Đề kiểm tra - Ôn tập chương Toán 12 - Chương: Khối tròn xoay - Khối cầu (Đề số 6)

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:19

Thêm vào BST

Báo xấu

4
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề kiểm tra - Ôn tập chương Toán 12 - Chương: Khối tròn xoay - Khối cầu (Đề số 6) là tài liệu luyện thi dành cho học sinh lớp 12, tập trung vào chuyên đề khối cầu. Nội dung đề gồm nhiều bài tập trắc nghiệm từ cơ bản đến vận dụng cao, có kèm đáp án và hướng dẫn giải theo từng bước cụ thể. Đây là công cụ hữu ích giúp học sinh ôn tập toàn diện phần hình học không gian. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu để học tập bền vững hơn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề kiểm tra - Ôn tập chương Toán 12 - Chương: Khối tròn xoay - Khối cầu (Đề số 6)

ĐỀ SỐ 6 Câu 1. Đường tròn lớn nhất của một mặt cầu có chu vi bằng 4 . Thể tích của khối cầu là 4 8 16 32 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Câu 2. Cho mặt cầu có bán kính bằng a 3 . Tính diện tích S của mặt cầu đó. A. S = 12 a2 . B. S = 6 a2 . C. S = 4 a2 . D. S = 3 a2 . Câu 3. Cho mặt cầu có bán kính bằng 3 5a . Tính thể tích V của khối cầu đó? 40 5 3 32 5 3 80 5 3 A. V = a . B. V = 180 5 a 3 . C. V = a . D. V = a . 3 3 3 Câu 4. Cho mặt cầu có diện tích bằng 3 a 2 . Tính thể tích V của khối cầu đó 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 A. V = a . B. V = a . C. V = a . D. V = a . 8 2 8 2 Câu 5. Cho mặt cầu có thể tích bằng 32 3 a3 . Tính diện tích S của mặt cầu đó? A. S = 12 a2 . B. S = 48 a2 . C. S = 16 a2 . D. S = 24 a2 . Câu 6. Nếu tăng diện tích hình tròn lớn của một khối cầu lên 4 lần thì thể tích của khối cầu đó tăng lên bao nhiêu lần? A. 6. B. 8. C. 16. D. 4. Câu 7. Cho mặt cầu có tâm O và thể tích bằng 4 a . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng 3 A. Đường kính của mặt cầu bằng 2 3a . 43 9 B. Diện tích của mặt cầu bằng  a2 . 3 C. Nếu điểm A thuộc mặt cầu thì khoảng cách từ điểm O đến điểm A bằng 2a . D. Nếu 2 điểm B, C thuộc mặt cầu và BC = 2 3 3a thì đoạn BC là đường kính của mặt cầu. Câu 8. Mặt cầu ( S ) có diện tích 64 thì có bán kính là A. 4 . B. 5 . C. 6 . D. 7 . Câu 9. Cho mặt cầu tâm I có diện tích là 8 a 2 . Khẳng định nào sau đây là SAI? A. Đường kính mặt cầu bằng 2a 2 . 8 a3 2 B. Thể tích mặt cầu là . 3 C. Nếu IA a 2 thì điểm A nằm trong mặt cầu. D. Nếu IB a 3 thì điểm B nằm ngoài mặt cầu. Câu 10. Trên mặt cầu tâm I có diện tích là 16 a 2 cho dây cung AB có độ dài là 2a . Tính khoảng cách d từ điểm I đến đường thẳng AB . a 3 a 3 A. d a 3. B. d 2a 3 . C. d. D. d . 2 3 Câu 11. Trên mặt cầu S (O; r ) cho dây cung MN = 3a , biết khoảng cách từ điểm O đến MN bằng a 3 . Tính thể tích V của khối cầu S (O; r ) . 2 A. V = 4 3 a3 . B. V = 3 a 3 . C. V = 6 a 3 . D. V = 4 6 a 3 .
Câu 12. Cho mặt phẳng ( P) tiếp xúc mặt cầu S (O; r ) , biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng ( P) bằng a 2 . Tính diện tích mặt cầu S (O; r ) A. S = 2 a2 . B. S = 4 a2 . C. S = 8 a2 . D. S = 16 a2 . Câu 13. Cho mặt phẳng ( P ) cắt mặt cầu S ( O; r ) theo thiết diện là một đường tròn bán kính r ' = a biết khoảng cách từ điểm O đến ( P ) bằng a 2 . Tính thể tích V của khối cầu S ( O; r ) 9 3 3 A. V = 3 a 3 . B. 12 3 a 3 . C. V = 4 3 a3 . a . D. V = 4 Câu 14. Cho mặt phẳng  cắt mặt cầu S ( O; r ) theo thiết diện là đường tròn (T ) có chu vi bằng 4 a , 4 3 biết rằng hình nón đỉnh O , đáy là đường tròn (T ) có thể tích  a . Tính diện tích S của mặt 3 cầu S ( O; r ) A. S = 20 a2 . B. S = 8 a2 . C. S = 12 a2 . D. S = 10 a2 . Câu 15. Cho mặt cầu ( S ) có tâm I bán kính bằng 5 và mặt phẳng ( P ) cắt ( S ) theo một đường tròn ( C ) có bán kính r = 3 . Kết luận nào sau đây là sai? A. Tâm của ( C ) là hình chiếu vuông góc của I trên ( P ) . B. Khoảng cách từ I đến ( P ) bằng 4. C. ( C ) là đường tròn lớn nhất chứa trong mặt cầu. D. ( C ) là giáo tuyến của ( S ) và ( P ) . Câu 16. Cho mặt cầu ( S ) có bán kính bằng 6a , một mặt phẳng ( P ) cách tâm mặt cầu ( S ) một khoảng bằng 4a . Hỏi khẳng định nào sau đây là đúng? A. Mặt phẳng ( P ) không cắt mặt cầu ( S ) . B. Mặt phẳng ( P ) cắt mặt cầu ( S ) tại một điểm. C. Mặt phẳng ( P ) cắt mặt cầu ( S ) tạo thành giao tuyến là một đường tròn có bán kính là 2a 5 . D. Mặt phẳng ( P ) cắt mặt cầu ( S ) tạo thành giao tuyến là một đường tròn có bán kính là 2a 13 . Câu 17. Cho mặt cầu ( S ) có bán kính R . Đường thẳng d cắt mặt cầu ( S ) tại 2 điểm A, B có độ dài AB = 2a . Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng d bằng: a2 A. R2 − a2 . B. R2 − 4a2 . C. R2 − . D. R2 + a2 . 4 Câu 18. Cho mặt phẳng ( P ) cắt mặt cầu ( S ) tâm O , bán kính 4a theo đường tròn ( C ) có bán kính bằng 2a . Khi đó khoảng cách từ O đến ( P ) bằng: A. 2a 3 . B. 2a 2 . C. 3a 2 . D. 4a 2 . Câu 19. Cho ba điểm A, B, C nằm trên một mặt cầu, biết góc ACB = 90 . Khẳng định nào sau đây 0 đúng? A. AB là một đường kính của mặt cầu.
B. Luôn có một đường tròn nằm trên mặt cầu ngoại tiếp tam giác ABC . C. Tam giác ABC vuông cân tại C . D. Mặt phẳng ( ABC ) cắt mặt cầu theo giao tuyến là một đường tròn lớn. Câu 20. Cho 3 điểm phân biệt A, B, C không thẳng hàng. Tìm tập hợp các tâm O của mặt cầu đi qua hai điểm A, B . A. Đường trung trực cạnh AB . B. Mặt phẳng trung trực cạnh AB . C. Đường tròn đường kính AB . D. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Câu 21. Trong các phát biểu sau đây, phát biểu nào sai? A. Bất kì một hình tứ diện nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp. B. Bất kì một hình chóp đều nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp. C. Bất kì một hình hộp nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp. D. Bất kì một hình hộp chữ nhật nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp. Câu 22. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình chữ nhật, SA ⊥ ( ABCD ) . Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. ABCD là: A. Trung điểm cạnh SD . B. Trung điểm cạnh SC . C. Giao điểm của hai đường chéo AC và BD . D. Trọng tâm tam giác SAC . Câu 23. Cho hình chóp đều S . ABC có đường cao SO . Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABC . Khẳng định nào sau đây đúng: A. I  O . B. I là trung điểm SO . C. I là trung điểm SA . D. I là giao điểm của SO và trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB . Câu 24. Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B, AB = a . Biết SA = 2a và SA ⊥ ( ABC ) . Xác định tâm I và tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABC . a 2 A. I là trung điểm của AC và R = a 2 . B. I là trung điểm của AC và R = . 2 a 6 C. I là trung điểm của SC và R = . D. I là trung điểm của SC và R = a 6 . 2 Câu 25. Cho hình chóp S. ABCD có SD vuông góc với mặt đáy, đáy là hình chữ nhật, AB = a 3, BC = a . Góc giữa SB và mặt đáy bẳng 45 . Tính diện tích xung quanh mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. 8 A.  a 2 . B. 8 a 2 . C. 16 a2 . D. 32 a2 . 3 Câu 26. Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông tại A, SA ⊥ mp ( ABC ) và SA = a , AB = b , AC = c . Mặt cầu đi qua các đỉnh S , A, B, C có bán kính r bằng: 2(a + b + c) 1 2 2 2 A. . B. 2 a 2 + b2 + c2 . C. a +b +c . D. a2 + b2 + c2 . 3 2 Câu 27. Mặt cầu (S ) ngoại tiếp hình chóp tứ giác đều có cạnh bên và cạnh đáy bằng a . Hỏi đường kính mặt cầu (S )
a 2 A. a B. 2a C. a 2 D. 2 Câu 28. Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B , AB = a , biết SA = 2a và SA ⊥ ( ABC) , Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A trên các cạnh SB và SC . Xác định tâm I và tính bán kính R của mặt cầu qua các điểm A, B, C, H , K a 2 A. I là trung điểm AC , R = a 2 B. I là trung điểm AC , R = 2 a C. I là trung điểm AB, R = a D. I là trung điểm AB, R = 2 Câu 29. Cho hình chóp S. ABCD . Đáy là hình vuông cạnh a tâm O , SAB là tam giác đều có trọng tâm G và nằm trên mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) . Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. 21 3 3 a A. R = a. B. R = a. C. R = a. D. . 6 6 3 2 Câu 30. Mặt cầu ( S ) ngoại tiếp hình lập phương cạnh a thì có bán kính là: a a 3 A. . B. . C. a 2 . D. 2a . 2 2 Câu 31. Cho hình hộp chữ nhật có ba kích thước a = 5, b = 4, c = 3 . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp 5 2 A. 2 2 . B. . C. 5 2 . D. 4 2 . 2 Câu 32. Cho hình lập phương có cạnh bằng a . Gọi R1 và R2 lần lượt là bán kính mặt cầu nội tiếp và R1 ngoại tiếp hình lập phương. Tính tỉ số . R2 3 3 3 A. . B. . C. 3. D. . 3 4 2 Câu 33. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A' BC ' tất cả các cạnh đều là a. Diện tích mặt cầu ngoại ' tiếp lăng trụ tính theo a là 5 a 3 7 a 3 8 a 3 2 a 3 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Câu 34. Cho mặt cầu bán kính R ngoại tiếp một hình lập phương cạnh a. Mệnh đề nào dưới đây đúng. 3 2 3 A. a = 2 3R. B. a =R. C. a = 2 R. D. a = R. 3 3 Câu 35. Cho mặt cầu ( S ) có bán kính bằng 4 , hình trụ ( H ) có chiều cao bằng 4 và hai đường tròn đáy nằm trên ( S ) . Gọi V1 là thể tích của khối trụ ( H ) và V2 là thể tích của khối cầu ( S ) . Tính V1 tỷ số . V2 V1 9 V1 1 V1 3 V1 2 A. = . B. = . C. = . D. = . V2 16 V2 3 V2 16 V2 3 Câu 36. Trong tất cả các hình chóp tứ giác đều nội tiếp mặt cầu có bán kính bằng 9 , tính thể tích V của khối chóp có thể tích lớn nhất.
A. V = 576 . B. V = 144 6 . C. V = 576 2 . D. V = 144 .
BẢNG ĐÁP ÁN 1.D 2.A 3.B 4.D 5.B 6.B 7.D 8.A 9.C 10.A 11.A 12.C 13.C 14.A 15.C 16.C 17.A 18.A 19.B 20.B 21.C 22.B 23.D 24.C 25.B 26.C 27.C 28.B 29.A 30.B 31.B 32.A 33.B 34.D 35.A 36.A LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1. Đường tròn lớn nhất của một mặt cầu có chu vi bằng 4 . Thể tích của khối cầu là 4 8 16 32 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Lời giải Chọn D Chu vi của đường tròn lớn C = 2 R = 4  R = 2 . 4 32 Vậy thể tích khối cầu là V =  R3 = . 3 3 Câu 2. Cho mặt cầu có bán kính bằng a 3 . Tính diện tích S của mặt cầu đó. A. S = 12 a2 . B. S = 6 a2 . C. S = 4 a2 . D. S = 3 a2 . Lời giải Chọn A ( ) 2 Diện tích S của mặt cầu là S = 4 R2 = 4 a 3 = 12 a 2 . Câu 3. Cho mặt cầu có bán kính bằng 3 5a . Tính thể tích V của khối cầu đó? 40 5 3 32 5 3 80 5 3 A. V = a . B. V = 180 5 a 3 . C. V = a . D. V = a . 3 3 3 Lời giải Chọn B 4 4 ( ) 3 Thể tích của khối cầu là V =  R3 =  . 3 5a = 180 5 a3 . 3 3 Câu 4. Cho mặt cầu có diện tích bằng 3 a . Tính thể tích V của khối cầu đó 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 A. V = a . B. V = a . C. V = a . D. V = a . 8 2 8 2 Lời giải Chọn D a 3 Ta có Smc = 3 a 2 = 4 R 2  R = . 2 3 4 4 a 3 3 3 Vậy thể tích khối cầu là V =  R3 =    2  = 2 a .  3 3   Câu 5. Cho mặt cầu có thể tích bằng 32 3 a3 . Tính diện tích S của mặt cầu đó? A. S = 12 a2 . B. S = 48 a2 . C. S = 16 a2 . D. S = 24 a2 . Lời giải Chọn B 4 3V 3 Do thể tích của khối cầu V =  r 3 = 32 3 a 3  r = 3 = 24 3.a  S = 4 r 2 = 48 a 2 . 3 4
Câu 6. Nếu tăng diện tích hình tròn lớn của một khối cầu lên 4 lần thì thể tích của khối cầu đó tăng lên bao nhiêu lần? A. 6. B. 8. C. 16. D. 4. Lời giải Chọn B Bán kính hình tròn lớn bằng bán kính của khối cầu. Giả sử khối cầu ban đầu có bán kính R  Diện tích của hình cầu là S = 4 R2 và thể tích khối 4 cầu ban đầu là V =  R 3 . 3 Khi tăng diện tích hình tròn lớn lên 4 lần, với bán kính hình cầu mới là R , ta có 4S = 4 R2  4.4 R2 = 4 R2  R = 2R. 4 4 4 Vậy, thể tích khối cầu mới là: V  =  R3 =  ( 2 R ) = 8.  R3 = 8V . 3 3 3 3 Câu 7. Cho mặt cầu có tâm O và thể tích bằng 4 a . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng 3 A. Đường kính của mặt cầu bằng 2 3a . 43 9 B. Diện tích của mặt cầu bằng  a2 . 3 C. Nếu điểm A thuộc mặt cầu thì khoảng cách từ điểm O đến điểm A bằng 2a . D. Nếu 2 điểm B, C thuộc mặt cầu và BC = 2 3 3a thì đoạn BC là đường kính của mặt cầu. Lời giải Chọn D 4 Thể tích khối cầu V =  R3 = 4 a3  R = a 3 3 . Khi đó: 3 Đường kính mặt cầu d = 2a 3 3 . Diện tích mặt cầu S = 4 R 2 = 4 a 2 3 9 . O thuộc mặt cầu thì OA = R = a 3 3 . Câu 8. Mặt cầu ( S ) có diện tích 64 thì có bán kính là A. 4 . B. 5 . C. 6 . D. 7 . Lời giải Chọn A Diện tích mặt cầu S = 4 R2 = 64  R = 4 . Câu 9. Cho mặt cầu tâm I có diện tích là 8 a 2 . Khẳng định nào sau đây là SAI? A. Đường kính mặt cầu bằng 2a 2 . 8 a3 2 B. Thể tích mặt cầu là . 3 C. Nếu IA a 2 thì điểm A nằm trong mặt cầu. D. Nếu IB a 3 thì điểm B nằm ngoài mặt cầu. Lời giải Chọn C Áp dụng công thức diện tích mặt cầu, ta có: S S 4 R2 R2 2a 2 R a 2 d 2a 2 4
4 8 a3 2 Áp dụng công thức thể tích mặt cầu: V R3 3 3 Nhắc lại, vị trí tương đối của điểm M đối với mặt cầu I , R - Nếu IM R thì M nằm trong mặt cầu. - Nếu IM R thì M nằm trên mặt cầu ( M thuộc mặt cầu). - Nếu IM R thì M nằm ngoài mặt cầu. Vậy chọn C. Câu 10. Trên mặt cầu tâm I có diện tích là 16 a 2 cho dây cung AB có độ dài là 2a . Tính khoảng cách d từ điểm I đến đường thẳng AB . a 3 a 3 A. d a 3. B. d 2a 3 . C. d . D. d . 2 3 Lời giải Chọn A S Áp dụng công thức diện tích mặt cầu: S 4 R2 R2 4a 2 R 2a . 4 Gọi H là trung điểm AB IH AB . Do đó, ta có: d I , AB IH . Ta có: IH 2 IA2 HA2 3a 2 IH a 3 d Câu 11. Trên mặt cầu S (O; r ) cho dây cung MN = 3a , biết khoảng cách từ điểm O đến MN bằng a 3 . Tính thể tích V của khối cầu S (O; r ) . 2 A. V = 4 3 a3 . B. V = 3 a 3 . C. V = 6 a 3 . D. V = 4 6 a 3 . Lời giải Chọn A 2 MN 2  a 3  9a 2 Ta có r = ( d (O; MN ) ) + =   2  + 4 =a 3. 2 4    4 4 ( ) 3 Khi đó V =  r 3 =  a 3 = 4 3 a3 . 3 3 Câu 12. Cho mặt phẳng ( P) tiếp xúc mặt cầu S (O; r ) , biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng ( P) bằng a 2 . Tính diện tích mặt cầu S (O; r ) A. S = 2 a2 . B. S = 4 a2 . C. S = 8 a2 . D. S = 16 a2 . Lời giải Chọn C
Do mặt phẳng ( P) tiếp xúc với mặt cầu S (O; r ) nên r = d ( O;( P) ) = a 2 . ( ) 2 Khi đó S = 4 r 2 = 4 a 2 = 8 a 2 . Câu 13. Cho mặt phẳng ( P ) cắt mặt cầu S ( O; r ) theo thiết diện là một đường tròn bán kính r ' = a biết khoảng cách từ điểm O đến ( P ) bằng a 2 . Tính thể tích V của khối cầu S ( O; r ) 9 3 3 A. V = 3 a 3 . B. 12 3 a 3 . C. V = 4 3 a3 . D. V = a . 4 Lời giải Chọn C Ta có: r = d 2 ( O; ( P ) ) + ( r ') = 3a 2 4 4 ( ) 3 Vậy V =  r 3 =  3a = 4 3 a3 . 3 3 Câu 14. Cho mặt phẳng  cắt mặt cầu S ( O; r ) theo thiết diện là đường tròn (T ) có chu vi bằng 4 a , 4 3 biết rằng hình nón đỉnh O , đáy là đường tròn (T ) có thể tích  a . Tính diện tích S của mặt 3 cầu S ( O; r ) A. S = 20 a2 . B. S = 8 a2 . C. S = 12 a2 . D. S = 10 a2 . Lời giải Chọn A Gọi r ' là bán kính đường tròn (T ) ta có P = 2 r ' = 4 a  r ' = 2a Do đó S(T ) =  r '2 =  4a 2 = 4 a 2 4 3.  a3 3V Từ thể tích hình nón ta có chiều cao h = = 3 2 =a S( T ) 4 a Suy ra r = h2 + r '2 = 5a Vậy S = 4 r 2 = 20 a2 . Câu 15. Cho mặt cầu ( S ) có tâm I bán kính bằng 5 và mặt phẳng ( P ) cắt ( S ) theo một đường tròn ( C ) có bán kính r = 3 . Kết luận nào sau đây là sai? A. Tâm của ( C ) là hình chiếu vuông góc của I trên ( P ) . B. Khoảng cách từ I đến ( P ) bằng 4.
C. ( C ) là đường tròn lớn nhất chứa trong mặt cầu. D. C là giáo tuyến của ( S ) và ( P ) . ( ) Lời giải Chọn C Đường tròn lớn nhất chứa trong mặt cầu là đường tròn có tâm I bán kính bằng 5 . Câu 16. Cho mặt cầu ( S ) có bán kính bằng 6a , một mặt phẳng ( P ) cách tâm mặt cầu ( S ) một khoảng bằng 4a . Hỏi khẳng định nào sau đây là đúng? A. Mặt phẳng ( P ) không cắt mặt cầu ( S ) . B. Mặt phẳng ( P ) cắt mặt cầu ( S ) tại một điểm. C. Mặt phẳng ( P ) cắt mặt cầu ( S ) tạo thành giao tuyến là một đường tròn có bán kính là 2a 5 . D. Mặt phẳng ( P ) cắt mặt cầu ( S ) tạo thành giao tuyến là một đường tròn có bán kính là 2a 13 . Lời giải Chọn C Gọi I là tâm mặt cầu và bán kính mặt cầu là R = 6a . Ta có d ( I , ( P ) ) = 4a  R nên mặt phẳng ( P ) cắt mặt cầu ( S ) theo giao tuyến là một đường tròn, có bán kính r = R 2 −  d ( I , ( P ) ) 2   = 36a2 − 16a2 = 2a 5 . Câu 17. Cho mặt cầu ( S ) có bán kính R . Đường thẳng d cắt mặt cầu ( S ) tại 2 điểm A, B có độ dài AB = 2a . Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng d bằng: a2 A. R2 − a2 . B. R2 − 4a2 . C. R2 − . D. R2 + a2 . 4 Lời giải Chọn A Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng d bằng: d = R2 − a 2 . Câu 18. Cho mặt phẳng ( P ) cắt mặt cầu ( S ) tâm O , bán kính 4a theo đường tròn ( C ) có bán kính bằng 2a . Khi đó khoảng cách từ O đến ( P ) bằng: A. 2a 3 . B. 2a 2 . C. 3a 2 . D. 4a 2 . Lời giải Chọn A Khi đó khoảng cách từ O đến ( P ) bằng: d = 16a2 − 4a2 = 2 3a Câu 19. Cho ba điểm A, B, C nằm trên một mặt cầu, biết góc ACB = 90 . Khẳng định nào sau đây 0 đúng? A. AB là một đường kính của mặt cầu. B. Luôn có một đường tròn nằm trên mặt cầu ngoại tiếp tam giác ABC . C. Tam giác ABC vuông cân tại C . D. Mặt phẳng ( ABC ) cắt mặt cầu theo giao tuyến là một đường tròn lớn. Lới giải Chọn B
Đáp án B đúng Đáp án A , D sai khi AB không phài là đường kính. Tam giác ABC có thể bất kì nên đáp án C sai. Câu 20. Cho 3 điểm phân biệt A, B, C không thẳng hàng. Tìm tập hợp các tâm O của mặt cầu đi qua hai điểm A, B . A. Đường trung trực cạnh AB . B. Mặt phẳng trung trực cạnh AB . C. Đường tròn đường kính AB . D. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Lời giải Chọn B Đáp án B đúng. Tâm O của mặt cầu đi qua hai điểm A, B thì cách đểu hai điểm A, B nên thuộc mặt phẳng trung trực cạnh AB . Câu 21. Trong các phát biểu sau đây, phát biểu nào sai? A. Bất kì một hình tứ diện nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp. B. Bất kì một hình chóp đều nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp. C. Bất kì một hình hộp nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp. D. Bất kì một hình hộp chữ nhật nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp. Lời giải Chọn C Bất kì một hình hộp nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp là đáp án sai, ví dụ như hình hộp xiên. Câu 22. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình chữ nhật, SA ⊥ ( ABCD ) . Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. ABCD là: A. Trung điểm cạnh SD . B. Trung điểm cạnh SC . C. Giao điểm của hai đường chéo AC và BD . D. Trọng tâm tam giác SAC . Lời giải Chọn B Gọi I là trung điểm SC .  BC ⊥ SA   BC ⊥ ( SAB )  BC ⊥ SB do đó tam giác SBC vuông tại B suy ra IB = IS = IC  BC ⊥ AB (1) .  DC ⊥ SA   DC ⊥ ( SAD )  DC ⊥ SD do đó tam giác SCD vuông tại D suy ra  DC ⊥ AD ID = IS = IC ( 2) . Tam giác SAC vuông tại A suy ra IA = IS = IC ( 3) .
Từ (1) , ( 2 ) , ( 3) ta có I cách đều năm đỉnh S, A, B, C, D . Vậy trung điểm cạnh SC là tâm mặt cầu. Câu 23. Cho hình chóp đều S . ABC có đường cao SO . Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABC . Khẳng định nào sau đây đúng: A. I  O . B. I là trung điểm SO . C. I là trung điểm SA . D. I là giao điểm của SO và trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB . Lời giải S G I A C O B Chọn D Xét khối chóp đều S . ABC , do SO ⊥ ( ABC ) nên SO là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Gọi G là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB , dựng đường thẳng d đi qua G : d ⊥ ( SAB ) Khi đó d là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB . Do ( SOC ) đi qua G và vuông góc với ( SAB ) nên d  ( SOC ) . Trong ( SOC ) , gọi I = d  SO thì I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABC . Câu 24. Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B, AB = a . Biết SA = 2a và SA ⊥ ( ABC ) . Xác định tâm I và tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABC . a 2 A. I là trung điểm của AC và R = a 2 . B. I là trung điểm của AC và R = . 2 a 6 C. I là trung điểm của SC và R = . D. I là trung điểm của SC và R = a 6 . 2 Lời giải Chọn C
S I C A B Do SA ⊥ ( ABC ) nên tam giác SAC vuông tại A .  BC ⊥ AB Mặt khác:   BC ⊥ SB hay tam giác SBC vuông tại B .  BC ⊥ SA Khi đó 2 đỉnh A, B cùng nhìn cạnh SC dưới 1 góc vuông nên với I là trung điểm của SC thì ta có IS = IA = IB = IC . Do đó mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABC có tâm là trung điểm I SC của SC và bán kính R = . 2 *) Tính R : Tam giác ABC vuông cân tại B, AB = a  AC = 2 AB = a 2 . 2 Tam giác SAC vuông tại A, SA = 2a, AC = a 2  SC = SA + AC = a 6 . 2 2 SC a 6 Suy ra R = = . 2 2 Câu 25. Cho hình chóp S. ABCD có SD vuông góc với mặt đáy, đáy là hình chữ nhật, AB = a 3, BC = a . Góc giữa SB và mặt đáy bẳng 45 . Tính diện tích xung quanh mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. 8 A.  a 2 . B. 8 a 2 . C. 16 a2 . D. 32 a2 . 3 Lời giải Chọn B Gọi AC  BD = O , suy ra O là tâm đáy. Đường thẳng qua O và song song với SD cắt SB tại I  OI ⊥ ( ABCD ) và I là trung điểm SB  IS = IA = IB = IC = ID .  I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. 1 1 1 Ta có: OB = BD = AB 2 + BC 2 = 3a 2 + a 2 = a . 2 2 2
OB a Xét tam giác vuông OIB vuông tại O, có: IB = = =a 2. cos IBO cos 45 Suy ra, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là R = a 2 ( ) 2 Vậy diện tích xung quanh mặt cầu ngoại tiếp hình chóp: S xq = 4 R2 = 4 a 2 = 8 a 2 . Câu 26. Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông tại A, SA ⊥ mp ( ABC ) và SA = a , AB = b , AC = c . Mặt cầu đi qua các đỉnh S , A, B, C có bán kính r bằng: 2(a + b + c) 1 2 2 2 A. . B. 2 a 2 + b2 + c2 . C. a +b +c . D. a 2 + b2 + c 2 . 3 2 Lời giải Chọn C Gọi M là trung điểm của BC, suy ra MA = MB = MC  M là tâm đáy. Gọi H là trung điểm của SA, đường thẳng Mx / / SA cắt đường trung trực của SA tại I  IA = IB = IC = IS  I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Xét hình chữ nhật AMIH có: AB 2 + BC 2 SA2 1 2 IA = AM 2 + IM 2 = + r= a + b2 + c2 . 4 4 2 Câu 27. Mặt cầu (S ) ngoại tiếp hình chóp tứ giác đều có cạnh bên và cạnh đáy bằng a . Hỏi đường kính mặt cầu (S ) a 2 A. a B. 2a C. a 2 D. 2 Lời giải Chọn C S A D O B C
Gọi O = AC  BD , ta có chóp S. ABCD đều cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a nên O là tâm mặt cầu (S ) ngoại tiếp hình chóp và đường kính là AC = a 2 Câu 28. Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B , AB = a , biết SA = 2a và SA ⊥ ( ABC) , Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A trên các cạnh SB và SC . Xác định tâm I và tính bán kính R của mặt cầu qua các điểm A, B, C, H , K a 2 A. I là trung điểm AC , R = a 2 B. I là trung điểm AC , R = 2 a C. I là trung điểm AB, R = a D. I là trung điểm AB, R = 2 Lời giải Chọn B S K H A C B Ta có SA ⊥ ( ABC)  SA ⊥ BC lại có BC ⊥ AB  BC ⊥ (SAB), có AH  (SAB)  BC ⊥ AH và có AH ⊥ SB  AH ⊥ (SBC), HC  (SBC)  AH ⊥ HC (1) AK ⊥ SC hay AK ⊥ KC (2); AB ⊥ BC (3) . Từ (1), (2), (3) suy ra các điểm A, B, C, H , K đều thuộc mặt cầu đường kính AC , mà ABC vuông cân tại B , cạnh a 2 a  AC = a 2  R = . Chọn B 2 Câu 29. Cho hình chóp S. ABCD . Đáy là hình vuông cạnh a tâm O , SAB là tam giác đều có trọng tâm G và nằm trên mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) . Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. 21 3 3 a A. R = a. B. R = a. C. R = a. D. . 6 6 3 2 Lời giải Chọn A
Gọi  là trục đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD, d là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB. Gọi I =   d , điểm I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD, bán kính là SI. 2  a 3   a 2 a 21 SI = SG + GI =  2  3  +  2  = 6 , Chọn 2    A.   Câu 30. Mặt cầu ( S ) ngoại tiếp hình lập phương cạnh a thì có bán kính là: a a 3 A. . B. . C. a 2 . D. 2a . 2 2 Lời giải Chọn B 1 a 3 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh a là: R = a2 + a2 + a2 = , chọn 2 2 B. Câu 31. Cho hình hộp chữ nhật có ba kích thước a = 5, b = 4, c = 3 . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp 5 2 A. 2 2 . B. . C. 5 2 . D. 4 2 . 2 Lời giải Chọn B A' D' O' B' C' I A D O B C Gọi O, O ' lần lượt là tâm hình chữ nhật ABCD, A ' B ' C ' D ' , I là trung điểm OO ' . Khi đó IA = IB = IC = ID = IA ' = IB ' = IC ' = ID ' . Hay I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình hộp. 1 2 2 2 5 2 Bán kính R = a +b +c = . 2 2 Câu 32. Cho hình lập phương có cạnh bằng a . Gọi R1 và R2 lần lượt là bán kính mặt cầu nội tiếp và R1 ngoại tiếp hình lập phương. Tính tỉ số . R2 3 3 3 A. . B. . C. 3. D. . 3 4 2 Lời giải Chọn A
A' D' O' B' C' I J A D O B C Gọi O, O ' lần lượt là tâm hình vuông ABCD, A ' B ' C ' D ' , I là trung điểm OO ' . Khi đó IA = IB = IC = ID = IA ' = IB ' = IC ' = ID ' . Hay I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lập 1 2 a 3 phương. Bán kính R2 = a + a2 + a2 = . 2 2 Gọi J là tâm hình vuông CDD ' C ' , suy ra IJ là bán kính mặt cầu nội tiếp lập phương. a AD a R1 1 R1 = JI = = . Tỉ số = 2 = . 2 2 R2 a 3 3 2 Câu 33. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A' BC ' tất cả các cạnh đều là a. Diện tích mặt cầu ngoại ' tiếp lăng trụ tính theo a là 5 a 3 7 a 3 8 a 3 2 a 3 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Lời giải Chọn B A C O B R I A' C' O' B' Từ hình vẽ trên ta có: bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ ABC.A' BC ' là R = IC. ' a a 3 Tam giác IOC vuông tại O có IO = , OC = . 2 3 3a 2 a 2 a 21 Khi đó R = OC 2 + IO 2 = + = . 9 4 6 2  a 21  7 a 3 Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ ABC.A BC là: S = 4 R = 4  ' '  6  = 3 . '  2   Câu 34. Cho mặt cầu bán kính R ngoại tiếp một hình lập phương cạnh a. Mệnh đề nào dưới đây đúng.
3 2 3 A. a = 2 3R. B. a = R. C. a = 2 R. D. a = R. 3 3 Lời giải Chọn D A B C D R I A' B' D' C' A'C Từ hình vẽ trên bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương là R = IC = . 2 Ta có AC = a2 + a2 + a 2 = a 3 ' ' AC a 3 2 3 Nên suy ra R = IC = = a= R. 2 2 3 Câu 35. Cho mặt cầu ( S ) có bán kính bằng 4 , hình trụ ( H ) có chiều cao bằng 4 và hai đường tròn đáy nằm trên ( S ) . Gọi V1 là thể tích của khối trụ ( H ) và V2 là thể tích của khối cầu ( S ) . Tính V1 tỷ số . V2 V1 9 V1 1 V1 3 V1 2 A. = . B. = . C. = . D. = . V2 16 V2 3 V2 16 V2 3 Lời giải Chọn A 4 256 3 Ta có V2 =   ( 4 ) = a . 3 3 3 Theo giả thiết, ta có OI = 2 và SI = 4 . Suy ra OS = IS 2 − IO2 = 16 − 4 = 2 3 . ( ) 2 Vậy V1 =  2 3  6a = 48a3 .
V1 48a3 9 Suy ra = = . V2 256 3 16 a 3 Câu 36. Trong tất cả các hình chóp tứ giác đều nội tiếp mặt cầu có bán kính bằng 9 , tính thể tích V của khối chóp có thể tích lớn nhất. A. V = 576 . B. V = 144 6 . C. V = 576 2 . D. V = 144 . Lời giải Chọn A Gọi R là bán kính mặt cầu. SA2 SO 2 + OA2 Ta có R = =9 = 18 . 2.SO SO 1 1 VS . ABCD =  SO  S ABCD =  SO  3 3 AC 2 2 2 2 ( ) =  SO  OA2 =  SO  18.SO − SO 2 . 3 3 Đặt SO = t ( 0  t  18) và xét hàm f ( t ) = t (18t − t 2 ) . 2 3 f  ( t ) = ( 36t − 3t 2 )  f  ( t ) = 0  t = 12 . 2 3 Bảng biến thiên Vậy Vmax = 576 .