Đề giao lưu học sinh giỏi cấp cụm môn Toán lớp 7 năm 2023-2024 có đáp án (Lần 7) - Phòng GD&ĐT huyện Nông Cống

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

16
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

“Đề giao lưu học sinh giỏi cấp cụm môn Toán lớp 7 năm 2023-2024 có đáp án (Lần 7) - Phòng GD&ĐT huyện Nông Cống” giúp các bạn học sinh có thêm tài liệu ôn tập, luyện tập giải đề nhằm nắm vững được những kiến thức, kĩ năng cơ bản, đồng thời vận dụng kiến thức để giải các bài tập một cách thuận lợi. Chúc các bạn thi tốt!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề giao lưu học sinh giỏi cấp cụm môn Toán lớp 7 năm 2023-2024 có đáp án (Lần 7) - Phòng GD&ĐT huyện Nông Cống

PHÒNG GD & ĐT HUYỆN NÔNG CỐNG GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CỤM LẦN 7 Năm học 2023 - 2024 Môn: Toán 7 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề có 01 trang, gồm 05 câu) Câu 1.(4.0 điểm). 1. Tính giá trị của các biểu thức sau (tính hợp lý nếu có thể) −1 1 a) = A 25 + (22.3) 2 .( ) + 20240 + − 4 4 1.2.3 + 2.4.6 + 4.8.12 + 7.14.21 b) B = 1.3.5 + 2.6.10 + 4.12.20 + 7.21.35 2a 5b 6c 7 d 2a 5b 6c 7 d c) C = + + + , biết = = = và a, b, c, d ≠ 0 5b 6c 7 d 2a 5b 6c 7 d 2a Câu 2. (4.0 điểm) 8 a) Tìm x, biết 2 x + 3 + 2 x − 1 = 5 ( x + 1) + 2 2 b) Bốn bao gạo có tổng cộng 375kg. Lần thứ nhất người ta lấy đi 1kg ở bao thứ nhất; 1 2kg ở bao thứ hai; 3kg ở bao thứ ba; 4kg ở bao thứ tư. Lần thứ hai người ta lấy đi tiếp 5 1 1 số kg gạo còn lại của bao thứ nhất; số kg gạo còn lại của bao thứ hai; số kg gạo còn 4 3 1 lại của bao thứ ba; số kg gạo còn lại của bao thứ tư thì số kg gạo còn lại sau lần lấy 2 thứ hai của bốn bao bằng nhau. Tìm số kg gạo mỗi bao lúc đầu. Câu 3.(4.0 điểm) a) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x ; y) thoả mãn: x + y − 2 xy =4 b) Tìm số nguyên tố ab ( a > b > 0 ) , biết ab − ba là số chính phương. Câu 4.(6.0 điểm)Cho ∆ABC có ba góc nhọn, AB < AC , trung tuyến AM . Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C , vẽ đoạn thẳng AE vuông góc với AB và AE = AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AC chứa điểm B, vẽ đoạn thẳng AD vuông góc với AC và AD = AC. 1. Chứng minh: BD=CE 2. Trên tia đối của tia MA lấy N sao cho MN = MA. Chứng minh:  1800 − BAC. và ∆ADE = . ACN =  ∆CAN 3. Gọi giao điểm của DE với AB, AC lần lượt là Q, P. Chứng minh: AP < AQ Câu 5.(2 điểm) Cho P = 1 + 1 + 1 + 1 + ... + 1 và Q = 1 + 1 + 1 + 1 + ... + 1 2 3 4 4034 3 5 7 4033 P 2017 Chứng tỏ rằng:
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2023 - 2024 MÔN: TOÁN - LỚP 7 Câu ĐÁP ÁN Điểm 1(4 a) = A −1 25 + (22.3) 2 .( ) + 20240 + − 1 điểm) 4 4  −1  1 0,5 = 5 + 24.32.  2  + 1 + 2  4 1 = 5 − 36 + 1 + 4 −119 0,5 = 4 1.2.3 + 2.4.6 + 4.8.12 + 7.14.21 b) B = 1.3.5 + 2.6.10 + 4.12.20 + 7.21.35 1.2.3(1 + 2.2.2 + 4.4.4 + 7.7.7) 0,5 = 1.3.5.(1 + 2.2.2 + 4.4.4 + 7.7.7) 1.2.3 = 1.3.5 2 0,5 = 5 2a 5b 6c 7 d 2a 5b 6c 7 d c) C = + + + , biết = = = và a, b, c, d ≠ 0 5b 6c 7 d 2a 5b 6c 7 d 2a 1,0 2a 5b 6c 7 d 2a 5b 6c 7 d Đặt = = = = k ⇒ . . . = C =4 k 4 ⇒ k =1 ⇒ ± ± 5b 6c 7 d 2a 5b 6c 7 d 2a 2.(4 a) Tìm x, biết 2 x + 3 + 2 x − 1 = 8 điểm) 5 ( x + 1) + 2 2 Ta có 2 x + 3 + 2 x − 1 = 2 x + 3 + 1 − 2 x ≥ 2 x + 3 + 1 − 2 x = 4 = 4 với mọi x −3 1 Dấu ‘=’ xảy ra khi (2 x + 3)(1 − 2 x) ≥ 0 ⇒ ≤x≤ 0,5 2 2 8 8 Lại có 5( x + 1)2 + 2 ≥ 2 ⇒ 2 ≤ = với mọi x 4 0,5 5( x + 1) + 2 2 Dấu ‘=’ xảy ra khi x = -1  −3 1 8  ≤x≤ 0,5 Do đó 2 x + 3 + 2 x − 1 = ⇒ 2 2 ⇒ x =1 − 5 ( x + 1) + 2  x = −1 2  0,5 Vậy x = -1 b) Bốn bao gạo có tổng cộng 375kg. Lần thứ nhất người ta lấy đi 1kg ở bao thứ nhất; 2kg ở bao thứ hai; 3kg ở bao thứ ba; 4kg ở bao thứ tư. Lần 1 1 thứ hai người ta lấy đi tiếp số kg gạo còn lại của bao thứ nhất; số kg 5 4 1 1 gạo còn lại của bao thứ hai; số kg gạo còn lại của bao thứ ba; số kg 3 2 gạo còn lại của bao thứ tư thì số kg gạo còn lại sau lần lấy thứ hai của bốn
bao bằng nhau. Tìm số kg gạo mỗi bao lúc đầu. Gọi số kg gạo 4 bao lúc đầu lần lượt là: x +1; y +2; z + 3; t + 4 (kg) Với x, y, z, t > 0 0,25 Sau khi lấy đi lần thứ nhất thì số kg gạo mỗi bao còn lại lần lượt là x, y, z, t (kg) và tổng số kg gạo còn lại của 4 bao là 375 – (1+2+3+4) = 365 (kg) nên x + y + z + t = 365 0,25 Sau khi lấy đi lần thứ hai thì số kg gạo mỗi bao còn lại lần lượt là: 4 3 2 1 x; y; z; t 0,25 5 4 3 2 4x 3y 2z t x y z t Ta có = = = ⇒ = = = 5 4 3 2 15 16 18 24 0,25 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có x y z t x+ y+ z +t 365 0,25 = = = = = = 5 15 16 18 24 15 + 16 + 18 + 24 73 Suy ra x = 5.15 = 75; y = 5.16 = 80; z = 5.18 = 90; t = 5.24 = 120 0,25 Vậy số kg gạo mỗi bao lúc đầu lần lượt là: 76; 82; 93; 124 (kg) 0,5 3 a) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x ; y) thoả mãn: x + y − 2 xy = 4 (4 0,5 Ta có: x + y − 2 xy =4 suy ra x − 2 xy + y − 4 =0 điểm) ⇔ 2 x − 4 xy + 2 y − 8 = ⇔ 2 x − 4 xy + 2 y − 1 = 0 7 ⇔ 2 x (1 − 2 y ) − (1 − 2 y ) =⇔ ( 2 x − 1)(1 − 2 y ) = 7 7 0.5 Lập bảng 2x − 1 1 7 -1 -7 1 − 2y 7 1 -7 -1 0.5 x 1 4 0 -3 y -3 0 4 1 Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Vậy (x; y) cần tìm là (1; -3) ; (4; 0) ; (0; 4) ; (-3; 1) 0.5 b) Tìm số nguyên tố ab ( a > b > 0 ) , biết ab − ba là số chính phương. Ta có: ab − ba 10a + b − 10b − a = ⇒ ab − ba = 9(a − b) ⇒ ab − ba = 32 (a − b) 0,25 ab − ba là số chính phương khi (a - b) là số chính phương Do a, b là các chữ số và 0 < a, b ≤ 9, a > b > 0 nên 0 ≤ a − b ≤ 8 0,25 Suy ra (a - b) là SCP khi a - b = 1 hoặc a – b = 4 + Nếu a – b = 1 ⇒ ab ∈ {21,32, 43,54, 65, 76,87,98} 0,5 Mà ab là số nguyên tố nên ab = 43 thỏa mãn. 0,5 + Nếu a – b = 4 ⇒ ab ∈ {51, 62, 73,84,95} mà ab là số nguyên tố ab = 73 Vậy ab = 43 và ab = 73 0,5
Bài 4 Cho ∆ABC có ba góc nhọn, AB < AC , trung tuyến AM . Trên nửa mặt (6 phẳng bờ AB chứa điểm C , vẽ đoạn thẳng AE vuông góc với AB và điểm) AE = AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AC chứa điểm B, vẽ đoạn thẳng AD vuông góc với AC và AD = AC. 1. Chứng minh: BD=CE 2. Trên tia đối của tia MA lấy N sao cho MN = MA.  0  Chứng minh: ACN 180 − BAC. và ∆ADE = . = ∆CAN 3. Gọi giao điểm của DE với AB, AC lần lượt là Q, P. Chứng minh: AP < AQ P 1. Xét∆ABD và ∆AEC có: AD = AC ( gt ) và AE =   = AB( gt ); BAD CAE ( cùng phụ với BAC )  2,0 ⇒ ∆ABD = ∆AEC (c.g .c) ⇒ BD = CE ( 2 cạnh tương ứng) 2)Xét ∆ABM và ∆NCM có: 2,0 = MN ( gt ); BM CM ( gt );  NMC ( đ đ) AM = =  AMB ⇒ ∆ABM = ∆NCM (c.g .c) ⇒  = NCM (hai góc tương ứng) ABM  Do đó:  =  + BCN =  +  = 1800 − BAC (dfcm) ACN ACB  ACB ABC       +Ta có: DAE = DAC + BAE − BAC =1800 − BAC ⇒ DAE =   ACN Xét ∆ADE và ∆ACN có: CN = AE (cùng bằng AB), = AD( gt ); DAE  (cmt ) AC = ACN  ⇒ ∆ADE = ∆CAN (cgc) 3)Theo tính chất góc ngoài, ta có:  =+ QDA;  =+ PEA AQP QAD  APQ PAE    2,0 Mà AB < AC nên AE < AD ⇒  <  ADE AED   Theo chứng minh trên ta có: QAD = PAE     Từ đó suy ra QAD + QDA < PAE + PEA Hay  <  ⇒ AP < AQ AQP APQ
Bài 5 Cho P = 1 + 1 + 1 + 1 + ... + 1 và Q = 1 + 1 + 1 + 1 + ... + 1 (2 2 3 4 4034 3 5 7 4033 điểm) P 2017 Chứng tỏ rằng: < 1 Q 2018 1 1 1 1 Đặt K = P – Q = + + + ... + 2 4 6 4034 1 1 1 1 1 1 1 1 0.5 Ta có : Q = 1 + + + + ... + > 1 + + + ... + = + K (1) 3 5 7 4033 4 6 4034 2 2017 1 1 1 1 1 1 1 1 Lại có: = + + + ... +  + + + ... + =K 2 2 2 2 2 2 4 6 4034 1 K 0.5 ⇒  (2) 2 2017 K 2018 0.5 Từ (1) và (2) suy ra Q > +K = K 2017 2017 K 2017 K + Q 2017 + 2018 P 2017 Do đó  ⇒  ⇔ 1 0.5 Q 2018 Q 2018 Q 2018