Đề thi Olympic Toán sinh viên năm 2014 môn Đại số - Hội Toán học Việt Nam

Chia sẻ: Thai Vu Song Nga | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

342
lượt xem 72
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề thi Olympic Toán sinh viên năm 2014 môn Đại số giúp các bạn học sinh giỏi có thêm những cơ hội để đánh giá kiếm thức của mình về: Số thực, đạo hàm của đa thức, Vecto... và thêm tự tin để bước vào kì thi Olympic sắp tới được tốt hơn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi Olympic Toán sinh viên năm 2014 môn Đại số - Hội Toán học Việt Nam

H I TOÁN H C VI T NAM Đ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN NĂM 2014 Môn thi: Đ i s Th i gian làm bài: 180 phút Bài 1. a) Ch ng minh r ng:   1 a1 a1 (a1 − 1) a1 (a1 − 1)(a1 − 2) 1 a2 a2 (a2 − 1) a2 (a2 − 1)(a2 − 2) det  1 a3 a3 (a3 − 1) = (aj − ai ). a3 (a3 − 1)(a3 − 2) 1≤i
Bài 1. a) Ch ng minh r ng:   1 a1 a1 (a1 − 1) a1 (a1 − 1)(a1 − 2) 1 a2 a2 (a2 − 1) a2 (a2 − 1)(a2 − 2) det  1 a3 a3 (a3 − 1) = (aj − ai ). a3 (a3 − 1)(a3 − 2) 1≤i
Bài 2. Cho các s th c phân bi t a1 , a2 , a3 . Ch ng minh r ng v i m i b s th c b1 , b2 , b3 t n t i duy nh t m t đa th c P (x) b c không quá 5 th a mãn: P (ai ) = P (ai ) = bi , i = 1, 2, 3, đây P ký hi u đ o hàm c a đa th c P . Gi i. Gi thi t P (x) = 5 ci xi . T các đi u ki n c a bài toán ta suy ra m t h 6 phương trình i=0 tuy n tính v i 6 n là c0 , . . . , c5 : 5 5 ai ci = bk , k iai−1 ci = bk , k k = 1, 2, 3 i=0 i=1 N u b1 = b2 = b3 = 0 thì đa th c 0 là đa th c duy nh t th a mãn. Th t v y, t gi thi t suy ra P (x) = i (x − ai )Q(x) v i Q(x) là đa th c b c không quá 2. T h th c P (ai ) = 0 ta suy ra Q(ai ) = 0. Do đó Q ≡ 0. Theo trên, khi các h s bk đ u b ng 0 thì h có nghi m duy nh t. Do đó ta suy h có nghi m duy nh t v i m i b bk . Cách khác: - Xét ánh x φ t không gian các đa th c b c ≤ 5 v i h s th c vào R6 g i m i đa th c P lên (P (a1 ), P (a1 ), . . . , P (a3 ), P (a3 )). Bài toán yêu c u ch ng minh φ là m t song ánh. Hi n nhiên φ là ánh x tuy n tính gi a các không gian có cùng s chi u b ng 6. D dàng ki m tra đư c r ng ker φ = 0 và bài toán đư c ch ng minh. - Cũng có th xây d ng tr c ti p đa th c P (x) b ng phương pháp n i suy. • Thi t l p công th c n i suy Lagrange • Xác đ nh đư c đa th c b c 2 nh n giá tr t i ai • K t thúc bài toán
Bài 3. a) Ký hi u V4 là không gian vec tơ các đa th c v i h s th c v i b c không quá 4. Đ nh nghĩa 4 f (i) ánh x e : V4 → V4 như sau: v i m i đa th c f ∈ V4 , e(f ) := , trong đó f (i) ký hi u đ o i=0 i! hàm b c i c a f , (f (0) = f ). Ch ng minh r ng e là m t ánh x tuy n tính kh ngh ch t V4 vào chính nó. ∞ f (i) b) Ký hi u V là không gian vec tơ các đa th c v i h s th c. V i m i đa th c f , đ t e(f ) := . i=0 i! Ch ng minh r ng e là m t ánh x tuy n tính kh ngh ch t không gian V vào chính nó. Gi i. a) • Thi t l p ma tr n ánh x đ o hàm trong h cơ s 1, x, . . . , x4 /4! • Do ma tr n c a e theo cơ s trên là chéo nên kh ngh ch b) Theo công th c Taylor, ta có, v i m i f ∈ R[x] thì ∞ f (i) (x) f (x + 1) = . i=0 i! Nói cách khác, e(D) g i đa th c f (x) lên f (x + 1). Hi n nhiên đây là m t ánh x tuy n tính kh ngh ch. Ghi chú: Thí sinh có th dùng phương pháp c a câu a) đ gi i câu b). Thí sinh có th ch ng minh câu b) trư c, t đó suy ra câu a).
Em B Bài 4. a) Cho ma tr n kh i X = đư c t o thành t các ma tr n đơn v Em , En c p C En m, n tương ng và các ma tr n B, C v i kích thư c m × n và n × m tương ng. Ch ng minh r ng det(X) = det(En − CB) = det(Em − BC). AB b) T ng quát, cho ma tr n kh i X = , trong đó A, D là các ma tr n vuông, A kh ngh ch, CD ch ng minh r ng det(X) = det(A) det(D − CA−1 B). L i gi i. S d ng bi n đ i sơ c p theo hàng ta có Em B det(X) = det 0 En − CB T đó s d ng khai tri n Laplace ta có đi u ph i ch ng minh. b) V i A kh ngh ch, ta có khai tri n A 0 Em A−1 B X= . 0 En C D Em A−1 B S d ng các bi n đ i sơ c p đ i v i ma trân như trong câu a) ta có đi u ph i C D ch ng minh.
Bài 5. a) Cho P là m t đa th c b c n v i h s h u t . Gi s s th c a là m t nghi m c a P v i b i > n/2. Ch ng minh r ng a là m t s h u t . Gi i. Ph n ch ng. Gi s a vô t . Gi s P = P1 · · · Pk v i P1 , . . . , Pk là các đa th c h s h u t và b t kh qui trên Q. B i vì a là nghi m c a P , dĩ nhiên a là nghi m c a m t s đa th c Pi . Không m t t ng quát, gi s P1 , . . . , Pm nh n a làm nghi m. Do P1 , . . . , Pm có h s h u t và nh n s vô t a làm nghi m ta suy ra chúng có b c ≥ 2. Ta nh c l i k t qu quen bi t sau đây: m i đa th c b t kh qui trên Q ch có nghi m đơn trong R (trong b t kì trư ng ch a Q). T đó suy ra b i c a a trong P b ng m. Suy ra n deg P ≥ deg P1 P2 · · · Pm ≥ 2m > 2 = n. 2 Đây là đi u mâu thu n c n tìm và bài toán đư c gi i quy t. Nh n xét: bài toán còn có nhi u ti p c n khác: qui n p theo b c c a P , xét iđêan c a Q[x] g m các đa th c nh n a làm nghi m, v.v.
Bài 5. b) Trên hình vuông ABCD ta đ nh nghĩa đư ng đi gi a hai đ nh X, Y (không nh t thi t phân bi t) là m t dãy các đ nh k nhau XX1 X2 . . . Xn−1 Y : như v y X0 = X, X1 , . . . , Xn−1 , Xn = Y là các đ nh c a hình vuông và Xi Xi+1 là c nh c a hình vuông, s n đư c g i là đ dài c a đư ng đi. V i m i s t nhiên n, g i xn , yn , zn tương ng là s các đư ng đi đ dài n gi a: m t đ nh và chính nó, m t đ nh và m t đ nh c đ nh k nó, m t đ nh và đ nh đ i di n (đ nh đ i x ng qua tâm). Ví d , x0 = 1, y0 = 0, z0 = 0, x1 = 0, y1 = 1, z1 = 0, x2 = 2, y2 = 0, z2 = 2. 1) Thi t l p công th c truy h i c a xn , yn , zn ; 2) Tìm công th c t ng quát c a xn , yn , zn . Gi i. 1) Theo đ nh nghĩa xn là s đư ng đi đ dài n gi a A và A. M t đư ng đi b t đ u t A và k t thúc t i A, ngay trư c khi k t thúc ph i d ng l i t i B ho c D. Đi u này cho th y m t đư ng đi đ dài n gi a A và chính nó đư c t o thành t m t đư ng đi đ dài n − 1 t A t i B và c nh BA ho c m t đư ng đi đ dài n − 1 t A t i D và c nh DA. T đó suy ra xn = 2yn−1 . Tương t , m t đư ng đi đ dài n t A t i B đư c t o thành t m t đư ng đi đ dài n − 1 t A t i A và c nh AB ho c m t đư ng đi đ dài n − 1 t A t i C và c nh CB. Do đó yn = xn−1 + zn−1 . Tương t ta có zn = 2yn−1 . M t cách tương đương, ta có      0 2 0 xn−1 xn 1 0 1  yn−1  =  yn  . 0 2 0 zn−1 zn 2) Ta có xn = zn = 2yn−1 v i m i n. T đó yn = 2xn−1 = 4yn−2 . Quan h yn = 4yn−2 cùng v i giá tr ban đ u y0 = 0, y1 = 1 ch ng t y2k = 0, y2k+1 = 22k . T đây, ta suy ra x2k = z2k−1 = 2y2k−1 = 22k−1 , z2k+1 = x2k+1 = 0.