intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Đề tài: Một số bài toán cực trị trong mạch RLC nối tiếp

Chia sẻ: Dinh Tuan | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:14

Thêm vào BST
Báo xấu
124
lượt xem 11
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề tài: Một số bài toán cực trị trong mạch RLC nối tiếp được thực hiện nhằm hệ thống hóa một số dạng toán cực trị của bài toán này phục vụ cho công tác giảng dạy của các thầy cô giáo, cũng như một tài liệu để học sinh tham khảo trong quá trình học.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề tài: Một số bài toán cực trị trong mạch RLC nối tiếp

  1. Một số bài toán cực trị trong mạch RLC nối tiếp LỜI MỞ ĐẦU ­ Bài toán cực trị trong mạch điện xoay chiều là một dạng bài toán khó đối với  học sinh lớp 12 và cũng ít tài liệu hệ thống hóa một cách đầy đủ về dạng bài  toán này. ­ Với đề thi trắc nghiệm đại học như hiện nay, việc áp dụng trực tiếp kết quả  của bài toán cực trị sẽ làm cho học sinh không có cái nhìn tổng quan về phương  pháp giải các dạng toán này. ­ Chính vì lý do đó, nay tôi viết đề tài “ CỰC TRỊ TRONG BÀI TOÁN ĐIỆN  XOAY CHIỀU “ nhằm hệ thống hóa một số dạng toán cực trị của bài toán này  phục vụ cho công tác giãng dạy của các bạn đồng nghiệp, cũng như một tài  liệu để học sinh tham khảo trong quá trỉnh học. ­ Đề tài gồm bốn phần : khảo sát sự biến thiên của các đại lượng như công suất,  hiệu điện thế của các thiết bị… theo giá trị của biến trở R, theo giá trị của độ  tự cảm L, theo giá trị của điện dung C và theo giá trị của tần số góc  . ­ Vì thời gian có hạn, nên trong quá trình viết có thể có nhiều thiếu xót, mong  được sự đóng góp của quý đồng nghiệp và các em học sinh. Trang  1
  2. Một số bài toán cực trị trong mạch RLC nối tiếp MỤC LỤC I. Sự thay đổi R trong mạch R­L­C mắc nối tiếp 1. Có hai giá trị R1   R2 cho cùng một giá trị công suất 2. Giá trị của R làm cho công suất cực đại a. Giá trị R làm công suất toàn mạch cực đại b. Giá trị R làm cho công suất của R cực đại c. Giá trị R làm cho công suất cuộn dây cực đại. 3. Khảo sát sự biến thiên của công suất vào giá trị của R II. Sự thay đổi L trong mạch R­L­C mắc nối tiếp với cuộn dây thuần cảm. 1. Có hai giá trị L1   L2 cho cùng giá trị công suất 2. Khảo sát sự biến thiên của công suất theo cảm kháng. 3. Giá trị ZL để hiệu điện thế ULmax  4. Có hai giá trị L1   L2 cho cùng giá trị UL,giá trị L để ULmax tính theo L1 và L2.  5. Giá trị ZL để hiệu điện thế ULRrmax III. Sự thay đổi C trong mạch R­L­C mắc nối tiếp.  1. Có hai giá trị C1   C2 cho cùng giá trị công suất 2. Khảo sát sự biến thiên của công suất theo dung kháng. 3. Giá trị ZC để hiệu điện thế UCmax  4. Có hai giá trị C1   C2 cho cùng giá trị UL và giá trị ZC để UCmax tính theo C1 và C2.  5. Giá trị ZC để hiệu điện thế UCRrmax IV. Sự thay đổi    trong mạch R­L­C mắc nối tiếp 1. Giá trị   làm cho Pmax 2. Khảo sát sự biến thiên công suất theo  . 3. Có hai giá trị  1    2 cho cùng công suất và giá trị   làm cho Pmax tính theo  1 và  2   4. Giá trị   làm cho hiệu điện thế ULmax Trang  2
  3. Một số bài toán cực trị trong mạch RLC nối tiếp 5. Giá trị   làm cho hiệu điện thế Ucmax  Trang  3
  4. Một số bài toán cực trị trong mạch RLC nối tiếp I.  Sự thay đổi R trong mạch R­L­C mắc nối tiếp:  Xét mạch điện xoay chiều có hiệu hiệu thế hai đầu ổn định :  u = U 0 cos(ωt + ϕu ) R là một biến trở, các giá trị R0 , L và C không đổi.  R L,R0 C Gọi Rtd = R + R0 A B 1.  Có hai giá trị R 1      R 2 cho cùng một giá trị công suất U2 ­ Công suất tiêu thụ trên mạch là :  P = Rtd I = Rtd 2 Rtd2 + ( Z L − Z C ) 2 ­ Vì P1 = P2 = P nên ta có thể xem như công suất trong phương trình trên là một số  không đổi ứng với hai giá trị R1 và R2 . Khai triển biểu thức trên ta có: PRtd2 − RtdU 2 + P ( Z L − Z C ) 2 = 0 ­ Nếu có 2 giá trị của điện trở cho cùng một giá trị công suất thì phương trình bậc 2  trên có hai nghiệm phân biệt R1 và R2. Theo định lý Viète (Vi­et): �R .R = ( Z L − Z C ) 2 ( R + R0 )( R2 + R0 ) = ( Z L − Z C ) 2 � �1td 2td �1 � U2 � U2 R �1td + R2 td = R �1 + R2 + 2 R0 = � P � P ­ Từ đó ta thấy rằng có 2 giá trị R1 và R2 khác nhau cho cùng giá trị công suất  2.  Giá trị của R làm cho công suất cực đại  a.  Giá trị R làm công suất toàn mạch cực đại  U2 U2 P = Rtd I 2 = Rtd = ­ Ta có: Rtd2 + ( Z L − Z C )2 ( Z L − ZC )2 Rtd + Rtd (Z L − ZC )2 ­ Đặt  A = Rtd + , áp dụng bất đẳng thức Cauchy(Côsi) cho A Rtd (Z L − ZC )2 (Z L − ZC )2 A = Rtd + 2 Rtd = 2 Z L − Z C = const Rtd Rtd ­ Ta thấy rằng Pmax khi Amin => “ =” xảy ra. Vậy:  Rtd = Z L −Z C ­ Khi đó giá trị cực đại của công suất là:  U2 U2 U2 Pmax = = = 2 Z L − ZC 2 R1td .R2td 2 ( R1 + R0 )( R2 + R0 ) Với R1td và R2td là hai giá trị của R cho cùng giá trị công suất. Lưu ý:  Khi  Z L − ZC < R0 thì giá trị biến trở R 
  5. Một số bài toán cực trị trong mạch RLC nối tiếp ­ Công suất của biến trở R là  U2 U2 PR = R I 2 = R = ( R + R0 ) 2 + ( Z L − Z C )2 ( R + R0 ) 2 + ( Z L − Z C )2 R ­ Đặt mẩu thức của biểu thức trên là : ( R + R0 )2 + ( Z L − Z C ) 2 R 2 + ( Z L − ZC ) 2 A= = R+ 0 + 2 R0 R R ­ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho A ta được: R02 + ( Z L − Z C )2 R02 + ( Z L − ZC ) 2 A= R+ + 2 R0 2 R + 2 R0 = 2 R02 + ( Z L − Z C ) 2 + 2 R0 = const R R ­ Ta thấy rằng PRmax khi Amin nghĩa là dấu “ =”  phải xảy ra, khi đó: R= R02 +( Z L −Z C )2 U2 ­ Công suất cực đại của biến trở R là:  PR max = 2 R02 + ( Z L − Z C ) 2 + 2 R0 c.  Giá trị R làm cho công suất cuộn dây cực đại, cường độ dòng điệncực   đại, hiệu điện thế cuộn dây cực đại, hiệu điện thế tụ điện cực đại. ­ Ta có : Pdây = R0 I 2 ;U d = I Z L2 + R02 ;U c = IZ C U I= ( R + R0 ) + ( Z L − Z C )2 2 ­ Vì R0; ZL; ZC và U là các đại lượng không đổi nên muốn đạt giá trị cực đại thì chỉ  cần cường độ dòng điện qua mạch cực đại. Từ biểu thức của dòng điện ta thấy rằng  Imax khi giá trị của biến trở R = 0. 3.  Khảo sát sự biến thiên của công suất vào giá trị của R  ­ Để thấy rõ hơn sự phụ thuộc của công suất toàn mạch vào giá trị của biến trở R  người ta thường dùng phương pháp khảo sát hàm số: ­ Ta có công suất toàn mạch theo biến thiên theo biến trở R cho bởi hàm số: U2 P = Rtd I 2 = Rtd Rtd2 + ( Z L − Z C )2 Rtd = R + R0 ( Z L − Z C ) 2 − Rtd2 Đạo hàm P theo biến số Rtd ta có:  P ( R) = U ' 2 ­ ( Rtd2 + ( Z L − Z C ) 2 ) 2 Khi  P ( R) = 0 � ( Z L − Z C ) − Rtd = 0 � Rtd = Z L − Z C � R = Z L − Z C − R0   ' 2 2 Bảng biến thiên : R              0                                            Z L − ZC − R0                            + Trang  5
  6. Một số bài toán cực trị trong mạch RLC nối tiếp P’(R)                                  +                                   0                       ­ U2 P(R)                                                             Pmax = 2 Z L − ZC U2 P = R0                                                                          0 R02 + ( Z L − Z C )2 Đồ thị của P theo Rtd : P U2 Pmax = 2 Z L − ZC Pmax 2 U P = R0 2 R0 + (Z L − ZC ) 2 O R= ZL ­ ZC  ­ R0 R Nhận xét đồ thị : Từ đổ thị ta thấy rằng có hai giá trị R1 và R2 cho cùng một giá trị của  công suất. Công suất đạt giá trị cực đại khi  R = Z L − ZC − R0 > 0 Trong trường hợp  R = Z L − Z C − R0 < 0  thì đỉnh cực đại nằm ở phần  R
  7. Một số bài toán cực trị trong mạch RLC nối tiếp Xét mạch điện xoay chiều có hiệu hiệu thế hai đầu ổn định :  u = U 0 cos(ωt + ϕu ) L là một cuộn dây thuần cảm có giá trị thay đổi  R    L C R và C không đổi.  A B 1.  Có hai giá trị L 1      L 2 cho cùng giá trị công suất ­ Vì có hai giá trị của cảm kháng cho cùng giá trị công suất nên: U2 U2 P1 = P2 � R 2 =R 2 R + ( Z L1 − Z C ) 2 R + ( Z L2 − Z C ) 2 ­ Khai triển biểu thức trên ta thu được :  Z L1 − Z C = Z L2 − Z C  (loai) � ( Z L1 − Z C ) 2 = ( Z L2 − Z C ) 2 Z L1 − Z C = −( Z L2 − Z C )  (nhan) � Z L1 + Z L2 2 ­ Suy ra :  ZC = 2 � L1 + L2 = ω2C 2.  Khảo sát sự biến thiên của công suất theo cảm kháng Z L U2 ­ Ta có công suất toàn mạch là:  P = R 2 , với R, C là các hằng số, nên  R + ( Z L − Z C )2 công suất của mạch là một hàm số theo biến số ZL  ­ Đạo hàm của P theo biến số ZL  ta có: Zc − Z L P '( Z L ) = 2 RU 2 � P '( Z L ) = 0  khi  Z L = Z C [ R + ( Z L − Z C )2 }]2 2 ­ Bảng biến thiên ZL         0                                       ZL = ZC                                   + P’(ZL)                                    +                 0                           ­P(Z L)                                                                                                                             0       ­ Đồ thị của công suất theo ZL : Trang  7
  8. Một số bài toán cực trị trong mạch RLC nối tiếp P U2 Pmax = R Pmax U2 P=R 2 2 R + ZC O ZL = ZC  ZL ­  Nhận xét đồ thị:  Có hai giá trị của cảm kháng cho cùng một giá trị công suất Z L1 + Z L2 Công suất của mạch cực đại khi  Z L = Z C = , với  Z L ; Z L là hai  1 2 2 giá trị của cảm kháng cho cùng một giá trị công suất. Kết luận: Từ việc khảo sát sự biến thiên sự thay đổi công suất vào giá trị của ZL sẽ  cho phép định tính được sự tăng hay giảm của P theoZL. Từ đó ta có thể tiên đoán  được sự thay đổi của công suất theo giá trị của ZL trong một số bài toán. 3.  Giá trị Z L để hiệu điện thế ULmax   U ­ Ta có hiệu điện thế trên cuộn dây là : U L = IZ L = Z L , trong đó R; ZC  R 2 + ( Z L − Z C )2 và U là các hằng số không đổi. Ta có thể dùng  phương pháp khảo sát hàm số này theo biến số là ZL.  UL Tuy nhiên với cách khảo sát hàm số sẽ rất phức tạp.  Với phương pháp dùng giản đồ Vecto bài toán này có  thể giải dể hơn và rút ra nhiều kết luận hơn. ­ Theo giản đồ vectơ và định lý hàm số sin trong tam  U UL U giác ta có : = sin(α + β ) sin γ UR R ­ Vì  sin γ = cos β = U = = const , suy ra RC R 2 + ZC2 U U UR                 U L = sin(α + β ) = sin(α + β ) O sin γ cos β i Trang  8 UC URC
  9. Một số bài toán cực trị trong mạch RLC nối tiếp ­ Do cos  và U là các giá trị không đổi nên hiệu điện thế ULmax khi  π sin(α + β ) = 1 � α + β = 2 ­ 2 Theo hệ thức của tam giác vuông ta có: U RC = U CU L , từ đó suy ra  Z L Z C = R 2 + Z C2 ­ Tóm lại:  R 2 + Z C2 R 2 + Z C2 Khi  Z L =  thì  U L max = U ZC R Khi ULmax thì hiệu điện thế tức thời ở hai đầu mạch luôn nhanh pha hơn uRC  một góc 900.  4.  Có hai giá trị L 1   L2 cho cùng giá trị UL , giá trị L để ULmax tính theo L1 và L2.  ­ Khi có hai giá trị của L cho cùng một giá trị hiệu điện thế:  Z L1 Z L2 U L1 = U L2 � Z L1 I1 = Z L2 I 2 � = R 2 + ( Z L1 − Z C ) 2 R 2 + ( Z L2 − Z C ) 2 ­ Bình phương và khai triển biểu thức trên ta thu được:  Z L21 Z L22 = R 2 + Z C2 + Z L21 − 2Z L1 Z C R 2 + Z C2 + Z L22 − 2Z L2 ZC ­ Theo kết quả phần trên khi hiệu điện thế giữa hai đầu cuộn dây cực đại thì  Z L Z C = R 2 + Z C2  với giá trị ZL là giá trị làm cho ULmax . Thay vào biểu thức trên: Z L21 Z L22 = Z L Z C + Z L21 − 2 Z L1 Z C Z L Z C + Z L22 − 2Z L2 Z C ­ Tiếp tục khai triển biểu thức trên ta thu được: ( Z L21 − Z L22 ) Z L = 2Z L1 Z L2 ( Z L1 − Z L2 ) 2 Z L1 Z L2 2 L1 L2 ­ Vì L1   L2 nên đơn giàn biểu thức trên ta thu được:  ZL = �L =  với  Z L1 + Z L2 L1 + L2 giá L là giá trị là cho ULmax 5.  Giá trị Z L để hiệu điện thế ULRrmax ­ Khi R và L mắc nối tiếp nhau thì :  U R 2 + Z L2 U U LR = I R + Z = 2 2 L = R + ( Z L − ZC ) 2 2 R + (Z L − ZC ) 2 2 R 2 + Z L2 R 2 + ( Z L − ZC ) 2 ­ Đặt  MT = , ta thực hiện việc khảo sát hàm số MT theo biến số ZL  R 2 + Z L2 để tìm giá trị của ZL sao cho MTmin khi đó giá trị của ULrmax . Đạo hàm của MT theo  biến số ZL ta thu được : Trang  9
  10. Một số bài toán cực trị trong mạch RLC nối tiếp 2( Z L − Z C )( R 2 + Z L2 ) − 2 Z L [ R 2 + ( Z L − Z C ) 2 ] MT ' ( Z L ) = ( R 2 + Z L2 ) 2 ­ Cho MT’(ZL) = 0 ta có :  Z C Z L2 − Z C2 Z L − Z C R 2 = 0 . Nghiệm của phương trình bậc hai  Z C + 4 R 2 + Z C2 Z L1 = >0 2 này là:  . Lập bảng biến thiên ta có: Z − 4 R 2 + Z C2 Z L2 = C
  11. Một số bài toán cực trị trong mạch RLC nối tiếp ZC          0                                       ZC = ZL                                   + P’(ZC)                                    +                 0                           ­ P(ZC) U2                                                 Pmax = R 2 U P=R 2                                                                            0   R + Z L2 ­ Đồ thị của công suất theo giá trị ZC : P U2 Pmax = R Pmax U2 P=R 2 2 R + ZL O Z  = Z   ZC L C 3.  Giá trị Z C để hiệu điện thế UCmax  R 2 + Z L2 ­ Khi  Z C =  thì : ZL U R 2 + Z L2 U CMax =   và  R 2 U CMax = U 2 + U R2 + U L2 ;  U CM 2 ax − U LU CMax − U = 0 2 uRL vuông pha với hiệu điện thế hai đầu mạch 4.  Có hai giá trị C 1   C2 cho cùng giá trị UC ,giá trị ZC để UCmax tính theo C1 và C2 ­ Khi có hai giá trị C = C1 hoặc C = C2 cho cùng giá trị UC thì giá trị của C làm cho  1 1 1 1 C1 + C2 UCmax khi  Z = 2 ( Z + Z ) � C = 2 C C C 1 2 5.  Giá trị Z C để hiệu điện thế URCmax Z L + 4 R 2 + Z L2 2UR ­ Khi  Z C =  thì  U RCMax =  ( Với điện trở R và tụ điện mắc  2 4 R + Z L2 − Z L 2 gần nhau) IV.  Sự thay đổi        trong mạch R­L­C mắc nối tiếp  1.  Giá trị        làm cho P max Trang  11
  12. Một số bài toán cực trị trong mạch RLC nối tiếp U2 P = RI 2 = R 2 ­ Ta có  � 1 � , từ công thức này ta thấy rằng công suất của  ωL − R +� 2 � ωC � � 1 1 U2 mạch đạt giá trị cực đại khi:  ωL − ω = 0 �ω = ω0 = LC . Với  Pmax = R   ­ Khi đó Zmin = R và hiệu điện thế giửa hai đầu mạch và cường độ dòng điện qua  mạch đồng pha nhau. 2.  Có hai giá trị      1        2  cho cùng công suất và giá trị        làm cho P max  tính theo     1   và     2: ­ Nếu có hai giá trị tần số khác nhau cho một giá trị công suất thì: U2 U2 P1 =  P2   � R =R 1 2 1 2 R 2 + (ω1 L − ) R 2 + (ω2 L − ) ω1C ω2 C 1 1 ω1 L − = ω2 L − (1) ω1C ω2 C ­ Biến đổi biểu thức trên ta thu được :  1 1 ω1 L − = −(ω2 L − )(2) ω1C ω2 C ­ Vì  1    2 nên nghiệm (1) bị loại  1 ­ Khai triển nghiệm (2) ta thu được : ω1ω2 = LC 1 ­ Theo kết quả ta có :  ω02 = ωω 1 2 = LC với  0 là giá trị cộng hưởng điện. 3.  Khảo sát sự biến thiên công suất theo      . U2 P = RI 2 = R 2 ­ Ta có  � 1 � ωL − R +� 2 � ωC � � ­ Việc khảo sát hàm số P theo biến số   bằng việc lấy đạo hàm và lập bảng biến  thiên rất khó khăn vì hàm số này tương đối phức tạp. Tuy nhiên, ta có thể thu  được kết quả đó từ những nhận  xét sau: 1 Khi   = 0 thì  Z C =  làm cho P = 0 ωC 1 Khi  ω = ω0 =  thì mạch cộng hưởng làm cho công suất  LC trên mạch cực đại Khi  ω  thì  Z L = ω L làm cho P = 0 ­ Từ những nhận xét đó ta dễ dàng thu được sự biến thiên và đồ thị : Trang  12
  13. Một số bài toán cực trị trong mạch RLC nối tiếp 1 0                           ω = ω0 =                           + LC U2                                    P( ) R                     0                                                                           0 P Pmax 0 1 ω= LC ­  Nhận xét đồ thị     :  Từ đồ thị ta thấy rằng sẽ có hai giá trị  1 ≠  2 cho cùng một  giá trị công suất, điều này phù hợp với những biến đổi ở phần trên. 4.  Giá trị        làm cho hiệu điện thế U Lmax 2 U U � 1 � U L = I .Z L = .Z L = ωL − R2 + � ωC � 2 ­ Ta có :  Z Z , đặt  �Z � � � A = � �= ZL �Z L � (ω L) 2 2 R2 1 � ­ Biến đổi biểu thức A ta thu được :  A = 2 2 + � 1− 2 ω L � ω LC � � � 2 1 R 2 � x� ­ Ta tiếp tục đặt  x = 2 > 0  khi đó  A = x+� 1− � ω L L � C� R2 2 � x � ­ Lấy đạo hàm của A theo biến số x ta thu được:  A '( x) = − �1− � L C� C� 2 LC − R 2C 2 ­ Cho A’(x) = 0 ta thu được  x = 2L 2L ­ Vì  x > 0 � > R 2 khi đó ta thu bảng biến thiên: C Trang  13
  14. Một số bài toán cực trị trong mạch RLC nối tiếp x 2 LC − R 2C 2 0                                                  ∞ 2L A’(x)              ­                   0                     + A(x)                                    Amin ­ Thay giá trị x vào biểu thức đã đặt ta thu được hiệu điện thế cực đại của cuộn  dây là: 1 1 ω= 2U .L C L R 2 và   U LMax = − R 4 LC − R 2C 2 C 2 2L Nhận xét : Khi  x � 0 R 2  thì Amin  khi x = 0 do A làm hàm số bậc 2 có hệ số  C 1 a= > 0  nên hàm số có cực tiểu ở phần âm, do đó x = 0 làm cho Amin trong miền xác  C2 định của x. Khi đó   rất lớn làm cho ZL rất lớn làm cho I = 0. Do đó không thể tìm giá  trị   làm cho ULmax 5.  Giá trị        làm cho hiệu điện thế U cmax  ­ Tương tự như cách làm trên ta cũng thu được kết quả tương tự khi thay đổi giá trị   làm cho UCmax là: 1 L R2 2U .L 2L ­ Khi   ω= L − C 2  thì  U CMax = R 4 LC − R C 2 2  với  C > R2 Trang  14
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

TL.01: Bộ Tiểu Luận Triết Học
207 tài liệu
1479 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2