Đề kiểm tra - Ôn tập chương Toán 12 - Chương: Nguyên hàm - Tích phân (Đề số 1)

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:22

Thêm vào BST

Báo xấu

9
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề kiểm tra - Ôn tập chương Toán 12 - Chương: Nguyên hàm - Tích phân (Đề số 1) là tài liệu dành cho học sinh lớp 12 ôn luyện kỹ năng giải bài tập nguyên hàm. Nội dung đề gồm nhiều câu hỏi trắc nghiệm về nguyên hàm cơ bản, tích phân từng phần và vận dụng công thức tích phân. Đề thi có kèm theo đáp án và lời giải chi tiết giúp học sinh đối chiếu và học hỏi phương pháp giải. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu để củng cố kiến thức, rèn kỹ năng giải nhanh và chuẩn bị tốt cho kỳ thi.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề kiểm tra - Ôn tập chương Toán 12 - Chương: Nguyên hàm - Tích phân (Đề số 1)

ĐỀ SỐ 1 Câu 1. Giả sử hàm số F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên K . Khẳng định nào sau đây đúng. A. Chỉ có duy nhất một hằng số C sao cho hàm số y = F( x) + C là một nguyên hàm của hàm f trên K. B. Với mỗi nguyên hàm G của f trên K thì tồn tại một hằng số C sao cho G(x) = F(x) + C với x thuộc K . C. Chỉ có duy nhất hàm số y = F( x) là nguyên hàm của f trên K. D. Với mỗi nguyên hàm G của f trên K thì G(x) = F(x) + C với mọi x thuộc K và C bất kỳ. Câu 2. Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) trên K . Các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai. A.  f ( x)dx =F( x) + C . (  ) B.  f ( x)dx = f ( x) . C. (  f (x)dx) = f (x) . D. (  f ( x)dx ) = F( x) .  Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số f ( x ) = ( x − 3) ? 4 Câu 3. ( x − 3) ( x − 3) 5 5 A. F ( x ) = +x. B. F ( x ) = . 5 5 ( x − 3) ( x − 3) 5 5 C. F ( x ) = + 2017 . D. F ( x ) = −1. 5 5  3  Câu 4. Tính   x 2 + − 2 x  dx ta được kết quả là  x  3 x 4 3 x3 4 3 A. − 3 ln x + x +C . B. + 3 ln x − x +C . 3 3 3 3 x3 4 3 x3 4 3 C. − 3 ln x − x +C . D. + 3 ln x + x +C . 3 3 3 3 x3 + x + 1 Câu 5. Nguyên hàm của hàm số y = là: x x3 x3 x 2 x3 A. + x + ln x + C . B. + + ln x + C . C. x3 + x + ln x + C . D. + x + ln x + C . 3 3 2 3   1 Câu 6. Trên khoảng  0;  , họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = là:  2 sin x.cos 2 x 2 A. tan x − cot x + C . B. x + C . C. − tan x + cot x + C . D. tan x + cot x + C . 2 Câu 7. Cho F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) = . Biết F ( −1) =1 . Tính F ( 2) . x+2 A. ln8 +1 . B. 4ln 2 +1 . C. 2ln3 + 2 . D. 2ln 4 . Câu 8. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên  a; b và F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) . Tìm khẳng định sai. b a A.  f ( x ) dx = F ( a ) − F ( b ) . B.  f ( x ) dx = 0 . a a b a b C.  f ( x ) dx = − f ( x ) dx . a b D.  f ( x ) dx = F (b ) − F ( a ) . a Câu 9. Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên đoạn  a; b (a  b). Mệnh đề nào sau đây đúng ? b a b a A.  a f ( x)dx =  f ( x)dx . b B.  a f ( x)dx = − f ( x)dx . b
b a b b a b C.  a f ( x)dx +  f ( x)dx = 2 f ( x)dx . b a D.  a f ( x)dx +  f ( x)dx = −2 f ( x)dx. . b a Câu 10. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn 1;3 thỏa mãn f (1) = 2 và f ( 3) = 9 . Tính 3 I =  f  ( x ) dx . 1 A. I = 11. B. I = 7 . C. I = 2 . D. I = 18 . 0 Câu 11. Tính I =  sin 2019xdx . − 2 1 −1 A. I = . B. I = . C. I = 0 . D. I = −2019 . 2019 2019 2 2 2 Câu 12. Cho biết  f ( x )dx = 4 và  g ( x )dx = 3 . Tính I =   f ( x ) − 3g ( x )dx .   0 0 0 A. I = 5 . B. I = −5 C. I = 1. D. I = −1 . 2 Câu 13. Cho I =  x − 1dx . Khẳng định nào sau là đúng?. 0 2 1 2 A. I =  ( x − 1)dx 0 . B. I =  ( x − 1)dx +  ( x − 1)dx . 0 1 1 2 1 2 C. I = − ( x − 1)dx +  ( x − 1)dx . D. I =  ( x − 1)dx −  ( x − 1)dx . 0 1 0 1 Câu 14. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f ( x ) liên tục trên  a; b , trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b được tính theo công thức: b b A. S =  f ( x ) dx. . B. S =  f ( x ) dx. . a a 0 b b C. S =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx. . D. S =  f 2 ( x ) dx . a 0 a Câu 15. Cho đồ thị hàm số y = f ( x ) , diện tích hình phẳng (phần tô đậm trong hình) là: 4 0 0 A.  −3 f ( x)dx . B.  −3 f ( x)dx +  f ( x)dx . 4 4 −3 4 C.  f ( x ) dx . −3 D.  f ( x)dx +  f ( x)dx . 0 0 2 Câu 16. Cho I =  2 x x 2 − 1dx và u = x2 −1. Mệnh đề nào dưới đây sai? 1 3 2 2 2 3 A. I =  u du . B. I = 27 . C. I =  u du . D. I = 32 . 0 3 1 3 Câu 17. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = ( 2 x + 3) ln x là
x2 x2 A. ( x 2 + 3 x ) ln x − − 3x + C . B. ( x 2 + 3 x ) ln x + − 3x + C . 2 2 x2 x2 C. ( x + 3 x ) ln x − + 3 x + C . 2 D. ( x + 3 x ) ln x + + 3 x + C . 2 2 2 Câu 18. Kết quả tính  2 x 5 − 4 x 2 dx bằng A. − 1 6 (5 − 4x ) 2 3 +C . B. − 3 8 (5 − 4 x2 ) + C . 1 (5 − 4x ) 2 3 1 (5 − 4x2 ) + C . 3 C. +C . D. − 6 12 x2 Câu 19. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = là x3 + 1 1 2 3 2 1 3 A. + C. B. x + 1 + C. C. + C. D. x + 1 + C. 3 x3 + 1 3 3 x3 + 1 3 Câu 20. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x4 + xe x là 1 5 1 5 A. x + ( x + 1) e x + C . B. x + ( x − 1) e x + C . 5 5 1 C. x5 + xe x + C . D. 4 x3 + ( x + 1) e x + C . 5  2 Câu 21. Cho tích phân I =  2 + cos x .sin xdx . Nếu đặt t = 2 + cos x thì kết quả nào sau đây đúng? 0  2 3 2 2 A. I =  t dt . B. I =  t dt . C. I = 2 t dt . D. I =  t dt . 3 2 3 0 Câu 22. Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm lần lượt là F và G trên đoạn 1;2 . Biết rằng 2 2 3 67 F (1) = 1 , F ( 2) = 4 , G (1) = , G ( 2) = 2 và  f ( x ) G ( x ) dx = . Tính  F ( x ) g ( x ) dx 2 1 12 1 11 145 11 145 A. . B. − . C. − . D. . 12 12 12 12 e4 4 1 Câu 23. Biết  f ( ln x ) dx = 4 . Tính tích phân I =  f ( x ) dx . e x 1 A. I = 8 . B. I = 16 . C. I = 2 . D. I = 4 . 1 Câu 24. Tính tích phân I =  ( x + 1) 2018 xdx 0 2019 1 2 22020 1 22019 22020 1 22018 A. I = − . B. I = − . C. I = − . D. I = + . 2020 2019 2020 2019 2019 2020 2017 2018 2 2 x2 Câu 25. Tính tích phân I =  0 1 − x2 dx.  1  1  1 1  A. I = − . B. I = + . C. I = − . D. I = − . 4 2 8 4 8 4 4 8 Câu 26. Cho đồ thị hàm số y f x như hình vẽ. Diện tích S của hình phẳng phần tô đậm trong hình được tính theo công thức nào sau đây?
y y=f(x) O x -2 3 3 0 3 A. S f x dx . B. S f x dx f x dx . 2 2 0 2 3 0 0 C. S f x dx f x dx . D. S f x dx f x dx . 0 0 2 3 Câu 27. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x 2 − 4; Ox bằng. 32 16 256 512 A. . B. . C. . D. . 3 3 15 15 Câu 28. Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x 0 và x , biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x 0 x thì được thiết diện là một tam giác đều cạnh là 2 sin x . A. V 2 3 . B. V 8 . C. V 2 3 . D. V 8 . Câu 29. Cho hình ( H ) giới hạn bởi các đường y = − x + 2 x , trục hoành. Quay hình ( H ) quanh trục 2 Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là: 4 32 16 16 A. . B. . C. . D. . 3 15 15 15 Câu 30. Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị y = f ( x) cắt trục Ox tại ba điểm có hoành độ a  b  c như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây là đúng? A. f (c)  f (a)  f (b) . B. f (c)  f (b)  f (a) . C. f (a)  f (b)  f (c) . D. f (b)  f (a)  f (c) . ln(ln x) Câu 31. Nguyên hàm của f ( x) = là x ln(ln x) ln(ln x) ln(ln x) .A.  = ln x.ln(ln x) − ln x + C . = B.  − ln x + C . x x x ln(ln x) ln(ln x) C.  =x ln(ln x) − ln x + C . D.  = ln x ln(ln x) − ln x + C . x x 3cos x   Câu 32. Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = . Và F ( ) + F   = 2 . Tính 1 + sin x 2 F ( 0) 2 − ln 8 A. −2ln 2 . B. 2 . C. ln 2 . D. . 2 2 − ln 8 .
e −1 ae 2 + b Câu 33. Tính tích phân I =  x ln ( x + 1) dx ta được kết quả có dạng , trong đó a, b, c và 0 c a là phân số tối giản. Tính T = abc . b A. −12 . B. 0 . C. −12 . D. −3 . 1 Câu 34. Kết quả tích phân I=  cos 1 − xdx được viết dưới dạng I = a + b , trong đó a, b, c 2 1− 4 a và là phân số tối giản Tính giá trị 2a − 3b . b A. −1. B. 8 . C. 5 . D. 0.       Câu 35. Cho y = f (x + ) là hàm chẵn trên  − ;  và thõa mãn f ( x ) + f  x +  = 1 + sin 2 x . 2  2 2  2  2 Tính I =  f (x)dx 0 A. 2 . B. −2 . C. −1 . D. 1 . Câu 36. Cho hàm số y = x − 3x + m có đồ thị ( Cm ) với m là tham số thực. Giả sử ( Cm ) cắt trục Ox 4 2 tại bốn điểm phân biệt như hình vẽ. Gọi S1 , S 2 và S3 là diện tích các miền gạch chéo được cho trên hình vẽ. Tìm m để S1 + S 2 = S3 . y S3 O x S1 S2 ( Cm ) 5 5 5 5 A. m = − . B. m = − . C. m = . D. m = . 2 4 2 4 Câu 37. Một khuôn viên dạng nửa hình tròn có đường kính bằng 4 5 ( m ) . Trên đó người thiết kế hai phần để tròng hoa và trồng cỏ Nhật Bản. Phần trồng hoa có dạng của một cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm nửa hình tròn và hai đầu mút của cánh hoa nằm trên nửa đường trong (phần tô màu) cách nhau một khoảng bằng 4m , phần còn lại của khuôn viên (phần không tô màu) dành để trồng cỏ Nhật Bản. Biết các kích thước như hình vẽ và kinh phí để trồng cỏ Nhật Bản là 200.000 đồng/1m2. Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng cỏ Nhật Bản trên phần đất đó? (số tiền được làm tròn đến hàng nghìn) A. 3.895.000 đồng. B. 1.948.000 đồng. C. 2.388.000 đồng. D. 1.194.000 đồng Câu 38. Hình ( H ) được cho dưới đây là hình phẳng được giới hạn bởi hai đường (C1 ) : y = x + 16 − x2 , (C2 ) : y = x − 25 − x2 và hai đoạn thẳng ( d1 ) : y = x với x  4;5 , ( d2 ) : y = − x với x   −5; −4 . Tính diện tích S của hình ( H ) .
41 41 41 41 A. . B. . C. . D. 4 4 2 2 Câu 39. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm và liên tục trên , thỏa mãn f  ( x ) + xf ( x ) = 2 xe − x và 2 f ( 0) = −2. Tính f (1) . 1 2 2 A. f (1) = e. B. f (1) = . C. f (1) = . D. f (1) = − . e e e Câu 40. Cho hàm số f ( x ) xác định và có đạo hàm f  ( x ) liên tục trên đoạn 1;3 , f ( x )  0 với mọi f  ( x ) (1 + f ( x ) ) = ( f ( x ) ) ( x − 1) 2 x  1;3 , đồng thời f (1) = −1 . Biết rằng 2 2 và   3  f ( x ) dx = a ln 3 + b , a, b 1 , tính tổng S = a + b2 . A. S = 0 . B. S = −1 . C. S = 2 . D. S = 4 . HẾT.
BẢNG ĐÁP ÁN 1.B 2.C 3.A 4.B 5.D 6.A 7.B 8.A 9.B 10.B 11.B 12.B 13.C 14.A 15.B 16.C 17.A 18.A 19.B 20.B 21.B 22.A 23.D 24.B 25.C 26.C 27.A 28.C 29.D 30.A 31.A 32.D 33.A 34.B 35.D 36.D 37.A 38.C 39.D 40.B LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1. Giả sử hàm số F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên K . Khẳng định nào sau đây đúng. A. Chỉ có duy nhất một hằng số C sao cho hàm số y = F( x) + C là một nguyên hàm của hàm f trên K. B. Với mỗi nguyên hàm G của f trên K thì tồn tại một hằng số C sao cho G(x) = F(x) + C với x thuộc K . C. Chỉ có duy nhất hàm số y = F( x) là nguyên hàm của f trên K. D. Với mỗi nguyên hàm G của f trên K thì G(x) = F(x) + C với mọi x thuộc K và C bất kỳ. Lời giải Chọn B Phương án A. Sai. Vì C là bất kỳ. Đáp án B. vì theo định lý. Phương án C. Sai. Vì y = F( x) + C cũng là nguyên hàm với C là hằng số bất kỳ. Phương án D. Sai. Vì hai hàm G( x) và F(x) chỉ sai khác một hằng số tức C là duy nhất. Câu 2. Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) trên K . Các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai. A.  f ( x)dx =F( x) + C . B. (  f (x)dx) = f (x) . C. (  f (x)dx) = f (x) . D. (  f ( x)dx ) = F( x) .  Lời giải Chọn C Ta có  f ( x)dx =F( x) + C  F ' ( x ) = f ( x ) nên phương án A, B,D đúng. Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số f ( x ) = ( x − 3) ? 4 Câu 3. ( x − 3) ( x − 3) 5 5 A. F ( x ) = +x. B. F ( x ) = . 5 5 ( x − 3) ( x − 3) 5 5 C. F ( x ) = + 2017 . D. F ( x ) = −1. 5 5 Lời giải Chọn A Vì F ' ( x ) = ( x − 3) + 1  f ( x ) . 4  3  Câu 4. Tính   x 2 + − 2 x  dx ta được kết quả là  x 
x3 4 3 x3 4 3 A. − 3 ln x + x +C . B. + 3 ln x − x +C . 3 3 3 3 x3 4 3 x3 4 3 C. − 3 ln x − x +C . D. + 3 ln x + x +C . 3 3 3 3 Lời giải Chọn B  2 3  1 1   x + x − 2 x  dx =  x dx + 3 x dx − 2 x dx 2 2   3 3 x 4 2 x3 4 3 = + 3 ln x − x + C = + 3 ln x − x + C. 3 3 3 3 x3 + x + 1 Câu 5. Nguyên hàm của hàm số y = là: x x3 x3 x 2 x3 A. + x + ln x + C . B. + + ln x + C . C. x3 + x + ln x + C . D. + x + ln x + C . 3 3 2 3 Lời giải Chọn D x3 + x + 1 3 1 x  x dx =  x dx + dx + x dx = 3 + x + ln | x | + C . 2   1 Câu 6. Trên khoảng  0;  , họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = là:  2 sin x.cos 2 x 2 A. tan x − cot x + C . B. x + C . C. − tan x + cot x + C . D. tan x + cot x + C . Lời giải Chọn A 1 sin 2 x + cos 2 x  1 1   sin 2 x.cos2 x dx =  2 sin x.cos x2 dx =   + 2  dx = tan x − cot x + C .  cos x sin x  2 2 Câu 7. Cho F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) = . Biết F ( −1) =1 . Tính F ( 2) . x+2 A. ln8 +1 . B. 4ln 2 +1 . C. 2ln3 + 2 . D. 2ln 4 . Lời giải Chọn B 2 F ( x ) =  f ( x ) dx =  dx = 2ln x + 2 + C . x+2 Vì F ( −1) =1  2ln −1 + 2 + C =1  C =1 . Do đó F ( x ) = 2ln x + 2 + 1. Vậy F ( 2) = 2ln 4 +1= 4ln 2 +1. Câu 8. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên  a; b và F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) . Tìm khẳng định sai.
b a A.  f ( x ) dx = F ( a ) − F ( b ) . B.  f ( x ) dx = 0 . a a b a b C.  f ( x ) dx = − f ( x ) dx . D.  f ( x ) dx = F (b ) − F ( a ) . a b a Lời giải Chọn A Định nghĩa và tính chất của tích phân. Câu 9. Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên đoạn  a; b (a  b). Mệnh đề nào sau đây đúng ? b a b a A.  a f ( x)dx =  f ( x)dx . b B.  a f ( x)dx = − f ( x)dx . b b a b b a b C.  a f ( x)dx +  f ( x)dx = 2 f ( x)dx . b a D.  a f ( x)dx +  f ( x)dx = −2 f ( x)dx. . b a Lời giải Chọn B Câu 10. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn 1;3 thỏa mãn f (1) = 2 và f ( 3) = 9 . Tính 3 I =  f  ( x ) dx . 1 A. I = 11. B. I = 7 . C. I = 2 . D. I = 18 . Lời giải Chọn B 3 Ta có: I =  f  ( x ) dx = f ( x ) 1 = f ( 3) − f (1) = 9 − 2 = 7 . 3 1 0 Câu 11. Tính I =  sin 2019xdx . − 2 1 −1 A. I = . B. I = . C. I = 0 . D. I = −2019 . 2019 2019 Lời giải Chọn B −1 −1  2019  −1 0 0 Ta có: I =  sin 2019 xdx = cos 2019 x =  cos 0 − cos = − 2019 − 2019  2  2019 2 2 2 2 2 Câu 12. Cho biết  f ( x )dx = 4 và  g ( x )dx = 3 . Tính I =   f ( x ) − 3g ( x )dx .   0 0 0 A. I = 5 . B. I = −5 C. I = 1. D. I = −1 . Lời giải Chọn B 2 2 2 Ta có: I =   f ( x ) − 3g ( x )dx =  f ( x )dx − 3 g ( x )dx = 4 − 3.3 = −5   0 0 0
2 Câu 13. Cho I =  x − 1dx . Khẳng định nào sau là đúng?. 0 2 1 2 A. I =  ( x − 1)dx . B. I =  ( x − 1)dx +  ( x − 1)dx . 0 0 1 1 2 1 2 C. I = − ( x − 1)dx +  ( x − 1)dx . D. I =  ( x − 1)dx −  ( x − 1)dx . 0 1 0 1 Lời giải Chọn C  x − 1, x  1  2 1 2 Do x − 1 = 0  x = 1 và x − 1 =  nên I =  x − 1dx = − ( x − 1) dx +  ( x − 1) dx . − ( x − 1) , x  1  0 0 1 Câu 14. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f ( x ) liên tục trên  a; b , trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b được tính theo công thức: b b A. S =  f ( x ) dx. . B. S =  f ( x ) dx. . a a 0 b b C. S =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx. . D. S =  f 2 ( x ) dx . a 0 a Lời giải Chọn A b Ta có: S =  f ( x ) dx. a Câu 15. Cho đồ thị hàm số y = f ( x ) , diện tích hình phẳng (phần tô đậm trong hình) là: 4 0 0 A.  f ( x)dx . −3 B.  f ( x)dx +  f ( x)dx . −3 4 4 −3 4 C.  f ( x ) dx . −3 D.  f ( x)dx +  f ( x)dx . 0 0 Lời giải Chọn B 0 4 0 0 Ta có: S =  −3 f ( x)dx −  f ( x)dx = 0  −3 f ( x)dx +  f ( x)dx 4
2 Câu 16. Cho I =  2 x x 2 − 1dx và u = x2 −1. Mệnh đề nào dưới đây sai? 1 3 2 2 2 3 A. I =  u du . B. I = 27 . C. I =  u du . D. I = 32 . 0 3 1 3 Lời giải Chọn C Đặt: u = x2 −1  du = 2xdx . Đổi cận: Với x = 1 thì u = 0 ; với x = 2 thì u = 3 . 2 3 2 3 3 2 3 2 Khi đó: I =  2 x x − 1dx =  u du = u 2 = 32 = 2 27 . 1 0 3 0 3 3 2 Do đó mệnh đề I =  u du sai. 1 Câu 17. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = ( 2 x + 3) ln x là x2 x2 A. ( x 2 + 3 x ) ln x − − 3x + C . B. ( x 2 + 3 x ) ln x + − 3x + C . 2 2 x2 x2 C. ( x 2 + 3 x ) ln x − + 3x + C . D. ( x 2 + 3 x ) ln x + + 3x + C . 2 2 Lời giải Chọn A  dx u = ln x  du = Đặt:   x . dv = ( 2 x + 3) dx v = x 2 + 3x   Khi đó:  ( 2 x + 3) ln xdx = ( x + 3x ) ln x −  ( x 2 + 3x ) 2 dx x = ( x 2 + 3x ) ln x −  ( x + 3) dx x2 = ( x 2 + 3 x ) ln x − − 3x + C . 2 Câu 18. Kết quả tính  2 x 5 − 4 x 2 dx bằng A. − 1 6 (5 − 4x ) 2 3 +C . B. − 3 8 (5 − 4 x2 ) + C . 1 (5 − 4x )2 3 1 (5 − 4x2 ) + C . 3 C. +C . D. − 6 12 Lời giải Chọn A Đặt: t = 5 − 4 x  tdt = −4 xdx . 2 1 2 1 Ta có:  2 x 5 − 4 x 2 dx = −  t 2 dt = − t 3 + C = − 6 1 6 (5 − 4x ) 2 3 +C .
x2 Câu 19. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = là x3 + 1 1 2 3 2 1 3 A. + C. B. x + 1 + C. C. + C. D. x + 1 + C. 3 x3 + 1 3 3 x3 + 1 3 Lời giải Chọn B 2 2 2 Đặt u = x3 + 1  u 2 = x3 + 1  udu = x 2dx . Khi đó I =  du = u + C . 3 3 3 2 3 Với u = x3 + 1 thì I = x + 1 + C. 3 Câu 20. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x4 + xe x là 1 5 1 5 A. x + ( x + 1) e x + C . B. x + ( x − 1) e x + C . 5 5 1 C. x5 + xe x + C . D. 4 x3 + ( x + 1) e x + C . 5 Lời giải Chọn B (x + xe x ) dx =  x 4 dx +  xe x dx . 4 Ta có: 1  x dx= 5x + C1 . 4 5 +) u = x du = dx +) Đặt   . dv = e dx v = e x x Suy ra:  xe dx = xe −  e dx = xe x x x x − e x + C2 = ( x − 1) e x + C2 . (x + xe x ) dx = 1 5 Vậy: 4 x + ( x − 1) e x + C . 5  2 .Câu 21. Cho tích phân I =  2 + cos x .sin xdx . Nếu đặt t = 2 + cos x thì kết quả nào sau đây đúng? 0  2 3 2 2 A. I =  t dt . B. I =  t dt . C. I = 2 t dt . D. I =  t dt . 3 2 3 0 Lời giải Chọn B Đặt t = 2 + cos x thì dt = d ( 2 + cos x ) = − sin x d x . 2 3 Nên I =  t . ( - dt ) =  t .dt . 3 2 Câu 22. Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm lần lượt là F và G trên đoạn 1;2 . Biết rằng 2 2 3 67 F (1) = 1 , F ( 2) = 4 , G (1) = , G ( 2) = 2 và  f ( x ) G ( x ) dx = . Tính  F ( x ) g ( x ) dx 2 1 12 1
11 145 11 145 A. . B. − . C. − . D. . 12 12 12 12 Lời giải Chọn A 2 2  F ( x ) g ( x ) dx = F ( x ) .G ( x ) 1 −  f ( x ) G ( x ) dx 2 Ta có: 1 1 67 3 67 11 = F ( 2 ) G ( 2 ) − F (1) .G (1) − =8− − = . 12 2 12 12 e4 4 1 Câu 23. Biết  f ( ln x ) dx = 4 . Tính tích phân I =  f ( x ) dx . e x 1 A. I = 8 . B. I = 16 . C. I = 2 . D. I = 4 . Lời giải Chọn D 1 Đặt : t = ln x  dt = dx nên ta có: x e4 4 4 4 1  f ( ln x ) dx =  f ( t ) dt =  f ( x ) dx   f ( x ) dx = 4 . e x 1 1 1 1 Câu 24. Tính tích phân I =  ( x + 1) 2018 xdx 0 1 22019 22020 1 A. I = − . B. I = − . 2020 2019 2020 2019 22019 22020 1 22018 C. I = − . D. I = + . 2019 2020 2017 2018 Lời giải Chọn B Đặt x + 1 = t  dt=dx nên: 2 1 2 2  t 2020 t 2019  22020 ( t − 1) dt =  ( t ) dt =  2020 − 2019  = 2020 − 2019 . 1 I =  ( x + 1) xdx =  t −t 2018 2018 2019 2018 0 1 1  1 2 2 x2 Câu 25. Tính tích phân I =  0 1 − x2 dx.  1  1  1 1  A. I = − . B. I = + . C. I = − . D. I = − . 4 2 8 4 8 4 4 8 Lời giải Chọn C Đặt x = sin t khi đó dx = cos tdt 2  Đổi cận: với x = 0  t = 0; x = t = 2 4
   4 2 4 2 sin t cos t sin t cos t 14  dt =  (1 − cos 2t ) dt 2 Ta có: I = dt = 0 1 − sin 2 t 0 cos 2 t 0  1 1 4  1 =  t − sin 2t  = − . 2 2 0 8 4 Câu 26. Cho đồ thị hàm số y f x như hình vẽ. Diện tích S của hình phẳng phần tô đậm trong hình được tính theo công thức nào sau đây? y y=f(x) O x -2 3 3 0 3 A. S f x dx . B. S f x dx f x dx . 2 2 0 2 3 0 0 C. S f x dx f x dx . D. S f x dx f x dx . 0 0 2 3 Lời giải Chọn C 0 3 −2 3 Từ hình vẽ ta có S =  − f ( x ) dx +  f ( x )dx =  f ( x ) dx +  f ( x )dx . −2 0 0 0 Câu 27. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x 2 − 4; Ox bằng. 32 16 256 512 A. . B. . C. . D. . 3 3 15 15 Lời giải Chọn A Xét phương trình x2 − 4 = 0  x = 2 . 2 32 Suy ra diện tích hình phẳng là: S = x − 4 dx = 2 . −2 3 Câu 28. Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x 0 và x , biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x 0 x thì được thiết diện là một tam giác đều cạnh là 2 sin x . A. V 2 3 . B. V 8. C. V 2 3. D. V 8 . Lời giải Chọn C
3 Diện tích tam giác đều cạnh bằng 2 sin x là S ( x ) = 4sinx. = 3sinx . 4   Thể tích V của phần vật thể là V =  S ( x ) dx =  3sinx dx = 2 3 . 0 0 Câu 29. Cho hình ( H ) giới hạn bởi các đường y = − x 2 + 2 x , trục hoành. Quay hình ( H ) quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là: 4 32 16 16 A. . B. . C. . D. . 3 15 15 15 Lời giải Chọn D x = 0 Xét phương trình − x 2 + 2 x = 0   . x = 2 Suy ra thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng ( H ) quanh trục Ox là: 2 VOx =   ( − x 2 + 2 x ) dx = 2 16 . 0 15 Câu 30. Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị y = f ( x) cắt trục Ox tại ba điểm có hoành độ a  b  c như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây là đúng? A. f (c)  f (a)  f (b) . B. f (c)  f (b)  f (a) . C. f (a)  f (b)  f (c) . D. f (b)  f (a)  f (c) . Lời giải Chọn A Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = f ( x), x = a , x = b và trục Ox . Gọi S 2 lần lượt là diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = f ( x), x = b , x = c và trục Ox . a S1 =  f  ( x )dx = f ( a ) − f ( b )  0  f ( a )  f (b ) . b c S2 =  f  ( x )dx = f ( c ) − f ( b )  0  f ( c )  f ( b ) . b Mà S1  S2  f ( a ) − f (b )  f ( c ) − f (b )  f ( a )  f ( c ) . Suy ra f (c)  f (a)  f (b) . ln(ln x) Câu 31. Nguyên hàm của f ( x) = là x
ln(ln x) ln(ln x) ln(ln x) A.  x dx = ln x.ln(ln x) − ln x + C . B.  x dx = x − ln x + C . ln(ln x) ln(ln x) C.  dx =x ln(ln x) − ln x + C D.  dx = ln x ln(ln x) − ln x + C x x .Lời giải Chọn A dx ln(ln x) Đặt t = ln x  dt = ,  f ( x)dx =  dx =  ln tdt . x x  dt u = ln t du = Đặt   t . dv = dt v = t  Khi đó: F (t) =  ln tdt = t ln t −  dt = t ln t − t + C . ln(ln x) Vậy  x dx = ln x.ln(ln x) − ln x + C . 3cos x   Câu 32. Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = . Và F ( ) + F   = 2 . Tính 1 + sin x 2 F ( 0) 2 − ln 8 A. −2ln 2 . B. 2 . C. ln 2 . D. . 2 Lời giải Chọn D 3cos x 3d (1 + sin x ) F ( x) =  dx =  = 3ln 1 + sin x + C . 1 + sin x 1 + sin x   2 − 3ln 2 Ta có: F ( ) + F   = 2  C = . 2 2 2 − 3ln 2 2 − 3ln 2 F ( x) = 3ln 1 + sin x +  F (0) = . 2 2 e −1 ae 2 + b Câu 33. Tính tích phân I =  x ln ( x + 1) dx ta được kết quả có dạng , trong đó a, b, c và 0 c a là phân số tối giản. Tính T = abc . b A. −12 . B. 0 . C. −12 . D. −3 . Lời giải Chọn A e −1 Xét I =  x ln ( x + 1) dx 0  1 du = dx u = ln ( x + 1)    x +1 Đặt   .  dv = x dx  v = x2 −1   2
e −1 x2 −1 e −1 e −1 x − 1 e2 − 2e x 2 − 2 x e −1 Suy ra I =  x ln ( x + 1) dx = ln ( x + 1) −  dx = − 0 2 0 0 2 2 4 0 e 2 − 2e e 2 − 4e + 3 e 2 − 3 = − = . 2 4 4 Do đó a = 1, b = −3, c = 4 . Vậy ta có T = abc = −12 . 1 Câu 34. Kết quả tích phân I=  cos 1 − xdx được viết dưới dạng I = a + b , trong đó a, b, c 2 1− 4 a và là phân số tối giản Tính giá trị 2a − 3b . b A. −1. B. 8 . C. 5 . D. 0. Lời giải Chọn B 2  Đặt t = 1 − x  2tdt = −dx , đổi cận x = 1  t = 0, x = 1 − t = 4 2.  2 Khi đó I = 2  sin tdt 0 . u = 2t du = 2dt Đặt   . dv = cosdt v = sin t   2  Khi đó: I = 2t.sin t 2 − 2  sin tdt =  + 2 cos t 2 =  − 2 . 0 0 0 Ta có: a = 1, b = −2 .Khi đó 2a − 3b = 8 .       Câu 35. Cho y = f (x + ) là hàm chẵn trên  − ;  và thõa mãn f ( x ) + f  x +  = 1 + sin 2 x . 2  2 2  2  2 Tính I =  f ( x ) dx 0 A. 2 . B. −2 . C. −1 . D. 1 . Lời giải Chọn D    y = f (x + ) là hàm chẵn nên f ( x + ) = f (− x + ) . 2 2 2   f ( x ) + f  x +  = 1 + sin 2 x  2     .  f (x) = 1 + sin 2 x − f  x +  = 1 + sin 2 x − f  −x +   2  2
    2  2    2 2   I =  f (x)dx =   1 + sin 2 x − f  − x +   dx =  1 + sin 2 xdx −  f  − x +  dx 0 0   2  0 0  2 .    Đặt t = − x +  dt = −dx , đổi cận x =  t = 0, x = 0  t = . 2 2 2   0 2 2 Khi đó I = −  f (t )dt =  f (t )dt =  f (x)dx .  0 0 2   2 2  2 I =  1 + sin 2x dx =  2 cos(x − ) dx =2  I = 1 . 0 0 4 Câu 36. Cho hàm số y = x 4 − 3x 2 + m có đồ thị ( Cm ) với m là tham số thực. Giả sử ( Cm ) cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt như hình vẽ. Gọi S1 , S 2 và S3 là diện tích các miền gạch chéo được cho trên hình vẽ. Tìm m để S1 + S 2 = S3 . y S3 O x S1 S2 ( Cm ) 5 5 5 5 A. m = − . B. m = − . C. m = . D. m = . 2 4 2 4 Lời giải Chọn D y S3 S1 O a S2 b x Giả sử x = b là nghiệm dương lớn nhất của phương trình x4 − 3x2 + m = 0 . Khi đó ta có b4 − 3b2 + m = 0 (1) Do tính đối xứng của hàm trùng phương qua trục tung nên S1 = S2 và S3 được trục tung chia S3 thành 2 phần bằng nhau. Mà S1 + S2 = S3  2S2 = S3  S2 = 2
b a b  ( x − 3x + m ) dx =  ( x − 3x + m ) dx +  ( x − 3x + m ) dx = S3 4 2 4 2 4 2 − S2 = 0 0 0 a 2 5 4 b b  − b3 + mb = 0  − b 2 + m = 0 (2) ( do b  0 ) 5 5 4 4 5 Từ (1) và (2), trừ vế theo vế ta được b − 2b2 = 0  b2 = (do b  0) 5 2 5 Thay vào (1) ta được m = . 4 Câu 37. Một khuôn viên dạng nửa hình tròn có đường kính bằng 4 5 ( m ) . Trên đó người thiết kế hai phần để tròng hoa và trồng cỏ Nhật Bản. Phần trồng hoa có dạng của một cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm nửa hình tròn và hai đầu mút của cánh hoa nằm trên nửa đường trong (phần tô màu) cách nhau một khoảng bằng 4m , phần còn lại của khuôn viên (phần không tô màu) dành để trồng cỏ Nhật Bản. Biết các kích thước như hình vẽ và kinh phí để trồng cỏ Nhật Bản là 200.000 đồng/1m2. Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng cỏ Nhật Bản trên phần đất đó? (số tiền được làm tròn đến hàng nghìn) A. 3.895.000 đồng. B. 1.948.000 đồng. C. 2.388.000 đồng. D. 1.194.000 đồng Lời giải y Chọn A x −2 5 - O 2 2 5 2 Đặt hệ trục như hình vẽ. Ta có phần màu đỏ là phần hình phẳng được giới hạn bởi đường tròn (C ) : x2 + y2 = 20  y = 20 − x2 (nửa đường tròn nằm trên trục hoành) và parabol ( P ) : y = x 2 . Gọi S1 là diện tích nửa đường tròn tâm O và S 2 là diện tích phần tô đỏ thì diện tích phần để trồng cỏ (phần không tô màu) là ( ) − ( ) 2 20 − x 2 − x 2 dx . Suy ra S  19, 476 ( m2 ) 1 2 S = S1 − S 2 =  2 5 2 −2
 Chi phí sẽ bằng 200.000S = 3.895.000 đồng. Câu 38. Hình (H ) được cho dưới đây là hình phẳng được giới hạn bởi hai đường (C1 ) : y = x + 16 − x2 , (C2 ) : y = x − 25 − x2 và hai đoạn thẳng ( d1 ) : y = x với x  4;5 , ( d2 ) : y = − x với x   −5; −4 . Tính diện tích S của hình ( H ) . 41 41 41 41 A. . B. . C. . D. 4 4 2 2 Lời giải Chọn C Gọi S1 là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường y = x − 25 − x 2 , y = x, x = 0, x = 5 ( ( )) dx = 25  . 5 được tô màu trong hình bên suy ra S1 =  x − x − 25 − x 2 0 4 Gọi S2 là điện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường y = x + 16 − x 2 , y = x, x = 0, x = 4 (( ) ) 4 được tô màu trong hình bên suy ra S2 =  x + 16 − x 2 − x dx = 4 . 0 41 Diện tích cần tính bằng S = 2 ( S1 + S2 ) = . 2 Câu 39. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm và liên tục trên , thỏa mãn f  ( x ) + xf ( x ) = 2 xe− x và 2 f ( 0) = −2. Tính f (1) . 1 2 2 A. f (1) = e. B. f (1) = . C. f (1) = . D. f (1) = − . e e e Lời giải Chọn D