Công thức và bài tập xác xuất

Chia sẻ: Trần Bảo Trung | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:9

Thêm vào BST

Báo xấu

384
lượt xem 172
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

các công thức cơ bản nhất của môn xác suất thống kê đều nằm ở đây

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Công thức và bài tập xác xuất

PHẦN I: XÁC SUẤT 1. Biến cố ngẫu nhiên & xác suất của biến cố: 1.1. Công thức cộng xác suất: 1.1.1. p(A+B)=p(A)+p(B) (2 biến cố xung khắc) 1.1.2. p(A+B)=p(A)+p(B)-p(A.B)  p(A+B+C)=p(A)+p(B)+p(C)-[p(AB)+p(AC)+p(BC)] +p(ABC) 1.2. Công thức nhân xác suất: 1.2.1. p(A.B)=p(A).p(B) (2 biến cố độc lập) 1.2.2. p(A.B)=p(A).p(B/A)  p ( A1 A2 ... An ) = p( A1 ). p ( A2 / A1 )... p ( An / A1 A2 .. An −1 ) 1.3. Công thức Bernoulli: cho 2 biến cố A và A 1.3.1. pn ( x) = Cnx p x q n − x , p=p(A), q=1-p 1.4. Công thức xác suất đầy đủ: p ( F ) = p ( A1 ). p ( F / A1 ) + p ( A2 ). p ( F / A2 ) + ... + p ( An ). p ( F / An ) p ( Ai .F ) p( Ai ). p ( F / Ai ) 1.5. Công thức Bayes: p ( Ai / F ) = = p( F ) p( F ) 2. Biến ngẫu nhiên: 2.1. Bảng phân phối xác suất (biến ngẫu nhiên rời rạc) 2.2. Hàm mật độ xác suất ( f ( x) ) (biễn ngẫu nhiên liên tục) 2.2.1. f ( x) ≥ 0 +∞ 2.2.2. ∫ −∞ f ( x)dx =1 b 2.2.3. p (a ≤ x ≤ b) = ∫ f ( x)dx a 2.3. Hàm phân phối xác suất ( F ( x) ) (dùng cho cả 2 loại biến-thường là biến ngẫu nhiên liên tục) 2.3.1. F ( x) =p( F
( x − µ )2 1 − 3.1.1. f ( x ) = e 2σ 2 σ 2π +∞ 3.1.2. ∫ −∞ f ( x)dx = 1 3.1.3. ModX = MedX = µ ; E ( x) = µ , V ( x) = σ 2 b−µ a −ϕ 3.1.4. p (a ≤ x ≤ b) = ϕ ( ) −ϕ( ) σ σ 3.1.5. Phân phối chuẩn tắc µ = 0, σ 2 = 1 3.1.5.1. T ~ N (0,1) 2 1 − t2 3.1.5.2. f (t ) = e 2π X −µ 3.1.5.3. Đổi biến T = σ 3.1.5.4. p (a ≤ x ≤ b) = ϕ (b) − ϕ (a ) 3.2. Phân phối Poisson: X ~ P (λ ) , λ >0 λk 3.2.1. p (λ = k ) = e − λ k! 3.2.2. E ( x) = V ( x) = λ 3.3. Phân phối nhị thức: X ~ B (n, p ) k k n−k 3.3.1. p ( X = k ) = pn (k ) = Cn p q , p + q = 1 n 3.3.2. ∑ p( X = k ) = 1 k =0 3.3.3. E ( x) = np , ModX = x0 , np − q ≤ x0 ≤ np + q 3.3.4. Khi n=1: X ~ B (1, p ) :phân phối không-một 3.3.4.1. E ( x) = p, E ( x 2 ) = p, V ( x ) = pq 3.3.5. Xấp xỉ phân phối nhị thức: 3.3.5.1. Bằng phân phối Poisson: n >50, p
3.4. Phân phối siêu bội: X ~ H ( N , N A , n) [N:tổng số phần tử, N A :Số phần tử có tính chất A trong N, n: số phần tử lấy ngẫu nhiên].Gọi X là số phần tử có tính chất A CN .C N− kN k n − trong n. p ( X = k ) = A n A CN N N −n 3.4.1. E ( X ) = np, p = A ; V ( X ) = npq. , q = 1− p N N −1 3.4.2. Xấp xỉ phân phối siêu bội bằng phân phối nhị thức: n ≤ 0.05 N ⇒ X ~ B (n, p ) ; N p ( X = k ) = Cn p k q n − k , p = A k N 3.5. Biến ngẫu nhiên 2 chiều: X và Y độc lập ⇔ Pij = p( xi ).q( y j ) với mọi i,j 3.6.Hiệp phương sai và hệ số tương quan: 3.6.1. Hiệp phương sai(cov): cov( X , Y ) = E ( XY ) − E ( X ) E (Y ) cov( X , Y ) 3.6.2. Hệ số tương quan ρ X ,Y : ρ X ,Y = σ ( X )σ (Y ) PHẦN 2: THỐNG KÊ 1. Tổng thể và mẫu 1.1. Thực hành tính toán trên mẫu: 1 n 1.1.1. Tính trung bình ( X n ): X n = ∑ xi n i =1 m 1.1.2. Tính tỷ lệ mẫu: ( f n ); f n = A ( mA :số phần tử mang tính chất A; n: kích thước n mẫu) 1 k 1.1.3. Tính phương sai mẫu: S2 = [∑ ni xi 2 − n( X ) 2 ] n −1 1 1.2. Ước lượng tham số của tổng thể: 1.2.1. Ước lượng điểm: E ( X n ) = µ , E ( f n ) = p, E ( S ) = σ 2 2 1.2.2. Ước lượng khoảng: 1.2.2.1. Ước lượng khoảng cho trung bình: Với độ tin cậy 1- α cho trước, 1 mẫu kích thước n. n ≥ 30 , σ 2 biết n ≥ 30 , σ 2 chưa biết X ,σ X ,s µ1 = X − ε , µ2 = X + ε µ1 = X − ε , µ2 = X + ε σ s ε = uα . ε = uα . 2 n 2 n α u α u ( 1 − α 0.5-  α ) ( 1 − α 0.5-  α ) 2 2 2 2 n
s ε =t α . ( n −1, ) 2 n 1.2.2.2. Ước lượng khoảng cho tỷ lệ: tổng thể có tỷ lệ p chưa biết, với độ tin cậy 1 − α cho trước, với 1 mẫu kích thước n, tỷ lệ mẫu f n . Tìm 2 số p1 , p2 thoả: f (1 − f ) p ( p1 ≤ p ≤ p2 ) = 1 − α , p1,2 = f n mε Công thức: ε = uα 2 n 1.2.2.3. Ước lượng khoảng cho phương sai:Giả sử tổng thể có σ 2 chưa biết. Dựa vào 1 mẫu kích thước n, với độ tin cậy 1- α cho trước. (n − 1) S 2 (n − 1) S 2 TH1: µ chưa biết, biết S 2 . Khi đó ta có σ ∈ [ 2 , ] trong đó χ12 χ2 2 α α χ12 = χ 2 (n − 1, ) , χ 2 = χ 2 (n − 1,1 − ) 2 2 2 TH2: µ biết. Khi đó σ ∈ [ 2 ∑ ni ( xi − µ ) , ∑ ni ( xi − µ ) ] , trong đó χ 2 = χ 2 (n, α ) , χ12 χ 22 1 2 α χ 2 = χ 2 (n,1 − ) 2 2 1.2.3. Kiểm định giả thuyết thống kê: 1.2.3.1. Kiểm định giả thuyết thống kê cho µ 1.2.3.1.1. TH1: σ 2 biết Giả thuyết thống kê Wα : σ 2 biết (miền bác bỏ H 0 ) H 0 : µ = µ0 X − µ0 u Wα = {u = n, u > α } H1 : µ ≠ µ 0 σ 2 H 0 : µ = µ0 X − µ0 Wα = {u = n ,u uα } H1 : µ > µ 0 σ 1.2.3.1.2. TH2: n ≥ 30 , σ 2 không biết Giả thuyết thống kê Wα (miền bác bỏ H 0 ) H 0 : µ = µ0 X − µ0 u Wα = {u = n, u > α } H1 : µ ≠ µ 0 s 2 H 0 : µ = µ0 X − µ0 Wα = {u = n ,u uα } H1 : µ > µ 0 s 1.2.3.1.3. TH3: n
Giả thuyết thống kê Wα (miền bác bỏ H 0 ) H 0 : µ = µ0 X − µ0 t Wα = {t = n , t > ( n −1,α ) } H1 : µ ≠ µ 0 s 2 H 0 : µ = µ0 X − µ0 t Wα = {t = n , t ( n −1,α ) } H1 : µ > µ 0 s 2 1.2.3.2. Kiểm định giả thuyết thống kê cho tỷ lệ: Giả thuyết thống kê Wα (miền bác bỏ H 0 ) H 0: p = p0 f − p0 Wα = {u = ,u H1: p ≠ p0 p0 (1 − p0 ) > uα } 2 n H 0: p = p0 f − p0 Wα = {u = H1: p < p0 p0 (1 − p0 ) , u p0 p0 (1 − p0 ) , u > uα } n 1.2.3.3. Kiểm định giả thuyết thống kê cho phương sai: 1.2.3.3.1. TH1: µ chưa biết Giả thuyết thống kê Wα (miền bác bỏ H 0 ) H0 :σ 2 = σ 0 2 (n − 1) s 2 2 Wα = {χ = 2 , χ < χ1 hoặc χ 2 > χ 2 2 2 H1 : σ 2 ≠ σ 0 2 σ02 χ12 = χ 2 α , χ2 = χ 2 2 α ( n −1,1− ) ( n −1, ) 2 2 H0 :σ 2 = σ 0 2 (n − 1) s 2 2 Wα = {χ 2 = , χ < χ ( n −1,1−α ) 2 H1 : σ 2 < σ 0 2 σ02 H0 :σ 2 = σ 0 2 (n − 1) s 2 2 Wα = {χ 2 = , χ > χ ( n −1,α ) 2 H1 : σ 2 > σ 0 2 σ02 1.2.3.3.2. TH2: µ biết. Giả thuyết thống kê Wα (miền bác bỏ H 0 ) H0 :σ = σ 2 2 0 Wα = {χ 2 = ∑ n (x − µ) i i 2 , χ 2 < χ1 hoặc χ 2 > χ 2 2 2 H1 : σ ≠ σ 2 2 0 σ 2 0 χ12 = χ 2 α , χ2 = χ 2 2 α ( n ,1− ) ( n, ) 2 2
H0 :σ 2 = σ 0 2 Wα = {χ 2 = ∑ n (x − µ) i i 2 , χ2 < χ 2 ( n ,1−α ) H1 : σ < σ 2 2 0 σ 2 0 H0 :σ 2 = σ 0 2 Wα = {χ 2 = ∑ n (x − µ) i i 2 , χ2 > χ 2 ( n ,α ) H1 : σ > σ 2 2 0 σ 2 0 1.2.4. So snh 2 tham số của tổng thể: 1.2.4.1. So snh 2 số trung bình: 1.2.4.1.1. TH1: m ≥ 30, n ≥ 30, σ 1 , σ 2 biết 2 2 GTTK Wα H 0 : µ1 = µ2   H1 : µ1 ≠ µ2    X −Y  Wα = u = ; u > uα   σ 12 σ 22 2   +   m n  H 0 : µ1 = µ2   H1 : µ1 < µ 2    X −Y  Wα = u = ; u < −uα   σ 12 σ 22   +   m n  H 0 : µ1 = µ2   H1 : µ1 > µ 2    X −Y  Wα = u = ; u > uα   σ1 σ 2 2 2   +   m n  TH2: m < 30, n < 30, σ 1 , σ 2 biết, X,Y cĩ phn phối chuẩn 2 2 1.2.4.1.2. GTTK Wα H 0 : µ1 = µ2   H1 : µ1 ≠ µ2    X −Y  Wα = u = ; u > uα   σ1 σ 2 2 2 2   +   m n  H 0 : µ1 = µ2   H1 : µ1 < µ 2    X −Y  Wα = u = ; u < −uα   σ1 σ 2 2 2   +   m n  H 0 : µ1 = µ2   H1 : µ1 > µ 2    X −Y  Wα = u = ; u > uα   σ1 σ 2 2 2   +   m n 
TH3: m ≥ 30, n ≥ 30, σ 1 , σ 2 khơng biết 2 2 1.2.4.1.3. GTTK Wα H 0 : µ1 = µ2   H1 : µ1 ≠ µ2    X −Y  Wα = u = ; u > uα   s12 s2 2 2   +   m n  H 0 : µ1 = µ2   H1 : µ1 < µ 2    X −Y  Wα = u = ; u < −uα   s12 s2 2   +   m n  H 0 : µ1 = µ2   H1 : µ1 > µ 2    X −Y  Wα = u = ; u > uα   s12 s2 2   +   m n  TH4: m < 30, n < 30, X,Y cĩ phn phối chuẩn, σ 1 = σ 2 khơng biết 2 2 1.2.4.1.4. GTTK Wα H 0 : µ1 = µ2   H1 : µ1 ≠ µ2    X −Y  2 ( m − 1) s12 + ( n − 1) s2 2 Wα = t = ; t > t α s =  2 1 1  m + n − 2, ÷ 2 m+n−2 s  + ÷   m n    H 0 : µ1 = µ2   H1 : µ1 < µ 2    X −Y  Wα = t = ; t < −t( m + n− 2,α )    1 1  s2  + ÷  m n    H 0 : µ1 = µ2   H1 : µ1 > µ 2    X −Y  Wα = t = ; t > t( m + n− 2,α )    1 1  s2  + ÷  m n    TH5: m < 30, n < 30, X,Y cĩ phn phối chuẩn, σ 1 ≠ σ 2 chưa biết 2 2 1.2.4.1.5. GTTK Wα
H 0 : µ1 = µ2   H1 : µ1 ≠ µ2    X −Y 2 s s 2 t v +t v  Wα =  g = ; g > t ; t1 = t α  , t2 = t α  ; v1 = , v2 = ; t = 1 1 2 2  1 2  s12 s2 2  m −1, ÷  n −1, ÷ m n v1 + v2   +  2  2   m n  H 0 : µ1 = µ2   H1 : µ1 < µ 2    X −Y  Wα =  g = ; g < −t ; t1 = t( m −1,α ) , t2 = t( n −1,α )   s12 s2 2   +   m n  H 0 : µ1 = µ2   H1 : µ1 > µ 2    X −Y  Wα =  g = ; g > t  s12 s2 2   +   m n  1.2.4.2. So snh 2 tỷ lệ: GTTK Wα H 0 : µ1 = µ2   H1 : µ1 ≠ µ2    f1 − f 2 k1 k2  Wα = u = ; u > uα ; f1 = , f 2 =    1 1 m n f ( 1− f )  + ÷ 2  m n    H 0 : µ1 = µ2   H1 : µ1 < µ 2    f1 − f 2  Wα = u = ; u < −uα    1 1  f ( 1− f )  + ÷   m n    H 0 : µ1 = µ2   H1 : µ1 > µ 2    f1 − f 2  Wα = u = ; u > uα    1 1  f ( 1− f )  + ÷  m n    1.2.4.3. So snh 2 phương sai: GTTK Wα H 0 : σ 12 = σ 2 2    s12 1  H1 : σ ≠ σ 2 2 Wα =  g = , g < f hayg > f ; f = f α ( m − 1, n − 1) , f =  f α ( n − 1, m − 1)  1 2 2  s2 2  2  H 0 : σ 12 = σ 2 2  s12  Wα =  g = , g > fα ( m − 1, n − 1)  H1 : σ 12 > σ 2 2 2  s2 