zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Trung học phổ thông

Chuyên đề: Hệ phương trình đối xứng loại I

Chia sẻ: Le Van Nhan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Báo xấu

90
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chuyên đề: Hệ phương trình đối xứng loại I sẽ giới thiệu tới các bạn phương pháp giải chung và hướng dẫn giải về hệ đối xứng loại (kiểu) I có dạng tổng quát; điều kiện tham số để hệ đối xứng loại (kiểu) I có nghiệm;... Mời các bạn cùng tìm hiểu và tham khảo nội dung thông tin tài liệu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề: Hệ phương trình đối xứng loại I

Chuyên đề Hệ phương trình đối xứng www.toantrunghoc.com Đoàn Vương Nguyên CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI I TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN I. Hệ đối xứng loại (kiểu) I có dạng tổng quát: f(x,y) = 0 f(x,y) = f(y,x)  , trong đó  g(x,y) = 0 g(x,y) = g(y,x) Phƣơng pháp giải chung: i) Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có). ii) Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và S2  4P . iii) Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S, P rồi dùng Vi–et đảo tìm x, y. Chú ý: i) Cần nhớ: x2 + y2 = S2 – 2P, x3 + y3 = S3 – 3SP. ii) Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv. iii) Có những hệ phương trình trở thành đối xứng loại I sau khi đặt ẩn phụ.  x 2 y  xy 2  30 Ví dụ 1. Giải hệ phương trình  3 .  x  y  35 3 GIẢI Đặt S  x  y, P  xy , điều kiện S2  4P . Hệ phương trình trở thành:  30  P   SP  30  S S  5 x  y  5 x  2 x  3          .  S ( S 2  3 P )  35  90   S  S 2    35  P  6  xy  6  y  3  y  2    S   xy ( x  y )  2 Ví dụ 2. Giải hệ phương trình  3 . x  y  2 3 GIẢI Đặt t   y, S  x  t , P  xt , điều kiện S 2  4 P. Hệ phương trình trở thành:  xt ( x  t )  2 SP  2 S  2  x  1  x  1  3 3  3    . x  t  2 S  3SP  2 P  1 t  1  y  1  1 1 x  y  x  y  4  Ví dụ 3. Giải hệ phương trình  . x  y   1 1 2 2 4  x2 y 2 www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán ,... Trang 1
Chuyên đề Hệ phương trình đối xứng www.toantrunghoc.com Đoàn Vương Nguyên GIẢI Điều kiện x  0, y  0 .  1  1  x     y    4  x  y Hệ phương trình tương đương với:  2 1  1 2   x  x    y  y   8     1  1  1  1 Đặt S   x     y   , P   x    y   , S 2  4 P ta có:  x  y  x  y  1  1  1  x     y    4  x  2 S  4 S  4  x  y x x  1  2     .  S  2 P  8  P  4  x  1   y  1   4 1 y   2  y  1      y  x  y   x  y  2 xy  8 2 (1) 2 2 Ví dụ 4. Giải hệ phương trình  .  x y 4  (2) GIẢI Điều kiện x, y  0 . Đặt t  xy  0 , ta có: xy  t 2 và (2)  x  y  16  2t . Thế vào (1), ta được: t 2  32t  128  8  t  t  4 Suy ra:  xy  16 x  4   . x  y  8  y  4 II. Điều kiện tham số để hệ đối xứng loại (kiểu) I có nghiệm Phƣơng pháp giải chung: i) Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có). ii) Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và S2  4P (*). iii) Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S, P theo m rồi từ điều kiện (*) tìm m. Chú ý: Khi ta đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv thì nhớ tìm chính xác điều kiện u, v. Ví dụ 1 (trích đề thi ĐH khối D – 2004). Tìm điều kiện m để hệ phương trình sau có nghiệm thực :  x  y  1  .  x x  y y  1  3m www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán ,... Trang 2
Chuyên đề Hệ phương trình đối xứng www.toantrunghoc.com Đoàn Vương Nguyên GIẢI Điều kiện x, y  0 ta có:   x  y 1   x  y 1      x x  y y  1  3m ( x )  ( y )  1  3m  3 3 Đặt S  x  y  0, P  xy  0 , S 2  4 P. Hệ phương trình trở thành: S  1 S  1  2  .  S  3SP  1  3m  P  m 1 Từ điều kiện S  0, P  0, S 2  4P ta có 0  m  . 4  x  y  xy  m Ví dụ 2. Tìm điều kiện m để hệ phương trình  2 có nghiệm thực.  x y  xy 2  3m  9 GIẢI  x  y  xy  m ( x  y)  xy  m  2   .  x y  xy 2  3m  9  xy ( x  y )  3m  9 S  P  m Đặt S = x + y, P = xy, S 2  4 P. Hệ phương trình trở thành:  .  SP  3m  9 Suy ra S và P là nghiệm của phương trình t 2  mt  3m  9  0 S  3 S  m  3   . P  m  3 P  3 32  4( m  3) 21 Từ điều kiện ta suy ra hệ có nghiệm    m   m  3 2 3. (m  3)  12 2 4  x  4  y  1  4 Ví dụ 3. Tìm điều kiện m để hệ phương trình  có nghiệm.  x  y  3m GIẢI Đặt u  x  4  0, v  y  1  0 hệ trở thành: u  v  4 u  v  4   2 2  21  3m . u  v  3m  5 uv   2 21  3m Suy ra u, v là nghiệm (không âm) của t 2  4t   0 (*). 2 Hệ có nghiệm  (*) có 2 nghiệm không âm www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán ,... Trang 3
Chuyên đề Hệ phương trình đối xứng www.toantrunghoc.com Đoàn Vương Nguyên  /  0  3m  13  0   2 13  S  0    m7. P  0  21  3m  0 3   2  x 2  y 2  4 x  4 y  10 Ví dụ 4. Tìm điều kiện m để hệ phương trình  có nghiệm thực.  xy ( x  4)( y  4)  m GIẢI  x 2  y 2  4 x  4 y  10  ( x  4 x)  ( y  4 y)  10 2 2   2 .  xy ( x  4)( y  4)  m   ( x  4 x )( y 2  4 y )  m Đặt u  ( x  2)  0, v  ( y  2)2  0 . Hệ phương trình trở thành: 2 u  v  10 S  10   (S = u + v, P = uv). uv  4(u  v )  m  16  P  m  24 S 2  4P  Điều kiện  S  0  24  m  1 . P  0  BÀI TẬP Giải các hệ phương trình sau  x  y  xy  5 x  1 x  2 1.  2 . Đáp số:   .  x  y 2  xy  7  y  2  y  1  x 2  xy  y 2  3  x  1  x  3  x   3 2.  . Đáp số:    .  2 x  xy  2 y   3  y  1 y   3   y  3  x  y  2 xy  2 x  2 x  0 3.  3 . Đáp số:   . x  y  8 y  0 y  2 3  x3  y 3  7  x  1  x  2 4.  . Đáp số:   .  xy ( x  y )  2  y  2  y  1  1  37  1  37  x  x   x  y  2 xy  5  x  2  x  1  4  4 5.  2 . Đáp số:     .  x  y 2  xy  7  y  1  y  2 y  1  37 y  1  37  4  4 www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán ,... Trang 4
Chuyên đề Hệ phương trình đối xứng www.toantrunghoc.com Đoàn Vương Nguyên  1 ( x  y )(1  xy )  5  73 5  7  3 5  x  1  x  1  x  x    6.  .Đs:  2  2  7  3 5  73 5 . ( x  y )(1  2 2 1 )  49  y  1  y  1  y   y   2 2 x y    2  2  x y  y x  30 x  4 x  9 7.  . Đáp số:   .  x x  y y  35  y  9  y  4  x y 7    1 x  4 x  9 8.  y x xy (chú ý điều kiện x, y > 0). Đáp số:   .   y  9  y  4  x xy  y xy  78 9.    2( x  y )  3 3 x 2 y  3 xy 2 . Đáp số:  x  8   x  64 .  x  3 y  6 3  y  64  y  8  x2  y 2  z 2  8 10. Cho x, y, z là nghiệm của hệ phương trình  .  xy  yz  zx  4 8 8 Chứng minh   x, y, z  . 3 3 HƯỚNG DẪN GIẢI  x2  y 2  8  z 2 ( x  y )2  2 xy  8  z 2 Hệ phương trình     xy  z ( x  y )  4  xy  z ( x  y )  4 ( x  y )2  2[4  z ( x  y )]  8  z 2 ( x  y )2  2 z ( x  y )  ( z 2  16)  0    xy  z ( x  y )  4  xy  z ( x  y )  4  x  y  4  z  x  y  4  z   .  xy  ( z  2) 2  xy  ( z  2) 2 Do x, y, z là nghiệm của hệ nên: (4  z )2  4( z  2)2 8 8 ( x  y )  4 xy   2    z  .  ( 4  z ) 2  4( z  2) 2 3 3 8 8 Đổi vai trò x, y, z ta được   x, y, z  . 3 3  1  x  1  y 1  1  x     11.  16   16  2 2 . Đáp số:  . x  y  1 y  1   2  2 sin  ( x  y ) 1 12.  2 2( x  y )  1  2 www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán ,... Trang 5
Chuyên đề Hệ phương trình đối xứng www.toantrunghoc.com Đoàn Vương Nguyên HƯỚNG DẪN GIẢI Cách 1:  2 sin  ( x  y ) 1 sin ( x  y)  0  x  y  (1)  2     2( x  y )  1 2( x  y )  1  2( x  y )  1 (2) 2 2 2 2 2  2 1  2 2  x    x 1  2  2 2  2  x y 2. (2)  x 2  y 2     2  2 1  2 2 y    y   2  2 2 x  y  0 (1)   thế vào (2) để giải.  x  y  1 Cách 2: Đặt S = x + y, P = xy. Hệ trở thành:  2 sin S  1 S     .   2( S 2  2 P )  1  4 P  2 S 2  1 Từ điều kiện S  4 P ta suy ra kết quả tương tự. 2  1  1  1  1  x  2  x   2  x  2  x   2 Hệ có 4 nghiệm phân biệt     . y  1 y   1 y   1 y  1  2  2  2  2 Tìm điều kiện của m để các hệ phương trình thỏa yêu cầu  x 2  xy  y 2  m  6 1. Tìm m để hệ phương trình  có nghiệm thực duy nhất.  2 x  xy  2 y  m HƯỚNG DẪN GIẢI Hệ có nghiệm duy nhất suy ra x = y, hệ trở thành: 3x 2  m  6  3x 2  6  m   m  3  2  2   m  21 .   x  4 x  m   x  4 x  3 x 2  6   x  xy  y  3 2 2 ( x  y )2  xy  3 + m = – 3:    2( x  y )  xy   3 2( x  y )  xy  3  x  y  0  x  y  2  x  3   x   3  x  1      (loại).  xy  3  xy  1   y   3   y  3  y  1  x 2  xy  y 2  27 ( x  y )2  xy  27 + m = 21:    2 x  xy  2 y  21 2( x  y )  xy  21 www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán ,... Trang 6
Chuyên đề Hệ phương trình đối xứng www.toantrunghoc.com Đoàn Vương Nguyên  x  y  8  x  y  6  x  3    (nhận).  xy  37  xy  9  y  3 Vậy m = 21.  x  xy  y  m  1 2. Tìm m để hệ phương trình:  2 có nghiệm thực x > 0, y > 0.  x y  xy 2  m HƯỚNG DẪN GIẢI  x  xy  y  m  1 ( x  y )  xy  m  1 x  y  1 x  y  m  2      .  x y  xy  m  xy ( x  y )  m  xy  m  xy  1 2 m  0 1 Hệ có nghiệm thực dương    0  m   m 2.  1  4 m  m 2  4 4 1 Vậy 0  m   m  2 . 4  x  y  m 3. Tìm m để hệ phương trình  có nghiệm thực.  x  y  xy  m HƯỚNG DẪN GIẢI  x  y m  x  y m  x  y  m      m2  m .   2  x  y  xy  m  x  y  3 xy  m  xy  3  m2  m Suy ra x , y là nghiệm (không âm) của phương trình t  mt  2  0 (*). 3   /  0  m 2  4m  0   m  0 Hệ có nghiệm  (*) có 2 nghiệm không âm   S  0  m  0  . P  0 m 2  m  0 1  m  4   Vậy m  0  1  m  4 .   x  y  2(1  m) 2 2 4. Tìm m để hệ phương trình  có đúng 2 nghiệm thực phân biệt.   ( x  y ) 2  4 HƯỚNG DẪN GIẢI   x  y  2(1  m)  2 2 ( x  y )  2 xy  2(1  m) 2  xy  1  m  xy  1  m       .   ( x  y ) 2  4   ( x  y ) 2  4  x  y  2  x  y   2 Hệ có đúng 2 nghiệm thực phân biệt khi  2   4(1  m)  m  0 . 2  x  y  2m  1 5. Cho x, y là nghiệm của hệ phương trình  2 . Tìm m để P = xy nhỏ  x  y 2  m 2  2 m  3 nhất. www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán ,... Trang 7

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.