Đại số (OLympic)

Chia sẻ: Hoang Nam | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:22

Thêm vào BST

Báo xấu

423
lượt xem 110
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo cho các bạn sinh viên có tư liệu ôn thi tốt đạt kết quả cao trong các kì thi Olympic

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đại số (OLympic)

1. Không gian vector Problem 1.1. Gi s A là m t ma tr n vuông c p n, và C (A) = {B | BA = AB } là t p h p t t c các ma tr n vuông ph c c p n giao hoán đư c v i A. Ch ng minh r ng: C (A) là không gian vector con c a không gian vector Mn×n và dim C (A) ≥ n. Hint. Xét ánh x tuy n tính: T : Mn×n −→ Mn×n B → AB − BA. Khi đó S = ker T là không gian vector con c a không gian các ma tr n Mn×n . Đ ý r ng, n u C là ma tr n kh ngh ch thì AB = BA khi và ch khi C ACC BC = C BCC −1 AC. N u D1 , . . . , Dn là các ma tr n đ c l p tuy n −1 −1 −1 tính thì C −1 D1 C, . . . , C −1 Dn C cũng đ c l p tuy n tính. Do đó đ đơn gi n ta gi s A có d ng Jordan, v i kh i Jordan th i c p k là: a 1 ... 0    ... ...  Ai =  . 0 a 1 0 0 a Khi đó Ai giao hoán v i b1 b2 . . . bk   .. .. . .   Bi =  . 0 b b 1 2 0 0 b1 Do đó A giao hoán v i B1   .. B= . . Br Vì trong B có n bi n nên dim C (A) ≥ n. ♥ Problem 1.2. Cho S là không gian con c a không gian Mn (C) sinh b i t p t t c các ma tr n có d ng AB − BA. Ch ng minh r ng: dim S = n2 − 1. Hint. Ta c n ch ra S có n2 − 1 vector đ c l p tuy n tính. Đó là các ma tr n: Mij = Mik Mkj − Mkj Mik , i = j (có n2 − n ph n t ) M11 − Mjj = Mij Mj 1 − Mj 1 Mij , j = 1 (có n − 1 ph n t ), trong đó ma tr n Mij là ma tr n có ph n t 1 v trí ij, các v trí khác đ u b ng 0. Do đó dim S ≥ n2 − 1, m t khác S = Mn×n nên dim S < n2 . Suy ra: dim S = n2 − 1. ♥ Problem 1.3. Cho A, B là các không gian vector con c a không gian vector h u h n chi u V sao cho A + B = V. G i n = dim V, a = dim A, b = dim B. L y S là t p t t c các t đ ng c u f c a V mà f (A) ⊂ A, f (B ) ⊂ B. Ch ng minh r ng S là không gian con c a không gian t t c các t đ ng c u c a V và hãy bi u th s chi u c a S qua a, b, n. Hint. L y f, g ∈ S và r, s ∈ R. Khi đó ta có: ∀v ∈ A, (rf + sg )(v ) = f (rv ) + g (sv ) ∈ A vì f, g b t bi n đ i v i A. Tương t ta cũng có (rf + sg )(v ) ∈ B. V y rf + sg ∈ S, hay S là không gian vector con c a không gian vector các t đ ng c u c a V. Đ tính s chi u c a S ta ch c n tính s chi u c a không gian các ma tr n b t bi n v i A và B. G i A1 , B1 là không gian vector con c a V sao cho A = (A ∩ B ) A1 , B = (A ∩ B ) B1 . Khi đó dim(A ∩ B ) = r = a + b − n, dim A1 = a − r, dim B1 = b − r. L y {u1 , ..., ua−r } là c s c a A1 , {v1 , ..., vr } là c s c a A ∩ B , {w1 , ..., wb−r } là c s c a B1 , M i t đ ng c u b t bi n đ i v i A, B thì ph i b t bi n đ i v i A ∩ B. Do đó f (ui ) đư c bi u th tuy n tính qua 1
2 {u1 , ..., ua−r , v1 , ..., vr }, f (vi ) ch có th bi u di n tuy n tính qua {v1 , ..., vr }, f (wi ) đư c bi u di n tuy n tính qua {v1 , ..., vr , w1 , ..., wb−r }. Suy ra ma tr n c a f có d ng: a−r b−r r   a−r M1 0 0 r  M2 M3 M4  b−r 0 0 M5 trong đó s ph n t khác 0 nhi u nh t là (a − r)2 + rn + (b − r)2 = a2 + b2 + n2 − (a + b)n. V y dim S = a2 + b2 + n2 − (a + b)n. ♥ Problem 1.4. Cho T là t đ ng c u c a không gian vector V. Gi s x ∈ V mà T m x = 0, T m−1 x = 0 v i m là s nguyên nào đó. Ch ng minh r ng: x, T x, T 2 x, . . . , T m−1 x đ c l p tuy n tính. Hint. Gi s r ng có: a0 x + a1 T x + · · · + ak T k x + · · · + am−1 T m−1 x = 0. Tác đ ng T m−1 vào hai v ta có: a0 T m−1 x = 0, suy ra a0 = 0. B ng quy n p ta có ak = 0, ∀k = 0, m − 1 suy ra đi u ph i ch ng minh ♥ Problem 1.5. Cho E là m t không gian Euclide n chi u. Chúng ta nói hai cơ s (ai ) và (bi ) cùng hư ng n u ma tr n chuy n t cơ s (ai ) sang cơ s (bi ) có đ nh th c dương. Gi s (ai ) và (bi ) là hai cơ s tr c chu n cùng hư ng. Ch ng minh r ng (ai + 2bi ) cũng là m t cơ s c a E cùng hư ng v i (ai ). Hint. G i P là ma tr n chuy n t (ai ) sang (bi ). Khi đó I + 2P là ma tr n chuy n t (ai ) sang 1 (ai + 2bi ). Ta có λ là giá tr riêng c a I + 2P khi và ch khi (λ − 1) là giá tr riêng c a P. 2 Do (ai ) và (bi ) là các cơ s tr c chu n nên P là ma tr n tr c giao và các giá tr riêng c a P là 1, suy ra các giá tr riêng c a I + 2P là 3, −1. Do đó 0 không ph i là giá tr riêng c a I + 2P nên I + 2P kh ngh ch và (ai + 2bi ) là cơ s . Hơn n a det P = (−1)α 1β v i α, β là b i c a các giá tr riêng 1, −1 c a P . Do đó det(I + 2P ) = (−1)α 3β . Vì det p > 0 nên α là s ch n. V y ♥ det(I + 2P ) > 0, hay (ai ) và (ai + 2bi ) cùng hư ng v i nhau. Problem 1.6. Cho V là không gian vector n chi u và W là m t không gian con m chi u c a V , (m < n). CMR, t n t i m t cơ s c a V không ch a m t vector nào c a W. Hint. G i {v1 , . . . , vm } là cơ s c a W và {u1 , . . . , un−m } là cơ s c a ph n bù tuy n tính c a W trong V. Khi đó cơ s {v1 + u1 , . . . , vm + u1 , u1 , . . . , un−m } chính là cơ s c n tìm. ♥ Problem 1.7. Cho ϕ là ánh x tuy n tính t V vào W , trong đó V và W là các không gian vector h u h n chi u. G i L, Z là không gian vector con c a V và W . Ch ng minh r ng: a) dim ϕ(L) + dim(ker ϕ ∩ L) = dim L b) dim L − dim ker ϕ ≤ dim ϕ(L) ≤ dim L c) dim Z ≤ dim ϕ−1 Z ≤ dim Z + dim ker ϕ Hint. a) Xét ánh x tuy n tính h n ch c a ϕ lên L ta có: ϕ|L : L −→ ϕL, ker ϕ|L = ker ϕ ∩ L. Do đó: dim ϕ(L) + dim(ker ϕ ∩ L) = dim L. b) Suy ra t a) v i chú ý r ng dim(ker ϕ ∩ L) ≤ dim ker ϕ. c) Đ t L = ϕ−1 Z và chú ý r ng: ϕL ⊂ Z . T câu b) ta có: dim ϕ−1 Z ≤ dim ϕ(ϕ−1 Z ) + dim ker ϕ ≤ dim Z + dim ker ϕ. M t khác: ker ϕ ⊂ L nên t a) ta có: dim ϕ(L) + dim ker ϕ = dim L (1).
3 Ta cũng có: ϕ(L) = Z ∩ ϕ(V ) nên dim ϕ(L) = dim(Z ∩ ϕ(V )) = dim Z + dim ϕ(V ) − dim(Z + ϕ(V )) ≥ dim Z + dim ϕ(V ) − dim W = dim Z − dim ker ϕ. (2) ♥ T (1) và (2) ta có đi u ph i ch ng minh. Problem 1.8. Cho các đ ng c u c a các K-không gian vector h u h n chi u ϕ : V −→ W, ψ : W −→ Z. Ch ng minh r ng: a) dim ker(ψ.ϕ) = dim ker ϕ + dim(Im ϕ ∩ ker ψ ) b) dim ker(ψ.ϕ) ≤ dim ker ϕ + dim ker ψ c) rank(ψ.ϕ) = rank ϕ − dim(ker ψ ∩ Im ϕ) d) rank(ψ.ϕ) ≥ rank ϕ + rank ψ − dim W Hint. a) Đ t L = Im ϕ và áp d ng bài t p 1.6.a ta có: dim ψ (L) + dim(ker ψ ∩ L) = dim L hay dim Im(ψ.ϕ) + dim(ker ϕ ∩ L) = dim V − dim ker ϕ dim ker ϕ + dim(ker ϕ ∩ L) = dim V − dim Im(ψ.ϕ) = dim ker(ψ.ϕ. b) Suy ra t câu a) v i chú ý r ng: ker ϕ ∩ L ⊂ ker ϕ c) Suy ra t l p lu n ch ng minh c a câu a). d) Suy ra t câu c) v i chú ý r ng: ker ψ ∩ Im ϕ ⊂ ker ψ. ♥ Problem 1.9. Gi s P, Q, R là các ma tr n vuông c p n. Ch ng minh r ng: rank(P Q) + rank(QR) ≤ rank Q + rank(P QR). Hint. S d ng bài t p 1.7 câu c) ta có: rank(P QR) = rank(P Q) − dim(ker(P Q) ∩ Im R) rank(QR) = rank Q − dim(ker Q ∩ Im R) Suy ra: rank(P Q) + rank(QR) = rank(P QR) + rank Q + dim(ker Q ∩ Im R) − dim(ker(P Q) ∩ Im R) ≤ rank(P QR) + rank Q ♥ Problem 1.10. Cho V và W là các không gian vector h u h n chi u. T : V −→ W là ánh x tuy n tính, X là không gian vector con c a không gian vector W Ch ng minh: dim(T −1 X ) ≥ dim V − dim W + dim X . Hơn n a n u T toàn ánh thì ta có đ ng th c. Hint. Xét ánh x tuy n tính: F : V /T −1 X −→ W/X đư c cho b i: F (x) = T (x). Khi đó F là đơn ánh. Th t v y, n u F (y ) = 0 thì T (y ) ∈ X do đó y ∈ T −1 X hay y = 0. T đó suy ra: dim(V /T −1 X ) ≤ dim(W/X ) hay dim V − dim T −1 X ≤ dim W − dim X. Vy dim T −1 X ≥ dim V − dim W + dim X. ♥
4 Problem 1.11. Cho f : E −→ E là m t t đ ng c u tuy n tính c a không gian vector h u h n chi u E. Ch ng minh r ng dim ker f 2 ≤ 2 dim ker f. ♥ Hint. Áp d ng bài t p 1.10 v i X = ker f. Problem 1.12. Cho A và B là các ma tr n vuông c p n. Ch ng minh r ng không gian nghi m c a hai phương trình AX = 0 và BX = 0 b ng nhau khi và ch khi t n t i ma tr n C kh ngh ch sao cho A = CB . Problem 1.13. Cho A là ma tr n vuông ph c c p n sao cho trAk = 0 v i k = 1, . . . , n. Ch ng minh r ng A là ma tr n lu linh. Hint. Gi s A có d ng chéo hoá Jordan v i các kh i Jordan tương ng v i các giá tr riêng λ1 , . . . , λm phân bi t. Khi đó Ak là ma tr n có các ph n t trên đư ng chéo chính là các giá tr riêng λk . T gi thi t tr(Ak ) = 0, 1 ≤ k ≤ m ta có h phương trình: i m µi λk = 0, ∀k = 1, ..., n. i i=1 T h này ta suy ra λi = 0, 1 ≤ i ≤ m. V y A s là ma tr n lu linh. ♥ Problem 1.14. Cho A, B là các ma tr n vuông c p n sao cho AB − BA = B. Ch ng minh r ng (1) Ak B = B k (A + kIn ), v i m i k ∈ N. (2) det(B ) = 0 và tr(B k ) = 0, v i m i k ∈ N. (3) B là ma tr n lũy linh. Problem 1.15. Cho A, B là các ma tr n vuông c p n, tho mãn đi u ki n: AB = BA = 0 và Im A ∩ ker A = {0}, Im B ∩ ker B = {0}. Ch ng minh r ng: rank(A + B ) = rank(A) + rank(B ). Hint. Ta có rank(A + B ) ≤ rank(A) + rank(B ). Gi s e1 , e2 , . . . , ek và u1 , u2 , . . . , us là các cơ s c a Im(A) và Im(B ) tương ng. Ta ch ng minh h vector e1 , e2 , . . . , ek , u1 , u2 , . . . , us đ c l p tuy n tính trong Im(A + B ). Th t v y, gi s λi ei + µj uj = 0, ta suy ra λi Aei + µj Auj = 0. T gi thi t AB = 0 ta có Im(B ) ⊂ ker(A), do đó ta suy ra λi Aei = 0, hay A( λi ei ) = 0. T đó ta có λi ei = 0. V y λi = 0. Tương t ta cũng có µj = 0. Tóm l i ta có h vector e1 , e2 , . . . , ek , u1 , u2 , . . . , us là cơ s c a Im(A + B ). ♥ V y rank(A + B ) = rank(A) + rank(B ). Problem 1.16. Cho A1 , A2 , . . . , Am là các ma tr n vuông đ i x ng c p n tho mãn đi u ki n Ai Aj = 0, ∀i = j . Ch ng minh r ng: rank(A1 ) + rank(A2 ) + · · · + rank(Am ) ≤ n. Problem 1.17. Ma tr n A đư c g i là pseudoreflection n u rank(A − I ) = 1. Ch ng minh r ng m i ma tr n A c p n là tích c a không quá n + 1 ma tr n pseudoreflection. Problem 1.18. Cho A là ma tr n ph c và k là m t s t nhiên. Ch ng minh r ng t n t i ma tr n X sao cho X k = A. Problem 1.19. Cho A là ma tr n ph c c p m sao cho dãy (An )∞ h i t đ n ma tr n B . n=1 Ch ng minh r ng B đ ng d ng v i ma tr n đư ng chéo mà các ph n t trên đư ng chéo chính b ng 0 ho c 1. Hint. Do A2n = An .An suy ra B 2 = B. V y ta có đi u c n ch ng minh. ♥
5 Problem 1.20. Cho W là không gian vector n-chi u, U và V là các không gian con c a W sao cho U ∩ V = {0}. Gi s u1 , u2 , . . . , uk ∈ U và v1 , v2 , . . . , uk ∈ V v i k > dim U + dim V . Ch ng minh r ng t n t i các s λ1 , λ2 , . . . , λk không đ ng th i b ng 0 sao cho k k λi u i = λi vi = 0. i=1 i=1 Kh ng đ nh trên còn đúng không n u k ≤ dim U + dim V. Hint. Chú ý r ng ta có đơn c u U × V −→ W nên s chi u c a U × V không quá n. ♥ Problem 1.21. Cho f là đa th c h s th c có b c n > 0 và p0 , p1 , p2 , . . . , pn là các đa th c h s th c và có b c dương. CMR, t n t i các s th c a0 , a1 , a2 , . . . , an không đ ng th i b ng n ai (pi (x))i chia h t cho f . không sao cho đa th c Q(x) = i=0 Problem 1.22. Cho V là m t không gian vector trên trư ng vô h n K và V1 , V2 , . . . , Vn là các không gian vector con c a V. Gi s n V= Vi . i=1 Ch ng minh r ng t n t i i sao cho V = Vi . Hint. Đ t A = V1 ∪ . . . ∪ Vn−1 . Ta s ch ng minh r ng Vn = V ho c Vn ⊂ A. T đó suy ra đi u ph i ch ng minh. Th t v y, gi s Vn = V và Vn ⊂ A. Khi đó t n t i các vector x ∈ V \ Vn và y ∈ Vn \ A. Khi đó ta có x + λy ∈ Vn , v i m i λ = 0. Do đó ta có x + y, x + 2y, . . . , x + ny ∈ / A = V1 ∪ . . . ∪ Vn−1 . Do đó t n t i các s nguyên k, l sao cho x + ky, x + ly ∈ Vi , t đó suy ra y ∈ Vi ⊂ A. Đi u này là mâu thu n. ♥ Problem 1.23. Cho dãy các t đ ng c u f1 f2 f1 fm V0 −→ V1 −→ V2 −→ · · · −→ Vm . Ch ng minh r ng m m dim ker fi − dim(Vi / Im fi ) = dim V0 − dim Vm . i=1 i=1 Hint. Trư c h t ta ch ng minh cho trư ng h p m = 1. T c là f1 : V0 −→ V1 , ta có dim V0 = dim Im f1 + dim ker f1 = dim V1 − dim(V1 / Im f1 ) + dim ker f1 . Do đó dim V0 − dim V1 = dim ker f1 − dim(V1 / Im f1 ). Tương t , ta có dim V0 − dim V1 = dim ker f1 − dim(V1 / Im f1 ) dim V1 − dim V2 = dim ker f2 − dim(V2 / Im f2 ) ··· dim Vm−1 − dim Vm = dim ker fm − dim(Vm / Im fm ). ♥ C ng v theo v các đ ng th c trên, ta có đi u c n ch ng minh. Problem 1.24. Cho f, g là các t đ ng c u tuy n tính c a không gian vector V n-chi u tho mãn đi u ki n f ◦ g = g ◦ f , g lu linh và rank(f ◦ g ) = rank(f ). Ch ng minh các kh ng đ nh sau: a) Im(f ) ∩ ker(g ◦ f ) = {0}, b) Im(f ) ∩ ker(g 2 ◦ f ) = {0}, c) T đó suy ra f = 0.
6 Problem 1.25. Cho f là m t đ ng c u tuy n tính c a không gian vector V n-chi u. Gi s V = L N , dim(N ) = m, 0 < m < n. Ch ng minh r ng t n t i s nguyên k, (k ≤ n2m ) sao cho V = f k (L) N . Problem 1.26. Cho ϕ là m t t đ ng c u tuy n tính c a không gian vector h u h n chi u V . a) Gi s đa th c t i ti u c a ϕ có phân tích p(t) = h(t)g (t), trong đó h, g là các đa th c nguyên t cùng nhau. Ch ng minh r ng: V = L1 L2 , v i L1 = ker(h(ϕ)), L2 = ker(g (ϕ)). b) Gi s đa th c t i ti u c a ϕ có phân tích p(t) = h1 (t) . . . hk (t), trong đó hi (t), 1 ≤ i ≤ k là các đa th c đôi m t nguyên t cùng nhau. Ch ng minh r ng: k V= Li , i=1 v i Li = ker(hi (ϕ)), 1 ≤ i ≤ k. Hint. a) Do h(t) và g (t) là hai đa th c nguyên t cùng nhau nên t n t i các đa th c u(t) và v (t) sao cho 1 = h(t)u(t) + g (t)v (t). Khi đó m i vector x đ u có phân tích duy nh t thành x = h(ϕ)u(ϕ)(x) + g (ϕ)v (ϕ)(x) trong đó h(ϕ)u(ϕ)(x) ∈ L2 và g (ϕ)v (ϕ)(x) ∈ L1 . ♥ 2. H NG VÀ Đ NH TH C Problem 2.1. Cho ma tr n vuông c p n y ··· y x   x · · · y y A = . . .. . . . . . . . . y y ··· x v i x, y là các s th c cho trư c. Tính Ak , v i k là m t s nguyên dương. Hint. Đ t 1 ··· 1 1   1 · · · 1 1 B = . . .. . . . . . . . . . 1 1 ··· 1 Ta có A = (x − y )In + yB. T đây ta tính An . ♥ c có b c không vư t quá n − 2, n ≥ 2. Problem 2.2. Cho f1 (x), f2 (x), fn (x) là các đa th Tính đ nh th c sau f1 (a1 ) f1 (a2 ) · · · f 1 ( an ) f2 (a1 ) f2 (a2 ) · · · f 2 ( an ) . . . .. . . . . . . . fn (a1 ) fn (a2 ) · · · f n ( an ) Hint. Xét không gian vector Rn−2 [x] g m các đa th c v i h s th c và có b c không quá n − 2. Ta có dim Rn−2 [x] = n − 1. Do đó các vector f1 (x), f2 (x), · · · , fn (x) là ph thu c tuy n tính, t c là t n t i các s th c λ1 , λ2 , . . . , λn không đ ng th i b ng không sao cho λ1 f1 (x) + λ2 f2 (x) + · · · + λn fn (x) = 0 v i m i x ∈ R. T k t qu này ta suy ra đ nh th c c a ma tr n f1 (a1 ) f1 (a2 ) · · · f1 (an ) f2 (a1 ) f2 (a2 ) · · · f2 (an ) . . . .. . . . . . . . fn (a1 ) fn (a2 ) · · · f n ( an ) ♥ b ng 0.
7 Problem 2.3. Cho a1 , a2 , . . . , an là các s th c. Ch ng minh r ng đ nh th c a1 a2 · · · an an a1 · · · an−1 . . .. . . . . . . . . a2 a3 · · · a1 b ng tích f ( 1 )f ( 2 ) · · · f ( n ), trong đó là các căn b n n c a đơn v , v i f (x) = a1 + a2 x + i · · · + an xn−1 . = 1, 2 , . . . , là n căn b c n c a 1. Ta có bi u di n Hint. G i 1 n ··· ··· a1 a2 · · · an 1 1 1 f (1) f ( 2) f ( n) ··· ··· an a1 · · · an−1 1 f (1) 2f ( 2) nf ( n) 2 n =. . . . . . . . .. . .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n−1 n−1 n−1 n−1 a2 a3 · · · a1 ··· ··· 1 f (1) f ( 2) n f ( n) 2 2 n ♥ Problem 2.4. Cho A là ma tr n vuông th c c p n và At là ma tr n chuy n v c a nó. Ch ng minh r ng At A và A cùng h ng. Hint. Trư c h t ta ch ng minh: dim(ker At A) = dim ker A. Rõ ràng: ker A ⊂ ker At A, ngư c l i gi s v ∈ ker At A thì At Av = 0, suy ra At Av, v = Av, Av = 0 hay Av = 0, t c là v ∈ ker A. Do v y dim(ker At A) = dim ker A, t đó ta có rank(At A) = rank A. ♥ Problem 2.5. Gi s P và Q là các ma tr n vuông c p n th a mãn các đi u ki n sau: P 2 = P, Q2 = Q và I − (P + Q) kh ngh ch. Ch ng minh r ng P và Q có h ng b ng nhau. Hint. Ta có: rank P = rank P (I − P − Q) = rank P Q rank Q = rank(I − P − Q)Q = rank P Q ♥ V y ta có đi u ph i ch ng minh. Problem 2.6. Cho A, B là hai ma tr n có tính ch t A2 = A, B 2 = B . Ch ng minh r ng A đ ng d ng v i B khi và ch khi rank(A) = rank(B ). Problem 2.7. Cho a1 b 1 0 0 ... 0 0    b 1 a2 b 2 0 ... 0 0   0 b 2 a3 b 3 ... 0 0    T =. . . . . . . . . . . . . ... . . . . . .   0 0 0 0 . . . an−1 bn−1  0000 . . . bn−1 an Gi s bi = 0, v i m i i. Ch ng minh r ng: a) rank T ≥ n − 1, b) T có n giá tr riêng phân bi t. Hint. a) Ma tr n con có đư c b ng cách b dòng 1, c t n có h ng b ng (n − 1). b) Gi s λ là giá tr riêng c a A t c là det(A − λI ) = 0. Theo câu a) rank(A − λI ) = n − 1 nên dim ker(A − λI ) = 1, suy ra không gian con riêng ng v i giá tr riêng λ là m t chi u. Do A là ma tr n đ i x ng nên A có đ n giá tr riêng k c b i. V y A có n giá tr riêng khác ♥ nhau. Problem 2.8. Cho (aij ) là ma tr n vuông c p n v i các aij là các s nguyên. a) Ch ng minh r ng n u s nguyên k là m t giá tr riêng c a A thì đ nh th c c a A chia h t cho k.
8 b) Gi s m là m t s nguyên và m i dòng c a A có t ng b ng m n aij = m, i = 1, 2, . . . , n. j =1 Ch ng minh r ng đ nh th c c a A chia h t cho m. Hint. a) Ta có det(A − λI ) = (−1)n λn + ... + ci (−1)i λi + ... + cn trong đó cn = det A (aij nguyên nên ci nguyên). N u k là giá tr riêng nên (−1)n k n + ... + ci (−1)i k i + ... + det A = 0 suy ra k là ư c c a det A. b) L y x = (1, ..., 1) ta có Ax = mx nên m là giá tr riêng c a A. Theo câu a) ta có m là ư c ♥ c a det A. Problem 2.9. Cho đ nh th c Vandermonde (ph c) 1 a0 a2 . . . an   0 0  1 a1 a2 . . . an  1 1 A = . . . , . . . . . ... . .. . 1 an a2 . . . an n n v i ai là các s ph c. a) Ch ng minh r ng A kh ngh ch khi và ch khi các ai đôi m t khác nhau. b) N u các ai đôi m t khác nhau và b1 , b2 , . . . , bn là các s ph c tùy ý. Ch ng minh r ng t n t i duy nh t đa th c f b c n v i h s ph c sao cho f (ai ) = bi , ∀i = 1, 2, . . . , n. (ai − aj ), do đó A kh ngh ch khi và ch khi các ai khác nhau t ng Hint. a) Ta có: det A = i>j đôi m t. b) Gi s f = c0 + c1 x + · · · + cn xn là m t đa th c b c n h s ph c sao cho f (ai ) = bi , ta có h phương trình n là ci , i− = 0, n n  c 0 + c 1 a1 + · · · + c n a1 = b 1    c 0 + c 1 a2 + · · · + c n an = b 2  2 ···    c 0 + c 1 an + · · · + c n an = b n  n h phương trình trên có đ nh th c Crame khác 0 nên có nghi m duy nh t. V y t n t i duy ♥ nh t đa th c f b c n v i h s ph c sao cho f (ai ) = bi . Problem 2.10. Cho ví d m t hàm liên t c f : R −→ R3 v i tính ch t là f (v1 ), f (v2 ), f (v3 ) l p thành m t cơ s c a R3 , trong đó v1 , v2 , v3 là các s th c phân bi t. Hint. Xét hàm f (t) = (1, t, t2 ) thì f là hàm liên t c. Khi đó n u ti , i = 1, 2, 3 khác nhau t ng đôi m t thì   t1 t2 1 1 t2 t2  = 0. det 1 2 t3 t2 1 3 ♥ Problem 2.11. Cho f1 , f2 , . . . , fn là các hàm nh n các giá tr th c liên t c trên [a, b]. Ch ng minh r ng {f1 , f2 , . . . , fn } ph thu c tuy n tính khi và ch khi b det fi (x)fj (x)dx = 0. a
9 Hint. Xét tích vô hư ng trên C [a, b] xác đ nh b i b f, g = f (x)g (x)dx. a Ta có C [a, b] là không gian Euclid và b det fi (x)fj (x)dx a chính là đ nh th c Gram c a h vector {f1 , f2 , . . . , fn }. T đó suy ra đi u ph i ch ng minh. ♥ Problem 2.12. Ký hi u M2 (R) là không gian các ma tr n vuông th c c p 2. Cho 12 21 A= , B= . −1 3 04 Xét phép bi n đ i tuy n tính L : M2 (R) −→ M2 (R) xác đ nh b i L(X ) = AXB. Hãy tính v t và đ nh th c c a L. Hint. Xét các ánh x tuy n tính LA (X ) = AX LB (X ) = XB. Ma tr n c a LA và LB l n lư c là:     =1 0 2 0 20 0 0 0 1 0 2 1 4 0 0 MA =   M = . 0  B 0 0  −1 0 3 2 0 0 −1 0 3 00 1 4 Suy ra det L = det LA . det LB = 26 .52 , T r(L) = T r(MA .MB ) = 24 ♥ Problem 2.13. Ký hi u M3 (R) là không gian các ma tr n vuông th c c p 3. Cho   10 0 0 2 0 A= 00 1 1 Xét phép bi n đ i tuy n tính L : M3 (R) −→ M3 (R) xác đ nh b i L(X ) = (AX + XA). Hãy 2 tính đ nh th c c a L. Hint. L y X = (xij ), ta có:   3 x11 2 x12 x13 3 3 L(X ) =  2 x21 2x22 x . 2 23 x31 3 x32 x33 2 3 81 D th y m i ma tr n Mij đ u là vector riêng c a L. Suy ra det L = 2.( )4 = . ♥ 2 8 Problem 2.14. Ký hi u M3 (R) là không gian các ma tr n vuông th c c p 3. Gi s A ∈ M3 (R), det A = 32 và đa th c t i ti u c a A là (λ − 4)(λ − 2). Xét ánh x tuy n tính: LA : M3 (R) −→ M3 (R) xác đ nh b i LA (X ) = AX. Hãy tính v t c a LA . Problem 2.15. Ký hi u M7 (R) là không gian các ma tr n vuông th c c p 7. Gi s A ∈ M7 (R) là m t ma tr n chéo v i đư ng chéo chính g m 4 h ng t +1 và 3 h ng t -1. Xét ánh x tuy n tính LA : M7 (R) −→ M7 (R) xác đ nh b i LA (X ) = AX − XA. Hãy tính rank LA . Problem 2.16. Cho F là m t trư ng, n và m là hai s nguyên, Mm×n là không gian các ma tr n c p m × n trên trư ng F . Gi s A và B là hai ma tr n c đ nh c a Mm×n . Xét ánh x tuy n tính L : Mm×n −→ Mm×n xác đ nh b i L(X ) = AXB. Ch ng minh r ng n u m = n thì L suy bi n.
10 Hint. Trư ng h p m > n. Ta vi t T = T1 ◦ T2 , trong đó T2 : Mn×m −→ Mn×n đư c xác đ nh b i: T2 (X ) = XB và T1 : Mn×n −→ Mm×n đư c cho b i: T1 (Y ) = AY . Vì dim Mn×m = nm > n2 = dim Mn×n nên T2 không đơn ánh, suy ra T cũng không đơn ánh hay T không kh ngh ch. ♥ Trư ng h p m < n xét tương t . Problem 2.17. Gi s A1 , A2 , . . . , An+1 là các ma tr n c p n. Ch ng minh r ng tìm đư c n + 1 s x1 , x2 , . . . , xn+1 không đ ng th i b ng 0 sao cho ma tr n x1 A1 + x2 A2 · · · + xn+1 An+1 suy bi n. Hint. G i v1 , v2 , . . . , vn+1 là các vector có to đ là c t đ u tiên c a các ma tr n A1 , A2 , . . . , An+1 tương ng. Khi đó n + 1 vector này ph thu c tuy n tính. Do đó t n t i n + 1 s th c x1 , x2 , . . . , xn+1 không đ ng th i b ng 0 sao cho x1 v1 + x2 v2 + · · · + vn+1 xn+1 = 0. Lúc đó ma tr n x1 A1 + x2 A2 + · · · + xn+1 An+1 có c t đ u tiên b ng 0 nên ma tr n x1 A1 + x2 A2 + · · · + xn+1 An+1 suy bi n. ♥ Problem 2.18. Cho A là ma tr n vuông c p n. Ch ng minh r ng n u A2 = E thì t ng h ng c a các ma tr n A − E và A + E b ng n (E là ma tr n đơn v ). Hint. Xem A là t đ ng c u tuy n tính c a Rn . Đi u c n ch ng minh rank(A − E ) + rank(A + E ) = n tương đương v i dim(ker(A − E )) + dim(ker(A + E )) = n. Th t v y, v i m i x ∈ Rn ta có 1 1 x = (x + Ax) + (x − Ax) 2 2 1 1 trong đó (x + Ax) ∈ ker(A − E ) và (x − Ax) ∈ ker(A + E ). 2 2 M t khác ker(A + E ) ∩ ker(A − E ) = {0} nên Rn = ker(A + E ) ker(A − E ), suy ra dim(ker(A − E )) + dim(ker(A + E )) = n. ♥ Problem 2.19. Cho A là ma tr n vuông th c c p n. Ch ng minh r ng: det(A2 + E ) ≥ 0. Khi nào thì đ ng th c x y ra. Problem 2.20. Ta vi t A2 + E = (A + iE )(A − iE ) = (A + iE )(A + iE ). Suy ra det(A2 + E ) = det(A + iE ) det((A + iE )) = det(A + iE )det(A + iE ) = | det(A + iE )|2 ≥ 0. V y det(A2 + E ) ≥ 0 đ ng th c x y ra khi và ch khi đa th c đ c trưng c a A nh n ±i làm nghi m. Problem 2.21. Cho tam th c b c hai p(x) = x2 + ax + b tho mãn p(x) ≥ 0, ∀x ∈ R và A là m t ma tr n vuông th c c p n. Ch ng minh r ng: det p(A) ≥ 0. Hint. T gi thi t ta có p(x) có hai nghi m ph c liên h p λ và λ, do đó p(x) = (x − λ)(x − λ), p(A) = (A − λE )(A − λE ) = (A − λE )(A − λE ). Suy ra det p(A) = | det(A − λE )|2 ≥ 0. ♥
11 Problem 2.22. Cho f (x) là đa th c h s th c có b c dương, h s d n đ u b ng 1 và f (x) ≥ 0, ∀x ∈ R, A là m t ma tr n vuông th c c p n. Ch ng minh r ng det f (A) ≥ 0. Hint. Do f (x) ≥ 0 ∀x ∈ R và h s d n đ u b ng 1 nên f (x) là tích c a các tam th c b c hai có d ng x2 + ax + b không âm v i m i x. Theo bài 2.21 ta có đpcm. ♥ Problem 2.23. Cho A là ma tr n vuông c p n. Ch ng minh r ng: det(AAt + E ) > 0, trong đó At là ma tr n chuy n v c a ma tr n A và E là ma tr n đơn v cùng c p v i A. Hint. Ta có (AAt + E ) là ma tr n đ i x ng nên nó là ma tr n c a m t d ng toàn phương. Hơn n a, d ng toàn phương này xác đ nh dương. Th t v y, v i m i x ∈ Rn ta có (AAt + E )x, x = AAt x, x + x, x = Ax, Ax + x, x > 0. Do đó các giá tr riêng c a A đ u dương, vì v y đ nh th c c a A b ng tích các giá tr riêng c a ♥ A cũng dương. Problem 2.24. Cho A và B là các ma tr n th c c p n. Ch ng minh r ng: det(AAt + BB t ) ≥ 0. Problem 2.25. Ch ng minh tính ch t sau c a đ nh th c Gram G(a1 , a2 , . . . , ak , b1 , . . . , bk ) ≥ G(a1 , . . . , ak )G(b1 , . . . , bl ). Đ ng th c x y ra khi và ch khi ai , bj = 0 (i = 1, . . . , k ; j = 1, . . . , l) ho c m t trong hai h vector {a1 , . . . , ak }; {b1 , . . . , bl } là ph thu c tuy n tính. Hint. Tr c giao hóa h vector {a1 , ..., ak , b1 , ..., kl } thành h vector tr c giao {α1 , ..., αk , β1 , ..., βl } và {b1 , ..., bl } thành {ρ1 , ..., ρl }. G i Li = a1 , ..., ak , b1 , ..., bk−1 và Ni là ph n bù tr c giao c a Li trong V. Ta có ⊥ V = Li Ni . Quá trình tr c giao hóa ta có bi = y i + ρ i , i− 1 ρj ∈ b1 , ..., bi−1 và yi ⊥ρi . v i yi = j =1 M t khác, ta có phân tích ρi = yi + zi , v i yi ∈ Li , xi ∈ Ni . Hơn n a, ta có bi = βi + xi , v i xi ∈ Li và βi tr c giao v i Li nên βi ∈ Ni . V y ta có 2 bi u di n bi = xi + βi và bi = (yi + yi ) + zi . Suy ra βi = zi và do đó βi = zi ≤ ρi . Ta l i có Gr(a1 , ..., ak , b1 , ..., bl ) = α1 , α1 ... αk , αk β1 , β1 ... βl , βl =Gr(a1 , ..., ak ). β1 , β1 ... βl , βl ≤Gr(a1 , ..., ak ). ρ1 , ρ1 ... ρl , ρl =Gr(a1 , ..., ak ).Gr(ρ1 , ..., ρl ) = Gr(a1 , ..., ak ).Gr(b1 , ..., bl ) ♥ Problem 2.26. Cho A là ma tr n đ i x ng th c c p n v i các đ nh th c con chính đ u không âm, A1 là m t ma tr n con c p k (k < n) góc trên trái c a ma tr n A và A2 là ma tr n con c p k − n góc dư i ph i c a ma tr n A. CMR, det(A) ≤ det(A1 ) det(A2 ). Problem 2.27. Cho A là ma tr n vuông c p n, g i B và C là các ma tr n t o b i k c t đ u và n − k c t cu i tương ng c a ma tr n A. Ch ng minh r ng det(A)2 ≤ det(B t B ) det(At A).
12 Problem 2.28. Cho A, B là 2 ma tr n vuông th c c p n, gi s det(A + B ) và det(A − B ) khác không. Ch ng minh r ng ma tr n AB M= BA kh ngh ch. Hint. Ta có bi u di n A−B In 0 AB In 0 0 = −In In In In BA 0 A+B Có th ch ng minh tr c ti p n u AB x =0 BA y ♥ thì x = y = 0. Problem 2.29. Cho f : V −→ V là m t t đ ng c u tuy n tính. Ch ng minh r ng t n t i k ∈ N sao cho V = Im f k ⊕ ker f k . Problem 2.30. Cho A là m t ma tr n vuông c p 2. Gi i phương trình sau AX − XA = 0. 3. D NG CHÍNH T C Problem 3.1. Cho 12 A= . 1 −1 Hãy bi u th A−1 như là m t đa th c c a A v i h s th c. Hint. Ta có đa th c đ c trưng c a A là: χA (λ) = λ2 − 3 1 . Do đó: A2 − 3I = 0 hay A2 = 3I , suy ra A kh ngh ch và A−1 = A. ♥ 3 Problem 3.2. V i x ∈ R, đ t   x 1 1 1 1 x 1 1 Ax =  . 1 1 x 1 1 1 1 x a) Ch ng minh r ng det Ax = (x − 1)3 (x + 3). b) Ch ng minh r ng n u x = 1, 3, thì A−1 = (x − 1)−1 (x + 3)−1 A−x−2 . x Hint. a) Tính toán tr c ti p ta có det Ax = (x − 1)3 (x + 3). b) N u x = 1, 3 thì Ax kh ngh ch và đa th c đ c trưng c a Ax là: χ(t) = (x − t − 1)3 (x − t + 3). Suy ra đa th c t i ti u c a Ax là: m(t) = (x − t − 1)(x − t + 3), do đó: ((x − 1)I − Ax )((x + 3)I − Ax ) = 0, khai tri n ta có đư c: (x − 1)(x + 3)I − 2(x − 1)Ax + A2 = 0. Nhân hai v v i x A−1 và bi n đ i ta có x A−1 = −(x − 1)−1(x + 3)−1 A−x−2 . x ♥
13 Problem 3.3. Tính A10 v i   3 11 A= 2 4 2 . −1 −1 1 Problem 3.4. Ch ng minh ho c đưa ra ph n ví d : V i m i ma tr n vuông ph c A c p 2, t n t i ma tr n vuông ph c B c p 2 sao cho A = B 2 . Hint. Ch n A = ( 0 1 ) thì s không có m t ma tr n vuông ph c B c p 2 nào mà A = B 2 . ♥ 00 Problem 3.5. Cho   0 0 0 1 0 0 0 0 A= . 0 0 0 0 0 0 0 0 V i s nguyên n nào thì s t n t i ma tr n vuông ph c X c p 4 sao cho X n = A. Problem 3.6. Kh ng đ nh sau đúng hay không: T n t i ma tr n vuông th c A c p n sao cho A2 + 2A + 5I = 0, n u và ch n u n là s ch n. Hint. Kh ng đ nh đúng. Gi s A t n t i, suy ra A có đa th c t i ti u chia h t t2 + 2t + 5 là đa th c b t kh qui trên R V y mA (t) = t2 + 2t + 5. Vì đa th c đ c trưng và đa th c t i ti u có cùng nhân t b t kh qui nên χA (t) = mA (t)k suy ra n = deg χA (t) ph i là s ch n. Ngư c l i, n ch n, ta th y A0 = 0 −5 là m t nghi m c a phương trình t2 + 2t + 5 = 0. Do 1 −2 n kh i A0 trên đư ng chéo chính là ma tr n th a mãn yêu c u c a đ đó ma tr n kh i g m 2 ♥ bài. Problem 3.7. Phương trình nào có nghi m là m t ma tr n vuông th c (không nh t thi t ph i ch ra nghi m):   000 X 3 = 1 0 0 230   350 2X 5 + X = 5 1 9 090 0 −1 X 6 + 2X 4 + 10X = 10   34 0 X 4 = 0 3 0  . 0 0 −3 Problem 3.8. Cho A và B là hai ma tr n th c c p n tho mãn đi u ki n t n t i ma tr n ph c V sao cho A = V BV −1 . Ch ng minh r ng t n t i m t ma tr n th c U sao cho A = U BU −1 . Hint. Gi s V = X + iY, trong đó X, Y là các ma tr n th c. T đ ng th c AV = V B, ta có A(X + iY ) = (X + iY )B, suy ra AX = XB và AY = Y B, do đó A(X + tY ) = (X + tY )B v i m i t ∈ R. M t khác xét đa th c p(z ) = det(X + zY ), z ∈ C. Ta có p(i) = 0 nên t n t i m t giá tr th c t0 sao cho p(t0 ) = 0. V y ta có A(X + t0 Y ) = B (X + t0 Y ) trong đó X + t0 Y là ma ♥ tr n kh ngh ch.
14 Problem 3.9. Cho x là s th c dương. H i có t n t i hay không m t ma tr n vuông th c c p 2 sao cho −1 0 A2004 = . 0 −1 − x Problem 3.10. Cho ma tr n:   2 −1 0 A = −1 2 −1 0 −1 2 Ch ng minh r ng: m i ma tr n B sao cho AB = BA có d ng: B = aI + bA + cA2 , v i a, b, c là các s th c nào đó. Problem 3.11. Cho A là ma tr n c p n có n giá tr riêng phân bi t. Ch ng minh r ng: m i ma tr n B giao hoán đư c v i ma tr n A đ u bi u di n đư c dư i d ng: B = f (A), v i f là m t đa th c h s th c, b c không quá n − 1. Hint. Do A có n giá tr riêng phân bi t nên A chéo hóa đư c, t c là t n t i ma tr n C kh ngh ch sao cho C −1 AC = P là ma tr n chéo. Khi đó, ma tr n B giao hoán đư c v i A khi và ch khi ma tr n Q = C −1 BC giao hoán đư c v i P . Gi s :   λ1 0 · · · 0  0 λ2 · · · 0    P = · · · · · · · · · · · ·   · · · · · · · · · · · · 0 · · · 0 λn trong đó λi là các giá tr th c khác nhau t ng đôi m t. B ng cách th tr c ti p ta có: Q giao hoán đư c v i P khi và ch khi Q có d ng:   µ1 0 · · · 0  0 µ2 · · · 0    Q = · · · · · · · · · · · ·    · · · · · · · · · · · ·  0 · · · 0 µn trong đó µi là các giá tr th c nào đó. Bây gi ta c n tìm các s th c α0 , α1 , ..., αn−1 sao cho Q = α0 I + α1 P + · · · + αn−1 P n−1 Đi u này th c hi n đư c nh vi c gi i h phương trình tuy n tính:   x0 + λ1 x1 + · · · + λ1 −1 xn−1 = µ1 n    x + λ x + · · · + λn−1 x  n−1 = µ2 0 21 2 ···························    x + λ x + · · · + λn−1 x  =µ n−1 0 n1 n n T đó ta suy ra: B = α0 I + α1 A + · · · + αn−1 An−1 ♥ Problem 3.12. Cho A, B là các ma tr n vuông c p n. Ch ng minh r ng n u B giao hoán v i m i ma tr n giao hoán đư c v i A thì t n t i m t đa th c f (t) sao cho B = f (A). Hint. Cho A là ma tr n th c c p n × m. Ch ng minh r ng t n t i ma tr n th c B c p n sao cho AAt = B 2004 ♥
15 Problem 3.13. Cho A ∈ Mn (R) là ma tr n lũy linh. Gi i các phương trình sau X − AX − A = 0 và X + AX + A = 0. Hint. Do A là ma tr n lũy linh nên An = 0. Khi đó In − A là ma tr n kh ngh ch và (In − A)−1 = I + A + A2 + · · · + An−1 . T phương trình X − AX − A = 0 ta có X = (I − A)−1 A = A + A2 + · · · + An−1 . ♥ Problem 3.14. Cho A là ma tr n c p n tho A2 = A. Ch ng minh r ng phương trình AX − XA = 0 có nghi m, c n và đ là: t n t i ma tr n X0 sao cho X = AX0 + X0 A − X0 . ♥ Hint. Đưa A v d ng chéo. Problem 3.15. Cho A là ma tr n vuông c p n tho mãn đi u ki n A2 = A. Hãy tính đa th c đ c trưng c a A. Hint. Đáp s χA (λ) = (1 − λ)r (−λ)n−r , v i r là h ng c a A. ♥ Problem 3.16. Cho A và B là hai ma tr n lu linh, AB = BA. Ch ng minh r ng a) A + B cũng là m t ma tr n lũy linh. b) I − A kh ngh ch. c) det(I + A) = 1. d) I + A + B kh ngh ch. Problem 3.17. Cho A là ma tr n lũy linh và f (t) là m t đa th c v i h s t do khác 0. Ch ng minh r ng ma tr n f (A) kh ngh ch. (1) Cho A, B ∈ Mn (K), AB = BA, B = 0 và A là ma tr n lũy linh. Ch ng Problem 3.18. minh r ng rank(AB ) ≤ rank(B ) − 1. (2) Cho A1 , A2 , · · · , An ∈ Mn (K) là các ma tr n lũy linh giao hoán v i nhau t ng đôi m t. Ch ng minh r ng n Ai = 0. i=1 Hint. Do A là ma tr n lũy linh nên d ng chéo hóa Jordan c a A có d ng 0 ··· 0   0 ... ...  1 0  . .. . .. . . . . . . ··· 1 0 0 Do đó t n t i m t cơ s {u1 , u2 . . . , un } c a Rn sao cho A(u1 ) = u2 , A(u2 ) = u3 , · · · , A(un−1 ) = un và A(un ) = 0. Ta s ch ng minh n u rank(AB ) = rank(B ) thì B = 0, t c là Im(B ) = {0} . Th t v y, ta có Im(B ) = Im(AB ) = A(Im(B )) = A(span{Bu1 , Bu2 , . . . , Bun }) = span{ABu1 , ABu2 , . . . , ABun } =span{Bu2 , Bu3 , . . . , Bun } Tương t Im(B ) = Im(AB ) = A(Im(B )) = A(span{Bu2 , Bu3 , . . . , Bun }) = span{ABu2 , ABu3 , . . . , ABun } =span{Bu3 , Bu4 , . . . , Bun } Ti p t c quá trình trên, ta có Im(B ) = span{Bun } = {0} . V y rank(AB ) < rank(B ). ♥ 2) Suy ra t 1). Problem 3.19. Cho N là ma tr n (ph c) lu linh và r là m t s nguyên dương. Ch ng minh r ng t n t i ma tr n ph c A sao cho Ar = I + N.
16 4. VECTOR RIÊNG VÀ GIÁ TR RIÊNG Problem 4.1. Cho M là ma tr n vuông th c c p 3, M 3 = I và M = I. a) Tìm các giá tr riêng c a M. b) Cho m t ma tr n có tính ch t như th . Hint. a) Do M là nghi m c a đa th c x3 − 1 nên đa th c t i ti u c a M ph i là ư c c a x3 − 1. M t khác, M có ít nh t m t giá tr riêng th c, nên đa th c t i ti u có nhân t (x-1). Vì M = I nên đa th c t i ti u c a M không th là x − 1. Do đó đa th c t i ti u c a M là m(x) = x3 − 1. V y M có duy nh t m t giá tr riêng th c là 1. b) M t ma tr n có tính ch t như v y là: 1 0 0   √ 3 1 M = 0 2 2 √ 3 1 0− 2 2 ♥ Problem 4.2. Cho F là m t trư ng, n và m là các s nguyên và A là m t ma tr n vuông c p n v i các ph n t trong F sao cho Am = 0. Ch ng minh r ng: An = 0. Hint. Do An = 0 nên đa th c t i ti u p(x) c a A ph i là ư c c a xm . Suy ra p(x) = xk , v i k ≤ n. V y An = 0. ♥ Problem 4.3. Cho V là không gian vector h u h n chi u trên trư ng s h u t Q, M là m t t đ ng c u c a V, M (x) = x, ∀x ∈ V \ 0. Gi s M p = IdV , v i p là m t s nguyên t . Ch ng minh r ng s chi u c a V chia h t cho p − 1. Hint. Do M p = I nên đa th c t i ti u p(x) c a M ph i là ư c c a xp − 1 = (x − 1)(xp−1 + . . . + 1) Do M (x) = x v i m i x = 0 nên 1 không là giá tr riêng, suy ra p(x) là ư c c a (xp−1 + . . . + 1). Nhưng (xp−1 + . . . + 1) là đa th c kh qui trên trư ng Q nên p(x) = (xp−1 + . . . + 1). M t khác, đa th c đ c trưng χM và đa th c t i ti u có chung nhân t b t kh qui. Do đó χM (x) = (p(x))k , k ≥ 1. V y dim V = rank M = deg χM = k (p − 1). ♥ Problem 4.4. Ch ng minh r ng ma tr n   1 1+m 1 1 + m 1 1 + m (m > 0) 1 1+m 1 có m t giá tr riêng dương và m t giá tr riêng âm. Problem 4.5. Cho a, b, c là các ph n t b t kì c a trư ng F, hãy tính đa th c t i ti u c a ma tr n   00a 1 0 b  . 01c Hãy t ng quát hóa k t qu trên. Hint. Đa th c đ t trưng là χ(t) = t3 − ct2 − bt − a. Ta s ch ng t đây là đa th c t i ti u. Th t v y, ch n x0 = (1, 0, 0), khi đó x0 , Ax0 = (0, 1, 0), A2 x0 = (0, 0, 1) là đ c l p tuy n tính. Gi s A là nghi m c a m t đa th c b c 2, t c là k1 A2 + k2 A + k3 I = 0, suy ra k1 A2 x0 + k2 Ax0 + k3 x0 = 0 và ta có k1 = k2 = k3 = 0, đi u này là vô lý. V y đa th c t i ti u ph i có b c 3, hay χ(t) = t3 − ct2 − bt − a. ♥
17 Problem 4.6. Gi s A, B là các t đ ng c u c a không gian vector h u h n chi u V trên trư ng F. Đúng hay sai các kh ng đ nh sau: (1) M i vector riêng c a AB là m t vector riêng c a BA. (2) M i giá riêng c a AB là m t giá riêng c a BA. Hint. a) Sai, ch n h n A = ( 1 1 ) , B = ( 1 1 ). 11 01 b) Đúng. Gi s λ = 0 là giá tr riêng ng v i vector riêng x c a AB . Khi đó BA(Bx) = B (ABx) = λBx nên λ s là giá tr riêng c a BA (vì B (x) = 0). N u λ = 0 là m t giá tr riêng ♥ c a AB thì BA cũng suy bi n, do đó BA cũng có giá tr riêng là 0. Problem 4.7. Cho A, B là các ma tr n ph c sao cho A2 = B 2 = I. Ch ng minh r ng t n t i m t không gian vector con 1-chi u ho c 2-chi u b t bi n đ i v i A và B. Problem 4.8. Cho ab A= cd là m t ma tr n th c v i a, b, c, d > 0. Ch ng minh r ng A có m t vector riêng x ∈ R2 , y v i x, y > 0. Hint. Đa th c đ c trưng c a A: χA (t) = t2 − (a + d)t + ad − bc có nghi m 1√ 1 1 ∆ = (a + d ± (a − d)2 + 4bc). t1,2 = (a + d) ± 2 2 2 1 Đ t λ = 2 (a + d + (a − d)2 + 4bc) và v = (x, y ) là vector riêng ng v i x > 0. Bi u di n h ng t đ u tiên c a Av ta đư c: √ 1 ax + by = (a + d + ∆)x 2 √ 2by = (d − a + ∆)x. √ Do b > 0 và d − a + ∆ > 0 nên y > 0. ♥ Problem 4.9. Cho A là ma tr n vuông ph c c p n và P (t) là m t đa th c b c m. Ch ng minh r ng n u λ1 , λ2 , . . . , λn là các giá tr riêng c a ma tr n A thì: 1) |P (A)| = P (λ1 ).P (λ2 ) . . . P (λn ). 2) P (λ1 ), P (λ2 ), . . . , P (λn ) là các giá tr riêng c a P (A). Hint. 1) G i ϕ(λ) = |A − λE | là đa th c đ t trưng c a ma tr n A. G i P (t) là đa th c b c m và α1 , α2 , . . . αm là các nghi m (th c ho c ph c k c b i) c a P (t). Ta có: ϕ(λ) = (−1)n (λ − λ1 )(λ − λ2 )...(λ − λn ) P (t) = c(t − α1 )(t − α2 )...(t − αm ). Do đó P (A) = c(A − α1 E )(A − α2 E )...(A − αm E ), m |P (A)| = cn |A − α1 E |.|A − α2 E |...|A − αm E | = cn ϕ(αi ). i=1 M t khác: n n ϕ(αi ) = (−1) (αi − λ1 )(αi − λ2 )...(αi − λn ) = (λj − αi ) j =1
18 Vì v y m m n n n |P (A)| =c (λj − αi ) ϕ(αi ) = c i=1 i=1 j =1 n m n (λj − αi ) = = c P (λj ). j =1 i=1 j =1 2) Đ t p(t) = P (t) − λ và áp d ng k t qu trên ta có: |p(A)| = p(λ1 ).p(λ2 )...p(λn ) hay |P (A) − λE | = (−1)n (λ − P (λ1 ))(λ − P (λ2 ))...(λ − P (λn )). ♥ V y các giá tr riêng c a P (A) là P (λ1 ), P (λ2 ), . . . , P (λn ). Problem 4.10. Cho A và B là các ma tr n đ i x ng th c tho mãn AB = BA. Ch ng minh r ng A và B có chung 1 vector riêng trong Rn . Problem 4.11. G i S là t p không r ng g m các ma tr n ph c c p n giao hoán đư c v i nhau t ng đôi m t. Ch ng minh r ng các ph n t c a S có chung m t vector riêng Problem 4.12. G i A và B là các ma tr n ph c c p n sao cho AB = BA2 . Gi s r ng A không có các giá tr riêng có mođun b ng 1, ch ng minh r ng A và B có chung m t vectơ riêng. Problem 4.13. Cho ϕ là t đ ng c u tuy n tính chéo hoá đư c c a Rn . Ch ng minh r ng không gian con W c a Rn là b t bi n đ i v i ϕ khi và ch khi trong W ch n đư c m t cơ s g m các vector riêng c a ϕ. Problem 4.14. Cho A và B là hai ma tr n chéo hoá đư c và giao hoán đư c v i nhau. Ch ng minh r ng t n t i m t cơ s c a Rn g m toàn các vector riêng c a A và B . Problem 4.15. Cho A là ma tr n ph c c p n và đa th c t i ti u p có b c k . 1) Ch ng minh r ng n u λ không là giá tr riêng c a A thì t n t i m t đa th c pλ b c k − 1 sao cho pλ (A) = (A − λE )−1 . 2) G i λ1 , λ2 , . . . , λk là các s ph c phân bi t và không là giá tr riêng c a A. Ch ng minh r ng: t n t i các s ph c c1 , c2 , . . . , ck sao cho k ck (A − λk E )−1 = E. i=1 Hint. Xét đ ng th c pλ (A)(A − λE ) = p(A) − p(λ)E = p(λ)E suy ra đư c đa th c pλ . V i m i λi t n t i các pλi tương ng. Xét h phương trình theo các n ci ta thu đư c h Crammer do ♥ đó t n t i các ci c n tìm. Problem 4.16. Cho A là ma tr n vuông c p n và B là ma tr n vuông c p m, A và B không có giá tr riêng chung. Ch ng minh r ng (1) N u ma tr n X c p n × m sao cho AX − XB = 0 thì X = 0. (2) Phương trình AX − XB = C, v i C là ma tr n c p n × m có không quá m t nghi m X ∈ Mn×m (K). Hint. k k (x − λi )µi . Ta có q (B ) = (B − (1) G i q (x) là đa th c t i ti u c a B. Gi s q (x) = i=1 i=1 λi Im )µi = 0. T gi thi t ta có (A − λIn )k X = X (B − λIm )k , v i m i λ, v i m i k ∈ N. k k (A − λi Im )µi X = X (B − λi Im )µi = 0. Vì các giá tr riêng λi c a B T đó suy ra i=1 i=1 không là giá tr riêng c a A nên các ma tr n (A − λi In ) đ u kh ngh ch. V y X = 0.
19 (2) Suy ra t câu 1. ♥ Problem 4.17. Cho A, B là các ma tr n vuông ph c c p n sao cho rank(AB − BA) ≤ 1. Ch ng minh r ng t n t i vector riêng chung c a A và B. Problem 4.18. Cho E, F là các không gian vector h u h n chi u trên trư ng K và f, g là các ánh x tuy n tính t E vào F. Ch ng minh r ng rank(f + g ) = rank(f ) + rank(g ) khi và ch khi Im(f ) ∩ Im(g ) = {0} ker f + ker g = E Hint. T gi thi t, ta có dim Im(f + g )) = dim Im(f ) + dim Im(g ). M t khác ta có dim Im(f + g ) ≤ dim(Im(f ) + Im(g )) = dim Im(f ) + dim Im(g ) − dim(Im(f ) ∩ Im(g )). Suy ra dim(Im(f ) ∩ Im(g )) = {0} , hay Im(f ) ∩ Im(g ) = {0} . V y Im(f + g ) = Im(f ) ⊕ Im(g ). Suy ra Im(f ) ⊂ Im(f + g ). Do đó v i m i x ∈ E, ta có f (x) = (f + g )(t) = f (t) + g (t). Suy ra g (t) = f (x − t) ∈ Im(f ) ∩ Im(g ) = {0} nên t ∈ ker g và x − t ∈ ker f. V y x = (x − t) + t ∈ ker f + ker g, t c là ker f + ker g = E. Ngư c l i, t gi thi t ker f + ker g = E, ta ch ng minh Im(f + g ) = Im(f ) + Im(g ). T đó suy ra đi u c n ch ng minh. Th t v y, ta có Im(f + g ) ⊂ Im(f ) + Im(g ). N u f (u) + g (v ) ∈ Im(f ) + Im(g ) thì ta có phân tích u = x + y và v = z + t, v i x, z ∈ ker f và y, t ∈ ker g. Khi đó f (u) + g (v ) = (f + g )(y + z ) ∈ Im(f + g ). ♥ Problem 4.19. Cho A là ma tr n vuông c p n và rank(A) = r. Đ t S = {X ∈ Mn×m (K) : AX = 0} . Tính dim(S ). Problem 4.20. Gi s A là ma tr n c p n h ng r. Tìm s nghi m đ c l p tuy n tính c a phương trình AX = 0 v i X là ma tr n c p n. Hint. Do A là ma tr n c p n có h ng r nên t n t i các ma tr n kh ngh ch P, Q sao cho A = P In,r Q v i In,r là ma tr n có d ng: Ir 0 In,r = , 00 (t c là ma tr n có r ph n t đ u tiên trên đư ng chéo chính b ng 1 các ph n t còn l i b ng 0). Ta có nh n xét sau: k ma tr n X1 , . . . , Xk đ c l p khi và ch khi các ma tr n QX1 , . . . , QXk đ c l p tuy n tính (do Q là ma tr n kh ngh ch). Phương trình AX = 0 tương đương v i In,r QX = 0, nên t nh n xét trên đ tìm s nghi m đ c l p tuy n tính c a phương trình AX = 0 ta ch c n đi tìm s nghi m đ c l p tuy n tính c a phương trình In,r Y = 0. Ma tr n Y tho phương trình In,r Y = 0 ph i có d ng sau: n−r r r 0 0 Y= n−r Y1 Y2 Suy ra s nghi m đ c l p tuy n tính c a phương trình AX = 0 là n(n − r). ♥ Problem 4.21. Cho phương trình AX = B , trong đó A là hai ma tr n cho trư c c p n, X là n (X là ma tr n c p n). Ch ng minh r ng phương trình trên có nghi m khi và ch khi rank(A) = rank(A|B ), trong đó (A|B ) là ma tr n c p n × 2n có đư c b ng cách ghép ma tr n B vào bên ph i ma tr n A. AB Problem 4.22. Cho A, B, C, D là các ma tr n c p n, AC = CA. Đ t M = . Ch ng CD minh r ng det(M ) = det(AD − BC ).
20 I 0 AB , v i Y = D − CA−1 B . Hint. Gi s A kh ngh ch, ta phân tích: M = −1 CA I 0Y N u A tuỳ ý thì thay A b i A − λI và áp d ng l p lu n trên. ♥ Problem 4.23. Cho không gian vector E và E = M ⊕ N , g i p là phép chi u lên M theo phương N . Cho u là toán t tuy n tính c a E . Ch ng minh r ng: a) M là không gian con b t bi n c a u n u và ch n u pup = up. b) M và N đ u b t bi n qua u khi và ch khi pu = up. Problem 4.24. N u u là toán t tuy n tính v i trên không gian vector h u h n chi u và n u u giao hoán v i m i phép chi u có h ng 1, thì u = λI . Problem 4.25. Cho u là toán t tuy n tính trên không gian vector h u h n chi u. CMR a) N u u chéo hoá đư c và t n t i n ∈ N sao cho um+1 = um , n u và ch n u u là phép chi u. b) N u u chéo hoá đư c và um = I v i m t giá tr m ∈ N∗ , thì u2 = I . Problem 4.26. Cho u là toán t trên không gian vector ph c n-chi u. Ma tr n c a u đ i v i m t cơ s nào đó có d ng: 0 0 . . 0 λ1   0 0 . . λ2 0  . . . .. .   M = . . . .. .   0 λ n−1 . . 0 0 λn 0 . .00 CMR, u chéo hoá đư c khi và ch khi v i m i k ∈ {1, 2, . . . , n}, n u λk = 0, thì λn+1−k = 0. Tìm đa th c t i ti u c a u2 . Problem 4.27. Cho u và v là các toán t chéo hoá đư c c a không gian vector h u h n chi u E . CMR, t n t i đ ng c u tuy n tính f c a E sao cho f ◦ u = v ◦ f khi và chi khi u và v có t p các giá tr riêng trùng nhau và các không gian riêng ng v i t ng giá tr riêng c a u và v có cùng s chi u. Problem 4.28. Cho u và v là các toán t chéo hoá đư c trên không gian vector E n-chi u. CMR, các kh ng đ nh sau là tương đương. a) uv = vu. b) T n t i m t cơ s c a E g m toàn các vector riêng c a u và v . c) T n t i m t toán t w chéo hoá đư c c a E và các đa th c f, g ∈ R[x], h ∈ R[x, y ] sao cho u = f (w), v = g (w), w = h(u, v ). T đó suy ra, m t toán t trên E giao hoán đư c v i u và v khi và ch khi nó giao hoán đư c v i w. Problem 4.29. Cho u1 , u2 , . . . , um là các toán t chéo hoá đư c c a không gian vector E n-chi u. CMR, các kh ng đ nh sau là tương đương: a) ui uj = uj ui v i m i i, j ∈ [1, m]. b) T n t i m t cơ s c a E g m toàn các vector riêng c a ui . c) T n t i toán t w chéo hoá đư c c a E và các đa th c f1 , f2 , . . . , fm ∈ R[X ], h ∈ R[X1 , X2 , . . . , Xm ] sao cho fi (w) = ui , 1 ≤ i ≤ m và h(u1 , u2 , . . . , um ) = w. Problem 4.30. Cho E là không gian vector h u h n chi u và A ∈ Aut(E ). Ch ng t các đi u ki n sau là tương đương: (i) A = I + N , trong đó N là t đ ng c u lu linh. (ii) T n t i m t cơ s c a E sao cho ma tr n c a t đ ng c u A đ i v i cơ s đó có m i ph n t n m trên đư ng chéo chính b ng 1 còn m i ph n t n m ngoài đư ng chéo chính đ u b ng 0. (iii) T t c các nghi m c a đa th c đ c trưng c a t đ ng c u A (trong trư ng đóng đ i s ) đ u b ng 1.