chuyên đề  này cho học sinh khối 12 khi ôn thi ĐH­CĐ là 2   buổi. Mặc dù rất tâm huyết với chuyên đề, nhưng do thời gian và khả năng có hạn nên   bài viết khó tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được sự  góp ý của quý   thầy cô, bạn bè đồng nghiệp và các em học sinh để  chuyên đề  được hoàn thiện hơn   và trở thành tài liệu có ích trong giảng dạy và học tập. 2/ Mục đích yêu cầu:  Thông qua chuyên  đ ề  này  giúp h ọ c sinh  hi ể u sâu  và n ắ m ch ắ c  h ơ n  ph ươ ng   pháp   gi ả i   các   h ệ   ph ươ ng   trình   đ ố i   x ứ ng.   T ừ   đó   nghiên   c ứ u   tìm  tòi   sáng   t ạ o   nh ằ m   nâng   cao   ch ấ t   l ượ ng   d ạ y   và   h ọ c   b ộ   môn   toán   trong   tr ườ ng   THPT   cũng   nh ư   trong   quá   trình   ôn   thi   ĐH­CĐ   và   trong   các   cu ộ c  thi HSG. 3/ Đối tượng, phạm vi nghiên cứu:  Hệ phương trình đối xứng, chương trình toán 10, 12. 4/Nhiệm vụ nghiên cứu: Gv: Ngô Minh Tuấn 5 Tổ toán­tin trường THPT Võ Thị Sáu                                                                           
  6. Chuyên đề “Hệ phương trình đối xứng” Nghiên   c ứ u   các   ph ươ ng   pháp   c ơ   b ả n   v ề   gi ả i   h ệ   ph ươ ng   tr ình   đ ố i  x ứ ng,   đ ư a   ra   các   ví   d ụ   minh   ho ạ   c ụ   th ể ,   các   d ạ ng   bài   t ậ p   c ủ ng   c ố   và  rèn luy ệ n k ỹ  năng cho h ọ c sinh. Tìm   hi ể u   các   đ ề   thi   mà   trong   đó   có   d ạ ng   bài   t ậ p   gi ả i   h ệ   ph ươ ng   trình   đ ố i   x ứ ng   nh ằ m   đ ư a   ra   ph ươ ng   pháp   gi ả i   và   d ạ ng   t ổ ng   quát   cho   các   d ạ ng   bài   t ậ p   th ườ ng   g ặ p   làm   tài   li ệ u   b ổ   ích   cho   h ọ c   sinh   và   giáo   viên tham kh ả o và h ọ c t ậ p. 5/Phương pháp nghiên cứu:  Thông   qua   quá   trình   gi ả ng   d ạ y   chuy ên   đ ề   và   b ồ i   d ưỡ ng   HSG   b ả n   thân tôi đã tìm hi ể u và tích lũy đ ượ c. Thông   qua   các   bài   ki ể m   tra,   các   k ỳ   thi   ch ọ n   HSG   h àng   năm   đ ể   rút  ra kinh nghi ệ m b ồ i d ưỡ ng cho h ọ c sinh. Thông qua các tài li ệ u b ồ i d ưỡ ng, các bài t ậ p nâng cao Gv: Ngô Minh Tuấn 6 Tổ toán­tin trường THPT Võ Thị Sáu                                                                           
  7. Chuyên đề “Hệ phương trình đối xứng” PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG I. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI  I I.1. TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN I.1.1.  Hệ đối xứng loại (kiểu) I có dạng tổng quát: ￬ f(x, y) = 0 ￬￬ , trong đó  ￬￬ g(x, y) = 0 ￬ f(x, y) = f(y, x) ￬￬ ￬￬ g(x, y) = g(y, x) I.1.2. Phương pháp giải chung: i) Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có). ii) Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và  S2 ￬ 4P . iii) Bước 3: Giải hệ tìm S, P rồi dùng Vi–et đảo tìm x, y. Chú ý: i) Cần nhớ: x2 + y2 = S2 – 2P, x3 + y3 = S3 – 3SP. ii) Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv. iii) Có những hệ phương trình trở thành đối xứng loại I sau khi đặt ẩn phụ. I.1.3.  Các ví dụ: ￬�x 2 y + xy 2 = 30 Ví dụ 1. Giải hệ phương trình  ￬￬￬ 3 . ￬ x + y = 35 3 GIẢI Đặt  S = x + y,  P = xy , điều kiện  S ￬ 4P . Hệ phương trình trở thành: 2 Gv: Ngô Minh Tuấn 7 Tổ toán­tin trường THPT Võ Thị Sáu                                                                           
  8. Chuyên đề “Hệ phương trình đối xứng” ￬ ￬￬ P = 30 �x + y = 5 ￬�SP = 30 ￬ S �S=5 �x = 2 �x=3 � 2 ￬ � �� � � � �� � �� � �� � . � � 90 � � �xy = 6 �y = 3 �y = 2 � ￬ S(S - 3P) = 35 � ￬ ￬￬ S ￬� S - 2 ￬ ￬￬ = 35 �P = 6 � � � ￬ ￬ S� ￬ xy(x - y) = - 2 Ví dụ 2. Giải hệ phương trình  ￬￬￬ 3 3 . ￬x - y =2 GIẢI Đặt  t = - y,  S = x + t,  P = xt , điều kiện  S2 ￬ 4P.  Hệ phương trình trở thành: �xt(x + t) = 2 �SP = 2 �S=2 �x = 1 �x = 1 � �3 ￬ � �3 � � � �� � �� � . � 3 �x + t = 2 �S - 3SP = 2 � �P = 1 �t = 1 �y = - 1 � � � ￬ ￬￬ x + y + 1 + 1 = 4 ￬ x y Ví dụ 3. Giải hệ phương trình  ￬￬￬ . ￬￬ x 2 + y 2 + 1 + 1 = 4 ￬￬ x2 y2 GIẢI Điều kiện  x ￬ 0, y ￬ 0 . � ￬￬ � 1� � 1� ￬￬ � �x+ ��+ � �y+ � �= 4 � � x � � � � y� � Hệ phương trình tương đương với:  ￬￬￬ � 2 2 ￬￬ � 1�� � 1� � � ￬￬ �x+ ��+ � �y+ � �= 8 � � x� � y� � 1� � 1� � 1� � 1� x+ � Đặt  S = � � � �+��y+ � � � x+ � ,P = � � � � � �y+ � � � , S2 ￬ 4P  ta có: � � � x� � y� � � x� � � y� � ￬￬ �� 1� � 1� ￬ ￬ x+ � � �+� �y+ ��= 4 ￬￬ x + 1 = 2 ￬�S = 4 ￬�S = 4 � � � ￬� x� � y� � ￬ ￬x =1 �2 �� �� � ��� x �� � . � S - 2P = 8 �P = 4 � � 1� � 1� � � � 1 � y =1 ￬� ￬� � � � x+ � ￬￬ � �y + �= 4 � ￬￬ y + = 2 � ￬ ￬� � � � x� � y� � ￬ y ￬ x 2 + y 2 + 2xy = 8 2 (1) ￬ Ví dụ 4. Giải hệ phương trình  ￬￬ . ￬￬ x + y = 4                (2) GIẢI Điều kiện  x, y ￬ 0 . Đặt  t = xy ￬ 0 , ta có:  xy = t 2  và  (2) � x + y = 16 - 2t . Thế vào (1), ta được: t 2 - 32t + 128 = 8 - t � t = 4 Suy ra: Gv: Ngô Minh Tuấn 8 Tổ toán­tin trường THPT Võ Thị Sáu                                                                           
  9. Chuyên đề “Hệ phương trình đối xứng” �xy = 16 �x = 4 � ￬ � � � � �y = 4 . �x + y = 8 � I.2. Điều kiện tham số để hệ đối xứng loại (kiểu) I có nghiệm : I.2.1. Phương pháp giải chung: i) Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có). ii) Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và  S2 ￬ 4P  (*). iii) Bước 3: Giải hệ tìm S, P theo m rồi từ điều kiện (*) tìm m. Chú ý: Khi ta đặt  ẩn phụ  u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv thì nhớ  tìm chính xác điều  kiện u, v. I.2.2. Các ví dụ: Ví dụ 1 (trích đề thi ĐH khối D – 2004).  Tìm điều kiện m để hệ phương trình sau   có nghiệm thực: ￬ x + y =1 ￬ ￬ ￬￬ x x + y y = 1 - 3m . ￬ GIẢI Điều kiện  x, y ￬ 0  ta có: � �x + y =1 � �x + y =1 � ￬ � � � x x + y y = 1 - 3m � �( x) 3 + ( y) 3 = 1 - 3m � � Đặt  S = x + y ￬ 0, P = xy ￬ 0 ,  S2 ￬ 4P.  Hệ phương trình trở thành: ￬�S = 1 ￬S = 1 �2 ￬ � � . � S - 3SP = 1 - 3m � P =m ￬� � ￬ 1 Từ điều kiện  S ￬ 0, P ￬ 0, S2 ￬ 4P  ta có  0 ￬ m ￬ . 4 ￬ x + y + xy = m Ví dụ 2. Tìm điều kiện m để hệ phương trình  ￬￬￬ 2 2  có nghiệm thực. ￬ x y + xy = 3m - 9 GIẢI ￬�x + y + xy = m ￬ (x + y) + xy = m � �2 � ￬ � � xy(x + y) = 3m - 9 . � x y + xy 2 = 3m - 9 � ￬ ￬ Gv: Ngô Minh Tuấn 9 Tổ toán­tin trường THPT Võ Thị Sáu                                                                           
  10. Chuyên đề “Hệ phương trình đối xứng” ￬S+P = m Đặt S = x + y, P = xy,  S2 ￬ 4P.  Hệ phương trình trở thành:  ￬￬￬ SP = 3m - 9 . ￬ Suy ra S và P là nghiệm của phương trình  t 2 - mt + 3m - 9 = 0 �S = 3 �S = m - 3 �� � ��� . �P = m - 3 �P = 3 � � ￬32 ￬ 4(m - 3) 21 Từ điều kiện ta suy ra hệ có nghiệm  +￬�￬￬� ￬ m m 3 2 3. ￬(m - 3) ￬ 12 2 4 ￬ x- 4+ y- 1=4 Ví dụ 3. Tìm điều kiện m để hệ phương trình  ￬￬￬  có nghiệm. ￬ x + y = 3m GIẢI Đặt  u = x - 4 ￬ 0, v = y - 1 ￬ 0  hệ trở thành: ￬￬ u + v = 4 ￬￬ u + v = 4 ￬ �2 � u + v 2 = 3m - 5 ￬ � � 21 - 3m . � ￬ � uv = ￬ 2 21 - 3m Suy ra u, v là nghiệm (không âm) của  t 2 - 4t + = 0  (*). 2 Hệ có nghiệm  ￬  (*) có 2 nghiệm không âm ￬ D' ￬ 0 ￬￬ 3m - 13 ￬￬ ￬￬ ￬ 0 13   � ۳�� ￬ ￬￬S 0 � 2 m 7. � � � � 21 - 3m 3 � P ￬ 0 � ￬ 0 � ￬ � ￬ 2 ￬ x 2 + y 2 + 4x + 4y = 10 � Ví dụ  4.  Tìm điều kiện m để  hệ  phương trình   ￬￬￬   có nghiệm  ￬ xy(x + 4)(y + 4) = m thực. GIẢI ￬ x + y + 4x + 4y = 10 � 2 2 ￬ (x 2 + 4x) + (y 2 + 4y) = 10 � � � � � ￬ � 2 � . � xy(x + 4)(y + 4) = m � (x + 4x)(y 2 + 4y) = m ￬ ￬ Đặt  u = (x + 2)2 ￬ 0, v = (y + 2)2 ￬ 0 . Hệ phương trình trở thành: �u + v = 10 �S = 10 � � � �uv - 4(u + v) = m - 16 ￬ � �P = m + 24  (S = u + v, P = uv). � � ￬ S2 ￬ 4P ￬￬ Điều kiện ￬￬￬ S � 0 � - 24 � m �1 . ￬￬ P ￬ 0 ￬ Gv: Ngô Minh Tuấn 10 Tổ toán­tin trường THPT Võ Thị Sáu                                                                           
  11. Chuyên đề “Hệ phương trình đối xứng” I.3. Bài tập vận dụng: BÀI TẬP Giải các hệ phương trình sau ￬   x + y + xy = 5 �x = 1 � x =2 1.  ￬￬￬ x 2 + y 2 + xy = 7 . Đáp số:  � � �y = 2 ￬ � � � . ￬ � �y = 1 ￬�x 2 + xy + y 2 = 3 ￬ x = - 1 �x = 3 �x = - 3 ￬ � � � 2.  ￬￬ 2x + xy + 2y = - 3 . Đáp số:  � � y =- 1 � � � � � . ￬ ￬� �y =- 3 � � y= 3 � � ￬ x + y + 2xy = 2 �x = 2 � x=0 3.  ￬￬￬ x 3 + y 3 = 8 . Đáp số:  � � ￬ �� �y = 0 �y = 2 . ￬ � � ￬ x 3 - y3 = 7 � �x = - 1 � x =2 4.  ￬￬￬ xy(x - y) = 2 . Đáp số:  � � ￬ �� �y = - 2 �y = 1 . ￬ � � � 1 - 37 � 1 + 37 ￬  x - y + 2xy = 5 �x = 2 �x = - 1 � � � x= � � � x= 5.  ￬￬￬ x 2 + y 2 + xy = 7 . Đáp số:  � � � y = 1 �� � � y = - 2 �� � 4 �� � 4 . ￬ � � � - 1 - 37 � - 1 + 37 � � y= � � y= � 4 � 4 ￬ ￬￬ (x + y)(1 + 1 ) = 5 ￬ xy 6.  ￬￬￬ . Đáp số: ￬￬ (x 2 + y 2 )(1 + 1 ) = 49 ￬￬ x 2y2 � �x = 7 - 3 5 � �x = 7 + 3 5 � �x = - 1 �x = - 1 � � � � � � � 2 �� � 2 �� � 7 - 3 5 �� � 7+3 5. � y = - 1 �y = - 1 � y= �y= � � � � � � 2 � � 2 ￬ x y + y x = 30 �x = 4 �x = 9 ￬ 7.  ￬￬ . Đáp số:  �� � y = 9 ￬ �� �y = 4 . ￬￬ x x + y y = 35 � � ￬ x y 7 ￬￬ + = +1 �x = 4 �x = 9 8.  ￬￬ y ￬ x xy  (chú ý điều kiện x, y > 0). Đáp số:  � � �y 9 ￬ � � � . ￬￬ x xy + y xy = 78 � = �y = 4 ￬ 9.  ￬￬ 3 ￬ ( ￬ 2(x + y) = 3 3 x 2 y + 3 xy 2 . Đáp s ) ố :  � � � x=8 �x = 64 ￬ � � . ￬￬ x + y = 6 3 �y = 64 �y = 8 � � ￬�x 2 + y 2 + z2 = 8 10. Cho x, y, z là nghiệm của hệ phương trình  ￬￬￬ xy + yz + zx = 4 . Chứng minh  ￬ 8 8 - ￬ x, y, z ￬ . 3 3 Gv: Ngô Minh Tuấn 11 Tổ toán­tin trường THPT Võ Thị Sáu                                                                           
  12. Chuyên đề “Hệ phương trình đối xứng” HƯỚNG DẪN GIẢI �x + y = 8 - z2 2 � 2 (x + y)2 - 2xy = 8 - z2 � � Hệ phương trình  � � � �� � �xy + z(x + y) = 4 �xy + z(x + y) = 4 ￬ (x + y)2 - 2[4 - z(x + y)] = 8 - z2 � ￬ (x + y)2 + 2z(x + y) + (z2 - 16) = 0 � ￬ ￬ ￬ ￬ ￬￬ ￬￬ xy + z(x + y) = 4 ￬￬ xy + z(x + y) = 4 �x + y = 4 - z �x + y = - 4 - z �� � ��� . � �xy = (z - 2) 2 � �xy = (z + 2) 2 Do x, y, z là nghiệm của hệ nên: ￬(4 - z)2 ￬ 4(z - 2)2 8 8 (x + y)2 ��� 4xy ￬ - �� z . ￬(- 4 - z)2 ￬ 4(z + 2)2 3 3 ￬ 8 8 Đổi vai trò x, y, z ta được  - ￬ x, y, z ￬ . 3 3 ￬ ￬ �1 � �1 � 1 ￬￬ x = 1 x y ￬￬ � � + � � = � � 11.  ￬￬￬ � � 16 � � � � � � � 2 . Đáp số:  ￬￬ 16 � ￬ 2. 1 ￬￬ x + y = 1 ￬￬ y = ￬ ￬ 2 ￬�2 sin p( x + y) =1 12.  ￬￬￬ 2(x 2 + y 2 ) = 1 ￬ HƯỚNG DẪN GIẢI Cách 1: ￬�2sin p( x + y) = 1 �sin p(x + y) = 0 �x + y ￬ Z      (1) � � 2 � � � � � � � � 2(x + y 2 ) = 1 � 2 2 �2(x + y ) = 1 � 2 2 �2(x + y ) = 1 (2) ￬ 1 ￬ ￬￬ 2 x ￬ ￬￬ - 2 ￬ x ￬ 2 1 ￬ (2) � x 2 + y 2 = � ￬� 2 ��￬ 2 2 � - 2 �x + y � 2 . 2 � � 1 � � 2 2 � y2 ￬ � - ￬ y￬ � ￬ 2 �￬ 2 2 ￬x + y = 0 (1) ￬ ￬￬  thế vào (2) để giải. ￬x + y = ￬ 1 Cách 2: Đặt S = x + y, P = xy. Hệ trở thành: ￬�2sin Sp = 1 ￬S ￬ Z � � � 2 � ￬ � � . � 2(S - 2P) = 1 � 4P = 2S2 - 1 ￬ ￬ Từ điều kiện  S2 ￬ 4P  ta suy ra kết quả tương tự. � � 1 �� 1 �� 1 � � 1 �x= �x =- �x= �x =- Hệ có 4 nghiệm phân biệt  � � � 2 �� 1 � � 2 �� 1 � � 2 �� 1 � � 1 2. � �y= � �y = - � �y = - � �y = � 2 � 2 � 2 � 2 Gv: Ngô Minh Tuấn 12 Tổ toán­tin trường THPT Võ Thị Sáu                                                                           
  13. Chuyên đề “Hệ phương trình đối xứng” Tìm điều kiện của m để các hệ phương trình thỏa yêu cầu ￬ x 2 + xy + y 2 = m + 6 � 1. Tìm m để hệ phương trình  ￬￬￬ 2x + xy + 2y = m  có nghiệm thực duy nhất. ￬ HƯỚNG DẪN GIẢI Hệ có nghiệm duy nhất suy ra x = y, hệ trở thành: �3x 2 = m + 6 �3x 2 - 6 = m ￬m = - 3 � � ￬ �2 �x + 4x = m � �2 �x + 4x = 3x 2 - 6 � ￬m = 21 . � � ￬ �x 2 + xy + y 2 = 3 � 2 (x + y) - xy = 3 + m = – 3:  � � � ￬ � � �2(x + y) + xy = - 3 �2(x + y) + xy = - 3 � �x + y = 0 �x + y = - 2 � �x = 3 � �x = - 3 � �x = - 1 �� � �� � �� �� ��  (loại). � �xy = - 3 � �xy = 1 � � y =- 3 � � y= 3 � �y =- 1 � � �x 2 + xy + y 2 = 27 � 2 (x + y) - xy = 27 + m = 21:  � � �2x + xy + 2y = 21 ￬ � � �2(x + y) + xy = 21 � � �x + y = - 8 �x + y = 6 �x = 3 �� � � � � � � �  (nhận). �xy = 37 �xy = 9 �y = 3 � � � Vậy m = 21. ￬ x + xy + y = m + 1 2. Tìm m để hệ phương trình:  ￬￬￬ x 2 y + xy 2 = m  có nghiệm thực x > 0, y > 0. ￬ HƯỚNG DẪN GIẢI ￬�x + xy + y = m + 1 ￬ (x + y) + xy = m + 1 � � �x+y =1 � �x+y =m �2 ￬ � � � �� . � � x y + xy 2 = m � � xy(x + y) = m �xy = m �xy = 1 ￬ ￬ � � ￬m > 0 1 Hệ có nghiệm thực dương  ￬� �￬￬￬>1�� 2 0 m m 2. ￬ ￬���4m m 4 4 1 Vậy  0 ￬�m> m 2. 4 ￬ x+ y =m ￬ 3. Tìm m để hệ phương trình  ￬￬  có nghiệm thực. ￬￬ x + y - xy = m HƯỚNG DẪN GIẢI ￬ x+ y =m ￬￬ x + y = m ￬ x+ y =m ￬ ￬￬ � � � � � �� � 2 �� � m2 - m . ￬�x + y - xy = m �￬ x + y - 3 xy = m ( �￬￬ xy = 3 ) Gv: Ngô Minh Tuấn 13 Tổ toán­tin trường THPT Võ Thị Sáu                                                                           
  14. Chuyên đề “Hệ phương trình đối xứng” m2 - m Suy ra  x, y  là nghiệm (không âm) của phương trình  t 2 - mt + = 0  (*). 3 ￬￬ D / ￬ 0 ￬￬ m 2 - 4m ￬ 0 ￬� ￬ ￬m = 0 � ￬ Hệ có nghiệm  ￬ (*) có 2 nghiệm không âm  ۳۳� �S 0 � �m 0 � ￬1 ￬ m ￬ 4 � � P ￬ 0 � � m2 - m ￬ 0 ￬ ￬� �￬ . Vậy  m �￬= 0 1 m 4. ￬�x 2 + y 2 = 2(1 + m) 4. Tìm m để hệ phương trình  ￬￬￬ (x + y)2 = 4  có đúng 2 nghiệm thực phân biệt. ￬ HƯỚNG DẪN GIẢI �x 2 + y 2 = 2(1 + m) �(x + y)2 - 2xy = 2(1 + m) �xy = 1 - m �xy = 1 - m � � ￬ � � � � � �� � . �(x + y)2 = 4 � �(x + y) 2 = 4 �x + y = 2 �x + y = - 2 � � � 2 Hệ có đúng 2 nghiệm thực phân biệt khi  ( �2 ) = 4(1 - m) � m = 0 . ￬ x + y = 2m - 1 5. Cho x, y là nghiệm của hệ  phương trình  ￬￬￬ x 2 + y 2 = m 2 + 2m - 3 . Tìm m để P = xy  ￬ nhỏ nhất. HƯỚNG DẪN GIẢI Đặt  S = x + y,  P = xy , điều kiện  S2 ￬ 4P. �x + y = 2m - 1 �S = 2m - 1 � �2 ￬ � �2 � � x + y 2 = m 2 + 2m - 3 � 2 �S - 2P = m + 2m - 3 ￬ S = 2m - 1 ￬ S = 2m - 1 ￬ ￬￬ �� �� 3 � 2 2 (2m - 1) - 2P = m + 2m - 3 � P = m 2 - 3m + 2 ￬� �￬ 2 4- 2 4+ 2 Từ điều kiện suy ra  (2m -�1)-+￬ 2 �6m 2 12m 8 m . 2 2 Xét hàm số  f(m) = 3 m 2 - 3m + 2,   4 - 4+ 2 . 2 ￬ m ￬ 2 2 2 �4 - 2 � ￬￬ = 11 - 6 2 , " m ￬ � 4- 2 4 + 2� Ta có  min f(m) = f ￬￬￬ ￬ ￬ � � 2 ; 2 � � ￬� 2 � 4 � � Vậy  min P = 11 - 6 2 � m = 4 - 2 . 4 2 Gv: Ngô Minh Tuấn 14 Tổ toán­tin trường THPT Võ Thị Sáu                                                                           
  15. Chuyên đề “Hệ phương trình đối xứng” CHƯƠNG II. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI II ￬ f(x, y) = 0 II.1. Dạng 1:  ￬￬￬ f(y, x) = 0   (đổi vị  trí x và y cho nhau thì phương trình này trở  ￬ thành phương trình kia) Phương pháp giải chung: II.1.1. Cách giải 1: Trừ  hai phương trình cho nhau, đưa về  phương trình tích, giải x theo y (hay ngược  lại) rồi thế vào một trong hai phương trình của hệ. ￬ x 3 + 2x = y (1) ￬ Ví dụ 1. Giải hệ phương trình  ￬￬ 3 . ￬￬ y + 2y = x (2) Giải Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được: x 3 - y 3 + 3x - 3y = 0 � (x - y)(x 2 + y 2 + xy + 3) = 0 Gv: Ngô Minh Tuấn 15 Tổ toán­tin trường THPT Võ Thị Sáu                                                                           
  16. Chuyên đề “Hệ phương trình đối xứng” � � 2 � y� 2 ￬￬ + 3y + 3 �= 0 � y = x                                           � (x - y) � ￬￬ x + �￬� ￬ � � 2� 4 � � � Thế y = x vào (1) hoặc (2) ta được: x3 + x = 0 � x = 0 ￬x = 0 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất  ￬￬￬ y = 0 . ￬ ￬ 2x + 3 + 4 - y = 4  (1) ￬ Ví dụ 2. Giải hệ phương trình  ￬￬ ￬￬ 2y + 3 + 4 - x = 4  (2) Giải ￬ 3 ￬￬ - ￬ x￬ 4 Điều kiện:  ￬￬￬ 2 3 ￬￬ - ￬ y￬ 4 ￬ 2 Lấy (1) trừ (2) theo vế ta được: ( 2x + 3 - 2y + 3 + ) ( 4- y - ) 4 - x = 0  (*) 3 Nhận thấy  x = y = −  hoặc  x = y = 4  không là nghiệm của phương trình (*) 2 (2x + 3) - (2y + 3) (4 - y) - (4 - x) Khi đó  ( * ) � + =0 2x + 3 + 2y + 3 4- y + 4- x � 2 ￬￬ = 0 � x = y 1 �        � (x - y) ￬￬￬ + ￬￬ . � 2x + 3 + 2y + 3 4- y + 4- x� Thay x = y vào (1), ta được: 2x + 3 + 4 - x = 4 � x + 7 + 2 (2x + 3)(4 - x) = 16 ￬9- x ￬ 0 11      � 2 - 2x 2 + 5x + 12 = 9 - x � ￬￬￬ 2 � x = 3 �x =  (nhận). ￬ 9x - 38x + 33 = 0 9 ￬ 11 ￬ x = 3 ￬￬ x = ￬ 9 . Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt  ￬� � y = 3 ￬ � � 11 � ￬ � ￬￬ y = 9 II.1.2. Cách giải 2 (nên dùng khi cách 1 không giải được) Cộng và trừ lần lượt hai phương trình đưa về hệ phương trình mới tương đương  gồm hai phương trình tích (thông thường tương đương với 4 hệ phương trình mới). Gv: Ngô Minh Tuấn 16 Tổ toán­tin trường THPT Võ Thị Sáu                                                                           
  17. Chuyên đề “Hệ phương trình đối xứng” ￬ x 3 = 2x + y (1) ￬ Ví dụ 3. Giải hệ phương trình  ￬￬ 3 ￬￬ y = 2y + x (2) Giải Trừ và cộng (1) với (2), ta được: �x 3 = 2x + y �(x - y)(x 2 + xy + y 2 - 1) = 0 � � �3 ￬ � � �y = 2y + x � �(x + y)(x 2 - xy + y 2 - 3) = 0 � � ￬�x - y = 0 � x- y =0 � x+y =0 ￬ x 2 + xy + y 2 = 1 � � � ￬         � �� x+y = 0 � �� 2 2 �� 2 2 �� �x - xy + y = 3 � �x + xy + y = 1 � 2 2 ￬� ￬ x - xy + y = 3 � �x - y = 0 �x = 0 � � +  � �x + y = 0 ￬ � �x = 0 � � �x = 3 �x = - 3 �x - y = 0 � � � y=x � � +  � � 2 2 � �2 � �� � �� �x - xy + y = 3 �x = 3 � y= 3 � �y =- 3 � � �x + y = 0 �y = - x � � �x = - 1 �� � �x = 1 � +  � �x 2 + xy + y 2 = 1 � � �x 2 = 1 � � � � � � �y = 1 �y = - 1 ￬￬ x 2 + xy + y 2 = 1 ￬ xy = - 1 �xy = - 1 �x = 1 �x = - 1 � ￬ � � � +  � � �2 � � � � �� � 2 2 � x + y2 = 2 � �x + y = 0 � �y = - 1 � �y = 1 ￬�x - xy + y = 3 � ￬ Vậy hệ phương trình có 5 nghiệm phân biệt:  �x=0 � x =- 1 �x =1 �x = 3 �x = - 3 � � � � �� � � �� �� �� � . �x = 0 � � y =1 �y = - 1 � � �y = � 3 � �y = - � 3 II.1.3. Cách 3. Sử dụng hàm số đơn điệu để suy ra x = y ￬ 2x + 3 + 4 - y = 4  (1) ￬ Ví dụ 4. Giải hệ phương trình  ￬￬￬ ￬￬ 2y + 3 + 4 - x = 4  (2) Giải ￬ 3 ￬￬ - ￬ x￬ 4 Điều kiện:  ￬￬￬ 2 3 . ￬￬ - ￬ x￬ 4 ￬ 2 Trừ (1) và (2) ta được:      2x + 3 - 4 - x = 2y + 3 - 4 - y   (3) �3 � Xét hàm số  f(t) = 2t + 3 - 4 - t,  t ��- ; 4� , ta có: � �2 � � Gv: Ngô Minh Tuấn 17 Tổ toán­tin trường THPT Võ Thị Sáu                                                                           
  18. Chuyên đề “Hệ phương trình đối xứng” 1 1 �3 �      f / (x) = + > 0,   " t �￬￬ - ;   4 ￬￬￬ � (3) � f(x) = f(y) � x = y . 2t + 3 2 4- t ￬� 2 � Thay x = y vào (1), ta được:      2x + 3 + 4 - x = 4 � x + 7 + 2 (2x + 3)(4 - x) = 16 11                                               � 2 - 2x 2 + 5x + 12 = 9 - x � x = 3 �x =  (nhận). 9 ￬ ￬x = 3 ￬￬ x = 11 ￬ 9 . Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt  ￬� � y=3 ￬ � � 11 � ￬ �￬￬ y = 9 ￬ x 3 + 2x = y ￬ Ví dụ 5. Giải hệ phương trình  ￬￬ 3 . ￬￬ y + 2y = x Giải Xét hàm số  f(t) = t 3 + 2t � f / (t) = 3t 2 + 2 > 0,   " t �? . ￬ f(x) = y  (1) Hệ phương trình trở thành  ￬￬￬ f(y) = x  (2) . ￬ + Nếu  x > y � f(x) > f(y) � y > x (do (1) và (2) dẫn đến mâu thuẩn). + Nếu  x < y � f(x) < f(y) � y < x (mâu thuẩn). Suy ra x = y, thế vào hệ ta được  x 3 + x = 0 � x = 0. ￬x = 0 Vậy hệ có nghiệm duy nhất  ￬￬￬ y = 0 . ￬ Chú ý: Khi gặp hệ phương trình đối xứng loại II dạng 1, ta nên giải cách 1. Nếu giải  không được mới nghĩ đến cách 2 và 3, nếu vẫn không giải được thì quay trở về đề  bài và tìm điều kiện chính xác rồi giải lại cách 1. ￬ 2 ￬￬ 3x = x + 2 ￬ y2 Ví dụ 6 (trích đề thi ĐH khối B – 2003). Giải hệ phương trình:  ￬￬￬ 2 ￬￬ 3y = y + 2 ￬￬ x2 Giải ￬x > 0 Nhận xét từ hệ phương trình ta có  ￬￬￬ y > 0 . Biến đổi: ￬ Gv: Ngô Minh Tuấn 18 Tổ toán­tin trường THPT Võ Thị Sáu                                                                           
  19. Chuyên đề “Hệ phương trình đối xứng” ￬ 2 ￬￬ 3x = x + 2 ￬� 2 ￬ 3xy 2 = x 2 + 2  (1) � y ￬ � ￬ � 2 � � 2 y +2 � � 3yx = y 2 + 2  (2) ￬￬ 3y = ￬ ￬ x2 Trừ (1) và (2) ta được: (x - y)(3xy + x + y) = 0 � x = y (3xy + x + y > 0). Với  x = y : (1) � 3x 3 - x 2 - 2 = 0 � (x - 1)(3x 2 + 2x + 2) = 0 � x = 1. ￬x =1 Vậy hệ có 1 nghiệm  ￬￬￬ y = 1 . ￬ ￬ f(x, y) = 0 II.2. Dạng 2:  ￬￬￬ g(x, y) = 0 , trong đó chỉ có 1 phương trình đối xứng ￬ Phương pháp giải chung II.2.1. Cách giải 1: Đưa phương trình đối xứng về dạng tích, giải y theo x rồi thế vào phương trình còn   lại. ￬ ￬￬ x - 1 = y - 1     (1) Ví dụ 1. Giải hệ phương trình  ￬￬ x y . ￬￬ 2x 2 - xy - 1 = 0  (2) ￬ Giải Điều kiện:  x ￬ 0,  y ￬ 0 . Ta có: � 1 � ￬￬ = 0 � y = x �y = - 1 .      (1) � (x - y) ￬￬￬ 1 + ￬ � xy � x + Với y = x:  (2) � x 2 - 1 = 0 � x = �1 . 1 + Với  y = - : (2) vô nghiệm. x �x = 1 �x = - 1 Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt  � � � ￬ � � � . �y = 1 �y = - 1 II.2.2. Cách giải 2 (nên dùng khi cách 1 không giải được) Đưa phương trình đối xứng về dạng  f(x) = f(y) � x = y  với hàm f đơn điệu. ￬ x - y = cos x - cos y  (1) Ví dụ 2. Giải hệ phương trình  ￬￬￬ 2 . ￬ x y - 3y - 18 = 0      (2) Gv: Ngô Minh Tuấn 19 Tổ toán­tin trường THPT Võ Thị Sáu                                                                           
  20. Chuyên đề “Hệ phương trình đối xứng” Giải Tách biến phương trình (1), ta được:           (1) � x - cos x = y - cos y  (3). Xét hàm số  f(t) = t - cos t � f / (t) = 1 + sin t > 0,   " t �? . Suy ra  (3) � f(x) = f(y) � x = y . Thay x = y vào (2), ta được: x 3 - 3x - 18 = 0 � (x - 3)(x 2 + 3x + 6) = 0 � x = 3. ￬x = 3 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất  ￬￬￬ y = 3 . ￬ Chú ý:  ￬ ￬￬ x - 1 = y - 1     (1) Cách giải sau đây sai: ￬￬ x y . 2 ￬￬ 2x - xy - 1 = 0  (2) ￬ Giải Điều kiện:  x ￬ 0,  y ￬ 0 . 1 1 Xét hàm số  f(t) = t - ,  t �� ? \ {0} f / (t) = 1 + > 0,   " t �? \ {0} . t t2 Suy ra  (1) � f(x) = f(y) � x = y ! Sai do hàm số f(t) đơn điệu trên 2 khoảng rời nhau (cụ thể f(–1) = f(1) = 0). II.3. Bài tập vận dụng: BÀI TẬP Giải các hệ phương trình sau ￬ x 2 - 3y + 2 = 0 �x = 1 �x = 2 . Đáp số:  � ￬ � ￬ 1)  ￬￬ 2 � �y 1 � �y = 2 . ￬￬ y - 3x + 2 = 0 � = � ￬ ￬ x 2 + xy = x + 2y ￬ x = 0 ￬￬ x = 3 ￬ ￬ 2. 2)  ￬￬ 2 . Đáp số:  ￬� � y 0 ￬ � � 3 ￬￬ y + xy = y + 2x ￬� = �￬￬ y = 2 ￬ x +1 + y - 7 = 4 ￬x = 8 ￬ 3)  ￬￬ . Đáp số:  ￬￬￬ y = 8 . ￬￬ y + 1 + x - 7 = 4 ￬ ￬ x +1 + y - 2 = 3 ￬x = 3 ￬ 4)  ￬￬ . Đáp số:  ￬￬￬ y = 3 . ￬￬ y + 1 + x - 2 = 3 ￬ ￬ x +3 + 2- y = 3 �x = 1 � x =- 2 ￬ 5)  ￬￬ . Đáp số:  � � ￬ � � �y = 1 �y = - 2 . ￬￬ y + 3 + 2 - x = 3 � � Gv: Ngô Minh Tuấn 20 Tổ toán­tin trường THPT Võ Thị Sáu                                                                           
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2