Đại số cơ bản

Chia sẻ: Kieu Dinh Tuan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

144
lượt xem 22
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'đại số cơ bản', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đại số cơ bản

Đ I S CƠ B N (ÔN THI TH C SĨ TOÁN H C) Bài 10. Không gian vectơ PGS TS M Vinh Quang Ngày 18 tháng 3 năm 2005 1 Các khái ni m cơ b n 1.1 Đ nh nghĩa không gian vectơ Ký hi u R là t p các s th c, V là t p tùy ý khác ∅. V g i là không gian vectơ (trên R) (m i ph n t c a V g i là m t vectơ) n u trong V có 2 phép toán: • Phép c ng 2 vectơ, t c là v i m i c p vectơ α, β ∈ V xác đ nh đư c m t vectơ t ng α+β ∈V. • Phép nhân vô hư ng m t s v i m t vectơ, t c là v i m i a ∈ R và vectơ α ∈ V xác đ nh đư c m t vectơ tích aα ∈ V . Ngoài ra, phép c ng và phép nhân trên ph i th a mãn 8 đi u ki n sau: 1. Phép c ng k t h p; v i m i α, β, γ ∈ V : (α + β) + γ = α + (β + γ) 2. Phép c ng giao hoán, v i m i α, β ∈ V : α+β =β+α 3. Phép c ng có vectơ-không, t n t i vectơ O ∈ V (vectơ-không) có tính ch t: α+O =O+α=α v i m i α∈V 4. Có vectơ đ i, v i m i vectơ α ∈ V , t n t i vectơ −α ∈ V (vectơ đ i c a α) có tính ch t: α + (−α) = (−α) + α = O 5. Phép nhân phân ph i v i phép c ng, v i m i a ∈ R và các vectơ α, β ∈ V : a(α + β) = aα + aβ 6. Phép nhân phân ph i v i phép c ng, v i m i s th c a, b ∈ R, m i vectơ α ∈ V : (a + b)α = aα + bα 7. Phép nhân k t h p. V i m i a, b ∈ R, v i m i vectơ α ∈ V : (ab)α = a(bα) 1
8. 1.α = α v i m i vectơ α ∈ V Như v y, đ ki m tra t p h p V cùng v i 2 phép toán c ng và nhân vô hư ng có ph i là không gian vectơ hay không, ta ph i ki m tra xem chúng có th a mãn 8 đi u ki n trên hay không. B n đ c có th d dàng t ki m tra các ví d sau. 1.2 Các ví d v không gian vectơ 1. V = Rn = {(a1 , a2 , . . . , an )|ai ∈ R} v i: - Phép c ng: α = (a1 , . . . , an ) ∈ Rn , β = (b1 , . . . , bn ) ∈ Rn : α + β = (a1 + b1 , . . . , an + bn ) ∈ Rn - Phép nhân vô hư ng: v i m i a ∈ R, a.α = a(a1 , . . . , an ) = (aa1 , . . . , aan ) thì V là m t không gian vectơ. 2. V = Mm×n (R) - t p các ma tr n c p m × n v i h s th c - v i phép c ng là phép c ng 2 ma tr n, phép nhân vô hư ng là phép nhân m t s th c v i m t ma tr n, là m t không gian vectơ. 3. R[x] - t p các đa th c v i h s th c - v i phép c ng là phép c ng hai đa th c, phép nhân vô hư ng là phép nhân m t s v i m t đa th c, là không gian vectơ. 4. R+ là t p các s th c dương. Trong R+ ta đ nh nghĩa phép c ng và phép nhân vô hư ng. - Phép c ng: v i m i α, β ∈ R+ , α ⊕ β = αβ - Phép nhân vô hư ng: v i m i a ∈ R, α ∈ R+ : a ∗ α = αa Khi đó, (R+ , ⊕, ∗) là m t không gian vectơ v i vectơ-không là 1, vectơ đ i c a vectơ α là 1 vectơ α 1.3 Các tính ch t cơ b n 1. Vectơ O và vectơ đ i (−α) là duy nh t. 2. Phép c ng có lu t gi n ư c: v i m i α, β, γ ∈ V , n u α + β = α + γ thì β = γ 3. 0.α = O, v i m i α ∈ V , a.O = O, v i m i a ∈ R, (−1).α = −α v i m i α ∈ V 4. N u a.α = O thì a = 0 ho c α = O 5. N u α = O thì aα = bα ⇔ a = b 6. (−a)α = a(−α) = −(aα) v i m i a ∈ R, α ∈ V 2
2 Đ c l p tuy n tính, ph thu c tuy n tính 2.1 Các khái ni m cơ b n Cho V là không gian vectơ, α1 , . . . , αn là m t h vectơ c a V . • H vectơ α1 , α2 , . . . , αn g i là h vectơ ph thu c tuy n tính (PTTT) n u t n t i các s th c a1 , a2 , . . . , an không đ ng th i b ng 0 sao cho a1 α1 + · · · + an αn = O t c là phương trình vectơ x1 α1 + · · · + xn αn = O có nghi m khác (0, . . . , 0) • H vectơ α1 , α2 , . . . , αn g i là h vectơ đ c l p tuy n tính (ĐLTT) n u nó không ph thu c tuy n tính, nói cách khác h α1 , α2 , . . . , αn ĐLTT khi và ch khi: n u a1 α1 +· · ·+an αn = O v i ai ∈ R thì ai = 0 v i m i i, t c là phương trình vectơ x1 α1 + · · · + xn αn = O có nghi m duy nh t là (0, . . . , 0) Ví d . Trong R4 cho h vectơ α1 = (1, 0, 1, 1), α2 = (0, 1, 2, 3), α3 = (1, 2, 3, 4). H trên ĐLTT hay PTTT? Gi i. Xét h phương trình vectơ x1 α1 + x2 α2 + x3 α3 = O   x1 + x3 = 0  x2 + 2x3 = 0  ⇔  x1 + 2x2 + 3x3 = 0  x1 + 3x2 + 3x3 = 0    1 0 1  0 1 2  Ma tr n các h s c a h trên là A =   1 2 3   1 3 4 D th y rank A = 3 nên h trên có nghi m duy nh t (0, 0, 0). V y h vectơ trên đ c l p tuy n tính. Nh n xét. Đ xét h m vectơ α1 , α2 , . . . , αm ĐLTT hay PTTT trong Rn , ta l p ma tr n A v i các c t là các vectơ α1 , α2 , . . . , αm r i tìm rank A. N u rank A = m (s vectơ) thì h ĐLTT, n u rank A < m thì h PTTT. • Vectơ β ∈ V g i là bi u th tuy n tính (BTTT) đư c qua h vectơ α1 , α2 , . . . , αn n u t n t i các s a1 , a2 , . . . , an ∈ R sao cho β = a1 α1 + a2 α2 + · · · + an αn (t c là phương trình vectơ x1 α1 + x2 α2 + · · · + xn αn = β có nghi m) 2.2 Các tính ch t cơ b n 1. H ch c vectơ-không luôn PTTT. 2. H g m 1 vectơ PTTT khi và ch khi vectơ đó b ng O, h g m 2 vectơ PTTT khi và ch khi 2 vectơ đó t l . 3. N u m t h ĐLTT thì m i h con c a nó cũng ĐLTT. 4. H vectơ α1 , . . . , αn PTTT khi và ch khi có m t vectơ trong h bi u th tuy n tính đư c qua các vectơ còn l i c a h . 5. N u h α1 , . . . , αn ĐLTT thì h vectơ α1 , . . . , αn , β ĐLTT khi và ch khi β không bi u th tuy n tính đư c qua h α1 , α2 , . . . , αn . 3
3 H ng c a m t h vectơ 3.1 H vectơ tương đương Trong không gian vectơ V cho hai h vectơ: (α) α1 , α2 , . . . , αm (β) β1 , β2 , . . . , βn Ta nói h (α) bi u th tuy n tính đư c qua h (β) n u m i vectơ c a h (α) đ u bi u th tuy n tính đư c qua h (β). Ta nói h (α) tương đương v i h (β) (ký hi u (α) ∼ (β)) n u h (α) bi u th tuy n tính đư c qua h (β) và ngư c l i. T đ nh nghĩa, ta có ngay quan h ∼ là m t quan h tương đương. 3.2 H con đ c l p tuy n tính t i đ i c a m t h vectơ Trong không gian vectơ V cho h vectơ (α) α1 , α2 , . . . , αm . H con αi1 , αi2 , . . . , αik c a h (α) g i là h con đ c l p tuy n tính t i đ i c a h (α) n u αi1 , αi2 , . . . , αik đ c l p tuy n tính và m i vectơ αi c a h (α) đ u bi u th tuy n tính đư c qua h con αi1 , αi2 , . . . , αik T đ nh nghĩa, ta có ngay h con đ c l p tuy n tính c a m t h vectơ tương đương v i h vectơ đó. 3.3 B đ cơ b n v s đ c l p tuy n tính Trong không gian vectơ V cho hai h vectơ (α) α1 , α2 , . . . , αm (β) β1 , β2 , . . . , βn N u h (α) đ c l p tuy n tính và bi u th tuy n tính đư c qua h (β) thì m ≤ n, và ta có th thay m vectơ c a h (β) b ng các vectơ α1 , α2 , . . . , αm c a h (α) đ đư c h m i tương đương v i h (β). T b đ cơ b n, ta có ngay hai h vectơ ĐLTT tương đương thì có s vectơ b ng nhau. 3.4 H ng c a h vectơ Trong không gian vectơ V , cho h vectơ (α) α1 , α2 , . . . , αm H (α) có th có nhi u h con đ c l p tuy n tính t i đ i khác nhau. Tuy nhiên t t c các h con đ c l p tuy n tính t i đ i c a h (α) đ u tương đương v i nhau (vì chúng cùng tương đương v i h (α)). Do đó, theo b đ cơ b n, t t c các h con đ c l p tuy n tính t i đ i đ u có s vectơ b ng nhau. S đó g i là h ng c a h vectơ α1 , α2 , . . . , αm ; ký hi u rank{α1 , . . . , αm } Như v y ta có rank{α1 , α2 , . . . , αm } = S vectơ c a h con đ c l p tuy n tính c a h α1 , α2 , . . . , αm 3.5 Cách tìm h ng, h con đ c l p tuy n tính t i đ i c a m t h vectơ Trong Rn cho h vectơ α1 = (a11 , a12 , . . . , a1n ) α2 = (a21 , a22 , . . . , a2n ) ................................... 4
αm = (am1 , am2 , . . . , amn ) Đ tìm h ng, h con đ c l p tuy n tính t i đ i c a c a h α1 , α2 , . . . , αm ta làm như sau: • L p ma tr n A là ma tr n dòng c a các vectơ α1 , α2 , . . . , αm   a11 a12 . . . a1n  a21 a22 . . . a2n  A= .   . .. .   . . . . . .  . am1 am2 . . . amn • B ng các phép bi n đ i sơ c p trên dòng, đưa ma tr n A v d ng b c thang. Khi đó: rank{α1 , α2 , . . . , αm } = rank A H con đ c l p tuy n tính t i đ i c a h α1 , α2 , . . . , αm bao g m các vectơ ng v i các dòng khác không c a ma tr n b c thang. Ví d . Trong R5 cho h vectơ α1 = (3, 2, 0, 1, 4) α2 = (4, 1, 0, 2, 3) α3 = (3, 1, −1, 0, 1) α4 = (1, 0, 1, 2, 2) Tìm m t h con đ c l p tuy n tính và h ng c a h vectơ trên. Gi i    3 2 0 1 4 1 1 0 1 2 2 4  4 1 0 2 3   2  4 1 0 2 3   2 A=  3 1 −1 0 1  3 −→  3  1 −1 0 1  3 1 0 1 2 2 4 3 2 0 1 4 1     1 0 1 2 2 4 1 0 1 2 2 4  0 1 −4 −6 −5  2  0 1 −4 −6 −5  2 −→  0 1 −4 −6 −5  3  −→    0 0 5 7 8  1 0 2 −3 −5 −2 1 0 0 0 0 0 3 rank A = 3 Do đó, rank{α1 , α2 , α3 , α4 } = 3 H con đ c l p tuy n tính t i đ i c a h α1 , α2 , α3 , α4 là {α1 , α2 , α4 }. 5
Bài t p 1. Xét xem R2 có là không gian vectơ hay không? v i phép c ng và phép nhân vô hư ng sau: (a1 , a2 ) + (b1 , b2 ) = (a1 + b1 , a2 + b2 ) a(a1 , a2 ) = (aa1 , 0) 2. Ch ng minh r ng m t không gian vectơ ho c ch có m t vectơ, ho c có vô s vectơ. 3. Xét s đ c l p tuy n tính và ph thu c tuy n tính. Tìm h ng và h con đ c l p tuy n tính t i đ i c a các h sau: (a) α1 = (1, 0, −1, 0), α2 = (1, 2, 1, 1), α3 = (3, 2, 3, 2), α4 = (1, 1, 2, 1) (b) α1 = (1, 0, 0, −1), α2 = (2, 1, 1, 0), α3 = (1, 1, 1, 1), α4 = (1, 2, 3, 4), α5 = (0, 1, 2, 3) 4. Cho h vectơ α1 , α2 , . . . , αm ĐLTT trong không gian vectơ V . Ch ng minh: (a) H vectơ β1 = α1 , β2 = α1 + α2 , . . . , βm = α1 + α2 + · · · + αm cũng ĐLTT. (b) H vectơ γ1 = a11 α1 + a12 α2 + · · · + a1m αm γ2 = a21 α1 + a22 α2 + · · · + a2m αm .................................................... γm = am1 α1 + am2 α2 + · · · + amm αm đ c l p tuy n tính khi và ch khi det A = 0, trong đó   a11 a12 . . . a1m  a21 a22 . . . a2m  A= .   . . . .. .  .   . . . . am1 am2 . . . amm 5. H vectơ α1 , . . . , αm bi u th tuy n tính đư c qua h vectơ β1 , β2 , . . . , βn . Ch ng minh r ng: rank{α1 , . . . , αm } ≤ rank{β1 , β2 , . . . , βm } 6. Cho hai h vectơ cùng h ng. H đ u bi u th tuy n tính đư c qua h sau. Ch ng minh hai h vectơ đã cho tương đương. 7. Trong R4 cho h vectơ: u1 = (1, 1, 1, 1), u2 = (2, 3, −1, 0), u3 = (−1, −1, 1, 1) Tìm đi u ki n c n và đ đ vectơ u = (x1 , x2 , x3 , x4 ) bi u th tuy n tính đư c qua h u1 , u2 , u3 . 6