Luận văn Thạc sĩ Khoa học giáo dục: Dạy học đạo hàm theo hướng phát triển năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn cho học sinh THPT

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN TIẾN ANH

DẠY HỌC ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC VẬN DỤNG TOÁN HỌC VÀO THỰC TIỄN

CHO HỌC SINH THPT

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

THÁI NGUYÊN - 2018

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN TIẾN ANH

DẠY HỌC ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC VẬN DỤNG TOÁN HỌC VÀO THỰC TIỄN

CHO HỌC SINH THPT

Ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số: 8.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Anh Tuấn

THÁI NGUYÊN - 2018

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết

quả nghiên cứu là trung thực và chưa được công bố trong bất kỳ công trình

nào khác.

Thái Nguyên, tháng 11 năm 2018

Tác giả luận văn

Nguyễn Tiến Anh

i

LỜI CẢM ƠN

Để có thể hoàn thành đề tài luận văn thạc sĩ một cách hoàn chỉnh, bên cạnh

sự cố gắng lỗ lực của bản thân còn có sự hướng dẫn nhiệt tình của quý Thầy cô,

cũng như sự động viên ủng hộ của gia đình và bạn bè trong suốt thời gian học

tập nghiên cứu và thực hiện luận văn thạc sĩ.

Em xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến PGS.TS Nguyễn Anh Tuấn, người

đã hết lòng giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho em hoàn thành luận văn này.

Em xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến Ban giám hiệu cùng toàn thể

quý Thầy cô trong khoa Toán, Bộ phận sau đại học - Phòng đào tạo - trường Đại

học Sư Phạm - Đại học Thái Nguyên đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý

báu cũng như tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất cho em trong suốt quá trình học

tập nghiên cứu và cho đến khi thực hiện đề tài luận văn.

Cuối cùng, em xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè và các anh chị đồng

nghiệp đã luôn khích lệ, động viên và giúp đỡ em trong quá trình học tập và

nghiên cứu khoa học.

Tuy có nhiều cố gắng, nhưng trong đề tài nghiên cứu khoa học này không

tránh khỏi những thiếu sót. Em kính mong Quý thầy cô, các chuyên gia, những

người quan tâm đến đề tài, đồng nghiệp, gia đình và bạn bè tiếp tục có những ý

kiến đóng góp, giúp đỡ để đề tài được hoàn thiện hơn.

Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 11 năm 2018

Tác giả

Nguyễn Tiến Anh

ii

MỤC LỤC

Trang

Lời cam đoan ...................................................................................................................... i

Lời cảm ơn ......................................................................................................................... ii

Mục lục ............................................................................................................................. iii

Danh mục các chữ viết tắt trong luận văn ..................................................................... iv

Danh mục các bảng ........................................................................................................... v

Danh mục hình vẽ ............................................................................................................ vi

Danh mục biểu đồ ........................................................................................................... vii

MỞ ĐẦU ................................................................................................................... 1

1. Lý do chọn đề tài ................................................................................................... 1

2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu ....................................................................... 2

3. Phương pháp nghiên cứu ...................................................................................... 2

4. Giải thuyết khoa học .............................................................................................. 3

5. Cấu trúc luận văn ................................................................................................... 3

Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN .............................................. 4

1.1. Năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn ...................................................... 4

1.1.1. Những vấn đề cơ bản về năng lực, năng lực vận dụng toán học vào

thực tiễn ...................................................................................................................... 4

1.1.2. Vấn đề hình thành và phát triển năng lực vận dụng toán học vào thực

tiễn .................................................................................................................. 8

1.2. Dạy học đạo hàm và vấn đề phát triển năng lực vận dụng toán học vào

thực tiễn thông qua nội dung đạo hàm ........................................................ 12

1.2.1. Nội dung đạo hàm ở trường phổ thông ............................................. 12

1.2.2. Yêu cầu, mục đích của nội dung đạo hàm đối với học sinh phổ thông .. 13

1.2.3. Một số nét về việc dạy và học nội dung đạo hàm ở trường phổ thông hiện

nay ............................................................................................................................ 15

1.2.4. Một số biểu hiện của năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn trong nội

dung đạo hàm ở trường THPT............................................................................... 29

1.3. Kết luận chương 1 ........................................................................................... 30

iii

Chương 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP DẠY HỌC ĐẠO HÀM GÓP PHẦN

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC VẬN DỤNG TOÁN HỌC VÀO THỰC TIỄN

CHO HỌC SINH THPT ..................................................................................... 31

2.1. Định hướng phát triển năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn trong dạy

học đạo hàm ở trường THPT ................................................................................. 31

2.2. Một số biện pháp dạy học đạo hàm góp phần phát triển năng lực vận dụng

toán học vào thực tiễn ............................................................................................. 33

2.2.1. Củng cố kiến thức về ứng dụng đạo hàm trước khi trang bị cho học sinh

cách thức giải bài toán có nội dung thực tiễn bằng công cụ đạo hàm................ 33

2.2.2. Luyện tập kĩ năng ứng dụng đạo hàm trong môn Toán thông qua việc hệ

thống hóa các câu hỏi và bài tập ............................................................................ 40

2.2.3. Tổ chức các hoạt động rèn luyện phát hiện và giải quyết các bài toán có

nội dung thực tiễn bằng công cụ đạo hàm ............................................................ 63

2.2.4. Tổ chức hoạt động ngoại khóa Toán học với nội dung tìm hiểu thực tiễn,

hướng dẫn học sinh sưu tầm những tình huống thực tiễn và tập luyện xây dựng

bài toán có sử dụng công cụ đạo hàm để giải quyết ............................................ 76

2.3. Kết luận chương 2 ........................................................................................... 81

Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ........................................................ 83

3.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm ..................................................................... 83

3.2. Nội dung thực nghiệm sư phạm ..................................................................... 83

3.3. Đối tượng thực nghiệm sư phạm ................................................................... 83

3.4. Tổ chức thực nghiệm sư phạm ....................................................................... 83

3.4.1. Thời gian tổ chức thực nghiệm ................................................................... 83

3.4.2. Hình thức tổ chức thực nghiệm ................................................................... 84

3.5. Kết quả thực nghiệm sư phạm ........................................................................ 85

3.5.1. Đánh giá định tính ........................................................................................ 85

3.5.2. Đánh giá định lượng ..................................................................................... 86

2.6. Kết luận chương 3 ........................................................................................... 88

KẾT LUẬN ............................................................................................................ 90

TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................. 91

PHỤ LỤC

iv

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN

Viết tắt Viết đầy đủ

DH Dạy học

ĐC Đối chứng

GTLN Giá trị lớn nhất

GTNN Giá trị nhỏ nhất

GV Giáo viên

HS Học sinh

SGK Sách giáo khoa

TH Toán học

THPT Trung học phổ thông

TN Thực nghiệm

Tr Trang

TT Thực tiễn

TXĐ Tập xác định

iv

DANH MỤC CÁC BẢNG

Trang

Bảng 3.1. Bảng phân bố tần số kết quả của bài kiểm tra 45 phút lớp thực

nghiệm (TN) và lớp đối chứng (ĐC) ........................................... 86

Bảng 3.2. Bảng phân bố về tần suất điểm kiểm tra 45 phút ........................ 86

Bảng 3.3. Bảng phân bố kết quả của nhóm đối tượng HS trước và sau TN 87

v

DANH MỤC HÌNH VẼ

Trang

Hình 1.1. Sơ đồ quy trình vận dụng toán học vào thực tiễn ........................ 11

Hình 2.1 ....................................................................................................... 48

Hình 2.2 ....................................................................................................... 49

Hình 2.3 ....................................................................................................... 49

Hình 2.4 ....................................................................................................... 64

Hình 2.5 ....................................................................................................... 65

Hình 2.6 ....................................................................................................... 66

Hình 2.7 ....................................................................................................... 75

vi

DANH MỤC BIỂU ĐỒ

Trang

Biểu đồ 1.1. Vai trò của việc vận dụng Toán học vào thực tiễn.............. 17

Biểu đồ 1.2. Sự cần thiết về việc giới thiệu ứng dụng thực tiễn của kiến

thức đạo hàm ....................................................................... 17

Biểu đồ 1.3. Mức độ đưa ra các tình huống thực tiễn trong quá trình dạy

học ....................................................................................... 18

Biểu đồ 1.4. Mức độ tổ chức các buổi hoạt động ngoại khóa về kiến thức

Toán học .............................................................................. 18

Biểu đồ 1.5. Phản ứng của GV khi HS hỏi các vấn đề liên quan đến ứng

dụng toán học vào thực tiễn ................................................ 19

Biểu đồ 1.6. Mức độ gợi động mở đầu, gợi động cơ kết thúc từ thực tiễn

của GV khi dạy học ............................................................. 19

Biểu đồ 1.7. Mức độ vận dụng kiến thức đạo hàm cho các bài toán liên

môn ...................................................................................... 20

Biểu đồ 1.8. Tần suất đưa các nội dung ứng dụng thực tiễn vào việc kiểm

tra, đánh giá ......................................................................... 20

Biểu đồ 1.9. Sự cần thiết tăng cường các yếu tố vận dụng Toán học vào

thực tiễn ............................................................................... 22

Biểu đồ 1.10. Sự cần thiết về của nội dung ứng dụng đạo hàm ................ 22

Biểu đồ 1.11. Mức độ nhiệt tình của GV khi dạy học nội dung ứng dụng đạo

hàm ...................................................................................... 23

Biểu đồ 1.12. Khả năng tìm hiểu của HS về ứng dụng thực tiễn của nội dung

đạo hàm - ứng dụng đạo hàm .............................................. 23

Biểu đồ 1.13. Nhận xét của GV về cách thức truyền đạt của giáo viên về nội

dung đạo hàm - ứng dụng của đạo hàm liên quan đến thực

tiễn ....................................................................................... 24

Biểu đồ 1.14. Thái độ của HS khi tiếp xúc với bài toán thực tiễn ............. 25

Biểu đồ 1.15. Khả năng giải quyết bài toán thực tiễn của HS ................... 25

vii

Biểu đồ 1.16. Mức độ hiểu bài sau khi học xong nội dung đạo hàm, ứng dụng

của đạo hàm ......................................................................... 26

Biểu đồ 3.1. Biểu đồ phân bố tần suất điểm bài kiểm tra 45 phút của lớp

TN và lớp ĐC ...................................................................... 87

viii

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Giáo dục Việt Nam đang tiến hành đổi mới căn bản, toàn diện từ mục tiêu

giáo dục, nội dung đến phương pháp, phương tiện dạy học. Nâng cao chất lượng

dạy học nói chung, chất lượng dạy học môn Toán nói riêng đang là một yêu cầu

cấp bách đối với ngành giáo dục nước ta hiện nay. Giáo viên (GV) phải thiết kế

các hoạt động, tổ chức dạy học một cách thuận lợi đồng thời giúp học sinh (HS)

nắm bắt, vận dụng được kiến thức trong thời gian ngắn nhất vào thực tiễn một

cách có hiệu quả và do vậy đặt ra những yêu cầu cấp thiết trong việc nâng cao

chất lượng và hiệu quả giảng dạy. Trong đó phương pháp giảng dạy là một trong

những yếu tố quyết định để GV và HS hoàn thành nhiệm vụ dạy và học của mình,

nhằm đáp ứng những thay đổi nhanh chóng của khoa học, công nghệ, truyền

thông.

Toán học có liên quan chặt chẽ với thực tế và có ứng dụng rộng rãi trong

nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ, sản xuất và đời sống xã hội

hiện đại, nó thúc đẩy mạnh mẽ các quá trình tự động hóa sản xuất, trở thành công

cụ thiết yếu cho mọi ngành khoa học và được coi là chìa khóa của sự phát triển.

Một trong những mục tiêu của Đảng ta về giáo dục và đào tạo trong giai đoạn

hiện nay là đào tạo những con người lao động tự chủ, năng động và sáng tạo, có

năng lực giải quyết các vấn đề thực tiễn đặt ra, tự lo được việc làm, lập nghiệp

và thăng tiến trong cuộc sống, qua đó góp phần xây dựng đất nước giàu mạnh,

xã hội dân chủ, công bằng, văn minh.

Một đòi hỏi mang tính nguyên tắc của nền giáo dục nước ta là “Hoạt động

giáo dục phải được thực hiện theo nguyên lý học đi đôi với hành, giáo dục kết

hợp với lao động sản xuất, lý luận gắn liền vào thực tiễn, giáo dục nhà trường

kết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội” (Luật giáo dục 2005). Đây là

quan điểm chỉ đạo cần được quán triệt sâu sắc đối với dạy học tất cả các môn

học ở trường phổ thông, đặc biệt với môn toán là môn học công cụ, cung cấp

1

kiến thức kĩ năng và phương pháp để góp phần xây dựng nền tảng văn hoá phổ

thông của người lao động mới và hình thành mối liên hệ qua lại giữa kĩ thuật lao

động sản xuất, cuộc sống và toán học.

Định hướng đổi mới phương pháp dạy học và nội dung, chương trình sách

giáo khoa của Bộ Giáo dục & Đào tạo đã xác định rõ: Chú ý dạy học theo hướng

sao cho học sinh có thể nắm vững tri thức, kĩ năng và sẵn sàng vận dụng vào

thực tiễn; tạo cơ sở để HS học tiếp hoặc đi vào cuộc sống lao động.

Gần đây đã có một số công trình nghiên cứu liên quan đến vấn đề Toán

học gắn vào thực tiễn. Tuy nhiên đây vẫn là vấn đề cần được tiếp tục nghiên cứu cả

về phương diện lý luận và triển khai trong thực tiễn dạy học, vì vậy chúng tôi chọn

đề tài nghiên cứu của luận văn này là: “Dạy học đạo hàm theo hướng phát triển

năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn cho học sinh THPT”.

2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Mục đích

Thiết kế nội dung và biện pháp dạy học đạo hàm theo hướng phát triển

năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn cho HS THPT, góp phần nâng cao chất

lượng dạy và học môn Toán ở trường phổ thông.

Nhiệm vụ

- Nghiên cứu một số vấn đề cơ sở lý luận về dạy học theo định hướng phát

triển năng lực HS; năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn.

- Điều tra, tìm hiểu thực tế dạy học và đạo hàm; thực trạng tình hình phát

triển năng lực vận dụng toán vào thực tiễn cho HS ở trường THPT.

- Xây dựng nội dung và biện pháp dạy học đạo hàm theo hướng phát triển

năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn cho HS THPT.

- Tổ chức thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi, hiệu quả của các

biện pháp sư phạm đã đề xuất.

3. Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu các tài liệu về

các vấn đề liên quan đến đề tài của luận văn.

2

- Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: Khảo sát thực trạng việc dạy học nội

dung đạo hàm ở trường THPT qua các hình thức dự giờ, quan sát, điều tra.

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm và

xử lý số liệu thống kê để đánh giá kết quả định tính, định lượng.

4. Giải thuyết khoa học

Trong dạy học nội dung đạo hàm nếu giáo viên quan tâm đến việc khai

thác nội dung kiến thức và xây dựng, sử dụng hệ thống câu hỏi, bài tập có nội

dung thực tiễn một cách hợp lí thì sẽ góp phần nâng cao năng lực vận dụng Toán

học vào thực tiễn cho học sinh và thực hiện mục tiêu giáo dục môn Toán ở trường

THPT.

5. Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, nội dung chính

của luận văn được trình bày trong 3 chương:

Chương 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn.

Chương 2. Một số biện pháp dạy học đạo hàm góp phần phát triển năng

lực vận dụng toán học vào thực tiễn cho HS THPT.

Chương 3. Thực nghiệm sư phạm.

3

Chương 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1. Năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn

1.1.1. Những vấn đề cơ bản về năng lực, năng lực vận dụng toán học vào thực

tiễn

a) Khái niệm năng lực

Thông thường, chúng ta thường quan niệm rằng: Một người có năng lực

nếu người đó nắm vững tri thức, kĩ năng, kĩ xảo của một loại hoạt động nào đó

và đạt được kết quả tốt hơn, cao hơn người khác cùng tiến hành hoạt động đó

trong những điều kiện và hoàn cảnh tương đương. Dưới đây là một số cách diễn

đạt và tiếp cận về khái niệm năng lực:

- Theo từ điển Tiếng Việt, năng lực là điều kiện chủ quan hoặc tự nhiên

sẵn có để thực hiện một hoạt động nào đó với chất lượng cao.

- Theo nhà tâm lý học người Nga, V.A.Cruchetxki thì cho rằng: “Năng

lực được hiểu như là một phức hợp các đặc điểm tâm lý cá nhân của con người

đáp ứng những yêu cầu của một hoạt động nào đó và là điều kiện để thực hiện

thành công hoạt động đó”. [3-Tr.15]

- Theo tác giả Đặng Thành Hưng: “Năng lực là một loại tổ hợp những đặc

điểm tâm lí của con người, đáp ứng được yêu cầu của một hoạt động nhất định

và là điều kiện cần thiết để hoàn thành có kết quả một số hoạt động nào đó”. [8]

Khi nói đến năng lực phải nói đến năng lực trong loại hoạt động nhất định

của con người. Năng lực này chỉ nảy sinh và quan sát được trong hoạt động giải

quyết những yêu cầu đặt ra.

- Theo tác giả Bùi Văn Nghị: “Năng lực của học sinh phổ thông không chỉ

là khả năng tái hiện tri thức, thông hiểu tri thức, mà quan trọng là khả năng

hành động, ứng dụng, vận dụng tri thức để giải quyết những vấn đề của cuộc

sống, càng sáng tạo càng tốt”. [10]

4

Từ những khái niệm trên ta thấy được Năng lực đều có điểm chung là tổ

hợp những đặc điểm tâm lý và khả năng của con người thực hiện tốt một nội

dung công việc nào đó.

b) Năng lực giải toán

Năng lực giải toán là khả năng áp dụng tiến trình thực hiện việc giải quyết

một bài toán cụ thể có tính hướng đích cao, đòi hỏi huy động khả năng tư duy

tích cực và sáng tạo, nhằm đạt kết quả cao sau một số bước thực hiện.

Qua đó, người học được coi là có năng lực giải toán nếu người đó nắm

vững tri thức, kỹ năng, kỹ xảo của hoạt động giải toán và đạt được kết quả trong

hoạt động đó.

Năng lực giải toán là một thành phần trong năng lực toán học, các yếu tố

cấu thành của năng lực giải toán được cụ thể hóa từ các yếu tố cơ bản sau:

- Nền kiến thức chắc chắn có được qua quá trình thu thập thông tin toán học.

- Có tính độc lập và độc đáo cao trong khi giải toán và sự phát triển của

năng lực giải quyết vấn đề.

- Có tính tích cực, kiên trì về mặt ý chí và khả năng huy động trí óc cao

trong lao động giải toán.

- Khả năng huy động kiến thức để giải quyết một số bài toán cụ thể, khả

năng vận dụng thao tác tư duy, phân tích, tổng hợp, khái quát hoá, đặc biệt hóa,

trừu tượng hóa để xử lý thông tin toán học đã nhận được.

- Sau khi lĩnh hội kiến thức thu được thì khả năng suy luận, lập luận trở

lên hợp lý.

- Khả năng tự giác toán học, tổng hợp, khái quát một hiện tượng toán học.

Những yếu tố trên có quan hệ mật thiết, ảnh hưởng lẫn nhau và hợp thành

một hệ thống duy nhất, một cấu trúc trọn vẹn của năng lực giải toán.

Bên cạnh đó, năng lực giải toán gồm những thành phần cơ bản như: [4]

- Năng lực dự đoán vấn đề.

- Năng lực chuyển đổi ngôn ngữ.

5

- Năng lực quy lạ về quen, nhờ biến đổi về dạng tương tự.

- Năng lực nhìn nhận bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau.

- Năng lực diễn đạt bài toán theo nhiều hướng khác nhau.

- Năng lực phân chia trường hợp.

- Năng lực suy luận logic.

- Năng lực khái quát hóa.

c) Năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn

Năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn được đúc kết qua khả năng thực

hiện các hoạt động vận dụng toán học và có thể rèn luyện được nhờ sự bền bỉ

trong hoạt động của người làm toán. Như vậy vận dụng toán học vào thực tiễn là

những hoạt động rất cần thiết trong đời sống.

Theo PISA, năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn (Mathematical

literacy) là: “Khả năng nhận biết ý nghĩa, vai trò của kiến thức toán học trong

cuộc sống; vận dụng và phát triển tư duy toán học để giải quyết vấn đề của thực

tiễn, đáp ứng nhu cầu của đời sống hiện tại và tương lai một cách linh hoạt; là

khả năng phân tích, suy luận, lập luận, khái quát hóa, trao đổi thông tin hiệu

quả thông qua việc đặt ra, hình thành và giải quyết vấn đề toán học trong các

tình huống, hoàn cảnh khác nhau, trong đó chú trọng quy trình, kiến thức và

hoạt động”. [8, Tr. 84]

Năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn theo PISA: “Không đồng nhất

với khả năng tiếp nhận nội dung của chương trình toán trong nhà trường phổ

thông truyền thống, mà điều cần nhấn mạnh đó là kiến thức toán học được học,

vận dụng và phát triển như thế nào để tăng cường khả năng phân tích, suy luận,

lập luận, khái quát hóa và phát hiện được những tri thức toán học ẩn dấu bên

trong các tình huống, các sự kiện”. [8, Tr. 84]

Xem xét cấu trúc năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn là một vấn đề

phức tạp. Theo [11, Tr. 25], vấn đề này được trình bày trên cơ sở quan điểm của

lý thuyết thông tin để thấy được một số biểu hiện của người có khả năng vận

dụng toán học vào thực tiễn, như là:

6

- Khả năng thu, nhận thông tin toán học từ tình huống thực tiễn: Đó là khả

năng nhận thức những yếu tố định tính về hình dạng, kích thước, vị trí của các

đối tượng trong thực tế, trong không gian.

- Khả năng ước lượng trong xử lý các thông tin toán học từ tình huống

thực tiễn: Khả năng này được biểu hiện trong nhiều hoạt động tính toán thực tế.

Đó là khả năng ước lượng trong tính giá trị các đại lượng như khoảng cách, độ

cao, diện tích,...

- Khả năng chuyển đổi thông tin giữa toán học và thực tiễn: Là khả năng

chuyển đổi thông tin toán học có trong thực tiễn từ cách diễn đạt bằng lời sang

diễn đạt bằng ngôn ngữ toán học để có được các dữ kiện toán học và ngược lại

khi giải quyết xong bài toán có thể chuyển kết quả bài toán sang dạng diễn đạt

bằng ngôn ngữ thông thường.

- Khả năng áp dụng các mô hình toán học vào các tình huống thực tiễn:

Là khả năng vận dụng kiến thức toán học sẽ phát hiện, nhận biết được nhiều tình

huống thực tiễn ăn khớp với những kiến thức toán, các mô hình đã biết, nhận

dạng được kiến thức toán học trong các tình huống thực tiễn khác nhau.

- Khả năng vận dụng tri thức của các môn Toán cơ bản để giải các mô hình

toán học của tình huống thực tiễn: Là khả năng dựa vào các tình huống thực tiễn

xây dựng được các mô hình toán học, việc tiếp theo là chủ thể phải xác định được

kiến thức nào của môn Toán cơ bản được vận dụng để giải quyết mô hình toán

học có liên quan.

- Khả năng thiết lập mô hình toán học của tình huống thực tiễn: Là khả

năng phụ thuộc vào nhận thức của chủ thể về những quan hệ toán học giữa các

đối tượng tham gia trong tình huống toán học và độ linh hoạt tư duy của họ trong

hoạt động liên hệ các yếu tố toán học và các yếu tố thực tiễn để thiết lập một mô

hình toán học cụ thể.

- Ý thức lựa chọn phương án tối ưu trong xử lý các tình huống thực tiễn:

Là khả năng lựa chọn phương án tối ưu trong xử lý các tình huống thực tiễn là

7

một thuộc tính tâm lý thường có trong các hoạt động vận dụng toán học vào thực

tiễn và góp phần để hoạt động này thành công. Biểu hiện của ý thức tối ưu hóa

là ở chỗ chủ thể luôn luôn có ý thức và thói quen lựa chọn phương án tốt nhất

theo một nghĩa nào đó để thực hiện khi đối mặt với tình huống thực tiễn.

Từ những phân tích trên, chúng tôi quan niệm năng lực vận dụng toán học

vào thực tiễn là khả năng giải thích những vấn đề, hiện tượng trong toán học có

liên quan đến thực tiễn, giải quyết các vấn đề trong thực tiễn và các bài toán do

thực tiễn đặt ra.

1.1.2. Vấn đề hình thành và phát triển năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn

a) Quan niệm về ứng dụng toán học vào thực tiễn

Theo từ điển Bách khoa quốc tế về giáo dục toán học thì ứng dụng của

toán học nghĩa là sử dụng những quan niệm hay quy tắc toán học để mô tả những

tình huống của cuộc sống hay để giải toán. Từ “ứng dụng” trong toán học được

hiểu theo nghĩa bất kỳ công trình nghiên cứu nào đều có vận dụng các lý thuyết

toán học vào giải quyết các đối tượng trong thực tiễn.

Các ứng dụng toán học có thể chia thành ba loại như: Những ứng dụng

trong nội bộ môn Toán, ứng dụng trong các môn học khác và ứng dụng trong

các lĩnh vực đời sống.

Các ứng dụng trong nội bộ môn Toán nhằm lĩnh hội các kiến thức và kỹ năng

(sử dụng cái đã biết, cái đã có để tìm hiểu cái chưa biết) hoặc là hoàn thành quy

trình nhận thức, đồng thời chuẩn bị cho việc nghiên cứu những vấn đề mới đặt ra

(ứng dụng các kiến thức và kỹ năng trong việc giải bài tập toán học).

Các ứng dụng trong những lĩnh vực ngoài toán học được thực hiện dưới

các dạng như: Thực hiện các đề tài được quy định trong các buổi ngoại khóa,

thực hành hoặc làm các bài tập có nội dụng thực hành; vận dụng kiến thức, kĩ

năng, phương pháp toán học để nghiên cứu những vấn đề hoặc bài tập của môn

học khác, trước hết và gần gũi nhất là các môn Khoa học tự nhiên; ứng dụng vào

việc giải quyết các công việc trong đời sống hàng ngày.

8

Nói về ứng dụng toán học được thống nhất theo quan điểm là khi nghiên

cứu đến một đối tượng hay một khách thể nào đó trong thực tiễn thì luôn cần đến

sự trợ giúp của các kiến thức, kỹ năng, phương pháp toán học để giải quyết.

Chẳng hạn: Ứng dụng lượng giác để đo khoảng cách không tới được, đạo hàm

được ứng dụng để tính vận tốc tức thời, tích phân được ứng dụng để tính diện

tích, thể tích, vận dụng tổ hợp xác suất khi nghiên cứu di truyền, vận dụng tri

thức về hình học không gian trong kĩ thuật...Trong nội bộ môn Toán, cần cho HS

làm toán có nội dung thực tiễn như giải toán bằng cách lập phương trình, bài toán

cực trị, đo khoảng cách không tới được...

b) Mối quan hệ giữa toán học và thực tiễn

Theo Nguyễn Bá Kim [9, tr.35 – 36]: Một trong những đặc điểm của môn

Toán là tính trừu tượng cao độ và tính thực tiễn phổ dụng. Tính trừu tượng cao

độ chỉ che lấp chứ không làm mất đi tính thực tiễn của Toán học. Tính trừu tượng

cao độ làm cho Toán học có tính thực tiễn phổ dụng, có thể ứng dụng trong nhiều

lĩnh vực khác nhau của đời sống; ứng dụng vào nhiều ngành khoa học khác nhau

như Vật lý, Hóa học, Thiên văn học, Địa lý, Sinh học, Ngôn ngữ học,... và trở

thành công cụ có hiệu lực của các ngành đó.

Để đạt được mục tiêu đào tạo con người mới, toàn bộ hoạt động giáo dục,

nói riêng là việc dạy học các môn, phải thực hiện theo nguyên lí “học đi đôi với

hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, lý luận gắn liền với thực tiễn, giáo

dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình và xã hội”.

Một trong những phương hướng thực hiện nguyên lý giáo dục trong môn

Toán được Nguyễn Bá Kim trình bày trong tài liệu [9, tr.62 – 66] đó là mối liên

hệ giữa Toán học và thực tiễn. Thông qua cái vỏ trừu tượng của toán học, phải

làm cho HS thấy rõ mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn, cụ thể là:

- Làm rõ nguồn gốc thực tiễn của toán học: Số tự nhiên ra đời do nhu cầu

đếm, hình học xuất hiện do nhu cầu đo đạc lại ruộng đất sau những trận lụt trên

bờ sông Nin (Ai cập), v.v...

9

- Làm rõ sự phản ánh thực tiễn của toán học: Khái niệm véc-tơ phản ánh

những đại lượng đặc trưng không phải chỉ bởi số đo mà còn bởi hướng, chẳng

hạn vận tốc, lực,... khái niệm đồng dạng phản ánh những hình có cùng hình dạng

nhưng khác nhau về độ lớn v.v...

- Làm rõ những ứng dụng thực tiễn của toán học: Ứng dụng lượng giác để

đo những khoảng cách không tới được, ứng dụng của đạo hàm để tính vận tốc

tức thời, ứng dụng của tích phân để tính diện tích, thể tích,... Muốn vậy, cần tăng

cường cho HS tiếp cận với những bài toán có nội dung thực tiễn trong khi học lý

thuyết cũng như làm bài tập.

Người thầy cần tránh tư tưởng máy móc trong việc liên hệ toán học với

thực tiễn, phải thấy rõ mối liên hệ này có đặc thù so với các môn học khác, đó là

tính phổ dụng, tính toàn bộ và tính nhiều tầng.

Mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn có tính phổ dụng, tức là cùng một

đối tượng toán học (khái niệm, định lí, công thức,...) có thể phản ánh rất nhiều

hiện tượng trên những lĩnh vực rất khác nhau trong đời sống. Chẳng hạn hàm số

𝑦 = 𝑎𝑥 có thể biểu thị mối quan hệ giữa diện tích của một tam giác với đường

cao ứng với một cạnh khi cho trước cạnh đó, giữa quãng đường đi được với thời

gian trong một chuyển động đều khi cho trước vận tốc, giữa hiệu điện thế với

cường độ dòng điện khi cho trước điện trở v.v...

Mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn có tính toàn bộ. Muốn thấy rõ ứng

dụng của toán học, nhiều khi không thể xét khái niệm, từng định lí riêng lẻ mà

phải xét toàn bộ lý thuyết, toàn bộ lĩnh vực. Chẳng hạn, khó mà thấy được ứng

dụng trực tiếp của định lí “Không có số hữu tỉ nào bình phương bằng 2”, nhưng

ý nghĩa thực tế của định lí này là ở vai trò của nó trong việc xây dựng số thực,

mà toàn bộ lĩnh vực này là cơ sở để hình thành giải tích toán học, một ngành có

nhiều ứng dụng trong thực tiễn.

Mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn có tính nhiều tầng. Như ta đã biết,

toán học là kết quả của sự trừu tượng hóa diễn ra trên những bình diện khác nhau,

10

Có những khái niệm toán học là kết quả của sự trừu tượng hóa những đối tượng

vật chất cụ thể, nhưng cũng có nhiều khái niệm nảy sinh do sự trừu tượng hóa

những cái trừu tượng đã đạt được trước đó. Do vây, từ toán học tới thực tế nhiều khi

phải qua nhiều tầng. Ứng dụng của một lĩnh vực toán học được thể hiện có khi không

trực tiếp ở ngay trong thực tế mà ở một lĩnh vực khác gần thực tế hơn nó. Giải phương

trình là một lĩnh vực gần thực tế, ứng dụng của nó đã được thấy rõ ràng. Khảo sát

hàm số có khi giúp ta giải phương trình, như vậy, khảo sát hàm số cũng là có ứng

dụng thực tế. Đạo hàm là một công cụ khảo sát hàm số, điều đó cũng là một biểu hiện

của ý nghĩa thực tiễn của đạo hàm.

Tương tự như vậy, ứng dụng của toán học nhiều khi thấy rõ ở những môn

học khác gần thực tế hơn, chẳng hạn như Vật lí, Hóa học,... Làm việc với những

ứng dụng của toán học trong những môn học này cũng là một hình thức liên hệ

toán học với thực tế, đồng thời cũng là góp phần làm rõ những mối liên hệ liên

môn.

c) Quy trình vận dụng toán học vào thực tiễn

Theo [2, tr.10 - 11], quy trình vận dụng Toán học vào thực tiễn được chia

thành 5 bước và có thể biểu diễn theo sơ đồ sau:

Mô hình

toán học (b2) (b1) Tình huống Bài toán (b3) thực tiễn thực tiễn (b5) Lời giải (b4)

bài toán toán học

Hình 1.1. Sơ đồ quy trình vận dụng toán học vào thực tiễn

Nói “Toán học hóa một tình huống thực tiễn” thực chất là nói đến việc

Toán học hóa bài toán thực tiễn nảy sinh từ tình huống thực tiễn và sẽ là thực

hiện cả hai bước (b1) và (b2) trong quy trình ứng dụng Toán học vào thực tiễn.

Trên sơ đồ thể hiện đầy đủ các bước của một quy trình vận dụng Toán học

11

vào thực tiễn phổ biến: Vận dụng Toán học để giải quyết một tình huống thực

tiễn thông qua giải quyết bài toán thực tiễn. Cũng có những quy trình vận dụng

Toán học vào thực tiễn không gồm đủ các bước hay không thể hiện rõ thành các

bước như vậy. Chẳng hạn trường hợp đã có sẵn bài toán thực tiễn thì quy trình

vận dụng Toán học vào thực tiễn chỉ còn các bước (b2), (b3), (b4) trong đó bước

(b2) là bước Toán học hóa bài toán thực tiễn đó, trường hợp sử dụng biểu đồ đoạn

thẳng (hay hình quạt) để biểu diễn các số liệu thực tiễn nào đó sẽ không có bước

(b1) và trường hợp vận dụng ngôn ngữ Toán học để diễn đạt một nội dung thực

tiễn đời sống (hay một nội dung thuộc một môn học khác) lại không được phát

biểu thành một bài toán.

Trong dạy học ở THPT hiện nay, hầu như HS chỉ được rèn luyện vận dụng

TH trong các tình huống thực tiễn dưới dạng đã được phát biểu sẵn thành một bài

toán thực tiễn. Như vậy, mặc dù vẫn được coi là rèn luyện kỹ năng Toán học hoá

tình huống thực tiễn, nhưng thực chất chỉ là rèn luyện bước (b2). Các tình huống

thực tiễn để rèn luyện bước (b1) còn ít được quan tâm xây dựng và khai thác.

Các ý tưởng và các bước trong quy trình sẽ được trình bày trong chương

2 của luận văn để thiết lập và phân tích rõ hơn về 4 biện pháp.

1.2. Dạy học đạo hàm và vấn đề phát triển năng lực vận dụng toán học vào

thực tiễn thông qua nội dung đạo hàm

1.2.1. Nội dung đạo hàm ở trường phổ thông

Trước đây, nội dung đạo hàm được học trọn vẹn trong Giải tích 12. Ngày

nay, phần Lý thuyết đạo hàm được học trong chương trình Đại số và giải tích 11

để kịp thời cho việc học các bộ môn khác như Vật lí, Hóa học,...

Ở đây, HS được học đầy đủ và hệ thống về đạo hàm cấp một từ các bài

toán đưa đến sự xuất hiện khái niệm đạo hàm, định nghĩa, quy tắc tính và các

công thức đạo hàm cơ bản và quan trọng nhất. Tiếp đến là đạo hàm cấp hai được

đưa ra nhằm giúp cho việc hiểu bản chất và cách tính toán một khái niệm quan

12

trọng của Vật lí là gia tốc. Ngoài ra, định nghĩa Vi phân cũng được đưa ra nhằm

chuẩn bị cho việc học Tích phân ở Giải tích 12.

Nội dung “Ứng dụng đạo hàm” ở chương đầu của Giải tích 12, trong

chương này ứng dụng của đạo hàm được trình bày qua một số bài toán như: Ứng

dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số hay thông qua công cụ đạo

hàm để tính diện tích, thể tích của một số vật thể.

Trong những năm gần đây việc dạy học bài tập ứng dụng đạo hàm là khá

phổ biến, do các bài tập này thường xuyên xuất hiện trong các đề thi HS giỏi, đề

thi đại học, cao đẳng. Bài tập về phần này rất đa dạng và phong phú. Hơn nữa, với

hình thức thi trắc nghiệm như hiện nay thì những bài toán về ứng dụng của đạo

hàm lại xuất hiện với tuần suất khá lớn. Kể đến trong các đề thi Đại học các năm

như: 2007 (câu 2 ý 2, khối B, D), 2010 (câu 5, khối A), 2011 (câu 5, khối D), 2013

(câu 3, khối A), 2017 (câu 12, câu 22, khối A, B)...

1.2.2. Yêu cầu, mục đích của nội dung đạo hàm đối với học sinh phổ thông

Đạo hàm là chương quan trọng đối với lớp 11. Việc học tốt chương này

để làm nền tảng cho các kiến thức liên quan đến lớp 12, ôn thi Đại học cũng như

việc học Toán tại các trường chuyên nghiệp sau này. Do vậy, giáo viên cần lưu

ý một số vấn đề khi dạy lý thuyết và bài tập về đạo hàm - ứng dụng của đạo hàm

như sau:

+ Nắm vững định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm và trên một

khoảng hoặc hợp của nhiều khoảng.

+ Nắm được phương pháp tính đạo hàm bằng định nghĩa, công thức của

một số hàm số thường gặp.

+ Hiểu được ý nghĩa hình học và ý nghĩa cơ học của đạo hàm.

+ Nắm được ứng dụng của đạo hàm để tính giới hạn, khảo sát, vẽ đồ thị

hàm số.

+ Cách tính đạo hàm cấp cao của hàm số.

+ Giáo viên cần đưa ra các ví dụ minh họa, trong một số ví dụ, GV cần chỉ

rõ các bước thực hiện. Giáo viên nêu những chú ý cần thiết hoặc những sai lầm

13

thường gặp khi giải toán và trong mỗi ví dụ đó có thể đưa ra nhiều cách giải theo

nhiều hướng khác nhau để HS hiểu sâu kiến thức. Đặc biệt các bài toán có nội

dung thực tiễn.

+ Cho HS làm các bài tập phân theo từng dạng phải đảm bảo tính linh hoạt

cho từng đối tượng HS, bám sát nội dung đã học và không loại trừ các kiến thức

nâng cao.

+ Cho HS thực hiện luyện tập các bài toán tổng hợp nhằm rèn luyện cho

HS kĩ năng biến đổi thành thạo, thực hiện linh hoạt các thao tác trong giải toán

ứng dụng đạo hàm nói riêng và giải toán nói chung.

Cụ thể hơn, việc dạy học ứng dụng đạo hàm ở lớp 12 nhằm đạt được các

mục đích và yêu cầu sau:

Về kiến thức:

HS nắm được:

- Quan hệ giữa dấu của đạo hàm và tính đơn điệu của hàm số.

- Khái niệm GTLN, GTNT của hàm số và cách tìm.

- Khái niệm cực trị và quy tắc tìm cực trị của hàm số.

- Khảo sát hàm số: Hàm bậc 3, bậc 4, hàm phân thức hữu tỉ.

- Giải PT, BPT, HPT, biện luận số nghiệm của PT, BPT, HPT hoặc chứng

minh bất đẳng thức nhờ ứng dụng của đạo hàm.

- Thông qua nội dung đã học, HS sử dụng kiến thức đã tiếp thu được để

vận dụng vào giải các bài toán có ở các môn học khác, cũng như các bài toán có

tính thực tế.

Về phương pháp:

GV cần tổ chức cho HS học tập, trong hoạt động và bằng hoạt động tích

cực chủ động sáng tạo. GV tùy theo đối tượng HS và điều kiện thực tế mà sử

dụng các phương pháp dạy học khác nhau như: Phương pháp dạy học phát hiện

và giải quyết vấn đề, phương pháp dạy học tự học, dạy học khám phá, dạy học

hợp tác hay đàm thoại phát hiện.

14

1.2.3. Một số nét về việc dạy và học nội dung đạo hàm ở trường phổ thông hiện

nay

Tăng cường liên hệ thực tiễn trong dạy học nói chung và trong dạy học bộ

môn Toán nói riêng ở trường phổ thông luôn được coi là một vấn đề quan trọng,

cần thiết. Tuy nhiên, theo các nhà Toán học và các nhà làm khoa học giáo dục cũng

như trong thực tế thì với nhiều lí do khác nhau, trong một thời gian dài trước đây,

việc tăng cường liên hệ với thực tiễn trong quy trình dạy học Toán cho HS vẫn chưa

được đánh giá đúng mức, chưa đáp ứng được những yêu cầu cần thiết hoặc việc áp

dụng vào thực tiễn chưa sâu chỉ ở mức hời hợt.

Theo tác giả Nguyễn Cảnh Toàn khi nhận xét về tình hình dạy và học Toán

ở nước ta thì một vấn đề quan trọng, một yếu kém cơ bản là trong thực tế dạy

Toán ở trường phổ thông, các giáo viên không thường xuyên rèn luyện cho HS

thực hiện những ứng dụng của Toán học vào thực tiễn. Giáo viên chỉ chăm chú

vào việc dạy cho HS cách giải một bài toán dựa theo những kinh nghiệm của bản

thân hoặc theo một quy tắc cho trước nào đó mà thiếu đi tính thực tế. Tác giả còn

cho rằng trong dạy học Toán hiện nay biểu hiện: “Không gắn lý luận với thực

tiễn; không làm cho học sinh nắm rõ bản chất của khái niệm, bệnh hình thức rất

rõ; do hình thức mà học sinh chóng quên, vận dụng khó nhuần nhuyễn...”. Theo

tác giả thì đây là kiểu “Dạy và học Toán tách rời cuộc sống đời thường”.

Bài toán 1: Xét hai bài toán sau:

Trên mặt hồ yên tĩnh,

Một bông Sen lẻ loi nhô lên cách mặt nước nửa gang.

Một làn gió thổi mạnh, xô nó sang một bên,

Bây giờ bông sen nằm dạt ngay trên mặt nước,

Những người thuyền chài lại thấy nó ở cách chỗ mọc hai gang.

Vậy xin hỏi: Hồ nước chỗ này sâu bao nhiêu?

Bài toán 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, biết cạnh huyển BC= 5cm,

cạnh góc vuông AC= 3cm. Hãy tính độ dài cạnh góc vuông còn lại.

15

Khi giáo viên đưa ra hai bài toán trên cho HS thì hầu hết các em được hỏi

đều giải được bài số 2, trong khi có rất ít các em có thể giải được bài toán 1. Điều

đó chứng tỏ khả năng vận dụng kiến thức toán học vào thực tiễn của HS còn rất

hạn chế.

Hơn nữa, qua quan sát thực tế giảng dạy, tham gia các cuộc họp rút kinh

nghiệm giờ dạy và trao đổi với đồng nghiệp. Chúng tôi nhận định rằng:

- Việc tăng cường liên hệ với thực tiễn trong quá trình dạy học Toán ở

trường phổ thông hầu như giáo viên ít quan tâm.

- Khả năng vận dụng kiến thức Toán học của học HS vào thực tiễn còn

hạn chế.

- Giáo trình, tài liệu hay sách giáo khoa của các bậc học đề cập chưa nhiều

tới vấn đề thực tiễn.

Để làm sáng tỏ hơn thực trạng việc dạy và học nội dung đạo hàm ở trường

phổ thông nước ta hiện nay chúng tôi đã thiết kế phiếu điều tra và tổng hợp ý

kiến từ 45 GV ở trường THPT Đại Từ và THPT Khánh Hòa; hai trường đều

nằm trên địa bàn tỉnh Thái Nguyên. Trong đó 100% có trình độ Đại học, 85%

GV có thời gian công tác từ 10 năm trở lên; 15% GV có thời gian công tác dưới

10 năm, tất cả GV đều tốt nghiệp ngành sư phạm Toán hoặc sư phạm Toán –

Tin học, thu được kết quả như sau:

Câu 1: Theo thầy (cô) trong việc dạy học Toán ở trường THPT

hiện nay có cần thiết tăng cường hơn các yếu tố vận dụng toán học vào

thực tiễn cho học sinh nhằm phát triển năng lực vận dụng toán học vào

thực tiễn?

a)  Rất cần thiết.

b)  Cần thiết.

c)  Không cần thiết.

16

100%

91%

80%

60%

Tỷ lệ % đồng ý

40%

20%

3%

1%

0%

a

b

c

Biểu đồ 1.1. Vai trò của việc vận dụng Toán học vào thực tiễn

Câu 2: Theo thầy (cô) việc giới thiệu một số ứng dụng thực tiễn của

kiến thức đạo hàm cho học sinh là?

a)  Rất cần thiết.

b)  Cần thiết.

50%

40%

40%

30%

Tỷ lệ % đồng ý

20%

10%

3%

2%

0%

a

b

c

c)  Không cần thiết.

Biểu đồ 1.2. Sự cần thiết về việc giới thiệu ứng dụng thực tiễn

của kiến thức đạo hàm

Câu 3: Trong khi dạy học, thầy (cô) có thường xuyên đưa ra những ví

dụ, những tình huống giả định thực tiễn và bài tập thực tiễn mới phù hợp

với kiến thức đó?

a) Chưa bao giờ.

b) Thỉnh thoảng.

c)  Thường xuyên.

17

75%

Tỷ lệ % đồng ý

21%

4%

80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0%

a

b

c

Biểu đồ 1.3. Mức độ đưa ra các tình huống thực tiễn

trong quy trình dạy học

Câu 4: Tại trường các thầy (cô) đang công tác, việc tổ chức các hoạt

động ngoại khóa toàn trường; tổ chức nói chuyện chuyên đề về các chủ đề

kiến thức môn Toán có được thực hiện hay không?

a) Thường xuyên.

b) Thi thoảng.

70%

Tỷ lệ % đồng ý

20%

10%

80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0%

b

a

c

c) Chưa bao giờ.

Biểu đồ 1.4. Mức độ tổ chức các buổi hoạt động ngoại khóa

về kiến thức Toán học

Câu 5: Khi HS đặt ra các câu hỏi liên quan đến ứng dụng toán học

vào thực tiễn; ứng dụng toán học đến các môn học khác; hoặc nội dung thầy

(cô) đang dạy có ứng dụng gì. Thầy cô sẽ phản ứng ra sao?

a) Lờ đi, không nhắc gì đến việc giải thích, yêu cầu học sinh tự

tìm hiểu.

18

b) Ngại giải thích, cho rằng việc ứng dụng của nội dung này rất trừu tượng HS khó có thể hiểu. Hoặc cho rằng việc này mất thời gian của lớp, không liên quan đến bài học.

c) Chỉ ra một vài ví dụ thực tiễn để học sinh thấy được sự ứng dụng

của nội dung này.

68%

Tỷ lệ % đồng ý

20%

12%

0%

80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0%

a

b

c

d

d) Rất tâm huyết, phấn khởi khi HS đặt ra các câu hỏi mang tính ứng dụng của Toán học. Từ đó sẽ nhiệt tình giới thiệu về nguồn gốc thực tiễn của nội dung.

Biểu đồ 1.5. Phản ứng của GV khi HS hỏi các vấn đề liên quan đến ứng dụng toán học vào thực tiễn

Câu 6: Trong giảng dạy thầy (cô) có thường xuyên gợi động cơ mở

đầu hay gợi động cơ kết thúc xuất phát từ thực tiễn hay không?

70%

65%

60%

50%

40%

28%

Tỷ lệ % đồng ý

30%

20%

7%

10%

0%

c

b

a

a) Thường xuyên. b) Thỉnh thoảng. c) Chưa bao giờ.

Biểu đồ 1.6. Mức độ gợi động mở đầu, gợi động cơ kết thúc từ thực tiễn của GV khi dạy học

19

Câu 7: Thầy (cô) có sử dụng kiến thức đạo hàm để giải quyết tình

huống thực tiễn trong các bài toán liên môn hay không?

70%

60%

60%

50%

38%

40%

Tỷ lệ % đồng ý

30%

20%

10%

2%

0%

a

b

c

a) Thường xuyên. b) Đã từng. c)  Chưa bao giờ.

Biểu đồ 1.7. Mức độ vận dụng kiến thức đạo hàm

cho các bài toán liên môn

Câu 8: Khi ra kiểm tra, đánh giá. Thầy (cô) có thường xuyên đưa các

dạng câu hỏi có nội dung thực tiễn vào đề kiểm tra hay không?

a) Luôn luôn.

b) Thi thoảng.

c) Rất ít khi.

100%

82%

80%

60%

Tỷ lệ % đồng ý

40%

20%

13%

5%

0%

0%

a

b

c

d

d) Chưa bao giờ.

Biểu đồ 1.8. Tần suất đưa các nội dung ứng dụng thực tiễn

vào việc kiểm tra, đánh giá

20

Thông qua số liệu thống kê ở trên cho thấy, phần đa giáo viên dạy môn

Toán trong các trường phổ thông hiện nay đã nhận thức được việc dạy học tăng

cường vận dụng toán học vào thực tiễn cho HS là rất cần thiết. Điều này cho thấy

giáo viên phổ thông hiện nay đều có sự quan tâm đến vấn đề vận dụng toán học

vào thực tiễn, nhưng đa phần giáo viên chưa thực hiện lồng ghép toán học vào

thực tiễn, vì khi dạy học vẫn còn phục vụ để cho thi cử; do GV còn nặng về việc

dạy lý thuyết thuần túy SGK, ít quan tâm đến sự liên hệ giữa kiến thức toán học

với thực tiễn. Mặt khác GV còn hạn chế về năng lực cũng như chưa quan tâm

nhiều đến các vấn đề thực tế.

Bên cạnh đó, chúng ta không phủ nhận việc SGK hiện nay cũng chưa đề

cập nhiều đến các bài toán thực tiễn và lượng thời gian dành cho chương trình

của bộ môn là rất ít không đáp ứng được việc dạy học và triển khai nội dung ứng

dụng toán học vào thực tiễn một cách triệt để.

Việc sử dụng kiến thức đạo hàm để giải quyết tình huống thực tiễn

trong các bài toán liên được ít giáo viên quan tâm đến. Đa số giáo viên chỉ

thỉnh thoảng hoặc chưa bao giờ thực hiện. Qua đó, tỷ lệ giáo viên đã thực

hiện các định hướng tăng cường vận dụng kiến thức toán học vào thực tiễn

trong dạy học Toán ở trường phổ thông còn rất thấp mặc dù có ý thức được

rằng việc rèn luyện kĩ năng ứng dụng toán học vào thực tiễn là rất cần thiết

trong giai đoạn hiện nay.

Ở khía cạnh của người học, chúng tôi đã tiến hành điều tra bằng phiếu hỏi

với 90 HS để làm rõ hơn những khó khăn, thuận lợi của các em khi học tập nội

dung đạo hàm. Cụ thể tập trung vào một số vấn đề chính sau:

Câu 1: Theo em, việc học Toán ở trường THPT hiện nay có cần tăng

cường hơn nữa các yếu tố vận dụng Toán học vào thực tiễn hay không?

a) Rất cần thiết.

b) Cần thiết.

c) Không cần thiết.

21

50%

45%

40%

40%

30%

Tỷ lệ % đồng ý

20%

15%

10%

0%

a

b

c

Biểu đồ 1.9. Sự cần thiết tăng cường các yếu tố vận dụng Toán học

vào thực tiễn

Câu 2: Theo em, việc tìm hiểu về ứng dụng thực tiễn liên quan đến nội

dung đạo hàm nói riêng và môn Toán nói chung là:

60%

49%

50%

43%

40%

30%

Tỷ lệ % đồng ý

20%

8%

10%

0%

c

a

b

a) Cần thiết. b) Rất cần thiết. c) Không cần thiết.

Biểu đồ 1.10. Sự cần thiết về của nội dung ứng dụng đạo hàm

Câu 3: Khi được học nội dung ứng dụng của đạo hàm, các thầy (cô)

có hướng dẫn, thiết kế các bài toán liên quan đến vấn đề thực tiễn hay

không? nếu có thì các thầy (cô) trình bày như thế nào?

a) Có. Thầy (cô) trình bày chi tiết, đầy đủ và các bài toán có sức thu

hút cao HS chú ý. Bài toán đem lại ý nghĩa thiết thực.

b) Có. Nhưng thầy (cô) trình bày qua loa, đại khái cho hết chương

trình. Bài toán chưa thực sự đưa ra kết luận có ý nghĩa.

c) Thi thoảng. Thầy (cô) chưa đưa ra các ví dụ hay liên quan đến thực

tế. Các ví dụ khá sơ sài và thiếu thực tế.

d) Chưa bao giờ.

22

60%

55%

50%

40%

30%

24%

Tỷ lệ % đồng ý

20%

20%

10%

1%

0%

a

b

c

d

Biểu đồ 1.11. Mức độ nhiệt tình của GV khi dạy học nội dung ứng dụng đạo hàm Câu 4: Khi học nội dung đạo hàm - ứng dụng đạo hàm. Các em thường

làm các công việc sau đây hay không?

- Sử dụng trí nhớ kiểm tra lại các kiến thức đã học để có thể vận dụng vào

nội dung cần giải quyết.

- Trao đổi nhóm với bạn bè hoặc nhờ sự định hướng của GV. - Liên hệ ngay nội dung cần giải quyết đến những mô hình trong thực tế

để kiểm nghiệm.

- Đề xuất hướng giải quyết hoặc khắc sâu nội dung đã giải quyết được để

sử dụng cho các lần tiếp theo. Hoặc áp dụng nó vào các vấn đề liên môn.

- Chỉnh sửa nội dung nghiên cứu cho phù hợp. Lập báo cáo kết quả tìm

được.

70%

Tỷ lệ % đồng ý

28%

2%

80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0%

a

c

b

a) Thường xuyên. b) Thỉnh thoảng. c) Chưa bao giờ.

Biểu đồ 1.12. Khả năng tìm hiểu của HS về ứng dụng thực tiễn

của nội dung đạo hàm - ứng dụng đạo hàm

23

Câu 5: Khi được học nội dung đạo hàm - ứng dụng của đạo hàm. Em

thấy thầy (cô) thường xuyên làm các công việc sau hay không?

- Nhắc lại về nội dung đạo hàm - ứng dụng của đạo hàm.

- Đưa ra các bài toán, tình huống thực tiễn liên quan nội dung bài học.

- Sử dụng phiếu học tập, chia nhóm để thảo luận.

- GV và HS cùng nhau trao đổi, thảo luận về nội dung bài học.

- Sử dụng các công cụ hỗ trợ giảng dạy hiện đại, trực quan giúp HS hiểu

sâu và tường minh các vấn đề.

- Củng cố và nêu ra ý nghĩa của bài học.

a) Thường xuyên.

b) Thi thoảng.

60%

55%

50%

45%

40%

30%

Tỷ lệ % đồng ý

20%

10%

0%

0%

a

b

c

c) Chưa bao giờ.

Biểu đồ 1.13. Nhận xét của GV về cách thức truyền đạt của giáo viên về

nội dung đạo hàm - ứng dụng của đạo hàm liên quan đến thực tiễn

Câu 6: Khi gặp các bài toán có nội dung thực tiễn. Em cảm thấy:

a) Rất hứng thú.

b) Hứng thú nhưng do thiếu kiến thức cơ bản về Toán học để giải quyết.

c) Sợ vì quá khó và trừu tượng.

d) Không hứng thú vì cảm thấy không cần thiết.

24

60%

50%

50%

40%

30%

Tỷ lệ % đồng ý

23%

20%

20%

7%

10%

0%

a

b

c

d

Biểu đồ 1.14. Thái độ của HS khi tiếp xúc với bài toán thực tiễn

Câu 7: Khi gặp bất kì bài toán nào liên quan đến thực tiễn trong SGK

THPT hiện hành hoặc trong các vấn đề thực tiễn của cuộc sống. Em có chắc

mình sẽ giải được nó?

a) Không thể.

b) Không chắc lắm.

100%

80%

80%

60%

Tỷ lệ % đồng ý

40%

15%

20%

5%

0%

b

a

c

c) Chắc chắn.

Biểu đồ 1.15. Khả năng giải quyết bài toán thực tiễn của HS

Câu 8: Sau khi học xong tất cả các kiến thức về đạo hàm, ứng dụng

của đạo hàm. Em có hiểu bản chất của nội dung đó hay không hoặc nội dung

đó có ý nghĩa như thế nào?

a) Không hiểu gì.

b) Hiểu sơ qua.

c) Thực sự hiểu.

25

50%

46%

40%

40%

30%

Tỷ lệ % đồng ý

20%

14%

10%

0%

a

b

c

Biểu đồ 1.16. Mức độ hiểu bài sau khi học xong nội dung đạo hàm,

ứng dụng của đạo hàm

Từ các số liệu khảo sát trên và qua phỏng vấn chúng tôi thấy: Hầu hết giáo

viên dạy Toán ở trường phổ thông chưa có thói quen thực hiện các định hướng

để phát triển năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn trong dạy học đạo hàm ở

bậc phổ thông, trong quá trình dạy những bài toán có ứng dụng thực tế GV chưa

quan tâm đến việc rèn luyện cho HS những kĩ năng, kĩ xảo để xác định các hoạt

động cần thiết thường dùng trong thực tế. Hơn nữa, việc vận dụng toán học để

hình thành cho HS phẩm chất luôn muốn vận dụng tri thức, phương pháp toán

học để giải quyết các vấn đề nảy sinh trong TT cũng không được quan tâm lắm

đối với GV. Lí giải cho việc này, GV thường có câu trả lời là do không đủ thời

gian, do áp lực thi cử hay do sách giáo khoa cũng không thể hiện nhiều đến tính

thực tiễn của tri thức.

Như vậy có thể khẳng định thêm trong quy trình dạy học, hầu hết các giáo

viên đều giới thiệu về mối liên hệ giữa Toán học với thực tiễn, một số HS đã chủ

động ứng dụng kiến thức Toán học vào giải quyết các tình huống mà mình gặp

phải, bên cạnh đó nhiều HS rất hứng thú với các bài toán thực tiễn nhưng lại

không có khả năng để giải quyết, một số HS khác thì không hứng thú vì thấy đây

là một vấn đề khó. Nhìn chung đa số HS vẫn có tư tưởng học toán chỉ để phục

vụ thi cử nên việc phát triển năng lực vận dụng Toán học vào thực tiễn cho HS

tại các trường THPT hiện nay còn gặp nhiều khó khăn.

26

Tóm tắt lại về thực trạng việc dạy và học nội dung đạo hàm ở trường phổ

thông nước ta hiện nay như sau:

- Việc dạy học Toán chủ yếu với mục đích nhằm đảm bảo đủ số tiết đã ăn

sâu vào suy nghĩ của GV, việc tổ chức những hoạt động thực hiện theo hướng

phát triển năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn buộc GV phải thay đổi lối

mòn trong nội dung, phương pháp dạy học nên GV ngại thực hiện.

- Việc đánh giá kết quả học tập môn toán hiện nay chủ yếu quan tâm mặt

kiến thức thuần túy, ít quan tâm đến việc đánh giá khả năng vận dụng kiến thức

vào các tình huống TT mặc dù vẫn có một số bài toán có nội dung TT trong SGK

và sách bài tập. Do đó, việc dạy và học chủ yếu để đáp ứng cách thức đánh giá.

- Giáo viên còn hạn chế về khả năng lý giải một cách tường minh về vấn

đề vận dụng TH vào TT khi dạy học, thiếu các tài liệu tham khảo, khai thác và

mở rộng kiến thức về vận dụng TH vào TT nên không xây dựng được nội dung

phong phú, hấp dẫn về vận dụng TH, không kích thích được HS tích cực tham

gia vận dụng TH vào TT.

Xuất phát từ tình hình thực tiễn dạy học đạo hàm có thể nhận thấy vấn đề

khai thác và vận dụng các bài toán thực tế còn gặp nhiều khó khăn:

- Về phía HS:

+ Khả năng tiếp cận kiến thức của HS chưa đồng đều. Khi gặp những bài

toán dưới dạng khám phá, được diễn tả bằng ngôn ngữ thông thường và nội dung

của bài toán đề cập đến các vấn đề trong cuộc sống, hoạt động và học tập thì HS

còn lúng túng trong việc thiết lập mô hình toán học tương ứng với nội dung thực

tiễn của bài toán. Đặc biệt, HS chưa biết toán học hóa các tình huống thực tiễn.

Trong khi đó các bài tập trên lớp và trong SGK chưa thực sự phù hợp với đối

tượng HS.

27

+ Học sinh thường mắc phải những sai sót rất cơ bản trong quá trình học

tập chẳng hạn làm sai từ các phép biến đổi đơn giản, cách giải phương trình, bất

phương trình cơ bản...

+ Có nhiều lỗ hổng kiến thức vì vậy HS dễ chán nản và không thích học

Toán. Khả năng tiếp thu của HS còn hạn chế chưa linh động trong việc xử lý các

tình huống toán học đơn giản.

+ Chưa thấy được ý nghĩa của việc học Toán, khả năng liên hệ đến thực

tiễn còn rất hạn chế, rất ít HS thuần thục và sáng tạo khi vận dụng các phương

pháp vào giải toán. HS chưa biết được đạo hàm được ứng dụng vào việc gì.

- Về phía giáo viên:

+ Giáo viên có những hạn chế, toán học là môn học khó và trừu tượng

không phải ở tất các các bài giảng lý thuyết nào cũng lấy được ví dụ sinh động

gắn với thực tiễn, giáo viên phải biết các bài toán không quá khó hoặc với một

phương pháp phù hợp để truyền tải tới HS nội dung cần diễn đạt.

+ GV chưa có bài tập phù hợp để HS yếu, kém hiểu hơn về khái niệm được

học. Các bài tập ở mức độ nhận biết, thông hiểu rất ít khi xuất hiện trong các ví

dụ minh họa cho bài giảng và trong bài tập về nhà.

+ Nhiều GV chưa thực sự quan tâm đến và đầu tư vào dạy học ứng dụng đạo

hàm. Trong quá trình giảng dạy chưa khơi dạy được niềm mê say và hứng thú học

tập, chưa góp phần tích cự việc xác lập động cơ học tập đúng đắn cho HS.

Từ những đánh giá nêu trên cho thấy người GV cần đưa ra những biện

pháp phát triển năng lực thích hợp để giải toán ứng dụng đạo hàm cho HS THPT

như sau:

- Trang bị cho HS đầy đủ các kiến thức cơ bản, đảm bảo cho HS nắm chắc,

có hệ thống các kiến thức được quy định trong chương trình.

- Cho HS được va chạm để từ đó nhận thấy những lỗi hay mắc phải trong

giải toán ứng dụng đạo hàm để HS khắc ghi và củng cố phương pháp giải.

28

- Chú trọng trang bị phương pháp giải toán đạo hàm cho HS với sự hướng dẫn, dạy HS cách phân tích, các thao tác tư duy khi đứng trước một bài toán thông qua hệ thống các bài tập theo từng chủ đề để đảm bảo sự phát triển bền vững trong tiếp thu kiến thức giải toán ứng dụng đạo hàm cho HS.

1.2.4. Một số biểu hiện của năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn trong nội dung đạo hàm ở trường THPT

Dựa theo quy trình vận dụng toán học vào thực tiễn đã trình bày ở mục 1.1.2 thì quy trình vận dụng toán học vào thực tiễn ứng với nội dung đạo hàm sẽ có 5 bước cụ thể như sau:

Bước 1: HS phát hiện tình huống thực tiễn hoặc bài toán thực tiễn qua đó

phân loại dạng toán cho phù hợp.

Bước 2: HS thực hiện toán học hóa bài toán với những ngôn ngữ, những dữ kiện trong thực tiễn thành bài toán với ngôn ngữ toán học, các dữ kiện biểu thị bằng ẩn số gắn với nội dung đạo hàm.

Bước 3: Tìm cách giải cho bài toán đã được thiết lập. Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán: Biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã cho hoặc cái phải tìm với những tri thức đã biết bằng công cụ đạo hàm, liên hệ bài toán cần giải với một bài toán cũ tương tự, từ một trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nào đó có liên quan, sử dụng những phương pháp đặc thù với những dạng toán.

Kiểm tra lời giải bằng cách xem kỹ lại từng bước thực hiện hoặc đặc biệt

hóa kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức có liên quan...

Bước 4: Trình bày lời giải. Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một chương trình gồm các bước thực hiện theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó.

Bước 5: Đưa ra kết luận cuối cùng cho yêu cầu của bài toán thực tiễn, thường là một kết quả đo đạc, một phương án, một kế hoạch sản xuất mang tính tối ưu do thực tiễn đặt ra. Đồng thời cần có sự nghiên cứu sâu lời giải, nghiên cứu khả năng ứng dụng của kết quả tìm được. Nghiên cứu những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề. Đây là hoạt động nhằm phát huy khả năng tư duy và tìm tòi sáng tạo của HS trong nội dung ứng dụng của đạo hàm nói riêng cũng như trong Toán học nói chung.

29

Từ quy trình 5 bước vận dụng toán học vào thực tiễn thông qua nội dung

đạo hàm và với những quan điểm về năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn

được nêu trên, thì năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn của HS có thể có các

biểu hiện như sau:

- Hiểu được bản chất của các kiến thức Toán học, hiểu được sự thể hiện,

ý nghĩa thực tiễn của các kiến thức Toán học trong chương trình.

- Có khả năng phát hiện, xác định, tìm hiểu, phân tích và chuyển hóa các

tình huống thực tiễn thành các tình huống Toán học và ngược lại.

- Đưa ra kế hoạch và các giải pháp, từ đó chọn giải pháp phù hợp để giải

quyết tình huống thực tiễn.

Đó là những biểu hiện cơ bản của năng lực vận dụng toán học vào thực

tiễn trong nội dung đạo hàm ở trường THPT. Qua đó để HS hiểu được cách thức

vận dụng toán học vào thực tiễn ở nội dung này, cần cho HS hiểu được bản chất

của đạo hàm là gì; những khái niệm khác nhau của đạo hàm và ý nghĩa của chúng.

Đó là những khái niệm cơ bản nhưng HS đang thiếu sót.

1.3. Kết luận chương 1

Trong chương 1, chúng tôi làm rõ những vấn đề cơ bản về năng lực, năng

lực giải toán, năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn hay vấn đề hình thành và

phát triển năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn. Đồng thời, cũng chỉ ra rằng,

việc phát triển cho HS năng lực vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn là

vấn đề có tính nguyên tắc và là một nhiệm vụ của giáo dục Toán học ở nước ta.

Đặc biệt, qua những vấn đề quan trọng được cụ thể hóa trong chương 1 khi nói

về nội dung ứng dụng đạo hàm, những khó khăn hay thuận lợi trong quá trình

dạy và học nội dung này đã chỉ ra những mặt hạn chế và những tồn tại của chương

trình và sách giáo khoa sẽ là cơ sở quan trọng để xây dựng bài toán có nội dung

thực tiễn, mà trước tiên là những định hướng, biện pháp dạy học góp phần phát

triển năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn sẽ được trình bày ở chương 2.

Chương 2

30

MỘT SỐ BIỆN PHÁP DẠY HỌC ĐẠO HÀM GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN

NĂNG LỰC VẬN DỤNG TOÁN HỌC VÀO THỰC TIỄN

CHO HỌC SINH THPT

2.1. Định hướng phát triển năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn trong

dạy học đạo hàm ở trường THPT

Định hướng 1: Các biện pháp xây dựng trên cơ sở tôn trọng nội dung

chương trình, SGK Toán THPT và tuân theo các nguyên tắc dạy học.

Chương trình và SGK giải tích 11, giải tích 12 nói chung và nội dung đạo

hàm trong chương trình toán phổ thông nói riêng được xây dựng trên cơ sở kế

thừa những kinh nghiệm tiên tiến ở trong và ngoài nước theo một hệ thống quan

điểm nhất quán về phương diện Toán học cũng như về phương diện sư phạm, nó

đã được thực hiện thống nhất trong phạm vi toàn quốc trong nhiều năm và được

điều chỉnh nhiều lần cho phù hợp với mục đích đào tạo mới, phù hợp với thực

tiễn giáo dục ở nhà trường phổ thông của nước ta hiện nay.

Vì vậy, khi đề xuất các biện pháp sư phạm nhằm phát triển năng lực vận

dụng toán học vào thực tiễn thông qua nội dung ứng dụng đạo hàm cho HS THPT

phải đảm bảo phù hợp với chương trình SGK, phải được xây dựng trên cơ sở tôn

trọng, kế thừa và phát huy, khai thác hết tiềm năng của chương trình SGK hiện

hành.

Định hướng 2: Các biện pháp sư phạm phải đảm bảo tính mục đích, tính

khả thi, tính hiệu quả của việc dạy và học Toán theo hướng phát triển năng lực

vận dụng kiến thức đạo hàm vào thực tiễn cho học sinh THPT.

Mục đích của việc dạy và học Toán theo hướng phát triển năng lực vận

dụng kiến thức đạo hàm vào thực tiễn cho HS THPT nằm trong những mục tiêu

chung của bộ môn Toán, có chú ý đến những đặc điểm cụ thể của nội dung đạo

hàm và trình độ nhận thức của HS THPT.

31

Tính khả thi của biện pháp được hiểu là khả năng thực hiện, áp dụng được

vào thực tế dạy học. Tính khả thi còn phụ thuộc vào nhiều yếu tố như: Chương

trình, SGK, kế hoạch dạy học và quỹ thời gian thực hiện, khả năng và trình độ

thực hiện của giáo viên, sự tương trợ giữa các nội dung thực tiễn chứa đọng trong

các bài tập,... Đặc biệt, tính khả thi còn phụ thuộc nhiều vào trình độ nhận thức

và thái độ học tập của HS.

Tính hiệu quả của việc phát triển năng lực vận dụng kiến thức đạo hàm

vào thực tiễn cho HS THPT chính là nắm vững các kiến thức cơ bản của bài học,

là sự thành thạo của HS trong việc vận dụng để xử lý các vấn đề đặt ra trong thực

tiễn (trong học tập, lao động sản xuất và đời sống thực tế). Như vậy, tình huống

thực tiễn phải quen thuộc, gần gũi và mang tính thực tế cao.

Định hướng 3: Các biện pháp phải thể hiện rõ ý tưởng phát triển năng

lực toán học hóa tình huống thực tiễn, đồng thời góp phần làm đậm nét mạch

toán ứng dụng trong dạy học Toán ở trường phổ thông.

Tri thức toán học là điều kiện để có thể vận dụng toán học vào đời sống

thực tiễn nhưng chưa đủ mà HS còn phải có những hiểu biết nhất định về thế giới

xung quanh mình. Do đó để toán học thâm nhập vào thực tế thì đòi hỏi GV và

HS phải đạt đến một trình độ nhất định để đủ khả năng đưa các hoạt động vào

bài giảng, bài học của mình.

Mạch toán ứng dụng (xác suất - thống kê, ứng dụng đạo hàm, nguyên hàm,

tích phân,...) trong chương trình môn Toán thể hiện rõ nét nhất ứng dụng của

Toán học vào thực tiễn đời sống. Chúng ta cần khai thác khía cạnh này góp phần

làm đậm nét mạch toán ứng dụng trong chương trình môn Toán ở trường phổ

thông, đồng thời phát triển năng lực vận dụng toán học vào việc xử lý tính huống

thực tiễn cho HS.

32

2.2. Một số biện pháp dạy học đạo hàm góp phần phát triển năng lực vận

dụng toán học vào thực tiễn

2.2.1. Biện pháp 1: Củng cố kiến thức về ứng dụng đạo hàm trước khi trang

bị cho học sinh cách thức giải bài toán có nội dung thực tiễn bằng công cụ

đạo hàm

a) Cơ sở và ý nghĩa của biện pháp

Với thực trạng việc học đạo hàm và ứng dụng đạo hàm của HS ở trường

THPT như đã điều tra. Chúng tôi thấy rằng để HS có thể giải được một bài toán

có tình huống thực tiễn trước hết HS phải nắm được những kiến thức cơ bản về

đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm. Đó là cơ sở cho việc giải một bài toán có nội

dung thực tiễn.

Đây là yêu cầu bắt buộc đầu tiên đối với HS khi bắt đầu học giải toán ứng

dụng đạo hàm. Đồng thời qua đó HS có những công cụ để làm việc với các dạng

toán về ứng dụng đạo hàm, tạo cho HS một tâm thế thoải mái và hứng thú khi

tiếp cận nôi dung này.

b) Cách thức thực hiện biện pháp

Với những biện pháp dạy học phù hợp, giáo viên có nhiệm vụ dạy và

hướng dẫn HS thực hiện có hiệu quả việc học cả về lý thuyết và bài tập nội dung

đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm:

- GV nhắc lại kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm cho HS

bằng hình thức hỏi đáp trực tiếp, kiểm tra bằng phiếu hỏi 15 – 20 phút, sử dụng

bảng phụ hoặc trình chiếu.

- GV cho HS làm những bài tập cơ bản vận dụng những kiến thức được

nhắc lại về đạo hàm và ứng dụng: các dạng bài tập vận dụng quy tắc tính đạo

hàm; quy tắc xét dấu nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai…

- GV hướng dẫn cho HS làm những dạng bài tập ở các mức độ khác nhau

từ thông hiểu, vận dụng, vận dụng cao bằng nhiều hình thức khác nhau như thảo

luận nhóm, kiểm tra viết hoặc giao cho HS những chủ đề phù hợp để HS nghiên

cứu và báo cáo kết quả…

33

- GV phối hợp phát hiện sai lầm và sửa chữa sai lầm cho HS. Đặc biệt

chú ý về những sai lầm cơ bản mà những sai lầm đó có thể đem đến một kết quả

tính toán sai hoặc lệch hướng nghiên cứu.

Một số nội dung GV cần nhắc lại trước khi trang bị cho HS cách thức

giải bài toán có nội dung thực tiễn bằng công cụ đạo hàm như sau:

 Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

 Các quy tắc tính đạo hàm, đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản, đạo

hàm cấp cao

 Tính đơn điệu của hàm số

- Điều kiện cần của tính đơn điệu:

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trong khoảng (𝑎, 𝑏)

+) Nếu hàm số f(x) tăng trong khoảng (𝑎, 𝑏) thì 𝑓’(𝑥) ≥ 0, ∀𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏).

+) Nếu hàm số f(x) giảm trong khoảng (𝑎, 𝑏) thì 𝑓’(𝑥) ≤ 0, ∀𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏).

- Điều kiện đủ của tính đơn điệu:

Hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) có đạo hàm trên khoảng (𝑎, 𝑏)

+) Nếu 𝑓′(𝑥) > 0, ∀𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏) thì 𝑓(𝑥) đồng biến (tăng) trên (𝑎, 𝑏).

+) Nếu 𝑓′(𝑥) < 0, ∀𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏) thì 𝑓(𝑥) nghịch biến (giảm) trên (𝑎, 𝑏).

+) Nếu 𝑓′(𝑥) = 0 ∀𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏) thì 𝑓(𝑥) không đổi (hàm hằng) trên (𝑎, 𝑏).

 Cực trị của hàm số

- Điều kiện cần để hàm số có cực trị:

Giả sử hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) có đạo hàm tại điểm 𝑥0 và đạt cực trị tại điểm đó

thì 𝑓′(𝑥0) = 0.

- Điều kiện đủ để hàm số có cực trị:

Dấu hiệu 1:

Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) liên tục trên khoảng (𝑎, 𝑏) chứa điểm 𝑥0 và có đạo

hàm trên các khoảng (𝑎, 𝑥0) và (𝑥0, 𝑏).

+) Nếu 𝑓′(𝑥0) > 0, ∀𝑥 ∈ (𝑎, 𝑥0) và 𝑓′(𝑥) < 0, 𝑥 ∈ (𝑥0, 𝑏) thì 𝑓(𝑥) đạt

cực đại tại điểm 𝑥0.

34

+) Nếu 𝑓′(𝑥0) < 0, ∀𝑥 ∈ (𝑎, 𝑥0) và 𝑓′(𝑥) > 0, 𝑥 ∈ (𝑥0, 𝑏) thì 𝑓(𝑥) đạt

cực tiểu tại điểm 𝑥0.

Dấu hiệu 2:

Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) có đạo hàm cấp 1 trên khoảng (𝑎, 𝑏) chứa điểm 𝑥0,

𝑓′(𝑥0) = 0 và 𝑓(𝑥) có đạo hàm cấp 2 khác 0 tại 𝑥0.

+) Nếu 𝑓′′(𝑥0) < 0 thì hàm số 𝑓(𝑥) đạt cực đại tại điểm 𝑥0. +) Nếu 𝑓′′(𝑥0) > 0 thì hàm số 𝑓(𝑥) đạt cực tiểu tại điểm 𝑥0.

 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Các bước tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm

số trên một đoạn.

Giả sử hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) xác định trên một tập D.

- Bước 1: Tìm các điểm 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑚 ∈ (𝑎, 𝑏) tại đó hàm số 𝑓(𝑥) có đạo

hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm.

- Bước 2: Tính 𝑓(𝑥1), 𝑓(𝑥2), … , 𝑓(𝑥𝑚), 𝑓(𝑎) và 𝑓(𝑏). - Bước 3: So sánh các giá trị vừa tìm được.

Số lớn nhất trong các giá trị đó là GTLN của hàm số 𝑓(𝑥) trên đoạn [𝑎, 𝑏].

y. Kí hiệu: M = Max 𝑥∈𝐷

Số nhỏ nhất trong các giá trị đó là GTNN của hàm số 𝑓(𝑥) trên đoạn [𝑎, 𝑏].

y. Kí hiệu: m = Min 𝑥∈𝐷

Cần lưu ý rằng GTLN, GTNN của hàm số có thể không tồn tại.

 Khảo sát hàm số và một số bài toán liên quan đến khảo sát hàm số

và đồ thị

- Các bước để khảo sát một hàm số:

Bước 1: Tìm tập xác định

Bước 2: Xét sự biến thiên

+) Xét chiều biến thiên của hàm số

Tính đạo hàm.

35

Tìm các điểm tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

Xét dấu đạo hàm và suy ra chiều biến thiên của hàm số.

+) Tìm cực trị.

+) Tìm các giới hạn tại +∞, −∞ và tìm tiệm cận (nếu có).

+ Lập bảng biến thiên.

Bước 3: Vẽ đồ thị

+) Vẽ các đường tiệm cận (nếu có), các điểm đặc biệt (cực trị, điểm uốn).

+) Tìm giao điểm của đồ thị với hai hệ trục tọa độ.

+) Nhận xét về đồ thị: Chỉ ra tâm và trục đối xứng.

 Một số bài toán liên quan đến đồ thị hàm số

Bài toán 1: Sự tiếp xúc của hai đồ thị

Cho hai hàm số 𝑓(𝑥) và 𝑔(𝑥) có hai đồ thị tương ứng là (𝐶) và (𝐶′). Hai

đồ thị này tiếp xúc nhau khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) { 𝑓′(𝑥) = 𝑔′(𝑥)

Khi đó, nghiệm của hệ phương trình chính là hoành độ tiếp điểm.

Bài toán 2: Giao điểm của hai đồ thị

Cho hai hàm số 𝑓(𝑥) và 𝑔(𝑥) có hai đồ thị tương ứng là (𝐶) và (𝐶′). Điểm

𝑀0(𝑥0; 𝑦0) là giao điểm của (𝐶) và (𝐶′) khi và chỉ khi (𝑥0; 𝑦0) là một nghiệm

của hệ phương trình:

𝑦 = 𝑓(𝑥) { 𝑦 = 𝑔(𝑥)

Do đó hoành độ giao điểm của (𝐶) và (𝐶′) là nghiệm của phương trình

𝑓(𝑥) và 𝑔(𝑥).

Số nghiệm của phương trình trên chính là số giao điểm của hai đồ thị.

(bài toán giải và biện luận số nghiệm của phương trình chính là bài toán

ngược của bài toàn này).

36

Bài toán 3: Tiếp tuyến của đồ thị

Kết hợp sử dụng kết quả bài toán 1, ta có phương trình tiếp tuyến tại điểm

𝑀0(𝑥0, 𝑦0) của đường cong 𝑦 = 𝑓(𝑥) có dạng:

𝑦 − 𝑦0 = 𝑓′(𝑥0)(𝑥 − 𝑥0)

Lưu ý: Không sử dụng điều kiện nghiệm kép khi thiết lập điều kiện tiếp

xúc của đường thẳng với đồ thị hàm số.

Ví dụ 2.1: Thể tích của một hình lăng trụ tứ giác đều bằng V. Cạnh đáy

của hình lăng trụ đó phải bằng bao nhiêu để diện tích toàn phần của hình lăng

trụ đó là nhỏ nhất?

Hướng dẫn giải

Gọi 𝑥 là cạnh đáy và ℎ là đường cao của lăng trụ.

Ta có:

𝑉 = 𝑥2. ℎ ⇔ ℎ = 𝑉 𝑥2.

Diện tích toàn phần của lăng trụ là:

. 𝑆𝑡𝑝 = 2𝑥2 + 4𝑥ℎ = 2𝑥2 + 4𝑉 𝑥

4𝑉

Vậy diện tích toàn phần của hình lăng trụ nhỏ nhất

𝑥

nhỏ nhất. ⇔ 2𝑥2 +

Ta xét hàm số sau:

𝑦 = 2𝑥2 + . 4𝑉 𝑥

 Miền xác định 𝔻 = (0, +∞).

 Đạo hàm:

𝑦′ = 4𝑥 − 4𝑉 𝑥2 ,

𝑦′ = 0 ⇔ 4𝑥 − . 4𝑉 𝑥2 = 0 ⟺ 𝑥 = √𝑉3

37

 Bảng biến thiên

𝑥 −∞ +∞ √𝑉3

𝑦′ - 0 +

+∞ +∞

3 6√𝑉2

𝑦

3

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

3

min𝑦 = 6√𝑉2 . khi 𝑥 = √𝑉3

. đạt được khi 𝑥 = √𝑉3 Vậy 𝑀𝑖𝑛 𝑆𝑡𝑝 = 6√𝑉2

Nhận xét: Để giải được bài toán dạng này, GV cần chỉ ra cho HS thực

hiện theo các bước như sau:

Bước 1: Miền xác định.

Bước 2: Đạo hàm 𝑦′, rồi giải phương trình 𝑦′ = 0.

Bước 3: Lập bảng biến thiên.

Bước 4: Kết luận về GTLV, GTNN của hàm số dựa vào bảng biến thiên.

Ví dụ 2.2: Cho hàm số:

(C): 𝑦 = −𝑥3 + 3𝑥2 − 2.

Tìm các điểm thuộc đồ thị (C) mà qua đó kẻ được một và chỉ một tiếp tuyến

với đồ thị (C).

Hướng dẫn giải

2 − 2.

Xét điểm 𝐴(𝑎; −𝑎3 + 3𝑎2 − 2) thuộc đồ thị hàm số.

3 + 3𝑥0

Tiếp tuyến qua A tiếp xúc với đồ thị hàm số tại 𝑀(𝑥0; 𝑦(𝑥0)) có dạng 2 + 6𝑥0)(𝑥 − 𝑥0) − 𝑥0 (𝑑): 𝑦 = (−3𝑥0

2 − 2

2 + 6𝑥0)(𝑎 − 𝑥0) − 𝑥0

3 + 3𝑥0

2 = 0

Điểm 𝐴 ∈ (𝑑) khi:

3 + 3𝑥0 2 − 3𝑎 − 3𝑥0)(𝑎 − 𝑥0) = 0

−𝑎3 + 3𝑥0 ⇔ (−3𝑥0

2 − 2 = (−3𝑥0 2 + 6𝑥0)(𝑎 − 𝑥0) + 𝑎3 − 3𝑎2 − 𝑥0 2 + 6𝑥0 + 𝑎2 + 𝑎𝑥0 + 𝑥0

⇔ (−3𝑥0

38

2 − 3𝑎 − 3𝑥0)(𝑎 − 𝑥0) = 0

2 + 6𝑥0 + 𝑎2 + 𝑎𝑥0 + 𝑥0

⇔ (−3𝑥0

⇔ (𝑎 + 2𝑥0 − 3)(𝑎 − 𝑥0)(𝑎 − 𝑥0) = 0 ⇔ [ . 𝑥0 = 𝑥0 = 𝑎 3 − 𝑎 2

Để qua A kẻ được một tiếp tuyến với (C) ta phải có:

𝑎 = ⇔ 𝑎 = 1. 3 − 𝑎 2

Vậy qua điểm 𝐴(1, 0) (chính là điểm uốn của đồ thị (C)) kẻ được một và

chỉ một tiếp tuyến với đồ thị (C).

Nhận xét: Đây là dạng toán tìm điểm kẻ được 𝑘 tiếp tuyến tới đồ thị, với

dạng toán này GV cần chỉ ra cách thực hiện như sau:

Cho hàm số:

(𝐶): 𝑦 = 𝑓(𝑥).

Với yêu cầu “Tìm điểm A thỏa mãn tính chất K để từ đó kẻ được k tiếp

tuyến với đồ thị (C)”, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Tìm điểm A thỏa mãn tính chất K, giả sử 𝐴(𝑥0; 𝑦0).

Bước 2: Lập Phương trình đường thẳng đi qua A với hệ số góc 𝑘

(𝑑): 𝑦 = 𝑘(𝑥 − 𝑥𝐴) + 𝑦𝐴.

Bước 3: Đường thẳng (d) tiếp xúc với đồ thị (C) khi hệ sau có nghiệm:

𝑓(𝑥) = 𝑘(𝑥 − 𝑥𝐴) + 𝑦𝐴 (1) { 𝑓′(𝑥) = 𝑘 (2)

Kết hợp (1) và (2) ta được:

𝑓(𝑥) = 𝑓′(𝑥)(𝑥 − 𝑥𝐴) + 𝑦𝐴. (3)

Bước 4: Khi đó số nghiệm phân biệt của (3) là số tiếp tuyến kẻ được từ A

tới đồ thị (C).

Do đó để từ A kẻ được 𝑘 tiếp tuyến tới đồ thị (C) ⇔ (3) có 𝑘 nghiệm phân

biệt.

Như vậy sẽ tìm được điểm A (nếu có).

39

2.2.2. Biện pháp 2: Luyện tập kĩ năng ứng dụng đạo hàm trong môn Toán

thông qua việc hệ thống hóa các câu hỏi và bài tập

a) Cở sở và ý nghĩa của biện pháp

Trong quá trình học Toán việc cung cấp cho người học một số công cụ,

phương pháp giải toán là cần thiết bởi qua đó việc giải toán sẽ trở lên đơn giản

hơn. Chúng ta có thể trang bị cho HS một số dạng toán ứng dụng đạo hàm mà ở

đó đã có sẵn thuật giải hoặc các quy tắc tựa thuật giải, từ đó khi gặp các dạng

toán này hay các bài toán tương tự HS chỉ cần vận dụng thuật toán hoặc quy tắc

đó là có thể giải được. Điều này rất cần thiết đối với việc đổi mới cách kiểm tra

đánh giá như hiện nay của nền giáo dục Việt Nam đó là trắc nghiệm khách quan.

Một số dạng toán liên quan tới ứng dụng đạo hàm bao gồm như:

- Các dạng toán liên quan đến tính đơn điệu của hàm số.

- Các dạng bài tập liên quan đến cực trị.

- Các dạng bài tập liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số.

- Tính lồi, lõm và tìm điểm uốn của đồ thị hàm số.

- Các dạng bài tập liên quan đến đường tiện cận của hàm số.

- Sử dụng định lý Lagrange, định lý Rôn để chứng minh một số bất đẳng

thức hay để chứng minh phương trình có nghiệm.

- Giải một số bài toán đại số khác.

b) Cách thức thực hiện biện pháp

Một khó khăn đối với GV khi thực hiện biện pháp này đó chính là thời

gian. Thời gian nhắc lại lý thuyết cũng như chỉ ra các loại bài tập cơ bản trên lớp thực

sự rất hạn hẹp. Trong 45 phút GV yêu cầu HS lĩnh hội đầy đủ một hệ thống câu hỏi

và bài tập về ứng dụng đạo hàm trong môn Toán là điều khó có thể thực hiện. Qua

đó để thực hiện tốt biện pháp này chúng tôi xin chỉ ra như sau:

 Đối với giáo viên: Chúng tôi đưa ra 3 cách để GV hướng dẫn HS thực

hiện có hiệu quả nội dung này:

Một là, GV thiết kế bảng phụ với các dạng toán cơ bản về ứng dụng của

đạo hàm trong môn Toán.

40

Hai là, GV thiết kế bản trình chiếu trên hệ thống máy chiếu một cách đầy

đủ về các dạng toán ứng dụng của đạo hàm.

Ba là, GV chủ động hệ thống hóa các dạng câu hỏi và bài tập về ứng dụng

của đạo hàm sau đó biên tập, soạn thảo ra thành đề cương ôn tập. Từ đó qua các giờ

tự chọn hoặc phụ đạo GV và HS cùng nhau trao đổi giải đáp thắc mắc.

 Đối với HS: HS cần thực hiện các công việc như sau:

- Chủ động tìm tòi nghiên cứu và sưu tầm hệ thống câu hỏi và bài tập về

ứng dụng của đạo hàm trong môn Toán ở SGK, sách bài tập và các loại sách

tham khảo cũng như trên các kênh tìm kiếm thông tin khác.

- Phân loại các câu hỏi và bài tập tìm được thành các dạng kiến thức khác

nhau.

- Giải các dạng câu hỏi và bài tập vừa tìm được.

- Tìm ra điểm giống và khác nhau giữa các dạng câu hỏi và bài tập.

- Thường xuyên trao đổi với bạn bè về nội dung đang thực hiện. Chủ

động liên hệ với GV để có được những hướng dẫn kịp thời.

Một số dạng toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm trong môn Toán:

Dạng 1: Các dạng toán liên quan đến tính đơn điệu của hàm số

Dạng 1.1. Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

Cách giải:

Bước 1: Tìm TXĐ của hàm số.

Bước 2: Tính đạo hàm hàm số đã cho.

Bước 3: Dựa vào điều kiện cần và đủ để xét tính đơn điệu của hàm số.

Ví dụ 2.3: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số:

a) 𝑦 = 𝑥3 − 3𝑥2 − 9𝑥 + 5

b) 𝑦 = 𝑥4 − 2𝑥2 − 1

(𝑥2−2𝑥+2) 𝑥−1

c) 𝑦 =

d) 𝑦 = √𝑥2 − 2𝑥 − 3

41

Dạng 1.2. Chứng minh hàm số đồng biến, nghịch biến trên một khoảng

nào đó

Cách giải:

Bước 1: Tìm TXĐ của hàm số đã cho.

Bước 2: Tính đạo hàm.

Bước 3: Hàm số đồng biến, nghịch biến trên một tập I (giả sử đồng biến)

⟺ 𝑦′ ≥ 0, ∀𝑥 ∈ I.

Bài toán được chuyển về xét dấu của nhị thức bậc nhất hoặc tam

thức bậc hai hoặc sử dụng phương pháp hàm số.

Bước 4: Kết luận.

Ví dụ 2.4: Tùy theo 𝑚, khảo sát sự biến thiên của hàm số

𝑦 = 𝑥4 − 2𝑚𝑥2 + 3.

Hướng dẫn giải

TXD của hàm số là D = ℝ.

Đạo hàm:

𝑦′ = 4𝑥3 − 4𝑚𝑥

𝑦′ = 0 ⟺ 4𝑥(𝑥2 − 𝑚) = 0 ⟺ [ 𝑥 = 0 𝑥2 = 𝑚 (1)

Ta xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: Nếu 𝑚 ≤ 0 khi đó dấu của 𝑦′ phụ thuộc vào dấu của 4𝑥.

Giới hạn:

[𝑥4 (1 − lim 𝑥→ ∞ 𝑦 = lim 𝑥→∞ 2𝑚 𝑥2 + 3 𝑥4)] = +∞.

Bảng biến thiên:

+∞ +∞

x y' 0 0 + +

y

3 1 0 4 - 2m

42

Trường hợp 2: Nếu 𝑚 > 0 khi đó:

𝑦′ = 0 ⟺ [ 𝑥 = 0 𝑥 = ±√𝑚.

Giới hạn:

[𝑥4 (1 − lim 𝑥→ ∞ 𝑦 = lim 𝑥→∞ 2𝑚 𝑥2 + 3 𝑥4)] = +∞.

x y'

−√𝑚 0

+

−

√𝑚 0

+

−

0 0 3

+∞ +∞

y

−∞ +∞

3 − 𝑚2

3 − 𝑚2

Bảng biến thiên:

Nhận xét: Như vậỵ, với hàm đa thức bậc bốn, bởi trong trường hợp này

𝑦′ là hàm bậc ba.

1. Nếu hàm số có dạng trùng phương thì:

𝑦′ = 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥.

Do đó cần xét ba trường hợp:

𝑏

a) Với 𝑎 = 0.

𝑏

≥ 0. b) Với 𝑎

< 0. c) Với 𝑎

2. Nếu hàm số có dạng bậc bốn tổng quát thì:

𝑦′ = 𝑎𝑥3 + 𝑏2 + 𝑐𝑥 + 𝑑.

Do đó cần sử dụng các phương pháp:

a) Phân tích đa thức thành nhân tử.

b) Hàm số.

Để thực hiện việc giải và biện luận phương trình bậc ba.

43

Bài tập tương tự:

Bài 1: Tùy theo m, khảo sát sự biến thiên của hàm số:

a) 𝑦 = (𝑚2 − 1)𝑥2 − (𝑚2 − 4𝑚 + 3)𝑥 + 13.

b) 𝑦 = 𝑥3 + 3𝑥2 + 𝑚𝑥 + 𝑚.

c) 𝑦 = 𝑥4 − 8𝑚𝑥2 + 7.

d)

Bài 2: Khảo sát sự biến thiên các hàm số sau:

a) 𝑦 = (ln 𝑥 − 1) ln 𝑥.

𝑥+𝑚 √𝑥2−1

b) 𝑦 = , với 𝑚 tùy ý.

Dạng 2: Các bài toán liên quan đến cực trị hàm số

Dạng 2.1. Tìm cực trị của hàm số

Phương pháp: Sử dụng dấu hiệu 1, dấu hiệu 2 để tìm cực trị của hàm số.

Để làm tốt được dạng toán này HS cần nhận dạng và thể hiện được quy tắc, định

lý kết hợp với các hoạt động trí tuệ chung.

Ví dụ 2.5: Tìm cực trị của các hàm số

a) 𝑦 = −2𝑥 + 3√𝑥2 + 1.

b) 𝑦 = (1 + cos𝑥). sin𝑥.

c) 𝑦 = 𝑒 𝑥. cos𝑥.

Dạng 2.2. Tìm điều kiện để hàm số có cực trị

Để thực hiện các yêu cầu về điều kiện có cực trị của hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) ta

thực hiện theo các bước:

Bước 1: Tìm TXĐ

Bước 2: Tính đạo hàm y’

Bước 3: Lựa chọn một trong hai hướng:

Hướng 1: Nếu xét được dấu của y′ thì sử dụng dấu hiệu 1

Hướng 2: Nếu không xét dấu được của y′ hoặc bài toán yêu cầu

cụ thể về cực đại hoặc cực tiểu thì sử dụng dấu hiệu 2, bằng việc tính thêm 𝑦′′.

44

Ví dụ 2.6: Cho hàm số:

𝑦 = 𝑚𝑥3 − (𝑚 − 1)𝑥2 + 3(𝑚 − 2)𝑥 + . 1 3 1 3

Tìm m để:

a) Hàm số có cực trị.

b) Hàm số có cực đại, cực tiểu và 𝑥𝐶Đ < 𝑥𝐶𝑇.

c) Hàm số đạt cực đại tại 𝑥 = 0.

Hướng dẫn giải

TXD: D = ℝ.

Đạo hàm:

(4) 𝑦′ = 𝑚𝑥2 − 2(𝑚 − 1)𝑥 + 3(𝑚 − 2).

𝑦′ = 0 ⟺ 𝑚𝑥2 − 2(𝑚 − 1)𝑥 + 3(𝑚 − 2) = 0.

a) Ta xét hai trường hợp

Trường hợp 1: Nếu m = 0 ta được:

(4) ⟺ 2𝑥 − 6 = 0 ⟺ 𝑥 = 3.

Vì qua 𝑥 = 3 đạo hàm của 𝑦′ đổi dấu, do đó 𝑚 = 0 thỏa mãn.

Trường hợp 2: Nếu 𝑚 ≠ 0 ta được:

Hàm số có cực trị ⇔ (4) có hai nghiệm phân biệt

< 𝑚 < 0 2 − √6 2 ⇔ ⇔ ⇔ . 𝑚 ≠ 0 (𝑚 − 1)2 − 3𝑚(𝑚 − 2) > 0 𝑚 ≠ 0 ∆′> 0 0 < 𝑚 < 2 + √6 2 { { {

2−√6 2

2+√6 . 2

Vậy hàm số có cực trị khi < 𝑚 <

b) Hàm số đạt cực đại, cực tiểu và 𝑥𝐶Đ < 𝑥𝐶𝑇

⇔ phương trình (4) có hai nghiệm phân biệt và 𝑚 > 0.

⇔ { ⇔ { ⇔ 0 < 𝑚 < . 𝑚 > 0 (𝑚 − 1)2 − 3𝑚(𝑚 − 2) > 0 𝑚 > 0 ∆′> 0 2 + √6 2

45

c) Hàm số đạt cực đại tại 𝑥 = 0

⇔ 𝑚 = 2. ⇔ { ⇔ { 𝑦′(0) = 0 𝑦′′(0) < 0 3(𝑚 − 2) = 0 −2(𝑚 − 1) < 0

Bài tập tương tự: Cho hàm số:

𝑦 = 𝑚𝑥3 + 3𝑚𝑥2 − (𝑚 − 1)𝑥 − 1.

Tìm m để hàm số không có cực trị.

Dạng 3. Bài toán liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số

Như đã trình bày ở mục 2.3.1. Dạng bài toán liên quan đến GTLN, GTNN

của hàm số được thực hiên qua các bước như sau:

Các bước tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm

số trên một đoạn.

Giả sử hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) xác định trên một tập D.

- Bước 1: Tìm các điểm 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑚 ∈ (𝑎, 𝑏) tại đó hàm số 𝑓(𝑥) có đạo

hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm.

- Bước 2: Tính 𝑓(𝑥1), 𝑓(𝑥2), … , 𝑓(𝑥𝑚), 𝑓(𝑎) và 𝑓(𝑏). - Bước 3: So sánh các giá trị vừa tìm được.

Bài tập tương tự:

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

6 ]. 5

𝜋

𝜋

a) 𝑦 = 4𝑥4 − 12𝑥3 + 10𝑥2 trên đoạn [0,

4

4

b) 𝑦 = 5 cos 𝑥 − cos 5𝑥 trên đoạn [− , ].

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

𝑦 = sin 𝑥 − cos2 𝑥 + . 1 2

Dạng 4: Các dạng bài tập liên quan đến đồ thị hàm số

Dạng 4.1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Cách giải:

Bước 1: Tìm TXĐ.

Bước 2: Sự biến thiên.

- Xét chiều biến thi của hàm số. + Tính đạo hàm 𝑦′.

46

+ Tìm các điểm mà tại đó hàm 𝑦′ bằng 0 hoặc không xác định.

+ Xét dấu đạo hàm 𝑦′ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.

- Tìm cực trị.

- Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn có kết quả là vô cực và tìm

tiệm cận nếu có.

- Lập bảng biến thiên: Thể hiện đầy đủ và chính xác các giá trị trên bảng

biến thiên.

Bước 3: Vẽ đồ thị

- Giao của đồ thị với trục 𝑂𝑦.

- Giao của đồ thị với trục 𝑂𝑥.

- Các điểm cực đại, cực tiểu nếu có.

- Lấy thêm một số điểm nếu cần.

- Nhận xét về đặc trưng của đồ thị.

Ví dụ 2.7: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số:

1

a) 𝑦 = −𝑥3 − 3𝑥 − 2.

3

b) 𝑦 = 𝑥3 + 𝑥2 − 2.

c) 𝑦 = −𝑥4 − 𝑥2 − 1.

d) .

GV có thể làm mẫu cho HS một số ý sau đó yêu cầu HS lên bảng trình bày

và GV nhận xét, bổ sung. Qua đó HS sẽ nắm được các dạng đồ thị của hàm số

bậc ba, bậc bốn trùng phương và hàm phân thức.

Dạng 4.2. Từ đồ thị đã cho suy ra đồ thị của các hàm số khác

Phương pháp:

Xét dấu các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối.

- Dựa vào định nghĩa trị tuyệt đối để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

- Viết hàm số về dạng được cho bởi nhiều công thức.

- Vẽ đồ thị hàm số đó dựa vào đồ thị hàm số mà đã học.

47

Ví dụ 2.8:

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)

𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥 + 2.

b) Từ đồ thị hàm số (C) hãy suy ra đồ thị hàm số của các hàm số sau:

1. 𝑦 = |𝑥3 − 3𝑥 + 2|.

2. 𝑦 = |𝑥|3 − 3|𝑥| + 2.

Hướng dẫn giải

y

x

HS tự làm câu a) với đồ thị hàm số như sau:

Hình 2.1

b)

1. Ta có

𝑦 = |𝑥3 − 3𝑥 + 2| = { 𝑥3 − 3𝑥 + 2 khi 𝑥3 − 3𝑥 + 2 ≥ 0 −(𝑥3 − 3𝑥 + 2) khi 𝑥3 − 3𝑥 + 2 < 0.

Đồ thị hàm số 𝑦 = |𝑥3 − 3𝑥 + 2| là hợp của hai phần đồ thị:

- Phần 1: Giữ nguyên phần đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥 + 2 với

𝑥3 − 3𝑥 + 2 ≥ 0 (phía trên trục hoành).

- Phần 2: Đối xứng qua 𝑂𝑥 phần đồ thị hàm số

𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥 + 2 với 𝑥3 − 3𝑥 + 2 < 0 (phía dưới trục hoành).

48

y

x

Hình ảnh đồ thị:

Hình 2.2

2. Hàm số 𝑦 = |𝑥|3 − 3|𝑥| + 2 là hàm số chắn nên đồ thị hàm số này sẽ

nhận 𝑂𝑦 làm trục đối xứng.

Ta có:

𝑦 = |𝑥|3 − 3|𝑥| + 2 = { 𝑥3 − 3𝑥 + 2 khi x ≥ 0 −𝑥3 + 3𝑥 − 2 khi x < 0.

Vậy đồ thị hàm số 𝑦 = |𝑥|3 − 3|𝑥| + 2 là hợp của hai phần đồ thị: - Phần 1: Giữ nguyên phần đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥 + 2 với

𝑥 ≥ 0 (phía bên phải trục 𝑂𝑦).

- Phần 2: Lấy đối xứng phần 1 qua 𝑂𝑦.

y

x

Hình ảnh đồ thị :

Hình 2.3

49

Dạng 4.3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Phương pháp:

Phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm 𝑀(𝑥0; 𝑦𝑜) của đường cong (C) có

phương trình 𝑦 = 𝑓(𝑥)

- Biết 𝑥0, tính 𝑦0 = 𝑓(𝑥0). - Tính đạo hàm 𝑦′ = 𝑓′(𝑥) ta có hệ số góc của tiếp tuyến tại 𝑥0 là 𝑎 =

𝑓′(𝑥0).

𝑥+2

- Phương trình tiếp tuyến tại 𝑀(𝑥0; 𝑦𝑜) là 𝑦 = 𝑎(𝑥 − 𝑥0) + 𝑦𝑜.

𝑥−2

(C) Ví dụ 2.9:. Cho hàm số 𝑦 =

a) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm 𝑀(1; −2).

b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm

𝑁(−6; 5).

c) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với

đường thẳng 𝑦 = −4𝑥 + 2.

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

𝑦′ = − 4 (𝑥 − 2)2

4 𝑥0 = 1 ⟹ 𝑦′(𝑥0) = 𝑦′(1) = − (1 − 2)2 = −4.

Vậy phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm 𝑀(1; −2) có dạng:

𝑦 = −4(𝑥 − 1) − 2 ⟹ 𝑦 = −4𝑥 + 2.

b) Tiếp tuyến đi qua 𝑁(1; 1) có dạng 𝑦 = 𝑘(𝑥 − 1) + 1.

Điều kiện tiếp xúc:

𝑘(𝑥 + 6) + 5 = 𝑥 + 2 𝑥 − 2 (5) { 4 𝑘 = − (𝑥 − 2)2 (6)

50

Kết hợp (5) và (6) ta được:

, 𝑥 ≠ 2. −4(𝑥 + 6) (𝑥 − 2)2 + 5 = (𝑥 + 2) 𝑥 − 2

⇔ 4𝑥2 − 24𝑥 = 0 ⇔ [ 𝑥 = 0 𝑥 = 6

Với [ 𝑥 = 0 ⇒ 𝑦 = −1 ⇒ 𝐴(0; −1) 𝑥 = 6 ⇒ 𝑦 = 2 ⇒ 𝐵(6; 2)

Vậy phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) đi qua điểm N(1; 1) có dạng:

- Với 𝑥 = 0 thì

−4 𝑘 =

(0 − 2)2 = −1 Phương trình tiếp tuyến tại A(0; -1) có dạng:

𝑦 = −1(𝑥 − 0) − 1 ⇒ 𝑦 = −𝑥 − 1.

- Với 𝑥 = 6 thì

−4 𝑘 =

(6 − 2)2 = −1 Phương trình tiếp tuyến tại B(6; 2) có dạng:

𝑦 = −1(𝑥 − 6) + 2 ⇒ 𝑦 = −𝑥 + 8.

c) Tiếp tuyến song song với đường thẳng 𝑦 = −4𝑥 + 2

(thỏa mãn) ⇒ 𝑦′(𝑥) = −4 ⇔ [

5 ) 2

𝑥 = 3 𝑥 = 1 5 𝑥 = 3 ⇒ 𝑦 = ⇒ 𝐷 (3; Với [ 2 𝑥 = 1 ⇒ 𝑦 = −3 ⇒ 𝐸(1; −3)

5 ) có dạng: 2

Vậy phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm 𝐷 (3;

𝑦 = −4(𝑥 − 3) + ⇒ 𝑦 = −4𝑥 + . 5 2 29 2

Dạng 5. Sử dụng định lý Lagrange chứng minh bất đẳng thức và

chứng minh phương trình có nghiệm

Đây là dạng toán nâng cao có thể giúp cho đối tượng HS khá giỏi phát

triển khả năng tư duy tìm tòi cái mới, có thể vận dụng nó vào các bài toán đã học

để đưa ra phương án tối ưu hơn.

51

Định lý 2.1. Cho hàm số 𝐹(𝑥) liên tục trên [𝑎; 𝑏] và 𝐹′(𝑥) tồn tại trên

(𝑎; 𝑏) thì luôn ∃𝑐 ∈ (𝑎; 𝑏) sao cho

𝐹′(𝑐) = . 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) 𝑏 − 𝑎

Dạng 5.1. Sử dụng định lý Lagrange chứng minh bất đẳng thức

Phương pháp:

Từ định lý Lagrange, nếu 𝑚 ≤ 𝐹′(𝑐) ≤ 𝑀 thì:

𝑚 ≤ ≤ 𝑀 ⇔ 𝑚(𝑏 − 𝑎) ≤ 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) ≤ 𝑀(𝑏 − 𝑎). 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) 𝑏 − 𝑎

Vậy để áp dụng được kết quả trên vào việc chứng minh bất đẳng thức điều

quan trọng nhất là nhận ra được hàm 𝐹(𝑥).

Ví dụ 2.10: Chứng minh rằng với ∀𝑥 > 0 luôn có:

ln(𝑥 + 1) < 𝑥.

Hướng dẫn giải

Chúng ta viết lại bất đẳng thức để xuất hiện hàm 𝐹:

ln(𝑥 + 1) − 0 < (𝑥 + 1) − 1 ⇔ < 0. ln(𝑥 + 1) − ln 1 (𝑥 + 1) − 1

Xét hàm số 𝐹(𝑡) = ln 𝑡 khả vi và liên tục trên [1; 𝑥 + 1] với 𝑥 > 0 theo

định lý Lagrange luôn tồn tại 𝑐 ∈ (1; 𝑥 + 1) sao cho:

𝐹′(𝑐) = ⇔ = ⇔ ln(𝑥 + 1) = . 𝐹(𝑥 + 1) − 𝐹(1) (𝑥 + 1) − 1 1 𝑐 ln(𝑥 + 1) 𝑥 𝑥 𝑐

Ta có:

1 < 𝑐 < 𝑥 + 1 ⇒ ln(𝑥 + 1) = < = 𝑥. 𝑥 𝑐 𝑥 1

Chú ý: Chúng ta hoàn toàn có thể sử dụng đồng thời kết quả của định lý

Lagrange cùng với các bất đẳng thức quen thuộc để thực hiện yêu cầu đề ra.

Dạng 5.2. Sử dụng định lý Lagrange chứng minh phương trình có nghiệm

Phương pháp:

Từ định lý Lagrange nếu F(b) − F(a) = 0 thì ∃𝑐 ∈ (𝑎; 𝑏) sao cho

52

𝐹′(𝑐) = = 0 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) 𝑏 − 𝑎

⇔ phương trình 𝐹′(𝑥) = 0 có nghiệm thuộc (𝑎; 𝑏).

Vậy để áp dụng được kết quả trên vào việc chứng minh phương trình

𝑓(𝑥) = 0 có nghiệm trong (𝑎; 𝑏) điều quan trọng là nhận ra hàm 𝐹(𝑥) (thực chất

chính là nguyên hàm của 𝑓(𝑥)). Cụ thể ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Xác định hàm số 𝐹(𝑥) khả vi và liên tục trên [a; b] và thoả mãn:

i. 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥) tức 𝐹(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥.

ii. 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) = 0.

𝐹′(𝑥0) = ⇔ 𝑓(𝑥0) = 0 Bước 2: Khi đó ∃𝑥0 ∈ (𝑎; 𝑏) sao cho: 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) 𝑏 − 𝑎

⇔ phương trình 𝑓(𝑥) = 0 có nghiệm 𝑥0 ∈ (𝑎; 𝑏).

Ví dụ 2.11: Giả sử 2𝑎 + 3𝑏 + 6𝑐 = 0. Chứng minh rằng phương trình

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0

có nghiệm thuộc khoảng (0; 1).

𝑎

𝑏

Hướng dẫn giải

3

2

Xét hàm số 𝐹(𝑥) = 𝑥3 + 𝑥2 + 𝑐𝑥 khả vi liên tục trên [0; 1] và

𝑎

𝑏

1

i. 𝐹′(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐.

3

2

6

ii. 𝐹(1) − 𝐹(0) = + + 𝑐 = (2𝑎 + 3𝑏 + 6𝑐) = 0.

Khi đó ∃𝑥0 ∈ (0; 1) sao cho:

2 + 𝑏𝑥0 + 𝑐 = 0

𝐹′(𝑥0) = ⇔ 𝑎𝑥0 𝐹(1) − 𝐹(0) 1 − 0

𝑛

⇔ phương trình 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 có nghiệm 𝑥0 ∈ (0; 1). Mở rộng: Nếu

= 0 , ∀𝑚 > 0 𝑎𝑖 𝑚 + 𝑖 + 1 ∑ 𝑖=0

thì phương trình

53

𝑛 ∑ 𝑎𝑖𝑥𝑖 = 0 𝑖=0

luôn có nghiệm trong (0; 1) bởi:

𝑛 𝐹′(𝑥) = ∑ 𝑎𝑖𝑥𝑖+𝑚. 𝑖=0

i.

ii.

𝑛 𝐹(1) − 𝐹(0) = ∑ 𝑖=0

= 0. 𝑎𝑖 𝑚 + 𝑖 + 1

𝑛

𝑖 = 0

Khi đó ∀𝑥0 ∈ (0; 1) sao cho

𝑖+𝑚 = 0 ⇔ ∑ 𝑎𝑖𝑥𝑜

𝑛 ⇔ ∑ 𝑎𝑖𝑥0 𝑖=0

𝑖=0

𝐹′(𝑥0) = 𝐹(1) − 𝐹(0) 1 − 0

𝑛 ∑ 𝑎𝑖𝑥𝑖 = 0 𝑖=0

⇔ phương trình

có nghiệm 𝑥0 ∈ (0; 1).

Bài tập tương tự:

Bài 1: Cho 0 < 𝑏 < 𝑎. Chứng minh rằng

< ln < . 𝑎 − 𝑏 𝑎 𝑎 𝑏 𝑎 − 𝑏 𝑏

Bài 2: Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm với mọi 𝑎, 𝑏, 𝑐

𝑎 cos 𝑥 + 𝑏 cos 2𝑥 + 𝑐 cos 3𝑥 = 0.

Dạng 6. Định lý Rôn và bất đẳng thức hàm lồi

Định lý 2.2. Cho hàm số 𝑓(𝑥) xác định trên khoảng (a; b).

1. Hàm số 𝑓(𝑥) gọi là lồi trên khoảng đó (𝑓′′(𝑥) ≤ 0, ∀𝑥 ∈ (𝑎; 𝑏))

⇔ ∀𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 ∈ (𝑎; 𝑏) ta có:

54

(7)

≤ 𝑓 (

),

𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2)…+𝑓(𝑥𝑛) 𝑛

𝑥1+𝑥2…+ 𝑥𝑛 𝑛

dấu bằng xảy ra khi 𝑥1 = 𝑥2 = ⋯ = 𝑥𝑛. 2. Hàm số 𝑓(𝑥) gọi là lõm trên khoảng đó (𝑓′′(𝑥) ≥ 0, ∀𝑥 ∈ (𝑎; 𝑏))

⇔ ∀𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 ∈ (𝑎; 𝑏) ta có:

(8) ≥ 𝑓 ( ), 𝑓(𝑥1) + 𝑓(𝑥2) … + 𝑓(𝑥𝑛) 𝑛 𝑥1 + 𝑥2 … + 𝑥𝑛 𝑛

dấu bằng xảy ra khi 𝑥1 = 𝑥2 = ⋯ = 𝑥𝑛.

Định lý 2.3: Định lý Rôn

Nếu hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) lồi hoặc lõm trên miền D thì phương trình 𝑓(𝑥) =

0 sẽ không có quá hai nghiệm thuộc D.

Dạng 6.1. Sử dụng tính lồi, lõm của hàm số để chứng minh bất đẳng thức

Phương pháp:

Bước 1: Biến đổi bất đẳng thức về dạng (7) hoặc (8).

Bước 2: Xét hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥), dùng đạo hàm khẳng định hàm số à lỗi

hoặc lõm.

Bước 3: Kết luận.

2

Ví dụ 2.12: Chứng minh rằng

. ≥ ( ) 𝑥2 + 𝑦2 2 𝑥 + 𝑦 2

Hướng dẫn giải

Xét hàm số: 𝑓(𝑥) = 𝑥2.

Ta có: 𝑓′(𝑥) = 2𝑥, 𝑓′′(𝑥) = 2 > 0, ∀𝑥

⇔hàm số lõm trên ℝ.

2

Do đó, với mọi 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ta có:

. ≥ 𝑓 ( ) ⇔ ≥ ( ) 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦) 2 𝑥 + 𝑦 2 𝑥2 + 𝑦2 2 𝑥 + 𝑦 2

55

Dạng 6.2. Sử dụng định lý Rôn để giải phương trình

Phương pháp:

Giả sử cần giải phương trình 𝑓(𝑥) = 0 ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Tìm TXĐ của hàm số.

Bước 2: Xác định hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) trên D. Sử dụng đạo hàm khẳng định

rằng hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) lồi hoặc lõm trên miền D.

Bước 3: Nghiệm của phương trình 𝑓(𝑥) = 0 nếu có nghiệm sẽ không có

quá hai nghiệm.

Ta cần chỉ ra hai giá trị 𝑥1, 𝑥2 ∈ D sao cho:

𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) = 0.

Bước 4: Kết luận.

Ví dụ 2.13: Giải phương trình

√𝑥 + √3𝑥 + 1 = 𝑥2 + 𝑥 + 1.

Hướng dẫn giải

Điều kiện:

⇔ 𝑥 ≥ 0. 𝑥 ≥ 0 { 3𝑥 + 1 ≥ 0

Viết lại phương trình dưới dạng:

(9) √𝑥 + √3𝑥 + 1 − 𝑥2 − 𝑥 − 1 = 0.

Xét hàm số 𝑓(𝑥) = √𝑥 + √3𝑥 + 1 − 𝑥2 − 𝑥 − 1 trên D = [0; +∞) ta có: 3 1 𝑓′(𝑥) = + − 2𝑥 − 1, 2√𝑥 2√3𝑥 + 1

1 9 𝑓′′(𝑥) = − − − 2 < 0, ∀𝑥 ∈ D 4√𝑥3 4√(3𝑥 + 1)3

⇒ Hàm số lồi trên D.

Vậy phương trình (9) nếu có nghiệm sẽ không có quá hai nghiệm, ta có:

𝑓(0) = 𝑓(1) = 0.

Do đó phương trình có hai nghiệm 𝑥 = 0 và 𝑥 = 1.

56

Nhận xét: Trong ví dụ này, chúng ta thấy rằng nếu sử dụng phương pháp

biến đổi tương đương sẽ nhận được một phương trình bậc 8, khi đó cho dù nhẩm

được hai nghiệm 𝑥 = 0 và 𝑥 = 1 thì chúng ta vẫn phải thực hiện tiếp việc giải

một phương trình bậc 6 và điều này hoàn toàn không khả thi.

Bài tập tương tự:

≥ 1. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta đều có: 1. tan2 𝐴 2 + tan2 𝐵 2 + tan2 𝐶 2

3 . 2

2. cos 𝐴 + cos 𝐵 + cos 𝐶 ≤

Dạng 7: Một số ứng dụng khác của đạo hàm trong giải các bài toán

đại số

Ngoài những dạng toán cơ bản đã được kể trên, đạo hàm còn có những

ứng dụng khác trong việc giải các bài toán đại số như:

- Chứng minh đẳng thức.

- Chứng minh bất đẳng thức.

- Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, bất phương trình.

- Sử dụng GTLN, GTNN của hàm số để giải phương trình, bất phương

trình.

- Giải hệ phương trình và hệ bất phương trình.

 Một số sai lầm khi học sinh vận dụng đạo hàm để giải toán

Hoạt động 1:

a) Xét tính đơn điệu của hàm số 𝑦 = 2𝑥 − sin𝑥 trên [0; +∞).

b) Chứng minh bất đẳng thức: sin 𝑥 < 𝑥, ∀𝑥 > 0.

Giáo viên tổ chức cho HS làm hoạt động 1.

Câu hỏi 1: Giáo viên cho HS làm việc độc lập, sau đó gọi HS lên trình bày.

HS:

a) 𝑦′ = 2 − cos 𝑥 > 0, ∀𝑥 ∈ [0; +∞)

+∞

Xét dấu 𝑦′:

57

+∞

x y'

y

0 0 +

Vậy hàm số đồng biến trên [0; +∞).

b) Hàm số 𝑦 = 2𝑥 − sin 𝑥 đồng biến trên [0; +∞).

Suy ra 𝑦(𝑥) = 2𝑥 − sin𝑥 > 𝑦(0) = 0, ∀𝑥 > 0

⇔ 2𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥 > 0, ∀𝑥 > 0

⟺ 2𝑥 > sin𝑥, ∀𝑥 > 0.

Câu hỏi 2: Giáo viên tổ chức cho HS giải toán theo bốn bước của Polya

Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài

- GV: Yêu cầu của đề bài là gì?

- HS: Chứng minh sin𝑥 < 𝑥, ∀𝑥 > 0.

Bước 2: Tìm cách giải

- GV: Chỉ ra bài toán tương tự?

- HS: Tương tự câu hỏi ý a)

Xét hàm số 𝑦 = 𝑥 − sin𝑥 trên đoạn [0; +∞)

⇒ Hàm số đồng biến trên [0 ; +∞)

⇒ 𝑦(𝑥) = 𝑥 − sin𝑥 > 𝑦(0) = 0, ∀𝑥 > 0

⇒ 𝑥 > sin𝑥, ∀𝑥 > 0

- GV: Chúng ta đã sử dụng định lý nào để xét tính đơn điệu của hàm

số để chứng minh bất đẳng thức trên? Kiểm tra xem đã vận dụng đúng định

lý chưa?

- HS: Chưa vì 𝑦′ = 1 − cos𝑥 = 0 ⟺ cos𝑥 = 1

⟺ 𝑥 = + 𝑘𝜋 (𝑘 ∈ ℤ) 𝜋 2

Như vậy có vô số điểm thuộc [0, +∞) mà 𝑦′ = 0.

- GV: Kiểm tra lại đẳng thức 𝑥 > sin𝑥, ∀𝑥 > 0.

58

- HS: Luôn đúng với ∀𝑥 > 1 vì 𝑥 > 1 ≥ sin𝑥

- GV: Vậy còn trên nửa đoạn (0; 1]. Khó khăn đã được khắc phục chưa?

- HS: Lập bảng biến thiên của hàm số 𝑦 = 𝑥 − sin𝑥 trên [0;1]

x y' 1 +∞

y

0 0 +

⇒ 1 ≥ 𝑥 > 0: 𝑦(𝑥) > 𝑦(0)

⇔ 𝑥 − sin𝑥 > 0, ∀𝑥 ∈ (0; 1)

⟺ 𝑥 > sin𝑥, ∀𝑥 ∈ (0; 1].

𝜋

- GV: Bài toán đã được chứng minh tuy nhiên để tròn số thì trong quá trình

𝜋 ]và (

2

2

chứng minh chúng ta nên tách ra thành nửa đoạn (0; : +∞).

𝜋

Bước 3: Trình bày lời giải

𝜋 + Xét trên (

2

2

𝜋

> 1 ≥ sin𝑥 ; +∞) : 𝑥 >

2

𝜋

+ Xét trên (0; ):

2 𝑦′ = 1 − cos𝑥

Xét hàm số 𝑦 = 𝑥 − sin𝑥 trên [0; ]

𝑦′ = 0 ⟺ 1 − cos𝑥 = 0 ⟺ 𝑥 = 𝜋 2

Dấu 𝑦′:

0 𝑥 𝜋 2

+ 𝑦′

𝑦

⟹ 𝑦(𝑥) > 𝑦(0) ⟺ 𝑥 − sin𝑥 > 0 − sin0 = 0

59

] ⟺ 𝑥 > sin𝑥, ∀𝑥 ∈ (0; 𝜋 2

Vậy sin 𝑥 < 𝑥, ∀𝑥 > 0.

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

+ HS kiểm tra lời giải

+ GV đưa ra bài tập tương tự:

a) Chứng minh 𝑥 < sin𝑥, ∀𝑥 < 0

𝑥2 2

, ∀𝑥 ≠ 0. b) Chứng minh: cos𝑥 > 1 −

Hoạt động 2: Lời giải sau đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở chỗ nào? Lấy ví

dụ để chứng minh điều đó? Sửa lại lời giải cho đúng.

Câu hỏi 1: Tìm 𝑚 để hàm số 𝑦 = 𝑥3 + (𝑚 + 3)𝑥2 + 𝑚𝑥 + 𝑚 + 5 đạt cực

tiểu tại 𝑥 = 1.

Lời giải:

1 thuộc tập xác định.

𝑦′ = 3𝑥2 + 2(𝑚 + 3)𝑥 + 𝑚

𝑦′′ = 6𝑥 + 2(𝑚 + 3)

Để hàm số đạt cực tiểu tại 𝑥 = 1

⟺ 𝑚 = −3 ⟺ { ⟺ { ⟺ { 𝑦′(1) = 0 𝑦′′(1) > 0 3𝑚 + 9 = 0 2𝑚 + 12 > 0 𝑚 = −3 𝑚 > −6

Câu hỏi 2: Cho hàm số 𝑦 = 𝑥4 − 2(1 − 𝑚)𝑥2 + 𝑚2 − 3

Tìm 𝑚 để hàm số có cực trị tại 𝑥 = 1

- HS giải như sau:

Lời giải:

1 thuộc tập xác định

𝑦′ = 4𝑥3 − 4(1 − 𝑚)𝑥 xác định tại 𝑥 = 1

Để hàm số đạt cực trị tại 𝑥 = 1 ⟺ 𝑦′(1) = 0 ⟺ 𝑚 = 0

HS đó đã làm đúng chưa? Lấy ví dụ chứng minh điều đó? Sửa lại lời giải

để được lời giải đúng?

60

- GV tổ chức cho HS làm việc theo nhóm. Sau khoảng thời gian nhất định

yêu cầu các nhóm trình bày, các nhóm khác theo dõi nhận xét, bổ sung.

- HS:

Câu hỏi 1

Sai lầm ở chỗ

Để hàm số đạt cực tiểu tại 𝑥 = 1 ⟺ { 𝑦′(1) = 0 𝑦′′(1) > 0

Ví dụ: Hàm số 𝑦 = (𝑥 − 1)4

𝑦′ = 4(𝑥 − 1)3

𝑦′ = 0 ⟺ 𝑥 = 1

+∞

0 1

Xét dấu 𝑦′:

𝑥

+∞

𝑦′ - 0 +

1 𝑦 0

Vậy hàm số có cực tiểu tại 𝑥 = 1

Tuy nhiên 𝑦′′ = 12(𝑥 − 1)2 ⇒ 𝑦′′(1) = 0

Sửa lại:

1 thuộc tập xác định

𝑦′ = 3𝑥2 + 2(𝑚 + 3)𝑥 + 𝑚 xác định tại 𝑥 = 1

Hàm số đạt cực tiểu qua 𝑥 = 1 ⟺ 𝑦′(1) = 0 và 𝑦′ đổi dấu qua 𝑥 = 1 từ

âm sang dương.

𝑦′(1) = 0 ⟺ 𝑚 = −3

Với 𝑚 = −3, ta có 𝑦′ = 3𝑥2 − 3

61

+

x y'

−∞

+

−1 0

−

1 0

+∞ +∞

16

y

0

−∞ Vậy 𝑚 = −3 là giá trị cần tìm.

Lập bảng biến thiên:

Câu hỏi 2:

- HS: Làm như vậy chưa đúng

Hàm số đạt cực trị tại 𝑥 = 1 ⇔ 𝑦′(1) = 0

Ví dụ: 𝑦 = (𝑥 − 1)3

𝑦′ = 3(𝑥 − 1)2 ⟺ 𝑦′ = 0 ⟺ 𝑥 = 1

x y'

−∞

+

1 0

+

+∞ +∞

y

−∞

0

Xét dấu 𝑦′ :

Hàm số không có cực trị tại 𝑥 = 1

Sửa lại:

1 thuộc tập xác định

𝑦′ = 4𝑥3 − 4(1 − 𝑚)𝑥 xác định tại 𝑥 = 1

Để hàm số đạt cực trị tại 𝑥 = 1 ⇔ 𝑦′(1) = 0 và đổi dấu qua 𝑥 = 1

𝑦′(1) = 0 ⟹ 𝑚 = 0

𝑚 = 0 ⟹ 𝑦′ = 4𝑥3 − 4𝑥

𝑦′ = 0 ⟹ [

𝑥 = 0 𝑥 = 1 𝑥 = −1

62

x y'

-

+

-

+

-1 0

1 0

0 0 CĐ

+∞ +∞

+∞ +∞

y

CT

CT

Xét dấu 𝑦′:

Với hàm số đạt cực tiểu tại 𝑥 = 1.

Vậy 𝑚 = 0 là giá trị cần tìm.

Qua những ví dụ cơ bản ở trên cho ta thấy việc vận dụng kiến thức đạo

hàm để giải quyết những vấn đề trong nội bộ môn Toán, đặc biệt là trong nội

dung đạo hàm là rất quan trọng. Học sinh thường mắc những sai lầm rất cơ bản.

Qua đó GV phải đưa ra cách hướng dẫn phù hợp với từng đối tượng HS. Chủ

động cho HS tiếp cận và tổ chức phân tích sâu những tình huống chứa sai lầm để

tránh mắc phải.

2.2.3. Biện pháp 3: Tổ chức các hoạt động rèn luyện phát hiện và giải quyết

các bài toán có nội dung thực tiễn bằng công cụ đạo hàm

a) Cở sở và ý nghĩa của biện pháp

Phát hiện và giải quyết các bài toán liên quan đến các tình huống thực

tiễn giúp học sinh phát hiện ra những vấn đề cần nghiên cứu, tìm hiểu và vận

dụng kiến thức toán học nào vào giải quyết các vấn đề thực tiễn. Ở đây học sinh

được trải nghiệm, tự phát hiện vấn đề, qua đó thấy được ứng dụng của toán học

trong thực tiễn, có ý thức chủ động nắm kiến thức.

Để giải một bài toán có nội dung đạo hàm thì hầu hết HS có thể giải được

bằng kiến thức dựa vào phần lý thuyết hoặc các quy tắc đã được học. Tuy nhiên

với các bài toán có nội dung TT thì HS thường lúng túng hoặc mắc sai lầm trong

lời giải.

Mục đích của biện pháp này là giúp HS nắm được một số kỹ thuật về cách

tiếp cận; chủ động tổ chức phân tích bài toán, phát hiện những yếu tố TT bài toán

và khả năng chuyển đổi giữa ngôn ngữ thông thường và ngôn ngữ toán học.

63

b) Cách thức thực hiện biện pháp

Để đáp ứng tốt với những thay đổi của giáo dục hiện nay, việc giảng dạy

của GV và HS cần được điều chỉnh một cách kịp thời và thích hợp nhất. Ở mỗi

tiết dạy, song song với việc tổ chức học tập như trước đây thì việc rèn luyện các

dạng bài tập trắc nghiệm ứng với nội dung kiến thức của từng bài, từng chủ đề

cần được quan tâm tối đa. Đặc biệt là các bài toán thực tiễn ở mỗi chủ đề thường

là ở mức độ vận dụng và vận dụng cao. Những HS có học lực trung bình, yếu

thường bỏ qua những câu này. Như vậy, mỗi giáo viên có thể tự mình xây dựng

và sử dụng hợp lý những bộ câu hỏi cũng như cách thức truyền đạt kiến thức cho

HS sao cho phù hợp để đạt hiểu qua cao trong dạy học cũng như kiểm tra đánh

giá.

Dưới đây một số ví dụ về ứng dụng của đạo hàm không chỉ giới hạn ở nội

bộ môn Toán mà đặc biệt là ứng dụng trong vấn đề liên môn cũng như trong đời

sống – kinh tế. Các ví dụ được tham khảo từ tài liệu [13] và được trình bày lại

để phù hợp hơn với nội dung nghiên cứu của luận văn.

 Ứng dụng đạo hàm trong Hình học

Bài toán 1: Từ một tấm tôn hình chữ nhật có kích thước 𝑎 × 𝑏 với 𝑎 < 𝑏.

Người ta cắt bỏ 4 hình vuông bằng nhau ở 4 góc rồi gò thành một hình hộp chữ

nhật không có nắp. Hỏi cạnh của hình vuông cắt đi phải bằng bao nhiêu để hình

hộp đó có thể tích lớn nhất?

Hình 2.4

Phân tích:

- Với câu hỏi của bài toán ta nên đặt 𝑥 chính là cạnh của hình vuông cắt

𝑎

𝑎

đi. Như vậy ta cần tìm điều kiện giới hạn của biến số 𝑥. Do khi đó một cạnh của

2

2

tấm nhôm sau khi cắt trở thành 𝑎 − 2𝑥 > 0 ⇒ 𝑥 < nên ta có 0 < 𝑥 < .

- Ta cũng có được cạnh của tấm nhôm còn lại là 𝑏 − 2𝑥 > 0. Đến đây ta

cần thiết lập công thức tính thể tích khối hộp

64

𝑉 = 𝑥(𝑎 − 2𝑥)(𝑏 − 2𝑥).

- Bài toán trở thành tìm

)

𝑉(𝑥) =?

Max 𝑎 𝑥∈(0; 2

x

b

a

Hướng dẫn giải

𝑎

Hình 2.5

2

- Gọi x là cạnh của hình vuông cắt đi, ta phải có điều kiện 0 < 𝑥 < .

Khi đó thể tích hình hộp là

𝑉 = 𝑥(𝑎 − 2𝑥)(𝑏 − 2𝑥) = 4𝑥3 − 2(𝑎 + 𝑏)𝑥2 + 𝑎𝑏𝑥 = 𝑉(𝑥)

- Bài toán trở thành tìm

)

𝑉(𝑥) =?

Max 𝑎 𝑥∈(0; 2

Đạo hàm 𝑉′ = 𝑉′(𝑥) = 12𝑥2 − 4(𝑎 + 𝑏)𝑥 + 𝑎𝑏

Ta có ∆′= 4(𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2) > 0 với mọi 𝑎, 𝑏.

Do đó 𝑉′ = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt

. 𝑥1 = < 𝑥2 = 𝑎 + 𝑏 − √𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2 6 𝑎 + 𝑏 + √𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2 6

Theo định lí Vi-et, ta có

> 0 𝑥1 + 𝑥2 = {

> 0. 𝑥1𝑥2 = 𝑎 + 𝑏 2 𝑎𝑏 21

𝑎

) = 𝑎2 − 𝑎𝑏 = 𝑎(𝑎 − 𝑏) < 0.

2

Suy ra 0 < 𝑥1 < 𝑥2. Hơn nữa, ta có 𝑎 𝑉′ ( 2 Do đó 0 < 𝑥1 < 𝑎 ) = 𝑓′ ( 2 < 𝑥2.

65

Bảng biến thiên

0 𝑥 𝑥1 𝑎 2

+ 0 - 𝑉′(𝑥)

Max 𝑉(𝑥)

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy 𝑉 đạt giá trị lớn nhất khi

. 𝑥 = 𝑥1 = 𝑎 + 𝑏 − √𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2 6

Nhận xét: Bài toán này yêu cầu học sinh biết cách tìm điều kiện và nhớ

lại các kiến thức cơ bản đã được học. Đây là dạng toán có tính chất vận dụng

thực tế cao, điều này đòi hỏi HS không chỉ biết cách vận dụng các kiến thức đã

học vào bài toán thực tế mà phải có khả năng tư duy và tưởng tượng để hình

thành và phát triển bà toán.

Bài toán 2: Một công ty chế xuất dầu ăn từ dầu cọ phải thiết kế một bồn

chứa dầu hình trụ có nắp với dung tích 20 lít. Cần chọn độ cao của bồn chứa là

bao nhiêu mét để tốn ít nguyên vật liệu nhất khi làm bồn chứa?

Phân tích:

Hình 2.6

- Để ít tốn nguyên vật liệu nhất thì diện tích xung quanh của bồn chứa

cùng với diện tích của đáy và nắp phải nhỏ nhất. Hay cần tìm diện tích xung

quanh nhỏ nhất ứng với thể tích.

66

Ta có 𝑆𝑡𝑝 = 𝑆𝑥𝑞 + 2𝑆đá𝑦 = 2𝜋𝑟ℎ + 2𝜋𝑟2

(với r, h lần lượt bán kính đáy và chiều cao của bồn).

Diện tích phụ thuộc theo 2 biến r và h. Ta có 𝑉 = 𝜋𝑟2ℎ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 là mối

Từ = 𝜋𝑟2ℎ ⇒

liên hệ giữa bán kính đáy 𝑟 và chiều cao h của hình trụ.

- Như vậy ta có thể tìm minStp phụ thuộc theo 1 trong 2 biến r hoặc h.

.

Ta nhận thấy nên tổng quát bài toán này lên thành V = const thay vì chỉ xét riêng

lẻ trường hợp V = 20 (lít).

Hướng dẫn giải

- Gọi 𝑟, ℎ (𝑟, ℎ > 0) lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của khối trụ.

Khi đó ta có:

𝑉 = 𝜋𝑟2ℎ ⇒ ℎ = 𝑉 𝜋𝑟2.

- Để ít tốn nguyên vật liệu nhất, ta cần tìm r sao cho diện tích toàn phần

𝑉

𝑉

của khối trụ nhỏ nhất.

𝜋𝑟2 = 2𝜋 (𝑟2 +

𝜋𝑟

). Do đó 𝑆𝑡𝑝 = 2𝜋𝑟2 + 2𝜋𝑟ℎ = 2𝜋𝑟2 + 2𝜋𝑟

- Xét hàm số

𝑓(𝑟) = 𝑟2 + . 𝑉 𝜋𝑟

Bài toán trở thành tìm

𝑓(𝑟) =? min 𝑟>0

Ta có:

3 𝑓′(𝑟) = 0 ⇔ 𝑟 = √

3 ⇒ ℎ = √

𝑓′(𝑟) = 2𝑟 − 𝑉 𝜋𝑟2,

. 𝑉 2𝜋 4𝑉 𝜋

67

0

𝑟

+∞

3 √

𝑉 2𝜋

-

0

+

𝑓′(𝑟)

𝑓(𝑟)

3 𝑓 (√

)

𝑉 2𝜋

Lập bảng biến thiên ta có:

3 𝑓(𝑟) = 𝑓 (√

Dựa vào bảng biến thiên ta có

) . min 𝑟>0 𝑉 2𝜋

3

3

Khi đó

4𝑉 4.20 = √ ≈ 0.29𝑚

ℎ = √

𝜋 𝜋

Vậy để tốn ít nguyên vật liệu nhất xây dựng bồn chứa thì chiều cao của

bồn chứa phải là 0.29m.

Nhận xét: Ngoài cách sử dụng đạo hàm ta có thể sử dụng bất đẳng thức

Cauchy để giải bài toán thực tế này.

3

Đồng thời với việc tổng quát hóa bài toán lên ta nhận thấy,

3

= = 2 ⇒ ℎ = 2𝑟. ℎ 𝑟

√4𝑉 𝜋 √ 𝑉 2𝜋

 Ứng dụng đạo hàm trong vấn đề liên môn

Khi nói về nguyên nhân của việc toán học thâm nhập vào các khoa học

khác, trong [1] đã chỉ rõ: Toán học nêu ra những mô hình khá tổng quát và đủ rõ

ràng để nghiên cứu thực tiễn xung quanh ta. Toán học ngày càng áp dụng có hiệu

68

quả trong nhiều lĩnh vực hoạt động khác nhau của con người là vì cấu trúc, quan

hệ toán học là những cấu trúc, quan hệ khá phổ biến trong thế giới khách quan.

Hơn nữa, Toán học có khả năng trừu tượng hóa cao thì lại có khả năng phản ánh

càng nhiều thực tiễn, do đó càng có điều kiện đi sâu vào thực tiễn, nắm được quy

luật có của nó rồi góp phần cải tạo nó.

Các bài toán có nội dung liên môn là những minh họa sinh động, để qua

đó thấy rõ hơn vai trò công cụ không thể thiếu được của Toán học trong khoa

học, kỹ thuật, công nghệ và đời sống xã hội.

Bài toán 3: Bài toán ứng dụng của đạo hàm trong Vật lý Một chất điểm chuyển động theo quy luật 𝑠(𝑡) = 6𝑡2 − 𝑡3 − 9𝑡 + 1, 𝑠

tính theo mét, t tính theo giây. Trong 5 giây đầu tiên, thời điểm t mà tại đó vận

tốc của chuyển động đạt giá trị lớn nhất là bao nhiêu?

Phân tích:

- Ta đã có 𝑣(𝑡) = 𝑠′(𝑡). Do đó GTLN trong 5 giây đầu tiên 𝑡 ∈ [0; 5] sẽ

được tìm ra dựa vào kiến thức của đạo hàm.

Hướng dẫn giải

Ta có:

𝑣(𝑡) = 𝑠′(𝑡) = 12𝑡 − 3𝑡2 − 9

𝑣′(𝑡) = −6𝑡 + 12

𝑣′(𝑡) = 0 ⇔ 𝑡 = 2.

0

5

𝑡

2

+

0

-

𝑣′(𝑡)

𝑣(𝑡)

3 𝑓 ( √

)

𝑉 2𝜋

-24

-9

Lập bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

𝑣(𝑡) = 𝑣(2) = 3. Max 𝑡∈(0;5)

69

Vậy trong 5 giây đầu tiên, thời điểm mà tại đó vận tốc của chuyển động

đạt GTLN là 3.

Nhận xét: Ứng dụng của đạo hàm trong Vật lý là rất đa dạng nhưng đặc

biệt là các bài toán chuyển động liên quan đến các đại lượng quãng đường, vận

tốc và thời gian.

Bài toán 4: Bài toán ứng dụng của đạo hàm trong kinh tế

Một công ty buôn bán điện thoại các dòng sản phẩm mới nhất là A và B.

Hiện nay công ty đang tập trung chiến lược vào kinh doanh dòng A với chi phí

mua vào một chiếc là 15 triệu VND/chiếc và bán ra với giá 28 triệu VNĐ/chiếc.

Với giá bán này thì số lượng điện thoại mà khách hàng sẽ mua là 2500 chiếc.

Nhằm mục tiêu đẩy mạnh hơn nữa lượng tiêu thụ dòng A đang ăn khách này,

công ty dự định giảm giá bán và ước tính rằng nếu giảm 1 triệu VNĐ/chiếc thì

số lượng điện thoại bán ra sẽ tăng thêm 500 chiếc. Vậy công ty phải định giá

bán mới là bao nhiêu để sau khi đã thực hiện việc giảm giá, lợi nhuận thu được

phải là cao nhất?

Phân tích:

- Ta có thể mô tả bài toán như sau:

Giá mua vào Giá bán ra 1 Lợi nhuận khi Số Tổng lợi

1 chiếc chiếc bán 1 chiếc lượng nhuận Ban

đầu 15 (triệu 28 (triệu 32,5 tỷ 13 triệu đồng 2500 đồng) đồng) đồng

Như vậy, việc giảm giá bán trên 1 chiếc điện thoại sẽ làm giảm lợi nhuận

thu đuợc khi bán 1 chiếc nhưng đồng thời cũng làm tăng lên nhu cầu mua điện

thoại của khách hàng.

Theo giả thiết nếu giảm giá 1 triệu VNĐ/chiếc thì số lượng điện thoại bán

ra sẽ tăng 500 chiếc.

- Từ đây nếu ta gọi 𝑥 là giá bán mới của mỗi chiếc điện thoại. Ta thấy giá

bán chỉ có thể giao động trong khoảng 15 đến 28 triệu đồng.

70

- Ta xác định lại số lượng điện thoại bán ra sau khi giảm giá ứng với giá

bán mới là x.

Khi đó lợi nhuận của công ty sẽ bằng tổng doanh thu trừ tổng chi phí và

là một hàm phụ thuộc theo biến x.

Ứng dụng đạo hàm ta sẽ tìm được giá trị x thỏa mãn yêu cầu của bài toán

thực tế đặt ra.

Hướng dẫn giải

Gọi x là giá bán mới của mỗi chiếc A mà doanh nghiệp phải xác định để

lợi nhuận thu được sau khi giảm giá là cao nhất (15 < 𝑥 < 28).

Số tiền đã giảm là 28 − 𝑥.

Số lượng điện thoại tăng lên 500(28 − 𝑥).

Vậy tổng số điện thoại bán được là 2500 + 500(28 − 𝑥) = 16500 − 500𝑥.

Doanh thu mà công ty sẽ đạt được sẽ là (16500 − 500𝑥)𝑥.

Chi phí mà công ty phải bỏ ra là (16500 − 500𝑥). 15.

Lợi nhuận mà công ty đạt được = tổng doanh thu – chi phí

⇒ (16500 − 500𝑥)𝑥 − (16500 − 500𝑥). 15

= −500𝑥2 + 24000𝑥 − 247500

Đặt 𝑓(𝑥) = −500𝑥2 + 24000𝑥 − 247500.

Bài toán trở thành tìm

𝑓(𝑥) =? Max 15<𝑥<28

Ta có 𝑓′(𝑥) = −1000𝑥 + 24000

𝑓′(𝑥) = 0 ⇔ 𝑥 = 24 (triệu đồng).

Lập bảng biến thiên, ta có

𝑓(𝑥) = 𝑓(24) = 40500 (Triệu đồng) Max 15<𝑥<28

(hay 40 tỷ và 500 triệu đồng).

Nhận xét: Trong kinh doanh ta thấy tùy vào từng thời điểm khác nhau,

dựa theo nhu cầu của thị trường mà các nhà kinh doanh không ngừng thay đổi

71

chiến lược kinh doanh của mình. Bài toán này đã sự dụng kiến thức của đạo hàm

để đưa ra một chiến lược kinh doanh có sự tính toán kỹ lưỡng để đem lại lợi

nhuận lớn nhất cho nhà kinh doanh.

Bài toán 5: Bài toán ứng dụng của đạo hàm trong Sinh học

Trong một môi trường dinh dưỡng có 1000 vi khuẩn được cấy vào. Bằng

100𝑡

thực nghiệm xác định đuợc số lượng vi khuẩn tăng theo thời gian bởi quy luật

100+𝑡2 (con vi khuẩn), trong đó 𝑡 là thời gian (giây). Hãy xác định thời điểm sau khi thực hiện cấy vi khuẩn vào, số lượng vi khuẩn tăng lên là

𝑁(𝑡) = 1000 +

lớn nhất?

Phân tích:

Do đề bài đã mô hình hóa bài toán dưới dạng hàm nên ta chỉ cần vận dụng

kiến thức đạo hàm là có thể tìm được số lượng tăng nhanh nhất của vi khuẩn.

Hướng dẫn giải

Ta có tốc độ phát triển của vi khuẩn tại thời điểm t là:

𝑁′(𝑡) = = 100(100 + 𝑡2) − 100𝑡(2𝑡) (100 + 𝑡2)2 1002 − 100𝑡2 (100 + 𝑡2)2 , ∀𝑡 > 0.

Xét 𝑁′(𝑡) = 0 ⇔ 𝑡2 = 100 ⇔ 𝑡 = 10 > 0.

0

𝑡

10

+∞

0 +

0

-

𝑁′(𝑡)

𝑁(𝑡)

1005

1000

1000

Lập bảng biến thiên ta có:

Dựa vào bản biến thiên, ta có Max𝑁(𝑡) = 𝑁(10) = 1005.

Nhận xét: Ngoài cách trên, ta có thể áp dụng bất đẳng thức Cauchy làm

như sau

100t 100 N(t) = 1000 + ≤ 1000 + = 1005. 100 + t2 = 100 + 100 2.10 + 𝑡 100 𝑡

72

100

100

𝑡

𝑡

100

do + 𝑡 ≥ 2. √ . 𝑡 = 20.

𝑡

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi = 𝑡 ⇔ 𝑡 = 10.

Bài toán 6: Bài toán ứng dụng trong Hóa học

Đốt cháy các hidrocacbon của dãy đồng đẳng nào thì tỉ lệ mol 𝐻2𝑂 : mol

𝐶𝑂2 giảm dần khi số cacbon tăng dần?

Phân tích:

- Ở bài toán này việc vận dụng kiến thức đạo hàm để giải bài toán ứng

dụng lúc này đã cần huy động đến các kiến thức mang tính bao hàm của các nội

dung mà trước đây HS đã từng nghiên cứu trong đó có cả kiến thức về Hóa học.

Qua đó giúp HS phát triển khả năng tư duy, đào sâu kiến thức qua các bài toán

liên môn này.

- Yêu cầu học sinh thiết lập công thức tổng quát của 1 hidrocacbon là

𝐶𝑛𝐻2𝑛+2−2𝑘.

xt, t

- Tiếp sau đó thực hiện các bước giải một bài toán hóa học:

𝐶𝑛𝐻2𝑛+2−2𝑘 + 𝑂2 ⟶ 𝑛𝐶𝑂2 + (𝑛 + 1 − 𝑘)𝐻2𝑂.

Tỷ lệ mol giữa nước và khí cacbonics sinh ra là

= . 𝑛 + 1 − 𝑘 𝑛 𝑛𝐻20 𝑛𝐶𝑂2

Sau đó xét hàm

𝑓(𝑛) = , 𝑛 ∈ ℕ∗. 𝑛 + 1 − 𝑘 𝑛

Khảo sát và tìm điều kiện của 𝑘 (chính là số liên kết 𝜋).

Hướng dẫn giải

Công thức tổng quát của một hidrocacbon là 𝐶𝑛𝐻2𝑛+2−2𝑘 với 𝑘 là số liên

kết 𝜋 trong phân tử.

xt, t

Phương trình phản ứng cháy là:

73

𝐶𝑛𝐻2𝑛+2−2𝑘 + 𝑂2 ⟶ 𝑛𝐶𝑂2 + (𝑛 + 1 − 𝑘)𝐻2𝑂.

Ta có

= . 𝑛 + 1 − 𝑘 𝑛 𝑛𝐻20 𝑛𝐶𝑂2

Xét hàm số

𝑓(𝑛) = , 𝑛 ∈ ℕ∗. 𝑛 + 1 − 𝑘 𝑛

Ta có

𝑓′(𝑛) = 𝑘 − 1 𝑛2 .

Theo giả thiết ta có 𝑓(𝑛) là hàm nghịch biến nên 𝑓′(𝑛) < 0

⇔ 𝑘 − 1 𝑛2 < 0 ⇔ 𝑘 − 1 < 0 ⇔ 𝑘 < 1 ⟶ 𝑘 = 0, 𝑘 ∈ N.

Vậy công thức tổng quát sẽ là 𝐶𝑛𝐻2𝑛+2: Ankan

Nhận xét: Việc vận dụng kiến thức liên môn kết hợp với nhau góp phần

giúp cho bài toán Hóa học trở lên dễ dàng hơn khi có công cụ Toán học hỗ trợ,

ngược lại ta cũng tìm thấy được những ứng dụng của Toán học trong quá trình

tìm hiểu các môn học khác, điều này góp phần củng cố khắc sâu tri thức mà ta

lĩnh hội được khi học.

Bài toán 7: Bài toán ứng dụng trong xây dựng

Hãy xác định độ dài ngắn nhất cánh tay nâng của cần cẩu bánh hơi có thể

dùng được để xây dựng tòa nhà cao tầng mái bằng có chiều cao H và chiều rộng

2L? (Biết rằng cần cẩu thỏa mãn yêu cầu sau đây: Có thể xê xích chiếc cẩu cũng

như góc nghiêng của cánh tay nâng để sao cho điểm cuối của cánh tay nâng

chiếu xuống theo phương thẳng đứng thì trùng với trung điểm của bề rộng (hình

vẽ). Ta giả sử ngôi nhà xây dựng trên miếng đất rộng, cần cẩu có thể di chuyển

thoải mái).

74

Hướng dẫn giải

Gọi h là khoảng cách tính từ mặt

đất đến đầu dưới của cánh tay cần cẩu

(0 < ℎ < 𝐻).

Gọi 𝛼, 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐸 là các kí hiệu

như hình vẽ.

Hình 2.7

Khi đó cánh tay cần cẩu là

𝐻−ℎ

𝐿

𝐴𝐶 = 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 = , 0 < 𝛼 < 90𝑜. + 𝐻 − ℎ sin 𝛼 𝐿 cos 𝛼

sin 𝛼

cos 𝛼

Đặt 𝑓(𝛼) = + .

Bài toán trở thành tìm

)

𝑓(𝛼) =?

min 𝜋 𝛼∈(0; 2

Ta có:

3

𝐻−ℎ

𝑓′(𝛼) = (𝐻 − ℎ) + 𝐿 = − cos 𝛼 sin2 𝛼 sin 𝛼 cos2 𝛼 𝐿 sin3 𝛼 − (𝐻 − ℎ) cos3 𝛼 sin2 𝛼 . cos2 𝛼

𝐿

Cho 𝑓′(𝛼) = 0 ⇔ tan3 𝛼 = = 𝑘 > 0. > 0 ⇔ tan 𝛼 = √𝐻−ℎ 𝐿

Lập bảng biến thiên ta có:

0 𝛼 𝑎𝑟𝑐 tan 𝑘 𝜋 2

- 0 + 𝑓′(𝛼)

𝑓(𝛼) 5

Dựa vào bảng biến thiên ta có

)

𝑓(𝛼) = 𝑓(𝑎𝑟𝑐 tan 𝑘) = (𝐻 − ℎ)√𝑘2 + 1 + 𝐿√ 1 𝑘2 + 1. min 𝜋 𝛼∈(0; 2

75

Bài toán 8: Bài toán ứng dụng trong Y học

Độ giảm huyết áp của bệnh nhân được cho bởi công thức

𝐺(𝑥) = 0,025𝑥2(30 − 𝑥) với x là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh

nhân (x:miligam). Tính liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp

giảm nhiều nhất và tính độ giảm?

Hướng dẫn giải

𝐺(𝑥) = 𝑥2(30 − 𝑥) = (30𝑥2 − 𝑥3) 1 40 1 40

𝐺′(𝑥) = (60𝑥 − 3𝑥2). 1 40

Cho 𝐺′(𝑥) = 0 ⇔ [ 𝑥 = 20 (thỏa mãn) 𝑥 = 0 (không thỏa mãn).

Dựa vào bảng biến thiên ta có ngay

max 𝐺(𝑥) = 𝐺(20) = 100.

Vậy liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất

là 20 miligam và độ giảm là 100 mmHg.

Như vậy, chúng ta vừa điểm qua một số các bài toán ứng dụng đạo hàm trong

thực tế. Có thể thấy ngoài những lĩnh vực trên vẫn còn nhiều lĩnh vực khác nữa cần

đến kiến thức của đạo hàm trong giải quyết các bài toán tối ưu của chúng.

Nhận xét: Đây là bài toán ứng dụng trong lĩnh vực Y học, có thể thấy rằng

việc ứng dụng Toán học đối với các vấn đề thực tiễn là rất quan trọng. Nó quyết

định đến việc tồn tại và phát triển của một xã hội. Nếu việc nghiên cứu và tính toán

sai có thể dẫn đến những hậu quả nghiêm trọng trong đời sống hằng ngày.

2.2.4. Biện pháp 4: Tổ chức hoạt động ngoại khóa Toán học với nội dung tìm

hiểu thực tiễn, hướng dẫn học sinh sưu tầm những tình huống thực tiễn và

tập luyện xây dựng bài toán có sử dụng công cụ đạo hàm để giải quyết

a) Cơ sở và ý nghĩa của biện pháp

Hoạt động ngoại khóa đóng một vai trò quan trọng trong việc bổ trợ

kiến thức, bổ sung các kỹ năng và kinh nghiệm sống cho HS, tạo hứng thú và

76

hình thành thế giới quan khoa học giúp HS trở thành những con người toàn

diện.Hoạt động ngoại khóa là một hình thức giáo dục để gắn liền hơn nữa việc

giáo dục của nhà trường với giáo dục xã hội, của gia đình, việc học tập trong

nhà trường với việc học tập và hoạt động trong thực tiễn [5].

Qua khảo sát cho thấy những năm qua hoạt động ngoại khoá ở các trường

phổ thông chưa mang lại kết quả cao. Nguyên nhân là do hoạt động ngoại khoá

ở trường phổ thông hiện nay vẫn chưa hấp dẫn và sinh động, quan niệm còn nặng

về hoạt động nội khoá, nhẹ về ngoại khoá. Hoạt động này thường được xem là

một hoạt động giải trí. Phần lớn còn tổ chức theo hình thức một chương trình văn

nghệ, thiếu nhất quán về chủ đề, ít chú ý về mặt nội dung học tập bộ môn.

Giáo viên thường là những người luôn chú trọng công tác chuyên môn. Vì

thế kinh nghiệm tổ chức hoạt động ngoại khoá còn hạn chế, nội dung và hình

thức các buổi sinh hoạt ngoại khoá lặp đi lặp lại HS nhàm chán, ít tham gia, hiệu

quả các buổi hoạt động ngoại khóa chưa cao.

Mặt khác chưa kể đến cơ sở vật chất của một số trường phổ thông còn

thiếu thốn, diện tích nhỏ hẹp chưa đáp ứng nhu cầu ngoại khoá, khiến không ít

nhà trường đành nói không với hoạt động ngoại khóa cho HS. Dẫu biết rằng nhu

cầu hoạt động ngoại khóa là vô cùng cấp thiết, HS rất thích thú.

Ở nội dung mà luận văn đang đề cập, đó là tổ chức hoạt động ngoại khóa

Toán học với nội dung tìm hiểu thực tiễn, hướng dẫn HS sưu tầm những tình

huống thực tiễn và tập luyện xây dựng bài toán có sử dụng công cụ đạo hàm để

giải quyết cũng là một phần không thể thiếu trong các chương trình ngoại khóa

ở trường THPT.

b) Cách thức thực hiện biên pháp

Thực tiễn đòi hỏi nhà trường cần thành lập các câu lạc bộ, nhất là các câu

lạc bộ chuyên môn của từng tổ để thu hút HS tham gia. Qua đó HS có thể khám

phá năng lực bản thân trong nhiều môn, nhiều lĩnh vực và sau đó chọn cho mình

77

môn yêu thích. Ứng với đó là nội dung toán học nói chung và nội dung ứng dụng

đạo hàm nói riêng.

Việc hướng dẫn HS sưu tầm những tình huống thực tiễn và tập luyện xây

dựng bài toán có sử dụng công cụ đạo hàm để giải quyết GV có thể thực hiện

theo các cách sau:

- Lồng ghép vào trong các tiết học cho HS thực hiện các hoạt động trải

nghiệm, thực hành, tiến hành các hoạt động thực tiễn. Để giải quyết tình huống

này, ngoài việc sử dụng các đồ dùng DH trực quan thì GV có thể kết hợp được

hai phương pháp dạy học “phát hiện và giải quyết vấn đề, dạy học hợp tác”. Qua

đó giúp HS tích cực và hứng thú hơn trong quá trình học tập.

- GV có thể gợi động cơ xuất phát từ một tình huống thực tiễn và giúp

HS khai thác tình huống thực tiễn đó để hình thành kiến thức.

- GV có thể cho HS củng cố kiến thức thông qua giải quyết các bài toán

thực tiễn.

- Cho HS thực hiện các dự án học tập để tìm hiểu ứng dụng của Toán học

đối với thực tiễn hoặc các dự án thực hành để áp dụng vào đời sống.

- Tổ chức các hoạt động ngoại khóa với nội dung về ứng dụng của Toán

học vào thực tiễn.

Ngoài hoạt động giáo dục ngoài giờ lên lớp được tiến hành theo từng tháng

trong năm, chúng ta nên gộp những hoạt động nhỏ lẻ vào phân phối chương trình

thành một hoạt động lớn và đặc biệt hoạt động này cần được xem là một hoạt

động thường niên, nằm trong sự quản lý chuyên môn ở nhà trường phổ thông.

Có như vậy hoạt động ngoại khoá trong trường phổ thông mới được duy trì một

cách thường xuyên và có hiệu quả.

Một số hình thức tổ chức ngoại khóa Toán học có thể kể đến như:

- Xây dựng câu lạc bộ Toán học: Đây là nơi tổ chức sinh hoạt, chiếu các

bộ phim tài liệu về Toán học, trao đổi kinh nghiệm, học hỏi lẫn nhau, tạo sân

chơi chung cho HS toàn trường. Tổ Toán không chỉ đóng vai trò lòng cốt trong

78

việc phát động phong trào tìm hiểu khoa học mà còn uy động được lực lượng

giáo viên các tổ khác cùng tham gia tạo sức cuốn hút cho HS.

- Tổ chức sinh hoạt theo chuyên đề:

Với nguyên tắc: Hoạt động ngoại khóa không phải là giảng dạy và học tập

lại bộ môn, trình độ giáo viên và gắn với trình độ tri thức và năng lực của HS về

môn Toán. Cho nên không thể tách rời nội dung ngoại khóa với chương trình

giáo khoa. Hình thức này giúp HS rèn luyện các thao tác trong Toán học hình

thành cho các em văn hóa làm việc khoa học cũng như bước đầu làm quen với

các hoạt động nghiên có khác.

- Xây dựng diễn đàn: Tạo môi trường cho các em giải đáp những thắc

mắc khó khăn về môn học cũng như trao đổi các bài tập hay, kinh nghiệm quý.

Qua đó nâng cao nhận thức và khả năng tự học của HS.

- Tổ chức các cuộc thi Toán học: Tổ chức các cuộc thi về kiến thức Toán

học với hình thức chơi theo từng đội hoặc chơi cá nhân dựa theo kịch bản tương

tự như chương trình “Đường lên đỉnh Olympia”, “Rung chuông vàng”… hay qua

các cuộc thi giúp các em chứng tỏ tài năng của mình như đã háy, diễn kịch, làm

thơ,… Qua đó giúp các em HS phát triển tư duy Toán học, mở rộng kiến thức

giúp các em nhạy bén trong việc xử lý các hình huống Toán học cũng như trong

đời sống, hứng thú trong môn học.

Để thực hiện các nội dung hoạt động ngoại khóa, chúng ta phải đảm bảo

các nguyên tắc cơ bản như:

- Phải có kế hoạch tổng thể của hoạt động.

- Phải tôn trọng tinh thần tự nguyện tham gia, tính độc lập sáng tạo của

HS nhưng phải tổ chức, có hướng dẫn chu đáo.

- Nội dung hoạt động phải gắn với chương trình học bổ ích, thiết thực kết

hợp với hình thức phù hợp với điều kiện cụ thể của vùng, miền cũng như của

giáo viên.

79

- Hoạt động ngoại khoá phải nhằm hướng tới việc gắn kết tình cảm, sự

quan tâm lẫn nhau trong tập thể nhà trường sư phạm.

- Hình thức hoạt động phải đa dạng, phong phú.

- Phải có kinh phí tổ chức cho hoạt động ngoại khóa.

- Trang thiết bị kỹ thuật, đồ dùng dạy học cần thiết phải có để đáp ứng

được yêu cầu tổ chức hoạt động ngoại khóa.

- GV phải có kinh nghiệm trong việc tổ chức hoạt động ngoại khóa.

- Các thành viên Ban tổ chức cũng cần thể hiện sự chuyên nghiệp trong

cách ăn nói, giao tiếp.

- Cần tạo sân chơi bổ ích, lí thú cho HS “Học mà chơi, chơi mà học”.

Qua nghiên cứu và tổng hợp tài liệu về quy trình tổ chức hoạt động ngoại

khóa có thể diễn ra theo các bước sau [5]:

 Bước 1: Lựa chọn chủ đề ngoại khóa: Xuất phát từ nhu cầu nhận thức của

HS và điều kiện thực tế của nhà trường và căn cứ vào nội dung chương trình học

tập mà GV lựa chọn xác định chủ đề của hoạt động ngoại khóa cần tổ chức.

 Bước 2: Lập kế hoạch ngoại khóa: Khi lập kế hoạch GV cần chú ý về

mục tiêu ngoại khóa, hình thức tổ chức ngoại khóa, xây dụng chi tiết chương

trình, tiến hành thực hiện.

 Bước 3: Tiến hành ngoại khóa: Tùy theo quy mô của hoạt động ngoại

khóa mà GV phải là người trọng tài để tổ chức cho HS thảo luận, tranh luận, có

vai trò giám sát và là cố vấn trong các hình huống mà HS gặp phải. Với mỗi thời

gian theo kế hoạch đề ra GV cần quản lý HS để hoàn thành nhiệm vụ.

 Bước 4: Tổng kết, rút kinh nghiệm và khen thưởng: Việc đánh giá kết quả

của hoạt động ngoại khóa cần căn cứ vào toàn bộ quá trình diễn ra hoạt động, đánh

giá qua sự hứng thú và tích cực mà HS có được. Đối với GV, sau mỗi lần tổ chúc

hoạt động ngoại khóa cần đánh giá rút kinh nghiệm để điều chỉnh nội dung, hình

thức, phương pháp để kết quả được tốt hơn trong những lần sau.

80

Để thực hiện thành công các ứng dụng Toán học vào thực tiễn cuộc

sống, lao động, sản xuất cũng như việc thực hiện rèn luyện cho HS kĩ năng

thiết kế bài toán và giải bài toán có nội dung thực tiễn thì trước hết HS phải

nắm vững các nội dung, kĩ năng và phương pháp toán học nhất định, đặc biệt

là chú ý đến các kiến thức toán học có liên quan đến thực tiễn. Đối với hoạt

động này, có thể dùng hình thức liên hệ với thực tiễn mà cụ thể có thể cho HS

ứng dụng kiến thức vừa học vào giải quyết một bài toán nào đó. Trong khâu

này giáo viên nên tăng cường đưa vào giảng dạy cho HS những bài tập mà

quy trình giải chúng thực chất là ứng dụng các kiến thức đạo hàm để giải quyết

các tình huống trong các môn học khác hoặc trong thực tiễn lao động, sản xuất

và đời sống. Làm như vậy sẽ giúp cho HS có những hình ảnh, những thể hiện

thực tế làm “chỗ tựa” cho nội dung kiến thức Toán học hình thành những biểu

tượng ban đầu đúng về nội dung kiến thức đang học. Do vậy, trong quá trình

dạy học giáo viên cần quan tâm và nhấn mạnh các kiến thức toán học có liên

quan đến thực tế nhằm tạo cho HS một nền tảng toán học để khi va chạm với

thực tế cuộc sống có thể tự thiết kế và giải quyết một số bài toán có nội dung

thực tế.

2.3. Kết luận chương 2

Trong chương này chúng tôi đã đưa ra một số định hướng cơ bản khi xây

dựng các biện pháp sư phạm nhằm phát triển năng lực vận dụng Toán học vào

thực tiễn cho HS, trên cơ sở các định hướng đó đã đề xuất được bốn biện pháp

sư phạm nhằm phát triển năng lực vận dụng Toán học vào thực tiễn cho HS lớp

12 THPT như: Củng cố kiến thức về ứng dụng đạo hàm trước khi trang bị cho

HS cách thức giải bài toán có nội dung thực tiễn bằng công cụ đạo hàm; luyện

tập kĩ năng ứng dụng đạo hàm trong môn Toán thông qua việc hệ thống hóa các

câu hỏi và bài tập; tổ chức các hoạt động rèn luyện phát hiện và giải quyết các

bài toán có nội dung thực tiễn bằng công cụ đạo hàm; tổ chức hoạt động ngoại

khóa Toán học với nội dung tìm hiểu thực tiễn, hướng dẫn HS sưu tầm những

81

tình huống thực tiễn và tập luyện xây dựng bài toán có sử dụng công cụ đạo hàm

để giải quyết. Với mục tiêu là ngoài việc trang bị kiến thức, kĩ năng cho HS theo

quy định chương trình, còn từng bước phát triển cho HS năng lực vận dụng Toán

học vào thực tiễn.

82

Chương 3

THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM

3.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm

Thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm tra, đánh giá tính khả thi và hiệu quả

của việc vận dụng một số biện pháp sư phạm đã đề xuất.

3.2. Nội dung thực nghiệm sư phạm

Chúng tôi tiến hành thực nghiệm 4 biện pháp sư phạm:

- Biện pháp 1: Củng cố kiến thức về ứng dụng đạo hàm trước khi trang

bị cho HS cách thức giải bài toán có nội dung thực tiễn bằng công cụ đạo hàm.

- Biện pháp 2: Luyện tập kĩ năng ứng dụng đạo hàm trong môn Toán

thông qua việc hệ thống hóa các câu hỏi và bài tập.

- Biện pháp 3: Tổ chức các hoạt động rèn luyện phát hiện và giải quyết

các bài toán có nội dung thực tiễn bằng công cụ đạo hàm.

- Biện pháp 4: Tổ chức hoạt động ngoại khóa Toán học với nội dung tìm

hiểu thực tiễn, hướng dẫn HS sưu tầm những tình huống thực tiễn và tập luyện

xây dựng bài toán có sử dụng công cụ đạo hàm để giải quyết.

3.3. Đối tượng thực nghiệm sư phạm

Quá trình thực nghiệm sư phạm được tiến hành tại trường THPT Đại Từ

và THPT Khánh Hòa, Tỉnh Thái Nguyên. Việc thực nghiệm sư phạm được tiến

hành trên 2 lớp. Các lớp này theo nhận xét của giáo viên chủ nhiệm có trình độ

HS là tương đương nhau (dựa vào kết quả kiểm tra chất lượng đầu năm học do

giáo viên chủ nhiệm cung cấp).

3.4. Tổ chức thực nghiệm sư phạm

3.4.1. Thời gian tổ chức thực nghiệm

Học kì 2 năm học 2017 - 2018. Tháng 1 năm 2018, từ ngày 03/01/2018

đến ngày 17/01/2018.

Thời lượng: 02 tiết tự chọn.

GV giảng dạy: Nguyễn Tiến Anh

83

3.4.2. Hình thức tổ chức thực nghiệm

Lớp thực nghiệm: Lớp 12A1

Lớp đối chứng: Lớp 12A3

Ngoài ra tại lớp thực nghiệm chúng tôi tiến hành nghiên cứu trường hợp

trên 3 đối tượng HS: Giỏi, khá và trung bình để thấy được mức độ năng lực vận

dụng của từng đối tượng HS thay đổi như thế nào trước và sau thực nghiệm (mỗi

nhóm đối tượng chúng tôi nghiên cứu 2 HS).

Chúng tôi tiến hành cho các nhóm đối tượng làm bài kiểm tra trước và sau

thực nghiệm. Trước thực nghiệm chúng tôi cho các đối tượng HS làm bài kiểm

tra 20 phút với nội dung sau:

Câu 1: Cho hình chữ nhật có diện tích bằng 100 (𝑐𝑚2). Hỏi kích thước

mỗi cạnh của nó bằng bao nhiêu để chu vi của nó nhỏ nhất?

Câu 2: Một công ty chuyên sản xuất các loại kem dưỡng da cho trẻ nhỏ

với thiết kế hộp là một khối cầu, bên trong là một khối trụ nằm trong nửa khối

cầu để đựng kem dưỡng da. Theo dự kiến, công ty này có dự định để khối cầu

có bán kính là 𝑅 = 3√3𝑐𝑚. Tìm thể tích lớn nhất của khối trụ đựng kem để thể

tích thực ghi trên bìa hộp là lớn nhất (với mục đích thu hút khách hàng).

Sau khi đánh giá kết quả qua bài kiểm tra, chúng tôi nhận thấy:

Đối tượng HS giỏi cả hai lớp đều làm tốt câu 1, với câu 2 đã hiểu được nội

dung bài toán, đưa bài toán về bài toán tìm giá trị lớn nhất quen thuộc nhưng còn

mất nhiều thời gian dẫn đến chưa hoàn thiện câu 2.

Với đối tượng HS khá, các em đã hoàn thiện bài 1, bài 2 đã bắt đầu đi vào

phân tích nhưng đại đa số các em chưa biết chuyển hóa bài toán về dạng tìm giá

trị lớn nhất.

Với đối tượng HS trung bình, các em chỉ làm được câu 1.

Cuối đợt thực nghiệm chúng tôi đã đánh giá kết quả thực nghiệm ở cả hai

lớp và trên 3 đối tượng HS thông qua 01 bài kiểm tra 45 phút.

84

3.5. Kết quả thực nghiệm sư phạm

3.5.1. Đánh giá định tính

a) Đối với cá nhân, trong quá trình thực nghiệm chúng tôi thấy:

- Ở lớp thực nghiệm, HS tích cực hơn, chịu khó suy nghĩ, tìm tòi, sáng tạo

hơn so với lớp đối chứng. Hơn nữa, tâm lý HS ở lớp thực nghiệm thoải mái, tạo

được mối quan hệ thân thiện giữa thầy và trò trong quá trình hỏi đáp các câu hỏi

bài học.

- Dựa vào việc quan sát trên lớp và phân tích kết quả làm bài kiểm tra của

HS chúng tôi thấy rằng khả năng giải quyết các bài toán thực tiễn bằng Toán học

ở lớp thực nghiệm tốt hơn, các em vận dụng kiến thức cơ bản Toán học tốt hơn.

Do đó khả năng trình bày bài làm của các em chính xác, khoa học và gọn gàng

hơn.

- Trên 3 đối tượng tiến hành thực nghiệm chúng tôi thấy rằng đối tượng

HS giỏi có sự tiến bộ vượt bậc trong việc vận dụng kiến thức toán học vào giải

quyết các bài toán thực tiễn, đối tượng HS khá thì bước đầu giải quyết được

những bài toán có nội dung thực tiễn đơn giản và những bài toán có phương pháp

và cách giải cụ thể, đối tượng HS trung bình thành thạo trong việc chuyển bài

toán có nội dung thực tiễn sang bài toán Toán học thuần túy nhưng còn khó khăn

trong việc giải quyết các bài toán Toán học đó. Nhìn chung thì cả ba đối tượng

đều có sự tiến bộ trong việc vận dụng kiến thức Toán học vào giải quyết các bài

toán thực tiễn.

b) Đối với nhận xét, đóng góp của GV thông qua dự giờ góp ý đã được tổng

hợp lại như sau:

- Các câu hỏi trong mỗi giáo án tạo được hứng thú, lôi cuốn HS vào quá

trình tìm hiểu, giải quyết các câu hỏi giúp HS tự lực chiếm lĩnh nội dung học tập,

chủ động đạt được các mục tiêu kiến thức, kĩ năng, kích thích HS tích cực độc

lập tư duy, phát triển cho HS năng lực giải các bài toán thực tiễn.

- Mức độ khó của các câu hỏi xây dựng trong mỗi giáo án là đúng mực,

kiến thức bao hàm trong các tình huống là vừa sức.

85

- Sau khi học xong bài đa số các HS đều nắm được kiến thức cơ bản, có

kĩ năng vận dụng Toán học vào giải quyết các bài toán thực tiễn được giao.

- Đa số các GV được tham khảo ý kiến đều nhận xét: “Các biện pháp sư

phạm đã đề ra có tính khả thi”. Các biện pháp này không chỉ giúp HS giải quyết các

bài toán thực tiễn trong nội dung ứng dụng đạo hàm mà còn áp dụng trong các nội

dung khác trong chương trình môn Toán.

- Một số GV cũng cho rằng: Hiệu quả của các biện pháp sư phạm đã đề ra

còn phụ thuộc vào trình độ chuyên môn, năng lực sư phạm của người GV và

trình độ nhận thức của HS.

3.5.2. Đánh giá định lượng

a) Trong thời gian thực nghiệm chúng tôi đã đề ra một bài kiểm tra 45 phút

với HS của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng để đánh giá kết quả đầu ra. Kết

quả của hai lớp thống kê lại như sau:

Bảng 3.1. Bảng phân bố tần số kết quả của bài kiểm tra 45 phút lớp

thực nghiệm (TN) và lớp đối chứng (ĐC)

Số bài kiểm tra đạt điểm tương ứng Điểm Số Lớp TB HS 2 3 4 5 6 7 8 10 9 0 1

2 5 8 11 13 2 7.1 4 TN 45

1 5 3 7 7 12 7 1 6.1 2 ĐC 45

Bảng 3.2. Bảng phân bố về tần suất điểm kiểm tra 45 phút

Số % bài kiểm tra đạt điểm tương ứng Số Lớp HS 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3

4.5 11.1 17.8 24.4 28.9 8.9 4.4 TN 30

2.2 11.1 6.6 15.6 15.6 26.7 15.6 4.4 2.2 ĐC 30

86

35

30

25

20

Tần suất lớp TN (%)

15

t ấ u s n ầ T

Tần suất lớp ĐC (%)

10

5

0

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Điểm

Biểu đồ 3.1. Biểu đồ phân bố tần suất điểm bài kiểm tra 45 phút

của lớp TN và lớp ĐC

Bảng 3.3. Bảng phân bố kết quả của nhóm đối tượng HS trước và sau TN

Kết quả kiểm tra 20 phút Kết quả kiểm tra 45 phút Học sinh

(Điểm) (Điểm)

10 Ngô Hữu Hoàn 8 Giỏi Lã Thị Kiều Oanh 7 9

Dương Văn Nam 5 8 Khá Đào Tuấn Anh 7 8

Trung Triệu Thị Tâm 3 5

bình Hoàng Tuấn Khải 4 6

Từ kết quả trên ta có nhận xét sau:

- Điểm trung bình của lớp TN cao hơn lớp ĐC.

- Phần trăm số HS có điểm dưới trung bình ở lớp TN ít hơn lớp ĐC.

- Phần trăm số HS có điểm khá giỏi ở lớp TN cao hơn lớp ĐC.

- Mỗi đối tượng HS đều có sự tiến bộ.

87

Nhận xét sơ bộ:

- Nhìn chung HS ở lớp TN hiểu sâu sắc kiến thức cơ bản, các em biết

trình bày lời giải một cách rõ ràng, khoa học có căn cứ trong bài tự luận và tính

được kết quả nhanh, chính xác trong bài trắc nghiệm. Điều đó thể hiện tính tích

cực của tư duy và thể hiện được năng lực nhận thức của các em.

- Bên cạnh giải quyết nhanh và chính xác các bài toán thì HS ở lớp thực

nghiệm cũng đã bước đầu biết vận dụng toán học đặc biệt là nội dung ứng dụng

đạo hàm vào thực tiễn và từ các vấn đề của thực tiễn đã biết vận dụng và hình

thành các bài toán thực tiễn. Qua đó ta thấy được sự chuyển biến tích cực trong

năng lực vận dụng Toán học vào thực tiễn của HS.

- Như vậy, nếu dạy học theo các biện pháp đã được đề xuất sẽ phát huy

tính tích cực học tập của HS, giúp các em chủ động trong mọi tình huống từ đó

giúp các em nắm chắc kiến thức, biết vận dụng chúng vào cuộc sống.

Những khó khăn, hạn chế rút ra qua thực nghiệm:

Bên cạnh những kết quả tích cực đã nêu ở trên. Trong quá trình thực

nghiệm cũng bộc lộ một số khó khăn, hạn chế của phương án đề xuất:

- Việc chuẩn bị bài của GV công phu và mất nhiều thời gian hơn.

- Có những tình huống đưa ra có nhiều giải pháp. HS có thể đề xuất giải

pháp khác so với dự kiến của GV. Điều này đòi hỏi GV phải có kiến thức vững

vàng, làm chủ tình huống, linh hoạt trong ứng xử để đảm bảo được thời gian lên

lớp mà không ảnh hưởng tới sự hứng thú của HS.

- Một vài HS chưa nắm chắc kiến thức Toán nên khi chuyển được các bài

toán thực tiễn sang bài toán Toán học lại gặp khó khăn trong việc giải quyết bài

toán đó.

3.6. Kết luận chương 3

Qua quá trình thực nghiệm trên cho thấy, nếu vận dụng các biện pháp

đã đề xuất vào việc phát triển năng lực vận dụng Toán học vào giải quyết các

bài toán thực tiễn cho HS lớp 12 khi dạy học nội dung đạo hàm; ứng dụng của

88

đạo hàm nói riêng và dạy học Toán nói chung sẽ tạo được môi trường cho HS

tự khám phá, tự lực chiếm lĩnh nội dung học tập, chủ động đạt được các mục

tiêu kiến thức, kĩ năng và kích thích HS tích cực học tập để thấy được vai trò

của Toán học đối với cuộc sống, qua đó gây hứng thú hơn trong việc học Toán.

Kết quả thực nghiệm sư phạm đã đạt được mục đích, yêu cầu đề ra. Chất

lượng học tập nội dung đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm cho HS lớp 12 ở lớp

thực nghiệm tốt hơn các lớp dạy theo phương pháp truyền thống.

Như vậy, các biện pháp đã đề ra trong luận văn là khả thi, phù hợp với

mục tiêu dạy học và phát huy hiệu quả của quá trình dạy và học.

89

KẾT LUẬN

Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn và nó có tác động trở lại để cải tạo

thực tiễn. Ứng dụng của TH đối với TT được thể hiện ở nhiều tầng bậc. Có những

kiến thức TH có ứng dụng trực tiếp với thực tiễn, có những kiến thức TH mà sự

ứng dụng của nó với TT phải trải qua nhiều tầng bậc. Tuy nhiên trong quá trình

dạy học GV nên cố gắng khai thác các kiến thức, kĩ năng TH mà HS được học

để vận dụng giải quyết các vấn đề trong TT, đời sống. Việc làm này vừa giúp HS

củng cố kiến thức, kĩ năng một cách vững chắc, vừa giúp HS thấy được liên hệ

giữa TH với TT.

Luận văn đã đề xuất được 4 biện pháp sư phạm theo hướng tăng cường

vận dụng TH vào TT. Nếu trong quá trình dạy học môn Toán GV nhận thức được

sự cần thiết của việc vận dụng TH vào TT, vận dụng các biện pháp đó để tổ chức

dạy học một cách hợp lí thì sẽ khắc phục được thực trạng năng lực vận dụng TH

hạn chế của HS hiện nay và nâng cao được năng lực vận dụng TH cho HS nói

chung. Điều đó đã được tác giả kiểm nghiệm bằng thực nghiệm sư phạm và đã

chứng tỏ được giả thuyết khoa học là hoàn toàn đúng đắn, mục đích nhiệm vụ

nghiên cứu đã hoàn thành.

90

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt

1. Nguyễn Ngọc Anh (2000), Ứng dụng phép tính vi phân (phần đạo hàm) để

giải các bài tập cực trị có nội dung liên môn và thực tế trong dạy học toán

lớp 12 trung học phổ thông, Luận án tiến sĩ, Viện khoa học giáo dục.

2. Nguyễn Thị Duyên (2018), Phát triển năng lực vận dụng toán học vào thực

tiễn cho học sinh lớp 12 THPT thông qua dạy học hình học không gian, Luận

văn thạc sĩ, Đại học Sư Phạm Thái Nguyên.

3. V. A Cruchetxki (1973), Tâm lý năng lực toán học cho HS, Nhà xuất bản

Giáo dục, Hà Nội.

4. Đàm Thị Thu Dung (2017), Phát triển năng lực giải toán Ứng dụng đạo hàm

để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12, Luận văn thạc sĩ, Đại

học Sư phạm Hà Nội.

5. Đỗ Ánh Dương (2012), Tổ chức một số hoạt động ngoại khóa cho học sinh

dân tộc thiểu số trường văn hóa I – Bộ công an góp phần nâng cao chất lượng

dạy học bộ môn toán, Luận ăn thạc sĩ, Đại học Sư phạm Thái Nguyên.

6. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên, 2008), Đại số và giải tích 11, Nhà xuất bản

giáo dục.

7. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên, 2008), Giải tích 12, Nhà xuất bản giáo dục.

8. Đặng Thành Hưng (2002), Dạy học hiện đại: Lý luận, biện pháp, kĩ thuật,

Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.

9. Nguyễn Bá Kim (2011), Phương pháp dạy học môn Toán, Nhà xuất bản Đại

học Sư Phạm.

10. Kim Sô Phi (2017), Phát triển năng lực vận dụng Toán học vào thực tiễn cho

học sinh trong dạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông, Luận văn

thạc sĩ, Đại học Sư phạm Hà Nội.

91

11. Bùi Thị Lan Phương (2013), Phát triển năng lực vận dụng toán học vào thực

tiễn (theo Pisa) cho học sinh trong dạy học môn toán lớp 10 Trung học phổ

thông, Luận văn thạc sĩ, Đại học Sư phạm Hà Nội.

12. Trần Quốc Tuấn (2017), Phát triển năng lực vận dụng Toán học vào thực tiễn

cho học sinh trong dạy học Đại số ở trường Trung học phổ thông, Luận văn

thạc sĩ, Đại học Sư phạm Hà Nội.

13. Website: http://thptnvk.edu.vn/upload/31760/20171018/LIEN_MON.pdf

92

PHỤ LỤC

Phụ lục 1:

PHIẾU THĂM DÒ Ý KIẾN GIÁO VIÊN

Về phát triển năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn cho học sinh

THPT thông qua dạy học ứng dụng đạo hàm

Kính gửi:

Các thầy (cô) giáo đang giảng dạy môn Toán tại trường THPT......

Để góp phần cải tiến, nâng cao chất lượng và hiệu quả dạy học toán ở

trường THPT vì sự nghiệp giáo dục của nước nhà nói chung, vì sự nghiệp dạy

và học toán ở trường phổ thông nói riêng, chúng tôi biên soạn phiếu thăm dò ý

kiến này. Những thông tin thu được từ phiếu chỉ phục vụ cho mục đích nghiên

cứu khoa học, không vì một mục đích nào khác.

A. Thầy cô vui lòng cho biết một số thông tin cá nhân sau:

- Họ tên (có thể không cần ghi): ................................................................

- Đơn vị công tác: ......................................................................................

- Số năm công tác: .....................................................................................

- Hệ đào tạo: ..............................................................................................

B. Xin thầy (hoặc cô) vui lòng trả lời ngắn gọn và đầy đủ với mỗi câu

hỏi dưới đây. Đối với những câu hỏi có nhiều phương án, có thể đánh dấu

vào một hoặc một vài phương án mà thầy (hoặc cô) cho là hợp lý nhất.

Nội dung câu hỏi:

Câu 1: Theo thầy (cô) trong việc dạy học Toán ở trường THPT hiện

nay có cần thiết tăng cường hơn các yếu tố vận dụng toán học vào thực tiễn

cho học sinh nhằm phát triển năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn?

a)  Rất cần thiết.

b)  Cần thiết.

c)  Không cần thiết.

Câu 2: Theo thầy (cô), việc giới thiệu một số ứng dụng thực tiễn của

kiến thức đạo hàm cho học sinh là?

a)  Rất cần thiết.

b)  Cần thiết.

c)  Không cần thiết.

Câu 3: Trong khi dạy học, thầy (cô) có thường xuyên đưa ra những ví

dụ, những tình huống giả định thực tiễn và bài tập thực tiễn mới phù hợp

với kiến thức đó?

a) Chưa bao giờ.

b) Thỉnh thoảng.

c) Thường xuyên.

Câu 4: Tại trường các thầy (cô) đang công tác, việc tổ chức các hoạt

động ngoại khóa toàn trường; tổ chức nói chuyện chuyên đề về các chủ đề

kiến thức môn Toán có được thực hiện hay không?

a) Thường xuyên.

b) Thi thoảng.

c) Chưa bao giờ..

Câu 5: Khi HS đặt ra các câu hỏi liên quan đến ứng dụng toán học

vào thực tiễn; ứng dụng toán học đến các môn học khác; hoặc nội dung thầy

(cô) đang dạy có ứng dụng gì. Thầy cô sẽ phản ứng ra sao?

a) Lờ đi, không nhắc gì đến việc giải thích, yêu cầu học sinh tự tìm hiểu.

b) Ngại giải thích, cho rằng việc ứng dụng của nội dung này rất trừu

tượng HS khó có thể hiểu. Hoặc cho rằng việc này mất thời gian của lớp, không

liên quan đến bài học.

c) Chỉ ra một vài ví dụ thực tiễn để học sinh thấy được sự ứng dụng

của nội dung này.

d) Rất tâm huyết, phấn khởi khi HS đặt ra các câu hỏi mang tính ứng

dụng của Toán học. Từ đó sẽ nhiệt tình giới thiệu về nguồn gốc thực tiễn của nội

dung.

Câu 6: Trong giảng dạy thầy (cô) có thường xuyên gợi động cơ mở

đầu hay gợi động cơ kết thúc xuất phát từ thực tiễn hay không?

a) Thường xuyên.

b) Thỉnh thoảng.

c) Chưa bao giờ.

Câu 7: Thầy (cô) có sử dụng kiến thức đạo hàm để giải quyết tình

huống thực tiễn trong các bài toán liên môn hay không?

a) Thường xuyên. b) Đã từng. c) Chưa bao giờ.

Câu 8: Khi ra kiểm tra, đánh giá. Thầy (cô) có thường xuyên đưa các

dạng câu hỏi có nội dung thực tiễn vào đề kiểm tra hay không?

a) Luôn luôn.

b) Thi thoảng.

c) Rất ít khi.

d) Chưa bao giờ.

Phụ lục 2:

PHIẾU THĂM DÒ Ý KIẾN HỌC SINH

Về việc vận dụng toán học vào giải quyết các bài toán thực tiễn

khi học nội dung ứng dụng đạo hàm

Các em thân mến!

Để góp phần cải tiến, nâng cao chất lượng và hiệu quả dạy học toán ở

trường THPT vì sự nghiệp giáo dục của nước nhà nói chung, vì sự nghiệp dạy

và học toán ở trường phổ thông nói riêng, chúng tôi biên soạn phiếu thăm dò ý

kiến này. Những thông tin thu được từ phiếu chỉ phục vụ cho mục đích nghiên

cứu khoa học, không vì một mục đích nào khác.

A. Em vui lòng cho biết một số thông tin sau:

Họ tên (có thể không cần ghi tên):....................................................................

Lớp:.............Trường...........................................................................................

B. Xin các em vui lòng trả lời ngắn gọn và đầy đủ với mỗi câu hỏi dưới đây.

Đối với những câu hỏi có nhiều phương án, có thể đánh dấu vào một hoặc

một vài phương án mà các em cho là hợp lý nhất.

Nội dung câu hỏi:

Câu 1: Theo em, việc học Toán ở trường THPT hiện nay có cần tăng

cường hơn nữa các yếu tố vận dụng Toán học vào thực tiễn hay không?

a) Rất cần thiết.

b) Cần thiết.

c) Không cần thiết.

Câu 2: Theo em, việc tìm hiểu về ứng dụng thực tiễn liên quan đến nội

dung đạo hàm nói riêng và môn Toán nói chung là:

a) Cần thiết. b) Rất cần thiết. c) Không cần thiết.

Câu 3: Khi được học nội dung ứng dụng của đạo hàm, các thầy (cô)

có hướng dẫn, thiết kế các bài toán liên quan đến vấn đề thực tiễn hay

không? nếu có thì các thầy (cô) trình bày như thế nào?

a) Có. Thầy (cô) trình bày chi tiết, đầy đủ và các bài toán có sức thu

hút cao HS chú ý. Bài toán đem lại ý nghĩa thiết thực.

b) Có. Nhưng thầy (cô) trình bày qua loa, đại khái cho hết chương

trình. Bài toán chưa thực sự đưa ra kết luận có ý nghĩa.

c) Thi thoảng. Thầy (cô) chưa đưa ra các ví dụ hay liên quan đến thực

tế. Các ví dụ khá sơ sài và thiếu thực tế.

d) Chưa bao giờ.

Câu 4: Khi học nội dung đạo hàm - ứng dụng đạo hàm. Các em thường

làm các công việc sau đây hay không?

- Sử dụng trí nhớ kiểm tra lại các kiến thức đã học để có thể vận dụng vào

nội dung cần giải quyết.

- Trao đổi nhóm với bạn bè hoặc nhờ sự định hướng của GV.

- Liên hệ ngay nội dung cần giải quyết đến những mô hình trong thực tế

để kiểm nghiệm.

- Đề xuất hướng giải quyết hoặc khắc sâu nội dung đã giải quyết được để

sử dụng cho các lần tiếp theo. Hoặc áp dụng nó vào các vấn đề liên môn.

- Chỉnh sửa nội dung nghiên cứu cho phù hợp. Lập báo cáo kết quả tìm được.

a) Thường xuyên.

b) Thỉnh thoảng.

c) Chưa bao giờ.

Câu 5: Khi được học nội dung đạo hàm - ứng dụng của đạo hàm. Em

thấy thầy (cô) thường xuyên làm các công việc sau hay không?

- Nhắc lại về nội dung đạo hàm - ứng dụng của đạo hàm.

- Đưa ra các bài toán, tình huống thực tiễn liên quan nội dung bài học.

- Sử dụng phiếu học tập, chia nhóm để thảo luận.

- GV và HS cùng nhau trao đổi, thảo luận về nội dung bài học.

- Sử dụng các công cụ hỗ trợ giảng dạy hiện đại, trực quan giúp HS hiểu

sâu và tường minh các vấn đề.

- Củng cố và nêu ra ý nghĩa của bài học.

a) Thường xuyên.

b) Thi thoảng.

c) Chưa bao giờ.

Câu 6: Khi gặp các bài toán có nội dung thực tiễn. Em cảm thấy:

a) Rất hứng thú.

b) Hứng thú nhưng do thiếu kiến thức cơ bản về Toán học để giải quyết.

c) Sợ vì quá khó và trừu tượng.

d) Không hứng thú vì cảm thấy không cần thiết.

Câu 7: Khi gặp bất kì bài toán nào liên quan đến thực tiễn trong SGK

THPT hiện hành hoặc trong các vấn đề thực tiễn của cuộc sống. Em có chắc

mình sẽ giải được nó?

a) Không thể.

b) Không chắc lắm.

c) Chắc chắn.

Câu 8: Sau khi học xong tất cả các kiến thức về đạo hàm, ứng dụng

của đạo hàm. Em có hiểu bản chất của nội dung đó hay không hoặc nội dung

đó có ý nghĩa như thế nào?

a) Không hiểu gì.

b) Hiểu sơ qua.

c) Thực sự hiểu.

Phụ lục 3:

Giáo án thực nghiệm

LUYỆN TẬP GIẢI BÀI TẬP ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN

NĂNG LỰC VẬN DỤNG TOÁN HỌC VÀO THỰC TIỄN

I. Mục tiêu

a) Về kiến thức

Học sinh nắm được: Khái niệm đạo hàm, quy tắc tính đạo hàm của hàm

số, cách giải bài toán Toán học hoặc bài toán chứa nội dung thực tiễn nhờ công

cụ đạo hàm.

b) Về kĩ năng

- Thuần thục cách giải bài toán đạo hàm.

- Biết chuyển một bài toán TT sang bài toán Toán học quen thuộc đã biết

cách giải.

c) Về tư duy, thái độ

- Biết quy lạ về quen, tư duy các vấn đề của Toán học một cách logic và

hệ thống.

- Cẩn thận chính xác trong lập luận, tính toán và trong vẽ hình.

d) Định hướng phát triển năng lực: Hình thành ở HS một số năng lực:

Năng lực giải quyết vấn đề, năng lực giao tiếp, năng lực hợp tác, năng lực ngôn

ngữ và năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn.

Phương pháp: Thuyết trình, gợi mở, vấn đáp, hoạt động nhóm.

II. Chuẩn bị

- Giáo viên: Giáo án, SGK, sách GV, thước kẻ, phấn, máy tính …

- Học sinh: SGK, vở ghi, dụng cụ học tập,…

III. TIẾN TRÌNH BÀI HỌC

1. Ổn định lớp

2. Kiểm tra bài cũ

Nêu các quy tắc tính đạo hàm một số hàm thường gặp, đạo hàm của tổng

hiệu tích thương; đạo hàm của hàm hợp; đạo hàm của hàm số lượng giác và một

số ứng dụng của đạo hàm.

3. Bài mới

Nội dung Hoạt động của Giáo viên Hoạt động của Học sinh

Hoạt động 1: Các bài toán Toán học giải bằng công cụ đạo hàm

- Mục đích: Đặt vấn đề vào bài, bắt đầu giúp HS tiếp cận các kiến thức của bài.

- Phương pháp/kĩ thuật: Vấn đáp, gợi mở và giải quyết vấn đề.

- Hình thức tổ chức thực hiện: Tổ chức hoạt động tập thể.

- Phương tiện dạy học: Kế hoạch dạy học, máy chiếu, bảng phụ và một số

đồ dùng khác.

- Sản phẩm thu được: HS làm quen với các bài toán giải được bằng công

cụ đạo hàm thuần túy.

GV đưa ra bài Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của

toán tìm GTLN, hàm số

GTNN của hàm số a) 𝑦 = 𝑥 + √4 − 𝑥2.

ln2 𝑥 𝑥 [1; 𝑒3].

trên 1 đoạn. trên đoạn b) 𝑦 =

* Yêu cầu HS nhắc Có 2 cách:

lại 2 cách tìm + Lập bảng biến thiên.

GTLN, GTNN của + Quy tắc tìm GTLN,

hàm số? GTNN của hàm số trên 1

đoạn

* GV Chia lớp Đại diện nhóm 1 và 2 lên Giải:

B

thành 4 nhóm yêu bảng trình bày lời giải

Nội dung

Hoạt động của Giáo viên cầu đại diện nhóm 1 Hoạt động của Học sinh của nhóm mình. Nhóm a) TXĐ: 𝐷 = [−2; 2].

√4−𝑥2−𝑥 √4−𝑥2 , 𝑥 ∈

và 2 lên bảng trình 3, 4 trình bày vào vở và Ta có 𝑦′ = bày lời giải của theo dõi nhóm 1, 2 để

(−2; 2). nhóm mình. Nhóm nhận xét bài làm.

Với 𝑥 ∈ (−2; 2), ta có: 3, 4 trình bày vào

vở và theo dõi 𝑦′ = 0 ⇔ √4 − 𝑥2 = 𝑥

nhóm 1, 2 để nhận 𝑥 ≥ 0 ⇔ {

xét bài làm.

Vậy 4 − 𝑥2 = 𝑥2 ⇔ 𝑥 = √2 min𝑦 = * GV theo dõi bài

min{𝑦(−2); 𝑦(2); 𝑦(√2)} = làm của HS.

−2 đạt được khi x = -2

max𝑦 = 2√2 đạt được khi

𝑥 = √2.

b) Ta có

2 ln 2−ln2 𝑥 𝑥2

𝑦′ = với mọi 𝑥 ∈

(1; 𝑒3).

Ta có:

𝑦′ = 0 ⇔ 2 ln 𝑥 − ln2 𝑥 = 0

⇔ [

⇔ [ ln 𝑥 = 0 ln 𝑥 = 2 𝑥 = 1 ∉ [2; 𝑒3] 𝑥 = 𝑒2 ∈ [2; 𝑒3]

Vậy

min𝑦 =

min{𝑦(1); 𝑦(𝑒3); 𝑦(𝑒2)} =

0 đạt được khi x = 1.

4

Nội dung Hoạt động của Giáo viên Hoạt động của Học sinh

𝑒2 đạt được khi 𝑥 =

max𝑦 =

𝑒2.

* GV yêu cầu nhóm - HS nhận xét bài làm.

3, 4 nhận xét bài - Nghe và ghi chép

làm của nhóm 1 và những nhận xét của GV

2. và tự sửa lỗi sai bài của

* GV nhận xét và mình.

đánh giá bài làm

của HS.

Hoạt động 2: Luyện tập các bài toán thực tiễn liên quan tới nội dung đạo

hàm. Qua đó rèn luyện cho HS kĩ năng chuyển từ bài toán thực tiễn sang

bài toán Toán học

- Mục đích: Giúp HS tiếp cận các kiến thức của bài, biết cách vận dụng

toán học vào giải quyết các bài toán thực tiễn.

- Phương pháp/kĩ thuật: Kết hợp một số phương pháp như: Gợi mở - vấn

đáp, gợi mở và giải quyết vấn đề.

- Hình thức tổ chức thực hiện: Hoạt động cá nhân, hoạt động nhóm và

hoạt động tập thể.

- Phương tiện dạy học: Kế hoạch dạy học, máy chiếu, bảng phụ và một số

đồ dùng khác.

- Sản phẩm thu được: HS biết cách giải các bài toán giải được bằng công

cụ đạo hàm ứng với nội dung thực tiễn và chuyển đổi được giữa ngôn ngữ

thông thường và ngôn ngữ toán học.

Bài 3. Khi sản xuất hộp mì  GV trang bị cho

tôm, các nhà sản xuất luôn để học sinh quy trình

Nội dung Hoạt động của Học sinh

Hoạt động của Giáo viên để giải bài toán thực một khoảng trống ở dưới đáy

tiễn theo các bước hộp để nước chảy xuống dưới

cơ bản sau:

Bước 1: Đọc, hiểu

nội dung bài toán Chú ý theo dõi

thực tiễn đã cho.

Bước 2: Toán học và ngấm vào vắt mì, giúp mỳ

hóa bài toán thực chín. Hình vẽ dưới mô tả cấu

tiễn đã cho. trúc của một hộp mì tôm

Bước 3: Dùng kiến (hình vẽ chỉ mang tính chất

thức toán đã được minh họa). Vắt mì tôm có

học, giải bài toán đã hình một khối trụ, hộp mì tôm

được Toán học hóa. có dạng hình nón cụt được cắt

Bước 4: Quay lại ra bởi hình nón có chiều cao

tình huống ban đầu và bán kính đáy .

trả lời. Nhà sản xuất đang tìm cách

* Giáo viên hướng để sao cho vắt mì tôm có thể

dẫn học sinh thực Tìm thể tích lớn nhất tích lớn nhất trong hộp với

hiện theo các bước: của vắt mỳ tôm hình trụ. mục đích thu hút khách hàng.

Tìm thể tích lớn nhất đó?  Sau khi đọc bài

“Một hình nón có bán toán, hãy cho biết

kính đáy bằng và yêu cầu của bài toán

chiều cao bằng . là gì?

Tính thể tích lớn nhất  Qua hình vẽ ta thấy

của khối trụ nội tiếp vắt mỳ tôm nội tiếp

trong hình nón”. trong hình nón. Hãy

Nội dung Hoạt động của Học sinh

Hoạt động của Giáo viên phát biểu bài toán

trên dưới dạng bài

toán Toán học đơn Đáp án mong muốn:

thuần đã gặp? Ta có thể tích vắt mì tôm

được tính bằng công

 Chia lớp thành 3 thức .

nhóm (theo năng Ta sẽ đưa thể tích về

lực của học sinh) hàm số một biến theo

yêu cầu giải bài hoặc . Trước tiên ta cần

toán Toán học vừa đi tìm mối liên hệ giữa

phát biểu và . Nhìn vào hình ta

Nhóm 1: Học sinh thấy các mối quan hệ

trung bình vuông góc và song song,

Nhóm 2: Học sinh dùng định lí Thales ta

khá có:

Nhóm 3: Học sinh

giỏi

Khi đó:

𝑓′(𝑟) = −

𝜋𝑟2 = 18𝜋𝑟

9 2

( )

𝑓′(𝑟) = 0 ⇔ [ 𝑟 = 0 𝑟 = 4

Nội dung Hoạt động của Giáo viên

Hoạt động của Học sinh Lập bảng biến thiên ta

thấy rằng với thì

đạt giá trị lớn nhất

bằng .

 Giáo viên nhận xét, Chú ý theo dõi

chuẩn hóa lại kiến

thức

Hoạt động 3: Củng cố vận dụng

- Mục đích: Giúp HS luyện tập và củng cố lại các kiến thức vừa học về

đạo hàm, ứng dụng của đạo hàm; HS thấy được ý nghĩa của công cụ đạo hàm

trong môn toán và các vấn đề liên môn.

- Phương pháp/kĩ thuật: Vấn đáp, gợi mở và giải quyết vấn đề.

- Hình thức tổ chức thực hiện: Tổ chức hoạt động tập thể.

- Phương tiện dạy học: Kế hoạch dạy học, máy chiếu, bảng phụ và một

số đồ dùng khác.

- Sản phẩm thu được: HS giải được bài toán bằng công cụ đạo hàm; giúp

HS lấy được các ví dụ theo nội dung bài đã học có tính thực tiễn.

- Xem lại kiến thức về đạo hàm, ứng dụng của đạo hàm.

- Xem lại cách giải bài toán chứa nội dung thực tiễn.

Nội dung Hoạt động của Giáo viên Hoạt động của Học sinh

- Từ các bài toán Toán học thuần túy về đạo hàm hãy thiết kế các bài

toán ứng dụng trong thực tiễn.

Bài tập về nhà:

Câu 1: Một máy tính được lập trình để vẽ một chuỗi các hình chữ nhật ở

góc phần tư thứ nhất của hai trục tọa độ 2

chiều nội tiếp dưới đường cong 𝑦 = 𝑒−𝑥. Hỏi

diện tích lớn nhất của hình chữ nhật lớn nhất

có thể nội tiếp được đường cong trên ?

Câu 2. Trong nội dung thi điền kinh và

bơi lội phối hợp được diễn ra tại một hồ bơi

có chiều rộng 50m và chiều dài 200m. Một

vận động viên cần chạy phối hợp với bơi (bắt buộc cả hai) khi phải thực hiện

lộ trình xuất phát từ A đến B như hình vẽ. Hỏi rằng sau khi chạy được bao xa

(quãng đường x) thì vận động viên nên nhảy xuống để tiếp tục bơi về đích

nhanh nhất ? Biết rằng vận tốc của vận động viên khi chạy trên bờ và khi bơi

lần lượt là 4,5 m/s và 1,5 m/s.

4. Hướng dẫn tự học

- Học những nội dung cơ bản của bài

- Bài tập 1, 2, 3 (SGK).

- Chuẩn bị kiến thức cho bài mới.

IV. RÚT KINH NGHIỆM

...............................................................................................................................

...............................................................................................................................

...............................................................................................................................

...............................................................................................................................

...............................................................................................................................

...............................................................................................................................