Đề thi Olympic Toán sinh viên cấp trường ĐH Kinh tế Quốc dân Hà Nội năm 2013 - Kèm Đ.án
lượt xem 37
download
Nhằm phục vụ cho quá trình học tập và ôn thi Olympic, đề thi Olympic môn Toán sinh viên cấp trường ĐH Kinh tế Quốc dân Hà Nội năm 2013 sẽ là tư liệu tham khảo hữu ích cho các bạn học sinh thi Olympic Toán sắp tới.
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
Nội dung Text: Đề thi Olympic Toán sinh viên cấp trường ĐH Kinh tế Quốc dân Hà Nội năm 2013 - Kèm Đ.án
- Đ thi Olympic toán sinh viên c p trư ng đ i h c Kinh t qu c dân Hà N i năm 2013 Câu 1: √ un2 Cho dãy s {un } xác đ nh như sau u1 = 2 ; un+1 = un + √ ∀n = 1, 2, ... 2011 2 Tìm u1 u2 un lim ( + + ... + ) n→∞ u2 u3 un+1 Câu 2: Cho f : [0, 1] → [0, 1] là hàm s liên t c sao cho f (0) = 0; f (1) = 1 Đ t f ◦ f ◦ f ◦ ... ◦ f fk = k Gi s r ng t n t i s nguyên dương n sao cho fn (x) = x; ∀x [0, 1]. Ch ng minh r ng f (x) = x, ∀x [0, 1] Câu 3: Cho f : R → R là hàm kh vi. có đ o hàm c p 2 không âm. Ch ng minh r ng f (x + f (x)) ≥ f (x), ∀x R Câu 4: Tìm hàm s f : R → R th a mãn f (xf (y) + x) = xy + f (x), ∀x, y R Câu 5: a) Tính tích phân 1 dx x + 1)(x2 + 1) −1 (e x1 + x2 f (x1 ) + f (x2 ) b) Gi s f (x) là hàm liên t c trên [a,b] và th a mãn đi u ki n f ≤ . 2 2 Ch ng minh r ng b a+b f (a) + f (b) f (b − a) ≤ f (x)dx ≤ (b − a) 2 a 2 Câu 6: cho f : [a, b] → (a, b) là hàm liên t c. Ch ng minh r ng v i m i s t nhiên n t n t i s dương α và c (a, b) sao cho n f (c) + f (c + α) + ... + f (c + nα) = (n + 1)(c + α) 2 H t
- Đáp án tham kh o đ thi Olympic toán sinh viên c p trư ng đ i h c Kinh t qu c dân Hà N i năm 2013 Câu 1: √ un2 Cho dãy s {un } xác đ nh như sau u1 = 2 ; un+1 = un + √ ∀n = 1, 2, ... 2011 2 Tìm u1 u2 un lim ( + + ... + ) n→∞ u2 u3 un+1 L i gi i √ 1 1 un T công th c xác đ nh dãy ta có: 2011 2 − = un un+1 un+1 u1 u2 uk √ 1 1 √ 1 1 ⇒ + + ... + = 2011 2 − = 2011 2 √ − u2 u3 uk+1 u1 uk+1 2 uk+1 √ Hơn n a un+1 > un ≥ 2, ∀n ∈ N Do đó {un } là dãy đơn đi u. Do đó n u dãy {un } b ch n trên thì nó h i t v a h u h n suy ra u2 n a2 a = lim un+1 = lim un + √ =a+ √ n→+∞ n→+∞ 2011 2 2011 2 √ Suy ra a = 0 vô lý do a ≥ 2 V y {un } không b ch n trên nên lim = +∞ n→+∞ u1 un √ ⇒ lim + ... + = 2011 2 n→+∞ u2 un+1 Câu 2: Cho f : [0, 1] → [0, 1] là hàm s liên t c sao cho f (0) = 0; f (1) = 1 Đ t f ◦ f ◦ f ◦ ... ◦ f fk = k Gi s r ng t n t i s nguyên dương n sao cho fn (x) = x; ∀x [0, 1]. Ch ng minh r ng f (x) = x, ∀x [0, 1] L i gi i V i x, y ∈ [0, 1] sao cho f (x) = f (y) , suy ra fn (x) = fn (y) ⇔ x = y V y f đơn ánh. K t h p gi thi t f liên t c, suy ra f đơn đi u trên [0, 1] Có f (0) = 0 < 1 = f (1) , do đó f đơn đi u tăng . Gi s t n t i x0 ∈ [0, 1] sao cho f (x0 ) < x0 ⇒ fn (x0 ) < fn−1 (x0 ) < ... < f (x0 ) < x0 Mâu thu n ! Tương t v y n u có x0 ∈ [0, 1] sao cho f (x0 ) > x0 thì cũng d n đ n fn (x0 ) > x0 . V y ph i có f (x) = x , ∀x ∈ [0, 1] Câu 3: Cho f : R → R là hàm kh vi. có đ o hàm c p 2 không âm. Ch ng minh r ng f (x + f (x)) ≥ f (x), ∀x R 2
- L i gi i N u f (x) = 0 ta có đi u c n ch ng minh. N u f (x) > 0 thì áp d ng đ nh lý Lagrange cho hàm f trên (x; x + f (x)) ta có t n t i c trong kho ng trên sao cho: f (c) .f (x) = f (x + f (x)) − f (x) Vì f ”(x) > 0 nên ta có: f (x) là hàm tăng hay 0 < f (x) < f (c) Suy ra đi u c n ch ng minh. Tương t v i f (x) < 0 Câu 4: Tìm hàm s f : R → R th a mãn f (xf (y) + x) = xy + f (x), ∀x, y R L i gi i Cho x = 1 ⇒ f (f (y) + 1) = y + f (1) y = −f (1) − 1 ⇒ f (f (−f (1) − 1) + 1) = −1 Đ t a = f (−f (1) − 1) + 1 ⇒ f (a) = −1 Thay y = a vào phương trình đ u: f (0) = ax + f (x) V y f (x) = ax + b Thay l i phương trình đ u suy ra f (x) = x ho c f (x) = −x Câu 5: 1 dx a) Tính tích phân −1 x (e + 1)(x2 + 1) x1 + x2 f (x1 ) + f (x2 ) b) Gi s f (x) là hàm liên t c trên [a,b] và th a mãn đi u ki n f ≤ . 2 2 Ch ng minh r ng b a+b f (a) + f (b) f (b − a) ≤ f (x)dx ≤ (b − a) 2 a 2 L i gi i a) B đ : Cho f (x) là hàm s ch n liên t c trên đo n [−a; a] khi đó ta có a 0 a f (x)dx f (x) f (x)dx I= dx = dx + −a mx + 1 −a mx + 1 0 mx + 1 Ch ng minh: Đ t 0 0 a a f (x)d(x) f (−t)d(−t) f (−t)dt mt f (−t)dt x = −t ⇒ I = = = = −a mx + 1 a m−1 + 1 0 1 0 mt + 1 +1 mt a a a a a mx f (−x)dx mx f (x)dx mx f (x) f (x) = = ⇒B= + dx = f (x)dx 0 mx + 1 0 mx + 1 0 mx + 1 0 mx + 1 0 1 dx 1 Đ tI = −1 ; f (x) = 2 là hàm ch n; liên t c trên [−1; 1] nên s d ng b đ (ex + 1)(x 2 + 1) x +1 trên ta có 1 1 1 dx dx π I= x + 1)(x2 + 1) = 2+1 = arctgx = −1 (e 0 x 0 4 3
- x1 + x2 f (x1 ) + f (x2 ) b) T gi thi t ∀x1 , x2 ∈ [a, b], f ( )≤ suy ra f là hàm l i trên [a, b] 2 2 Đ i bi n x = (1 − t)a + bt b 1 1 f (a) + f (b) f (x)dx = (b − a) f ((1 − x)a + bx)dx ≤ (b − a) [(1 − x)f (a) + xf (b)]dx ≤ (b − a) a 0 0 2 a+b Đ i bi n x = t + 2 b−a b 2 a+b f (x)dx = −(b − a) f (x + )dx a 2 2 b−a = 2 (f (x + a + b ) + f ( a + b − x))dx 0 2 2 b−a ≥ 2 2f ( a + b )dx = (b − a)f ( a + b ) 0 2 2 Câu 6: cho f : [a, b] → (a, b) là hàm liên t c. Ch ng minh r ng v i m i s t nhiên n t n t i s dương α và c (a, b) sao cho n f (c) + f (c + α) + ... + f (c + nα) = (n + 1)(c + α) 2 L i gi i Ta có: f (a) − a > 0 , f (b) − b < 0 , f (x) liên t c trên [a, b] nên f (x) − x liên t c trên [a, b] , do đó phương trình f (x) = x có nghi m trên (a, b) L i có f (a) > a , f (b) < b, do đó, trong t t c nghi m c a phương trình f (x) = x, ph i có nghi m x0 sao cho t n t i > 0 đ nh (a < x0 − < x0 + < b) đ ∀x ∈ (x0 − , x0 ), f (x) > x và ∀x ∈ (x0 , x0 + ), f (x) < x V i n là s nguyên dương cho trư c, ch n 0 < α < n Xét gn (x) = n [f (x + iα) − (x + iα)] , x ∈ (a, b − nα) i=0 D th y g liên t c trên (a, b − nα) Ch n x1 ∈ (x0 − , x0 − nα) , khi đó ta luôn có x1 + iα ∈ (x0 − , x0 ) , ∀i ∈ {0, ..., n} do đó, f (x1 + iα) > x1 + iα , ∀i ∈ {0, ..., n} n ⇒ [f (x1 + iα) − (x1 + iα)] > 0 i=0 ⇔ g(x1 ) > 0 Ch n x2 ∈ (x0 , x0 + − nα) , khi đó luôn có x2 + iα ∈ (x0 , x0 + ) , ∀i ∈ {0, ..., n} do đó, f (x2 + iα) < x2 + iα , ∀i ∈ {0, ..., n} n ⇒ [f (x2 + iα) − (x2 + iα)] < 0 i=0 ⇔ g(x2 ) < 0 4
- V y theo đ nh lý giá tr trung gian, ∃c ∈ (x1 , x2 ) , g(c) = 0 t c n n f (c) + f (c + α) + .. + f (c + nα) = (n + 1)c + iα = (n + 1)(c + α) i=1 2 L i gi i đư c th c hi n b i các thành viên Ispectorgadget, phudinhgioihan, Hoàng Qu c vi t c a di n đàn toán h c VMF - www.diendantoanhoc.net 5
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Đề thi Olympic Toán sinh viên năm 2014 môn Đại số - Hội Toán học Việt Nam
7 p | 341 | 72
-
ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN LẦN THỨ XVIII (2010) MÔN GIẢI TÍCH MÔN ĐẠI SỐ
1 p | 157 | 22
-
Đề thi Olympic toán sinh viên toàn quốc 2012 - Trường đại học Phú Yên
3 p | 196 | 22
-
Đề thi Olympic Toán sinh viên 2006
3 p | 183 | 20
-
Đề thi Olympic Toán (Đại số) sinh viên ĐHKHTN-ĐHQG Hà Nội năm 2013
3 p | 155 | 20
-
Đề thi Olympic Toán Sinh viên Quốc tế năm 2013
3 p | 159 | 20
-
Đề thi olympic Toán học sinh viên cấp trường môn Đại số (năm 2011)
2 p | 206 | 18
-
Kỷ yếu kỳ thi Olympic toán học sinh viên Toàn quốc lần thứ XXI
45 p | 117 | 17
-
Đề thi Olympic Toán sinh viên lần thứ XVIII (2010)
4 p | 146 | 12
-
Đề thi olympic Toán học sinh viên cấp trường môn Giải tích (năm 2011)
1 p | 188 | 12
-
ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN LẦN THỨ XVIII (2010) MÔN GIẢI TÍCH
1 p | 129 | 9
-
Đề thi Olympic Toán học sinh viên cấp trường năm 2011 môn Giải tích
1 p | 98 | 5
-
Tổng hợp 10 đề thi Olympic Toán lớp 10
45 p | 82 | 4
-
ĐỀ OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN 2009 - 2010
3 p | 78 | 4
-
Đề thi Olympic Toán học sinh viên cấp trường năm 2011 môn Đại số
2 p | 95 | 3
-
Đề thi Olympic môn Toán lớp 7 năm 2021-2022 - Phòng GD&ĐT Nghĩa Đàn
1 p | 14 | 3
-
Đề thi Olympic môn Toán lớp 10 năm 2017-2018 - THPT Đông Thụy Anh - Mã đề 132
4 p | 67 | 1
Chịu trách nhiệm nội dung:
Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA
LIÊN HỆ
Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM
Hotline: 093 303 0098
Email: support@tailieu.vn