ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN CẤP TRƯỜNG NĂM 2011 Môn thi: Đại số Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

và

Câu 1. Cho hai ma tr ận

. Tìm ma tr ận X sao cho

A B

1

00 1  12 2     31 0    1 1 1            11 0     01 1             

.

AXAAB Gợi ý: Do det()

1

1A . Vậy

XBA  

A   nên tồn tại 22 2

x

Câu 2. Giải phương trình

 0 x 22 2 22 x 2

4

22 2 x

Gợi ý: Thực hiện phép biến đổi sơ cấp

c 1

c i

  , sau đó lấy dòng 2, 3, 4 tr ừ dòng 1

i

1  ta được ma trận tam giác trên có định thức bằng

x (6)(2)

x

 . 3

 3

Câu 3. Giải hệ phương trình

5 

 7

)A B , dùng phép bi ến đổi sơ cấp đưa về ma tr ận tam giác trên,

   x xxxx 232    5 1234 2332 x xxxx   5 1234 322 6 xxxx x  1234 5   422 34 xxxx x   1234 5 54465 8 xxxx x  1234 5

.

 0

xxxx 1234

 x 2;1;0;1; 5

. Khi đó

C (

A

L và

232

) 3

với 2 :[222 ] d A 

)ij

2011

.

c A : 3

Gợi ý: Lập ma tr ận ( giải nghiệm từ dưới lên trên, ta được Câu 4. Cho A là ma trận vuông cấp 2011 mà các phần tử ở dòng i đều bằng (1) .ii Tìm phần tử ở dòng 2 cột 3 của ma trận 2A . Gợi ý: Giả sử CdAc A (:)(:   1    2      M     2011    

1  112

1 A

Câu 5. Tìm m để ma trận sau có hạng nhỏ nhất

2 4

1

m     m 21      213   0      11                

2

Gợi ý: Đổi cột 1 và cột 4, dùng phép bi ến đổi sơ cấp đưa ma trận về dạng bậc thang. ứng với Biện lu ận theo

m  thì h ạng ma tr ận nh ỏ nh ất là 3

17

1,17,17

 

2

mm m Câu 6. Tìm các s ố th ực

là bình ph ương của

43 b 3

1m  và . ,a b để

2

 fxxxxax ()2  

một đa thức. Gợi ý: Do

nên

fxxxax ()(1)(2)

2 b 

1

a

b 2,

 . 1

2