zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

» Môi trường

Cơ học môi trường liên tục và lý thuyết đàn hồi

Chia sẻ: Nguyen Hoang Huu | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:0

Báo xấu

212
lượt xem 57
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong chương trình đào tạo các ngành có liên quan đến cơ học ở các trường đại học và các viện nghiên cứu chúng ta đã làm quen với những môn học cụ thể sức bền vật liệu, cơ học kết cấu, cơ học chất lỏng, chất khí, thủy lực....Các môn học này được trình bày một cách độc lập, đôi phần trùng lặp về khái niệm kiến thức, lại không nêu được những quan điểm chung về mặt cơ học và vật lý đối với các đối tượng nghiên cứu...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Cơ học môi trường liên tục và lý thuyết đàn hồi

Cơ sở Cơ học Môi trường liên tục & Lý thuyết đàn hồi Chương 1 PhongThang Download: http://congtrinhngam.tk 1 Mở đầu - C¸c kh¸i niÖm chung 1.1. Mở đầu Trong chương trình đào tạo các ngành có liên quan đến cơ học ở các trường đại học và các viện nghiên cứu chúng ta đã làm quen với những môn học cụ thể: sức bền vật liệu, cơ học kết cấu, cơ học chất lỏng, chất khí, thuỷ lực, … Các môn học này được trình bày một cách độc lập, đôi phần trùng lặp về khái niệm và kiến thức, lại không nêu được những quan điểm chung về mặt cơ học và vật lý đố với các đối tượng nghiên cứu. Môn cơ học môi trường liên tục được đưa vào giảng dạy nhằm trang bị cho người học những nguyên lý và qui luật cơ học chung, những phương pháp chung nhất để giải quyết các bài toán cơ học một cách tổng quát. Lý thuyết đàn hồi là một ngành cơ học nghiên cứu về chuyển dịch, biến dạng và ứng suất xuất hiện trong các vật rắn biến dạng ở trạng thái cân bằng hoặc chuyển động do tác dụng của các nguyên nhân ngoài. 1.1.1 Cơ học - Cơ học vật rắn tuyệt đối - Cơ học vật rắn biến dạng 1. Cơ học: Khoa học nghiên cứu về lực, chuyển động và quan hệ giữa chúng. • Chuyển động: tĩnh học • Tác động của lực lên hệ nghiên cứu: động học • Quan hệ lực – chuyển động: động lực học Cơ học: - Cơ học vật rắn tuyệt đối. - Cơ học vật rắn biến dạng 2. Cơ học vật rắn tuyệt đối (Cơ lý thuyết): chuyển động của chất điểm, các hệ chất điểm rời rạc và vật rắn tuyệt đối • Lực: ngoại lực. • Chuyển động: của vật thể so với hệ qui chiếu xác định – chuyển động thẳng của khối tâm và chuyển động quay quanh khối tâm. 3. Cơ học vật rắn biến dạng • Lực: Nội lực • Chuyển động: chuyển vị tương đối của các điểm trong vật thể, sự thay đổi hình dạng và kích thước hình học của vật thể. Tóm tắt bài giảng - Trần Minh Tú - Đại học Xây dựng
Cơ sở Cơ học Môi trường liên tục & Lý thuyết đàn hồi Chương 1 Cơ học vật rắn biến dạng Lý thuyết đàn hồi, SBVL, CHKC, CH chất lỏng Lý thuyết dẻo Lý thuyết từ biến Cơ học phá huỷ Cơ học vật liệu Composite, ... 1.1.2 Cơ học môi trường liên tục Thừa hưởng những công cụ của cơ học lý thuyết nhưng không phải tất cả. Cơ học môi trường liên tục có hệ tiên đề hoá riêng của nó, có những phương pháp đặc thù để nghiên cứu tính chất của môi trường và phát triển các phương pháp toán học phục vụ cho nó. CHMTLT nghiên cứu các chuyển động vĩ mô của môi trường ở thể rắn, lỏng, khí (còn xét các môi trường đặc biệt khác như trường điện từ, bức xạ, trọng trường, …) - Lực: lực tương tác giữa các phần tử vật chất của vật thể - Chuyển động: chuyển vị của các phần tử vật chất, biến dạng. CHMTLT trang bị những nguyên lý, qui luật cơ học chung, những phương pháp tổng quát nhất để giải quyết các bài toán cơ học. Trong cơ học môi trường liên tục, vật thể được xem như môi trường vật chất lấp đầy liên tục một miền nào đấy, hoặc cả không gian. CHMTLT là môn khoa học khá rộng và phân nhánh gồm: lý thuyết đàn hồi, đàn nhớt, nhiệt đàn hồi, dẻo và từ biến, thủy động lực học, khí động lực, lý thuyết plasma, … Chúng ta chỉ nghiên cứu những khái niệm cơ bản nhất của Cơ học môi trường liên tục. 1.1.3 Lý thuyết đàn hồi Nghiên cứu trường chuyển vị, biến dạng, ứng suất xuất hiện trong VRBD ở trạng thái cân bằng hoặc chuyển động do tác dụng của lực ngoài hoặc các nguyên nhân khác. Đối tượng nghiên cứu: vật rắn biến dạng và đàn hồi tuyệt đối (tuân theo định luật thứ nhất của nhiệt động học về sự bảo toàn năng lượng của hệ cô lập). SBVL: xét ứng suất, biến dạng, chuyển vị của thanh bằng cách đưa vào các giả thiết có tính chất kinh nghiệm nhằm đơn giản hoá cách đặt các bài toán, các kết quả nhận được dễ ứng dụng trong thực tế ( bài toán một chiều). LTĐH: Nghiên cứu thanh, tấm, vỏ,..các vật thể có kích thước hai, ba chiều. Cách đặt vấn đề chặt chẽ và chính xác hơn về mặt toán học. Xây dựng các phương pháp tổng quát hơn để giải quyết các bài toán do lý thuyết đặt ra. Ứng dụng: cơ sở cho tính toán về độ bền, dao động và ổn định trong chế tạo máy, trong xây dựng, và các ngành khoa học khác. Lý thuyết đàn hồi tuyến tính: xây dựng trên quan hệ tuyến tính ứng suất - biến dạng. Lý thuyết đàn hồi phi tuyến: xây dựng trên quan hệ phi tuyến tính ứng suất - biến dạng (phi tuyến vật lý). Tóm tắt bài giảng - Trần Minh Tú - Đại học Xây dựng
Cơ sở Cơ học Môi trường liên tục & Lý thuyết đàn hồi Chương 1 1.2. Các khái niệm chung 1.2.1 Môi trường liên tục Bản chất phân tử của cấu trúc vật chất đã được biết, nhưng trong nghiên cứu về trạng thái của vật liệu, điều quan trọng không phải là trạng thái của các phần tử riêng biệt mà là trạng thái đặc trưng chung cho vật liệu. Trong trường hợp này ta giả thiết vật chất phân bố liên tục trên thể tích và không có lỗ hổng. Như vậy: Có thể coi các môi trường vật chất thực: rắn, lỏng, khí là những môi trường liên tục Trường các đại lượng: ứng suất, biến dạng, chuyển vị, có thể biểu diễn bằng các hàm liên tục. Cần chính xác hoá khái niệm điểm, vì nó có thể là điểm không gian, và cũng có thể là điểm vật chất của môi trường liên tục. Để tránh nhầm lẫn ta dùng từ “điểm” để chỉ vị trí trong không gian cố định, còn ‘phần tử”, “hạt” hoặc chất điểm để chỉ vật chất chứa trong phân tố thể tích vô cùng bé của môi trường. 1.2.2 Môi trường đồng nhất và đẳng hướng Đồng nhất: có tính chất cơ học như nhau tại mọi điểm Đẳng hướng: tính chất cơ học tại một điểm là như nhau theo mọi phương Nghiên cứu một phần tử vật chất đại diện cho môi trường. Chọn hệ trục toạ độ nghiên cứu một cách tùy ý. 1.2.3 Mật độ khối lượng Là độ đậm đặc của vật chất trong môi trường Mật độ trung bình ∆m ρtb = ; ∆m là khối lượng của phân tố có thể tích ∆V ∆V Mật độ vật chất tại một điểm ∆m dm ρ = lim = ∆V →∞ ∆V dV Khối lượng vật chất trong toàn bộ thể tích V m = ∫ ρ dV Nếu môi trường có ρ = const : môi trường đồng nhất (V ) 1.2.4 Chuyển vị, biến dạng và sự chảy: 1. Chuyển vị: Khi chịu tác dụng của ngoại lực, môi trường thay đổi hình dạng, kích thước, các phần tử vật chất của môi trường chuyển dời vị trí - chuyển vị, véctơ chuyển vị u là vec tơ nối vị trí của phần tử ở thời điểm t=0 và thời điểm t đang xét. Chuyển vị u có ba hình chiếu u, v, w hoặc u1, u2, u3 lên 3 trục tọa độ. Tóm tắt bài giảng - Trần Minh Tú - Đại học Xây dựng
Cơ sở Cơ học Môi trường liên tục & Lý thuyết đàn hồi Chương 1 2. Biến dạng: Là sự thay đổi hình dáng và kích thước của môi trường ở thời điểm t=0 và thời điểm t đang xét khi chịu tác dụng của ngoại lực. Để xác định mức độ biến dạng người ta dùng biến dạng tỉ đối (biến dạng đơn vị). Phân loại biến dạng : biến dạng dài (ε), biến dạng góc (γ), biến dạng thể tích (θ). ε , γ , θ
Cơ sở Cơ học Môi trường liên tục & Lý thuyết đàn hồi Tóm tắt bài giảng 2 Một số khái niệm cơ bản về ten-xơ Trong chương này trình bày một số khái niệm cơ bản và các phép tính đối với ten-xơ để làm quen với công cụ toán học này trong khi nghiên cứu các vấn đề về Cơ học các môi trường liên tục và Lý thuyết đàn hồi. Trong cơ học, cũng như trong toán học và vật lý ta thường gặp các đại lượng có các tính chất khác nhau. • Đại lượng vô hướng: là những đại lượng mà với một đơn vị đo đã chọn nó được đặc trưng bằng một con số như: nhiệt độ, khối lượng, … • Đại lượng vec tơ : là đại lượng được đặc trưng bởi giá trị theo đơn vị đo, phương và chiều trong không gian xác định, chẳng hạn: lực, vận tốc, gia tốc của chất điểm, … • Đại lượng ten xơ: đặc trưng cho một trạng thái xác định nào đó của vật thể: trạng thái biến dạng, trạng thái ứng suất, … Ten xơ là một đại lượng tổng quát, mà các đại lượng vô hướng, đại lượng vec tơ là trường hợp riêng của nó. Các đại lượng ten xơ có đặc điểm chung là không phụ thuộc vào cách chọn hệ trục toạ độ khi mô tả chúng. 2.1. Ten xơ trong hệ toạ độ vuông góc (Descrates) 2.1.1. Hệ thống ký hiệu Hệ thống ký hiệu trong phép tính ten-xơ đóng vai trò quan trọng. Các ký hiệu đặc trưng bởi một hay nhiều chỉ số, chẳng hạn ai , a j , aijk , …Ta qui ước như sau: các chỉ số bằng chữ La tinh lấy các giá trị 1, 2, 3. Do đó ai biểu thị một trong ba phần tử a1 , a2 , a3 aij biểu thị một trong chín phần tử a11 , a12 , a13 , a21 , a22 , a23 , a31 , a32 , a33 aijk biểu thị một trong 27 phần tử a111 , a112 ,..., a333 Hệ thống các phần tử như ai chỉ phụ thuộc vào một chỉ số, gọi là hệ thống hạng nhất, bao gồm 3 phần tử; aij là hệ thống hạng hai bao gồm 32 phần tử. Tổng quát, hệ thống phụ thuộc vào 1 n chỉ số gồm 3n phần tử.
Cơ sở Cơ học Môi trường liên tục & Lý thuyết đàn hồi Tóm tắt bài giảng 2.1.2. Qui ước về chỉ số Trong một biểu thức, chỉ số lặp lại hai lần biểu thị tổng theo chỉ số đó từ 1 đến 3. Chỉ số như vậy gọi là chỉ số câm, ta có thể thay bằng chữ số khác. Thí dụ: ai bi = a1b1 + a2b2 + a3b3 = ak bk Chỉ số xuất hiện một lần gọi là chỉ số tự do, nó chạy từ 1 đến 3 Thí dụ, ai là hệ thống gồm a1 , a2 , a3 . 2.1.3. Hệ thống đối xứng và phản đối xứng Giả sử ta có hệ thống aij , nếu thay đổi chỗ của hai chỉ số cho nhau, các thành phần của hệ thống không thay đổi dấu và giá trị, tức là aij = a ji thì hệ thống này là hệ thống đối xứng. Mở rộng cho các hệ thống nhiều chỉ số, chẳng hạn aijk = aikj thì hệ thống aijk đối xứng theo hai chỉ số j, k. Kí hiệu Kronecker là trường hợp đặc biệt của hệ thống đối xứng 0 víi i ≠ j δ ij =  (2.1) 1 víi i = j Hệ thống aij là phản đối xứng khi aij = − a ji Ký hiệu Levi-Chivita eijk là hệ thống phản đối xứng với các thành phần như sau: 0 khi hai chỉ số bất kỳ bằng nhau eijk = 1 khi hai chỉ số lập thành hoán vị chẵn của 1, 2, 3 (2.2) -1 khi hai chỉ số lập thành hoán vị lẻ của 1, 2, 3 2.1.4 Trường vô hướng hay ten-xơ hạng không Trường vô hướng là một hàm vô hướng ϕ ( x1 , x2 , x3 , t ) của toạ độ các điểm trong miền không gian x1 , x2 , x3 xác định của hàm và t là tham số thời gian Gradient của trường vô hướng là một vec tơ có hướng mà hàm ϕ tăng nhanh nhất và có độ lớn bằng đạo hàm theo hướng đó ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ gradϕ = ∇ϕ = e1 + e2 + e3 (2.3) ∂x1 ∂x2 ∂x3 với ei là vec tơ đơn vị của hệ trục toạ độ Oxi ; Ký hiệu ∇ đọc là “nabla” Ý nghĩa hình học: gradϕ là một vec tơ vuông góc với mặt cho bởi phương trình ϕ = const . Vec tơ pháp tuyến đơn vị ν của mặt này tại một điểm nào đó trên bề mặt sẽ là ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ gradϕ ∂x1 ∂x2 ∂x3 ν= = e1 + e2 + e3 (2.4) gradϕ gradϕ gradϕ gradϕ
Cơ sở Cơ học Môi trường liên tục & Lý thuyết đàn hồi Tóm tắt bài giảng 2 2 2  ∂ϕ   ∂ϕ   ∂ϕ  Trong đó gradϕ =   +  +   ∂x1   ∂x2   ∂x3  Ký hiệu ∆ gọi là “toán tử Laplace” hay Laplacien với: ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∆ϕ = ∇∇ϕ = ∇ 2ϕ = + + (2.5) ∂x12 ∂x22 ∂x32 Ví dụ 2.1: Tìm vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng đi qua ba điểm A(a,0,0), B(0,b,0), C(0,0,c) cho trước trong hệ toạ độ vuông góc như trên hình 2.1 x2 b e2 O e1 a x1 e3 c x3 Hình 2.1 Bài giải: Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C là x1 x2 x3 x x x 1 1 1 + + = 1 => ϕ = 1 + 2 + 3 − 1 => gradϕ = e1 + e2 + e3 a b c a b c a b c Do vậy: 1 1 1 gradϕ a b c ν= = e1 + e2 + e3 gradϕ 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 +      + +      + +      + a b c a b c a b c bc ac ab ν= e1 + e2 + e3 a 2b 2 + b 2 c 2 + a 2 c 2 a 2b 2 + b 2 c 2 + a 2 c 2 a 2b 2 + b 2 c 2 + a 2 c 2 Khi a=b=c (mặt nghiêng đều với ba trục toạ độ) thì vec tơ pháp tuyến là ±1 ±1 ±1 ν= e1 + e2 + e3 3 3 3 2.1.5 Vec tơ hay ten-xơ hạng nhất 1. Các thành phần vec tơ
Cơ sở Cơ học Môi trường liên tục & Lý thuyết đàn hồi Tóm tắt bài giảng Các đại lượng vật lý: lực, vận tốc, gia tốc, …đặc trưng bởi trị số và hướng, biểu diễn trong không gian ba chiều bằng đoạn thẳng có hướng gọi là vec tơ. Vec tơ a bất kỳ trong không gian có thể biểu diễn bằng ba thành phần a1 , a2 , a3 của nó trên ba trục toạ độ (hình 2.2): x2 a2 a a1 O x1 a3 x3 Hình 2.2 a = a1 + a2 + a3 (2.6) hoặc a = a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 (2.7) trong đó ei là vec tơ đơn vị. Độ dài vec tơ a = a = a12 + a22 + a32 = ai2 (2.8) Cosin chỉ phương của các vec tơ là li ; i=1,2,3 với li = ai / a và l12 + l22 + l32 = 0 2. Các phép tính vec tơ (xem phần phụ lục hoặc giáo trình Toán) 3. Ma trận biến đổi hệ trục toạ độ Hệ trục toạ độ vuông góc ban đầu xi có các vec tơ đơn vị là ei xoay quanh gốc toạ độ O trở thành hệ trục vuông góc mới xi' với các vec tơ đơn vị là ei' (Hình 2.3) x2 x ' 2 a e2 e'2 O e1 e'3 x1 e3 e'1 x 3 ' x 1' x3 Hình 2.3 Các cosin chỉ phương cij là góc hợp bởi trục mới xi' và trục cũ xj :
Cơ sở Cơ học Môi trường liên tục & Lý thuyết đàn hồi Tóm tắt bài giảng cij = cos(xi' , x j ) = cos(ei' , ei ) = ei' .ei (2.10) Bảng cosin chỉ phương của hai hệ trục x1 x2 x3 x1' c11 c 11 c13 x2' c 21 c 22 c 23 x3' c 31 c 32 c 33 Các vec tơ đơn vị mới biểu diễn qua vec tơ đơn vị cũ bởi hệ thức:  e'  e  e   1   c11 c12 c13   1   1   '       e2  = c21 c22 c23  e2  = [C ] e2  (2.11)  '   c c c     e3   31 32 33  e3  e3  Các vec tơ đơn vị cũ biểu diễn qua vec tơ đơn vị mới bởi hệ thức: e   c ' c ' c '   e '   e'   1   11 12 13 1   '   1    ' ' '  ' e2  = c 21 c 22 c 23  e2  = [C '] e2  (2.12)    ' ' '  '   '  e3  c31 c32 c33  e3   e3  Ma trận các cosin chỉ phương [C] và [C’] là các ma trận trực giao và −1 T [ C '] = [ C ] = [C ] (2.13) T – là ký hiệu vec tơ chuyển trí x ' x2 ' x1 e2 e'1 e'2 θ O e1 x1 e3 = e'3 x 3 =x 3' Hình 2.4
Cơ sở Cơ học Môi trường liên tục & Lý thuyết đàn hồi Tóm tắt bài giảng Khi hệ trục toạ độ ban đầu Ox1 x2 x3 quay một góc θ ngược chiều kim đồng hồ quanh trục x3, tạo thành hệ trục toạ độ mới Ox1' x2' x3' như trên hình 2.4 lúc đó x3 ≡ x3' và ma trận biến đổi hệ trục toạ độ có dạng:  cos θ sin θ 0 [C ] =  − sin θ cos θ 0  (2.14)  0 0 1  Chú ý: Khi biến đổi hệ trục toạ độ bản thân vec tơ a không thay đổi nhưng các thành phần ai của nó biến đổi thành ai' trong hệ trục toạ độ mới 2.1.6 Ten xơ hạng hai: Là hệ thống aij gồm 32=9 thành phần. Ta gặp các ten xơ hạng hai khi nghiên cứu về trạng thái ứng suất, trạng thái biến dạng của môi trường liên tục, sự phân bố của mô men quán tính đối với các trục đi qua điểm bất kỳ thuộc vật thể rắn, … 2.1.7 Ten xơ hạng n: là hệ thống aijkl… gồm 3n thành phần 2.1.8 Các phép tính đại số ten xơ: xem phụ lục hoặc tài liệu tham khảo
Cơ sở Cơ học Môi trường liên tục & Lý thuyết đàn hồi Tóm tắt bài giảng 3 Lý thuyết về ứng suất 3.1. Định nghĩa về ứng suất Nội lực: Lượng thay đổi lực tương tác giữa các phần tử vật chất của vật thể khi có ngoạ lực tác dụng. Trên mặt cắt bất kỳ thuộc vật thể chịu lực, xét phân tố diện tích ∆A chứa điểm K đang xét. Giả sử ν là pháp tuyến ngoài của mặt cắt, ∆ P là hợp lực của nội lực trên bề mặt ∆A . Ứng suất toàn phần pν được định nghĩa: ∆P pν = lim (3.1) ∆A→ 0 ∆A Có thể phân tích vec tơ ứng suất toàn phần thành ba thành phần theo ba phương của hệ trụ toạ độ xi với các vec tơ đơn vị ei là pν 1 , pν 2 , pν 3 pν = pν 1 e1 + pν 2 e 2 + pν 3 e 3 (3.2) pν = pν21 + pν22 + pν23 (3.3) pν2 ν pν ν pν σνν K pν1 σνη x2 p K ν3 x1 x3 Hình 3.1 Thông thường ta lấy một trục toạ độ trùng với phương pháp tuyến của mặt cắt, thì ứng suất toàn phầnđược phân tích làm hai thành phần: ứng suất pháp σνν và ứng suất tiếp σνη : pν = σ νν + σ νη (3.4) pν = σνν2 + σνη2 (3.5)
Cơ sở Cơ học Môi trường liên tục & Lý thuyết đàn hồi Tóm tắt bài giảng Ứng suất tại một điểm phụ thuộc: - Toạ độ điểm - Phương pháp tuyến của mặt cắt. Ký hiệu ứng suất: chỉ số 1 – phương pháp tuyến; chỉ số 2 – phương của ứng suất Qui ước chiều dương của ứng suất khi: - Pháp tuyến ngoài của mặt cắt hướng theo chiều dương của một trục và chiều của ứng suất cũng hướng theo chiều dương của các trục tương ứng - Pháp tuyến ngoài của mặt cắt hướng theo chiều âm của một trục và chiều của ứng suất cũng hướng theo chiều âm của các trục tương ứng x2 P σ12 + σ12 dx1 σ13 x1 σ11 σ11 + σ11 dx 1 M x1 σ12 x1 K σ13 + σ13 dx1 x3 x1 Hình 3.3 Ứng suất trên các mặt vuông góc hệ trục toạ độ phụ thuộc vào toạ độ của điểm đang xét σ ik = σ ik ( x1 , x2 , x3 ) . Khi điểm thay đổi, ứng suất sẽ thay đổi. Ta xét hai điểm gần nhau K(x1,x2, x3) và M(x1+dx1, x2+dx2, x3+dx3) Tại K(x1,x2, x3) trên các mặt cắt ⊥ trục có hệ ứng suất σ ik = σ ik ( x1 , x2 , x3 ) . Tại M(x1+dx1, x2+dx2, x3+dx3) có hệ ứng suất tương ứng ∂σ ik ∂σ ∂σ σ ik* = σ ik ( x1 , x2 , x3 ) + dx1 + ik dx2 + ik dx3 ∂x1 ∂x2 ∂x3 3.2. Điều kiện cân bằng 3.2.1. Đặt vấn đề: Cho vật thể có thể tích V, diện tích bề mặt S chịu tác dụng của ngoại lực gồm: • Lực bề mặt (là lực phân bố trên diện tích) có cường độ f * với hình chiếu lên 3 trục toạ độ x1 , x2 , x3 : f i* ( f1* , f 2* , f 3* ) • Lực thể tích là những lực phân bố trong thể tích vật thể, có cường độ f với hình chiếu lên 3 trục tọa độ x1 , x2 , x3 là f1 , f 2 , f3 . Khi vật thể ở trạng thái cân bằng ⇒ Các phân tố thoả mãn điều kiện cân bằng.
Cơ sở Cơ học Môi trường liên tục & Lý thuyết đàn hồi Tóm tắt bài giảng Chia nhỏ vật thể thành các phân tố bởi các mặt song song mặt phẳng toạ độ, nhận được các phân tố hình hộp chữ nhật (phân tố loại 1 - nằm bên trong S) và các phân tố hình tứ diện (phân tố loại 2 - nằm sát mặt ngoài S) S V Hình 3.4 3.2.2. Phương trình vi phân cân bằng Navier-Cauchy (Điều kiện cân bằng phân tố loại 1) Lực tác động lên phân tố gồm: - Ngoại lực: lực thể tích cường độ fi - Nội lực: các thành phần ứng suất trên 6 bề mặt phân tố Trên các mặt đi qua điểm M có toạ độ xi có các thành phần ứng suất: - Mặt cắt ⊥ x1: σ 11 σ 12 σ 13 - Mặt cắt ⊥ x2: σ 21 σ 22 σ 23 - Mặt cắt ⊥ x3: σ 31 σ 32 σ 33 Trên các mặt lân cận (xi+dxi): dùng khai triển Taylor (bỏ qua vô cùng bé bậc cao)(hình 3.3): ∂σ ik ∂σ ik σ ik ( xi + dxi ) = σ ik ( xi ) + dxi ; σ ik ( yi + dyi ) = σ ik ( yi ) + dyi (3.6) ∂xi xi ∂yi yi Lấy tổng hình chiếu các lực lên các phương x1, x2, x3 ta nhận được hệ phương trình cân bằng: ∂σ 11 ∂σ 21 ∂σ 31  d 2u  ∑ X1 = 0 ⇒ ∂x1 + ∂x2 + ∂x3 = 0  ρ 21   dt  ∂σ 12 ∂σ 22 ∂σ 32  d 2 u2  ∑ X 2 = 0 ⇒ ∂x + ∂x + ∂x = 0  ρ dt 2  (3.7) 1 2 3   ∂σ 31 ∂σ 32 ∂σ 33  d 2u  ∑ X3 = 0 ⇒ ∂x1 + ∂x2 + ∂x3 = 0  ρ 23   dt  Trong trường hợp cân bằng động thì vế phải trong (3.7) là lực quán tính (trong ngoặc - ρ là khối lượng riêng)
Cơ sở Cơ học Môi trường liên tục & Lý thuyết đàn hồi Tóm tắt bài giảng 3.2.3.Định luật đối ứng của ứng suất tiếp Từ phương trình cân bằng mô men với ba trục toạ độ ta có định luật đối ứng của ứng suất tiếp: σ ij = σ ji (3.8) 3.2.4. Điều kiện biên theo ứng suất (điều kiện cân bằng của phân tố loại 2) ( ) Mặt nghiêng ABC có pháp tuyến ngoài ν với các cosin chỉ phương li = cos ν , xi x2 x2 C σ13 ν σ13 p f * ν2 ν σ11 2 σ11 * p σ12 f3* f1 B σ12 p ν3 ν1 x1 x1 σ23 σ23 A σ21 σ22 σ21 σ22 x3 x3 Hình 3.5 Hình 3.6 Xét cân bằng phân tố tứ diện, phương trình tổng hình chiếu các lực tác dụng theo phương trục xi cho ta (hình 3.5): σ 11l1 + σ 12 l2 + σ 13 l3 = f1* σ 21l1 + σ 22 l2 + σ 23 l3 = f2* (3.9) σ 31l1 + σ 32 l2 + σ 33l3 = f3* Cơ học: Hệ phương trình (3.7) và (3.9) là điều kiện cân bằng của toàn thể môi trường Toán học: Hệ (3.7) là hệ phương trình vi phân với các ẩn số ứng suất, (3.9) là điều kiện biên để xác định các hằng số tích phân của phương trình vi phân. 3.3. Ứng suất trên mặt cắt nghiêng Cân bằng phân tố tứ diện như ở 3.2.4, chỉ khác là trên mặt cắt nghiêng có các thành phần ứng suất là pν 1 , pν 2 , pν 3 . Pháp tuyến ν của mặt cắt nghiêng có các cosin chỉ phương là li. 3.3.1.Ứng suất toàn phần Hình chiếu của ứng suất toàn phần lên các trục xi: σ 11l1 + σ 21l2 + σ 31l3 = pν 1 σ 12 l1 + σ 22 l2 + σ 32 l3 = pν 2 (3.10) σ 13l1 + σ 23 l2 + σ 33 l3 = pν 3
Cơ sở Cơ học Môi trường liên tục & Lý thuyết đàn hồi Tóm tắt bài giảng Hay dưới dạng ma trận:  pν 1  σ 11 σ 21 σ 31   l1   p  = σ    ν 2   12 σ 22 σ 32  l2  (3.11)  pν 3  σ 13 σ 23 σ 33   l3  Giá trị ứng suất toàn phần: pν = pν21 + pν22 + pν23 (3.12) 3.3.2. Ứng suất pháp và ứng suất tiếp Ứng suất pháp là tổng hình chiếu của các thành phần pν 1 , pν 2 , pν 3 lên pháp tuyến ν σνν = pν 1l1 + pν 2 l2 + pν 3l3 Để ý đến (3.10) ta có σνν = σ 11l12 + σ 22 l22 + σ 33l32 + 2 (σ 12 l1l2 + σ 13l1l3 + σ 23l2 l3 ) (3.13) Ứng suất tiếp: σνη = pν2 − σνν2 (3.14) 3.4. Trạng thái ứng suất – Tenxơ ứng suất 3.4.1. Trạng thái ứng suất Trạng thái ứng suất tại một điểm là tập hợp tất cả những thành phần ứng suất trên tất cả các mặt cắt đi qua điểm đó. Ứng suất phụ thuộc vào: vị trí điểm đang xét và phương pháp tuyến của mặt cắt. Trạng thái ứng suất chỉ phụ thuộc vào vị trí điểm đang xét. Như vậy trạng thái ứng suất đặc trưng cho tình trạng chịu lực tại các điểm khác nhau của môi trường. 3.4.2. Ứng suất khi biến đổi hệ trục toạ độ Hệ trục xi xoay quanh gốc toạ độ và trở thành hệ trục xi' , các cosin chỉ phương của góc giữa trục mới xi' và trục cũ xi là cij . ứng suất σ ij' trong hệ trục mới xi' : σ ij' = cik c jlσ kl 3.4.3. Tenxơ ứng suất Trạng thái ứng suất đặc trưng bởi 9 thành phần ứng suất σ ij trên các mặt cắt vuông góc với các trục toạ độ là một ten xơ hạng hai và gọi là ten xơ ứng suất
Cơ sở Cơ học Môi trường liên tục & Lý thuyết đàn hồi Tóm tắt bài giảng σ 11 σ 12 σ 13  Tσ = σ 21 σ 22 σ 23  (3.15) σ 31 σ 32 σ 33  3.4.4. Tenxơ lệch ứng suất và tenxơ cầu ứng suất Tenxơ ứng suất có thể phân tích thành tenxơ lệch ứng suất Dσ và tenxơ cầu ứng suất Tσ 0 Tσ = Dσ + Tσ 0 (3.16) Trong đó: σ 11 − σ tb σ 12 σ 13  σ tb 0 0  Dσ =  σ 21 σ 22 − σ tb σ 23  và Tσ 0 =  0 σ tb 0    (3.17)  σ 31 σ 32 σ 33 − σ tb   0 0 σ tb  Tenxơ cầu ứng suất chỉ gây nên biến dạng thể tích, trong khi ten xơ lệch ứng suất chỉ gây nên biến đổi hình dáng. 3.5. Mặt chính – Phương chính – ứng suất chính Mặt chính là mặt có ứng suất tiếp bằng 0. Phương chính: phương pháp tuyến của mặt chính Ứng suất chính: ứng suất pháp trên mặt chính Giả sử phương chính ν có các cosin chỉ phương trong hệ toạ độ xi là li, ứng suất chính là σ . Vì mặt chính có ứng suất tiếp bằng 0, nên ứng suất toàn phần pν có phương trùng với pháp tuyến ν và có giá trị bằng σ , do đó hình chiếu pν i trên các trục của ứng suất toàn phần sẽ là: pν i = σ li (3.18) Thay (3.18) vào hệ phương trình ứng suất trên mặt cắt nghiêng (σ 11 − σ ) l1 + σ 21l2 + σ 31l3 = 0 σ 12 l1 + (σ 22 − σ ) l2 + σ 32 l3 = 0 (3.19) σ 13l1 + σ 23l2 + (σ 33 − σ ) l3 = 0 Điều kiện để (3.19) không có nghiệm tầm thường thoả mãn điều kiện l12 + l22 + l32 = 1 (3.20) σ 11 − σ σ 21 σ 31 là: σ 12 σ 22 − σ σ 32 = 0 (3.21) σ 13 σ 23 σ 33 − σ hoặc: σ 3 − I1σ 2 + I2σ − I3 = 0 (3.22)
Cơ sở Cơ học Môi trường liên tục & Lý thuyết đàn hồi Tóm tắt bài giảng trong đó I1 = σ 11 + σ 22 + σ 33 σ 11 σ 21 σ 22 σ 32 σ 11 σ 31 I2 = + + (3.24) σ 12 σ 22 σ 23 σ 33 σ 13 σ 33 σ 11 σ 21 σ 31 I3 = σ 12 σ 22 σ 32 σ 13 σ 23 σ 33 Phương trình (3.22) luôn có ba nghiệm là 3 ứng suất chính, theo qui ước σ 1 > σ 2 > σ 3 . Lần lượt thay các ứng suất chính này vào hai trong ba phương trình (3.19), kết hợp với phương trình (3.20) ta nhận được các cosin chỉ phương của các ứng suất chính tương ứng. Chẳng hạn để tìm phương chính tương ứng với ứng suất chính σ 1 ta phải giải hệ 3 trong 4 phương trình sau: (σ 11 − σ 1 ) l1 + σ 21l2 + σ 31l3 = 0 σ 12 l1 + (σ 22 − σ 1 ) l2 + σ 32 l3 = 0 σ 13l1 + σ 23l2 + (σ 33 − σ 1 ) l3 = 0 l12 + l22 + l32 = 1 3.6. Ứng suất tiếp cực trị Vị trí mặt có ứng suất tiếp cực trị là những mặt có pháp tuyến nghiêng góc 450 so với các trục ứng suất chính. 1 σ1 − σ 2 2 σ2 −σ3 3 σ1 − σ 3 τ max = ; τ max = ; τ max = (3.25) 2 2 2 3.7. Cường độ ứng suất Cường độ ứng suất là một trị số tỉ lệ với căn bậc hai của bất biến thứ hai của tenxơ lệch ứng suất + Cường độ ứng suất tiếp τ i = I2 ( Dσ ) (3.26a) 1 2 2 2 τi = (σ 1 − σ 2 ) + (σ 2 − σ 3 ) + (σ 3 − σ 1 ) (3.26b) 6 + Cường độ ứng suất pháp σ i = 3 I2 ( Dσ ) (3.27a) 2 2 2 2 σi = ( σ 1 − σ 2 ) + (σ 2 − σ 3 ) + ( σ 3 − σ 1 ) (3.27b) 2
Cơ sở Cơ học Môi trường liên tục & Lý thuyết đàn hồi Tóm tắt bài giảng
Cơ sở Cơ học Môi trường liên tục & Lý thuyết đàn hồi Tóm tắt bài giảng 4 Trạng thái biến dạng 4.1. Hệ toạ độ và các cách mô tả chuyển động 4.1.1 Ký hiệu hệ trục toạ độ - Hệ toạ độ đồng hành và hệ toạ độ qui chiếu Hệ trục toạ độ vuông góc Descrates x, y, z có thể biểu diễn dạng x1, x2, x3 hoặc xi với i=1, 2, 3. Ở thời điểm ban đầu (t=0) chọn hệ toạ độ Descrates X1 X2 X3 gắn với môi trường vật chất liên tục gọi là hệ trục toạ độ đồng hành. Điểm vật chất M có tọa độ Xi được xác định bởi vectơ bán kính R , Xi là tọa độ điểm vật chất ban đầu, không phụ thuộc thời gian t. Khi chịu tác động bên ngoài, môi trường bị biến dạng , tại thời điểm t, điểm vật chất M có vị trí mới X2 ,x2 t=0 M1 trong hệ tọa độ tuỳ chọn tương ứng nào đó xi M u M1 t (gọi là hệ toạ độ qui chiếu, thường gắn với trái đất, R toa tàu,...). Tại thời điểm này điểm không gian r X1 ,x1 M1(xi) được xác định bởi vec tơ bán kính r , xi gọi X3 x3 là tọa độ không gian, xi phụ thuộc thời gian t. Hình 4.1 Khi nghiên cứu chuyển động của môi trường liên tục, ta hiểu rằng tồn tại hệ qui chiếu của người quan sát và hệ toạ độ đồng hành gắn với môi trường liên tục. 4.1.2 Chuyển vị Sự thay đổi vị trí của các phần tử vật chất trong môi trường khi môi trường chuyển từ trạng thái này sang trạng thái khác gọi là chuyển vị. Có hai loại chuyển vị: o Chuyển vị cứng: môi trường chuyển động như vật thể cứng sang trạng thái mới, khoảng cách giữa các phần tử vật chất không thay đổi o Chuyển vị gây biến dạng: khoảng cách giữa các phần tử vật chất thay đổi => chỉ nghiên cứu chuyển vị gây biến dạng Trần Minh Tú - Đại học Xây dựng
Cơ sở Cơ học Môi trường liên tục & Lý thuyết đàn hồi Tóm tắt bài giảng Vec tơ chuyển vị của điểm M: X2 ,x2 t=0 u = MM 1 = r + b − R (hình 4.1) t M u M1 Để đơn giản ta chọn các hệ trục xi và Xi cùng R gốc, cùng phương và cùng chiều ( xi ≡ X i ) thì vec tơ r chuyển vị (hình 4.2): X1 ,x1 X3 x3 u =r−R Trên ba trục tọa độ các thành phần chuyển vị Hình 4.2 ui = xi - X i Có hai cách mô tả chuyển động trong môi trường liên tục: mô tả Lagrange và mô tả Euler 4.1.3 Mô tả Lagrange: Mô tả các phần tử vật chất tại các thời điểm khác nhau. Khi một thể tích nào đó của vật thể bị biến dạng, các hạt vật chất chuyển động theo những quĩ đạo khác nhau. Các chuyển động này được mô tả bởi phương trình:  x1 = x1 ( X 1 , X 2 , X 3 , t )   x2 = x2 ( X 1 , X 2 , X 3 , t ) (4.1) x = x ( X , X , X , t)  3 3 1 2 3 hay xi = xi ( X 1 , X 2 , X 3 , t ) = xi ( X i , t ) ; i=1,2,3 trong đó xi - vị trí điểm vật chất tại thời điểm t đang xét X i - vị trí điểm vật chất tại thời điểm t=0 - toạ độ (biến số) Lagrange - toạ độ vật chất Vec tơ chuyển vị u = u ( X i , t ) Nếu cố định Xi thì phương trình (4.1) mô tả vị trí liên tiếp của điểm vật chất M (quĩ đạo chuyển động). Nếu cố định thời gian t thì (4.1) cho hình ảnh phân bố vật chất trong môi trường tại thời điểm t. Nếu cả Xi và t cùng thay đổi thì (4.1) xác định qui luật chuyển động của môi trường . 4.1.4 Mô tả Euler Mô tả hiện tượng xảy ra tại điểm không gian M1 ở thời điểm t - Xác định phần tử vật chất nào ở thời điểm ban đầu t=0 có tọa độ M(Xi) sau thời gian t sẽ chuyển tới điểm không gian M1(xi), nghĩa là cần tìm Xi :  X 1 = X 1 ( x1 , x2 , x3 , t )   X 2 = X 2 ( x1 , x2 , x3 , t ) (4.2)  X = X (x , x , x , t)  3 3 1 2 3 hay X i = X i ( x1 , x2 , x3 , t ) = X i ( xi , t ) với i=1,2,3 Trần Minh Tú - Đại học Xây dựng

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.