zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Trung học phổ thông

Chuyên đề Hệ phương trình đối xứng

Chia sẻ: Nguyen Hung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:14

Báo xấu

396
lượt xem 99
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phương pháp giải chung: i) Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có). ii) Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và 2S4 . iii) Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S, P rồi dùng Vi–et đảo tìm x, y.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề Hệ phương trình đối xứng

Đoàn Vương Nguyên Chuyên đề Hệ phương trình đối xứng www.toantrunghoc.com HỆ PHƢƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI I CHUYÊN ĐỀ TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN I. Hệ đối xứng loại (kiểu) I có dạng tổng quát: f(x,y) = 0 f(x,y) = f(y,x) , trong đó   g(x,y) = 0 g(x,y) = g(y,x) Phƣơng pháp giải chung: i) Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có). ii) Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và S2  4P . iii) Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S, P rồi dùng Vi–et đảo tìm x, y. Chú ý: i) Cần nhớ: x2 + y2 = S2 – 2P, x3 + y3 = S3 – 3SP. ii) Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv. iii) Có những hệ phương trình trở thành đối xứng loại I sau khi đặt ẩn phụ.  x 2 y  xy 2  30  Ví dụ 1. Giải hệ phương trình  3 .  x  y  35 3  GIẢI Đặt S  x  y, P  xy , điều kiện S2  4P . Hệ phương trình trở thành:  30 P   SP  30 S  5 x  y  5 x  2 x  3  S       . P  6  xy  6 y  3 y  2 S ( S 2  3P)  35   2 90     S  S    35   S  xy ( x  y )  2 Ví dụ 2. Giải hệ phương trình  3 . x  y  2 3 GIẢI Đặt t   y, S  x  t , P  xt , điều kiện S 2  4 P. Hệ phương trình trở thành:  xt ( x  t )  2 SP  2 S  2  x  1  x  1  3    3 3 . P  1 t  1  y  1 x  t  2 S  3SP  2  11 x  y  x  y  4  Ví dụ 3. Giải hệ phương trình  . 1 1 x  y   4 2 2  x2 y 2  Phần Mềm Toán ,... Trang 1 www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu -
Đoàn Vương Nguyên Chuyên đề Hệ phương trình đối xứng www.toantrunghoc.com GIẢI Điều kiện x  0, y  0 .  1  1  x     y    4  x  y Hệ phương trình tương đương với:  2 1  1 2   x  x    y  y   8    1  1 1  1   Đặt S   x     y   , P   x    y   , S 2  4 P ta có:  x   x  y y  1  1  1  x     y    4 x 2  S  4 S  4 x  1  x  y  x     2 . S  2 P  8  P  4  y 1 1  1 1 y   2    x   y    4    y x  y   x 2  y 2  2 xy  8 2 (1)  Ví dụ 4. Giải hệ phương trình  .  x y 4  (2) GIẢI Điều kiện x, y  0 . Đặt t  xy  0 , ta có: xy  t 2 và (2)  x  y  16  2t . Thế vào (1), ta được: t 2  32t  128  8  t  t  4 Suy ra:  xy  16 x  4   . x  y  8  y  4 II. Điều kiện tham số để hệ đối xứng loại (kiểu) I có nghiệm Phƣơng pháp giải chung: i) Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có). ii) Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và S2  4P (*). iii) Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S, P theo m rồi từ điều kiện (*) tìm m. Chú ý: Khi ta đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv thì nhớ tìm chính xác điều kiện u, v. Ví dụ 1 (trích đề thi ĐH khối D – 2004). Tìm điều kiện m để hệ phương trình sau có nghiệm thực :  x  y 1   .  x x  y y  1  3m  Phần Mềm Toán ,... Trang 2 www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu -
Đoàn Vương Nguyên Chuyên đề Hệ phương trình đối xứng www.toantrunghoc.com GIẢI Điều kiện x, y  0 ta có:  x  y 1  x  y 1      x x  y y  1  3m ( x )  ( y )  1  3m 3 3   Đặt S  x  y  0, P  xy  0 , S 2  4 P. Hệ phương trình trở thành: S  1 S  1  2 .  S  3SP  1  3m  P  m 1 Từ điều kiện S  0, P  0, S 2  4P ta có 0  m  . 4  x  y  xy  m Ví dụ 2. Tìm điều kiện m để hệ phương trình  2 có nghiệm thực. x y  xy 2  3m  9  GIẢI  x  y  xy  m ( x  y)  xy  m  2 . x y  xy 2  3m  9  xy ( x  y )  3m  9  S  P  m Đặt S = x + y, P = xy, S 2  4 P. Hệ phương trình trở thành:  .  SP  3m  9 Suy ra S và P là nghiệm của phương trình t 2  mt  3m  9  0 S  3 S  m  3   . P  m  3 P  3 32  4( m  3) 21 Từ điều kiện ta suy ra hệ có nghiệm    m   m  3 2 3. (m  3)  12 2 4  x  4  y 1  4  Ví dụ 3. Tìm điều kiện m để hệ phương trình  có nghiệm.  x  y  3m  GIẢI Đặt u  x  4  0, v  y  1  0 hệ trở thành: u  v  4 u  v  4   2 2 21  3m . u  v  3m  5 uv   2 21  3m Suy ra u, v là nghiệm (không âm) của t 2  4t   0 (*). 2 Hệ có nghiệm  (*) có 2 nghiệm không âm Phần Mềm Toán ,... Trang 3 www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu -
Đoàn Vương Nguyên Chuyên đề Hệ phương trình đối xứng www.toantrunghoc.com  /  0  3m  13  0 2   13  S  0    m7.  21  3m  0 3 P  0  2   x 2  y 2  4 x  4 y  10 Ví dụ 4. Tìm điều kiện m để hệ phương trình  có nghiệm thực. xy ( x  4)( y  4)  m  GIẢI  x 2  y 2  4 x  4 y  10 ( x 2  4 x)  ( y 2  4 y)  10   2  . xy( x  4)( y  4)  m ( x  4 x)( y 2  4 y)  m    Đặt u  ( x  2)  0, v  ( y  2)2  0 . Hệ phương trình trở thành: 2 u  v  10 S  10   (S = u + v, P = uv). uv  4(u  v)  m  16  P  m  24  S 2  4P  Điều kiện  S  0  24  m  1 . P  0  BÀI TẬP Giải các hệ phương trình sau  x  y  xy  5 x  1 x  2  . Đáp số:  1.  2 . y  2 y 1 x  y 2  xy  7   x  1  x  3 x   3  x 2  xy  y 2  3     . Đáp số:  2.  . y  1  y   3  y  3 2 x  xy  2 y  3      x  y  2 xy  2 x  2 x  0  . Đáp số:  3.  3 . y  0 y  2 x  y  8 3  x  1  x  2  x3  y 3  7  . Đáp số: 4.   . y  2  y  1 xy ( x  y )  2    1  37  1  37 x  x   x  y  2 xy  5  x  2  x  1   4 4    . Đáp số:  5.  2 .  y  1  y  2  x  y  xy  7 1  37  1  37 2  y  y    4 4 Phần Mềm Toán ,... Trang 4 www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu -
Đoàn Vương Nguyên Chuyên đề Hệ phương trình đối xứng www.toantrunghoc.com  1 ( x  y )(1  xy )  5 7  3 5  x  1  x  1  73 5   x  x      73 5   .Đs:  6.  73 5 . 2 2 y y 1 ( x  y )(1   y  1  y  1   )  49 2 2     2 2  22  xy  x y  y x  30 x  4 x  9   . Đáp số:  7.  . y  9 y  4 x x  y y  35   x y 7   1  x  4 x  9  (chú ý điều kiện x, y > 0). Đáp số:  8.  y x xy . y  9 y  4   x xy  y xy  78   2( x  y )  3 3 x 2 y  3 xy 2 x  8  x  64   . Đáp số:  9.  . y  64  y  8   x  3 y 6 3   x2  y 2  z 2  8 10. Cho x, y, z là nghiệm của hệ phương trình  . xy  yz  zx  4  8 8 Chứng minh   x, y, z  . 3 3 HƯỚNG DẪN GIẢI  x2  y 2  8  z 2 ( x  y )2  2 xy  8  z 2 Hệ phương trình     xy  z ( x  y )  4  xy  z ( x  y )  4 ( x  y )2  2[4  z ( x  y )]  8  z 2 ( x  y )2  2 z ( x  y )  ( z 2  16)  0    xy  z ( x  y )  4  xy  z ( x  y )  4  x  y  4  z  x  y  4  z   . xy  ( z  2)2  xy  ( z  2)2  Do x, y, z là nghiệm của hệ nên: (4  z )2  4( z  2)2 8 8 ( x  y )  4 xy    z . 2 (4  z )  4( z  2) 2 2 3 3 8 8 Đổi vai trò x, y, z ta được   x, y, z  . 3 3  1  1  x  1  y 1 x      11.  16   16  2 . Đáp số:   . 2 1 x  y  1 y     2 2 sin  ( x  y ) 1  12.  2 2( x  y )  1 2  Phần Mềm Toán ,... Trang 5 www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu -
Đoàn Vương Nguyên Chuyên đề Hệ phương trình đối xứng www.toantrunghoc.com HƯỚNG DẪN GIẢI Cách 1: sin ( x  y)  0  x  y  2sin ( x y )  1  (1)  2  2 2 2( x  y )  1 2( x  y )  1 2( x  y )  1 (2) 2 2 2  2 2 1 2 x  x  1 2  2 2  2  x y 2. (2)  x 2  y 2     2 2 1  2 2 y   y  22   2 x  y  0 (1)   thế vào (2) để giải.  x  y  1 Cách 2: Đặt S = x + y, P = xy. Hệ trở thành: S  2sin S   1    . 2( S  2 P)  1 4 P  2S  1 2 2  Từ điều kiện S 2  4 P ta suy ra kết quả tương tự.  1 1  1 1 x  2 x   2 x  2 x   2        Hệ có 4 nghiệm phân biệt  . 1 1 1 1 y  y y y  2 2 2     2 Tìm điều kiện của m để các hệ phương trình thỏa yêu cầu  x 2  xy  y 2  m  6 1. Tìm m để hệ phương trình  có nghiệm thực duy nhất. 2 x  xy  2 y  m  HƯỚNG DẪN GIẢI Hệ có nghiệm duy nhất suy ra x = y, hệ trở thành: 3x 2  m  6 2 3x  6  m  m  3   2  2 . x  4 x  m  x  4 x  3x 2  6  m  21     x  xy  y 2  3 ( x  y )2  xy  3 2  + m = – 3:  2( x  y )  xy  3 2( x  y )  xy  3   x  y  0  x  y  2  x  3  x   3  x  1        (loại).  xy  3  xy  1  y  1 y   3 y  3    x 2  xy  y 2  27 ( x  y )2  xy  27  + m = 21:  2 x  xy  2 y  21 2( x  y )  xy  21  Phần Mềm Toán ,... Trang 6 www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu -
Đoàn Vương Nguyên Chuyên đề Hệ phương trình đối xứng www.toantrunghoc.com  x  y  8  x  y  6  x  3    (nhận). xy  37 xy  9 y 3    Vậy m = 21.  x  xy  y  m  1 2. Tìm m để hệ phương trình:  2 có nghiệm thực x > 0, y > 0. x y  xy 2  m  HƯỚNG DẪN GIẢI  x  xy  y  m  1 ( x  y )  xy  m  1 x  y  1 x  y  m    2 .  xy ( x  y )  m  xy  m  xy  1  x y  xy  m 2 m  0 1 Hệ có nghiệm thực dương    0 m  m 2. 1  4m  m  4 2 4 1 Vậy 0  m   m  2 . 4  x  y m  3. Tìm m để hệ phương trình  có nghiệm thực. x  y  xy  m   HƯỚNG DẪN GIẢI  x  y m  x  y m  x  y m       m2  m .   2  x  y  xy  m  x  y  3 xy  m  xy     3 m2  m Suy ra x , y là nghiệm (không âm) của phương trình t  mt   0 (*). 2 3   /  0  m 2  4m  0 m  0   Hệ có nghiệm  (*) có 2 nghiệm không âm   S  0  m  0  . 1  m  4 P  0 m 2  m  0   Vậy m  0  1  m  4 .  x 2  y 2  2(1  m)  4. Tìm m để hệ phương trình  có đúng 2 nghiệm thực phân biệt. ( x  y )  4 2  HƯỚNG DẪN GIẢI  x 2  y 2  2(1  m) ( x  y )2  2 xy  2(1  m)  xy  1  m  xy  1  m       .  x  y  2  x  y  2 ( x  y )  4 ( x  y )  4 2 2   Hệ có đúng 2 nghiệm thực phân biệt khi  2   4(1  m)  m  0 . 2  x  y  2m  1 5. Cho x, y là nghiệm của hệ phương trình  2 . Tìm m để P = xy nhỏ x  y 2  m 2  2m  3  nhất. Phần Mềm Toán ,... Trang 7 www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu -
Đoàn Vương Nguyên Chuyên đề Hệ phương trình đối xứng www.toantrunghoc.com HƯỚNG DẪN GIẢI Đặt S  x  y, P  xy , điều kiện S 2  4 P.  x  y  2m  1 S  2m  1  2 2  x  y  m  2 m  3  S  2 P  m  2m  3 2 2 2  S  2m  1  S  2m  1    32 (2m  1)  2 P  m  2m  3  P  m  3m  2 2 2  2 4 2 4 2 Từ điều kiện suy ra (2m  1)2  6m2  12m  8  m . 2 2 4 2 4 2 3 Xét hàm số f (m)  m2  3m  2, m . 2 2 2  4  2  11  6 2 4  2 4  2  Ta có min f (m)  f   , m    ; 2 4 2 2 11  6 2 4 2 Vậy min P  m . 4 2 WWW.TOANTRUNGHOC.COM Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán ,... Phần Mềm Toán ,... Trang 8 www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu -
Đoàn Vương Nguyên Chuyên đề Hệ phương trình đối xứng www.toantrunghoc.com HỆ PHƢƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI II CHUYÊN ĐỀ  f(x,y) = 0 1. Dạng 1:  (đổi vị trí x và y cho nhau thì phƣơng trình này trở thành phƣơng  f(y,x) = 0 trình kia) Phƣơng pháp giải chung Cách giải 1 Trừ hai phương trình cho nhau, đưa về phương trình tích, giải x theo y (hay ngược lại) rồi thế vào một trong hai phương trình của hệ.  x3  2 x  y (1)  Ví dụ 1. Giải hệ phương trình  3 .  y  2 y  x (2)  Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được : x3  y3  3x  3 y  0  ( x  y)( x 2  y 2  xy  3)  0   2 y  3y2  ( x  y )  x     3  0  y  x  2  4   Thế y = x vào (1) hoặc (2) ta được : x  x  0  x  0 3 x  0 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất  . y0   2 x  3  4  y  4 (1)  Ví dụ 2. Giải hệ phương trình   2 y  3  4  x  4 (2)  3  2  x  4  Điều kiện:  . 3   x  4 2  Trừ (1) và (2) ta được:    (2 x  3)  (2 y  3) (4  y)  (4  x) 2x  3  2 y  3  4  y  4  x  0   0 2x  3  2 y  3 4 y  4 x   2 1  ( x  y)   0 x y.  2x  3  2 y  3 4 y  4 x    Thay x = y vào (1), ta được : 2 x  3  4  x  4  x  7  2 (2 x  3)(4  x)  16 9  x  0 11  2 2 x 2  5 x  12  9  x   2  x  3 x  (nhận). 9 x  38 x  33  0  9  11 x x  3   9  Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt  .  y  3  y  11   9 www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán ,... Trang 9
Đoàn Vương Nguyên Chuyên đề Hệ phương trình đối xứng www.toantrunghoc.com Cách giải 2 (nên dùng khi cách 1 không giải đƣợc) Cộng và trừ lần lượt hai phương trình đưa về hệ phương trình mới tương đương gồm hai phương trình tích (thông thường tương đương với 4 hệ phương trình mới).  x3  2 x  y (1)  Ví dụ 3. Giải hệ phương trình  3  y  2 y  x (2)   x3  2 x  y ( x  y )( x 2  xy  y 2  1)  0    Trừ và cộng (1) với (2), ta được :  3 y  2y  x ( x  y )( x  xy  y  3)  0 2 2   x  y  0 x  y  0 x  y  0  x 2  xy  y 2  1    2  2  2  x  y  0  x  xy  y  3  x  xy  y  1  x  xy  y  3 2 2 2  x  y  0 x  0  + x  y  0 x  0 x  3 x   3 x  y  0 y  x    2   + 2  x  xy  y  3  x  3  y  3  y   3 2   x  y  0  y  x  x  1  x  1  2   + 2 y  1  y  1 x  xy  y 2  1  x  1    xy  1  x 2  xy  y 2  1  xy  1 x  1  x  1   2    + 2  x  xy  y  3  x  y  2  x  y  0  y  1  y  1 2 2  Vậy hệ phương trình có 5 nghiệm phân biệt: x  3 x   3  x  0  x  1  x  1        .  x  0  y  1  y  1  y  3  y   3   Cách 3. Sử dụng hàm số đơn điệu để suy ra x = y  2 x  3  4  y  4 (1)  Ví dụ 4. Giải hệ phương trình   2 y  3  4  x  4 (2)  3  2  x  4  Điều kiện:  . 3   x  4 2  2 x  3  4  x  2 y  3  4  y (3) Trừ (1) và (2) ta được : 3  Xét hàm số f (t )  2t  3  4  t , t   ; 4  , ta có: 2  3  1 1 f / ( x)    0, t    ; 4   (3)  f ( x)  f ( y)  x  y . 2t  3 2 4  t 2  Phần Mềm Toán ,... Trang 10 www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu -
Đoàn Vương Nguyên Chuyên đề Hệ phương trình đối xứng www.toantrunghoc.com Thay x = y vào (1), ta được: 2 x  3  4  x  4  x  7  2 (2 x  3)(4  x)  16 11  2 2 x 2  5 x  12  9  x  x  3  x  (nhận). 9  11 x x  3   9  Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt  . y 3   11 y   9 x  2x  y  3 Ví dụ 5. Giải hệ phương trình  3 . y  2y  x   Xét hàm số f (t )  t  2t  f (t )  3t 2  2  0, t  . 3 /  f ( x)  y (1) Hệ phương trình trở thành  . f ( y )  x (2)  + Nếu x  y  f ( x)  f ( y)  y  x (do (1) và (2) dẫn đến mâu thuẩn). + Nếu x  y  f ( x)  f ( y)  y  x (mâu thuẩn). Suy ra x = y, thế vào hệ ta được x3  x  0  x  0. x  0 Vậy hệ có nghiệm duy nhất  . y0  Chú ý: Khi gặp hệ phương trình đối xứng loại II dạng 1, ta nên giải cách 1. Nếu giải không được mới nghĩ đến cách 2 và 3, nếu vẫn không giải được thì quay trở về đề bài và tìm điều kiện chính xác rồi giải lại cách 1!  x2  2 3 x  y 2  Ví dụ 6 (trích đề thi ĐH khối B – 2003). Giải hệ phương trình:  3 y  y  2 2   x2 x  0 Nhận xét từ hệ phương trình ta có  . Biến đổi: y0   x2  2 3x  y 2 3xy 2  x 2  2 (1)    2  3 yx  y  2 (2) 3 y  y  2 2  2   x2 Trừ (1) và (2) ta được : ( x  y)(3xy  x  y)  0  x  y (3xy  x  y  0). Với x  y : (1)  3x3  x 2  2  0  ( x  1)(3x2  2x  2)  0  x  1. Phần Mềm Toán ,... Trang 11 www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu -
Đoàn Vương Nguyên Chuyên đề Hệ phương trình đối xứng www.toantrunghoc.com x  1 Vậy hệ có 1 nghiệm  . y 1   f(x,y) = 0 2. Dạng 2:  , trong đó chỉ có 1 phƣơng trình đối xứng  g(x,y) = 0 Phƣơng pháp giải chung Cách giải 1 Đưa phương trình đối xứng về dạng tích, giải y theo x rồi thế vào phương trình còn lại.  1 1  x  x  y  y (1) Ví dụ 1. Giải hệ phương trình  . 2 x 2  xy  1  0 (2)  Điều kiện: x  0, y  0 . Ta có:  1 1 (1)  ( x  y ) 1    0  y  x  y   .  xy  x + Với y = x: (2)  x2  1  0  x  1 . 1 + Với y   : (2) vô nghiệm. x  x  1  x  1  Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt  . y  1  y  1  Cách giải 2 (nên dùng khi cách 1 không giải đƣợc) Đưa phương trình đối xứng về dạng f ( x)  f ( y)  x  y với hàm f đơn điệu.  x  y  cos x  cos y (1) Ví dụ 2. Giải hệ phương trình  2 .  x y  3 y  18  0 (2) Tách biến phương trình (1), ta được : (1)  x  cos x  y  cos y (3). Xét hàm số f (t )  t  cos t  f / (t )  1  sin t  0, t  . Suy ra (3)  f ( x)  f ( y)  x  y . Thay x = y vào (2), ta được : x3  3x  18  0  ( x  3)( x2  3x  6)  0  x  3. x  3 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất  . y 3  Chú ý:  1 1  x  x  y  y (1) Cách giải sau đây sai:  . 2 x  xy  1  0 (2) 2  Điều kiện: x  0, y  0 . Phần Mềm Toán ,... Trang 12 www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu -
Đoàn Vương Nguyên Chuyên đề Hệ phương trình đối xứng www.toantrunghoc.com 1 1 Xét hàm số f (t )  t  , t  \ {0}  f / (t )  1  2  0, t  \ {0} . t t Suy ra (1)  f ( x)  f ( y)  x  y ! Sai do hàm số f(t) đơn điệu trên 2 khoảng rời nhau (cụ thể f(–1) = f(1) = 0). BÀI TẬP Giải các hệ phƣơng trình sau  x 2  xy  x  2 y 2 x  3y  2  0 x  1 x  2   . Đáp số:  . Đáp số: 2)  2 1)  2 . y 1 y  2  y  xy  y  2 x  y  3x  2  0    3 x x  0   2   . y  0 y  3   2  x 1  y  7  4  x 1  y  2  3 x  8 x  3   . Đs:  . Đs:  3)  4)  . . y 8 y 3  y 1  x  7  4  y 1  x  2  3      x3 2 y 3  x2 y  4  y 2  x  1  x  2 x  2    . Đáp số:  . Đs:  5)  . 6)  2 . y  1  y  2 y2  xy  4  x y3 2 x 3   2    2 1 2x  y   x  0 x  3 x   3 x  x  2 y x  1  3    y   . Đs:  . Đs:  7)  3 . 8)  . y  0 y  3 y   3 y 1 y  y  2x     2 y 2  x  1     x  3 2 x  y   x3  x 2  x  1  2 y x  1  x  1  x  1   x2  . Đs: . Đs: 10)  3 9)    . . y 1  y  1  y  1  y  y  y  1  2x 3 2  2 y  x   y2   1 1 x  y  (1) 11) (trích đề thi ĐH khối A – 2003)  x y .  2 y  x  1 (2) 3  Hƣớng dẫn giải Điều kiện: x  0, y  0.  1 x y 1 (1)  x  y   0  ( x  y ) 1    0  x  y  y   .  xy  xy x 1  5 (2)  x  1  x  + Với x  y : . 2 Phần Mềm Toán ,... Trang 13 www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu -
Đoàn Vương Nguyên Chuyên đề Hệ phương trình đối xứng www.toantrunghoc.com 1 + Với y   : (2)  x 4  x  2  0. x 1 Xét hàm số f ( x)  x 4  x  2  f / ( x)  4 x3  1  0  x  . 3 4  1  3 f  3   2  3  0, lim    f ( x)  0, x   x4  x  2  0 vô nghiệm.  4 x 44 Cách khác: + Với x  1  x  2  0  x4  x  2  0 . + Với x  1  x 4  x   x  x 4  x  2  0 . Suy ra (2) vô nghiệm.  1  5  1  5 x  x  x  1   2 2   Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm phân biệt  . y 1  1  5  1  5  y  y    2 2  x  sin y (1) 12)   y  sin x (2) Hƣớng dẫn giải Trừ (1) và (2) ta được : x  y  sin y  sin x  x  sin x  y  sin y (3). Xét hàm số f (t )  t  sin t  f / (t )  1  cos t  0, t  . (3)  f ( x)  f ( y)  x  y  (1)  x  sin x  0 (4). Xét hàm số g ( x)  x  sin x  g / ( x)  1  cos x  0, x   (4) có không quá 1 nghiệm. x  0 Do g (0)  0  (4)  x  0. Vậy hệ có 1 nghiệm  . y  0 WWW.TOANTRUNGHOC.COM Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán ,... Phần Mềm Toán ,... Trang 14 www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu -

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

EXAM.06: Bộ 240 Đề Thi Thử THPT Quốc Gia 2023

240 tài liệu

1115 lượt tải

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.