intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Đề tài Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ trong giải phương trình chứa hai phép toán ngược nhau

Chia sẻ: Dc Bac | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:18

Thêm vào BST
Báo xấu
228
lượt xem 52
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong chương trình toán phổ thông chúng ta gặp rất nhiều dạng toán giải phương trình. Đối với mỗi dạng lại có nhiều cách giải khác nhau. Và thông thường ta hay chọn cách giải chính xác và ngắn gọn nhất. Phương pháp đặt ẩn phụ thường dẫn đến thành công với hiệu quả giải toán cao. Song việc chọn ẩn phụ như thế nào để bài toán trở nên đơn giản hơn là vấn đề khó khăn. Trong phạm vi đề tài này tôi muốn đề cập tới việc "Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ trong giải phương...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề tài Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ trong giải phương trình chứa hai phép toán ngược nhau

  1. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm - TriÖu S¬n 4 GV: Ng« ThÞ Xu©n I.- Lý do chän ®Ò tµi : Trong ch¬ng tr×nh to¸n phæ th«ng chóng ta gÆp rÊt nhiÒu d¹ng to¸n gi¶i ph¬ng tr×nh. §èi víi mçi d¹ng l¹i cã nhiÒu c¸ch gi¶i kh¸c nhau. Vµ th«ng thêng ta hay chän c¸ch gi¶i chÝnh x¸c vµ ng¾n gän nhÊt. Ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô thêng dÉn ®Õn thµnh c«ng víi hiÖu qu¶ gi¶i to¸n cao. Song viÖc chän Èn phô nh thÕ nµo ®Ó bµi to¸n trë nªn ®¬n gi¶n h¬n lµ vÊn ®Ò khã kh¨n. Trong ph¹m vi ®Ò tµi nµy t«i muèn ®Ò cËp tíi viÖc "Sö dông ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô trong gi¶i ph¬ng tr×nh chøa hai phÐp to¸n ngîc nhau" trªn c¬ së dùa vµo tÝnh chÊt cña c¸c hµm sè ngîc ®Ó ®a viÖc gi¶i ph¬ng tr×nh vÒ gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh ®èi xøng hai Èn kiÓu II. II.- Môc ®Ých yªu cÇu : - Lµm cho häc sinh n¾m v÷ng tÝnh chÊt cña hai hµm sè ngîc nhau vµ kh¶o s¸t sù biÕn thiªn cña hµm sè. - Trªn c¬ së ®ã cñng cè c¸ch gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh ®èi xøng hai Èn kiÓu II. - RÌn luyÖn kh¶ n¨ng t duy logic. III.- Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu : 1. Tµi liÖu tham kh¶o : - Ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n mò vµ logarit - Lª Hång §øc. - T¹p chÝ to¸n häc vµ tuæi trÎ tõ 2000 - 2005. - S¸ch : Ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh cña Ph¹m Thµnh Lu©n. - §Ò thi tuyÓn sinh §¹i häc n¨m 1996. 2. Thùc tÕ gi¶ng d¹y ë trêng phæ th«ng. Tõ c¸c yÕu tè trªn ®· gióp t«i hoµn thµnh ®Ò tµi cña m×nh víi hy väng lµm phong phó thªm m«n ®¹i sè s¬ cÊp vµ gãp phÇn nhá bÐ vµo c«ng t¸c gi¶ng d¹y ë trêng phæ th«ng. IV.- Néi dung : ë phÇn nµy t«i muèn giíi thiÖu c¸c d¹ng ph¬ng tr×nh chøa hai phÐp to¸n ngîc nhau vµ ph¬ng ph¸p gi¶i bµi to¸n tæng qu¸t cho tõng d¹ng. Sau ®ã lµ nh÷ng bµi tËp ¸p dông. Trang 1
  2. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm - TriÖu S¬n 4 GV: Ng« ThÞ Xu©n D¹ng 1 : Ph¬ng tr×nh chøa c¨n bËc hai vµ luü thõa bËc hai. 1. Bµi to¸n tæng qu¸t : a1 x + b1 = c( a 2 x + b2 ) + dx + e 2 Gi¶i ph¬ng tr×nh : (I) Víi : a1 , a 2 , c ≠ 0 a 2 = a1c + d vµ  b2 = b1c + e Gi¶i : §iÒu kiÖn : a1 x + b1 ≥ 0 §Æt : a1 x + b1 = a 2 y + b2 Víi ®iÒu kiÖn : a 2 y + b2 ≥ 0 ta ®îc a1 x + b1 = ( a 2 y + b2 ) 2 (1) Khi ®ã (I) cã d¹ng : c( a 2 x + b2 ) 2 = a 2 y − dx + b2 − e Tõ (1) ta cã : c( a 2 x + b2 ) 2 = a1cx + b1c c( a 2 x + b2 ) 2 = a 2 y + ( ca1 − a 2 ) x + b1 c  (2) Ta cã hÖ ph¬ng tr×nh :  c( a 2 y + b2 ) 2 = a1 cx + b1 c  (3) LÊy (2) - (3) ta ®îc : ( x − y )( a 2 cx + a 2 cy + 2b2 c + 1) = 0 x = y ⇔ a 2 cx + a 2 cy + 2b2 c + 1 = 0 Trêng hîp 1 : x = y thay vµo (1) ta ®îc : ( a 2 x + b2 ) 2 = a1 x + b1 §©y lµ ph¬ng tr×nh bËc hai ®èi víi x. Trêng hîp 2 : a 2 cx + a 2 cy + 2b2 c + 1 = 0 kÕt hîp víi (1) => Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh t×m x, y. 2. Bµi tËp : Bµi 1 : Gi¶i ph¬ng tr×nh : 2 x + 15 = 32 x 2 + 32 x − 20 (4) 15 Gi¶i : §iÒu kiÖn : 2 x + 15 ≥ 0 ⇔ x ≥ − 2 Ta cã : (4) ⇔ 2 x + 15 = 2(4 x + 2) 2 − 28 (5) §Æt : 2 x + 15 = 4 y + 2 (6) 1 Víi ®iÒu kiÖn : 4 y + 2 ≥ 0 ⇔ y ≥ − ta cã : 2 (6) ⇔ 2 x + 15 = (4 y + 2) 2 Khi ®ã, ta cã hÖ ph¬ng tr×nh : (4 x + 2) 2 = 2 y + 15  (7 )  (4 y + 2) 2 = 2 x + 15  (8) Trang 2
  3. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm - TriÖu S¬n 4 GV: Ng« ThÞ Xu©n LÊy (7) - (8) ta ®îc : (x - y)(8x + 8y + 9) = 0 * Trêng hîp 1 : x = y thay vµo (8) ta ®îc : 16x2 + 14x - 11 = 0  1 x = 2 ⇔  x = − 11 (lo¹i)   8 − 8x − 9 * Trêng hîp 2 : 8 x + 8 y + 9 = 0 ⇔ 4 y = thay vµo (8) ta cã : 2  − 9 + 221 (lo¹i v× ®iÒu kiÖn cña y) x = 16 64x2 + 72x - 35 = 0 ⇔   − 9 − 221 x =  16 1 − 9 − 221 VËy ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm : x = vµ x = 2 16 Bµi 2 : Gi¶i ph¬ng tr×nh : x 2 = 2 − x + 2 (9) Gi¶i : §iÒu kiÖn : 2 − x ≥ 0 ⇔ x ≤ 2 Khi ®ã : (9) ⇔ 2 − x = x2 − 2 ⇔ 2 − x = (− x) 2 − 2 §Æt : 2 − x = − y (10) Víi ®iÒu kiÖn y ≤ 0 th× (10) ⇔ 2 − x = y 2 x 2 − 2 = − y  (11) Ta cã hÖ ph¬ng tr×nh :  2 y − 2 = −x  (12) LÊy (11) - (12), ta ®îc : (x - y)(x + y - 1) = 0 * Trêng hîp 1 : x = y thay vµo (11) ta ®îc : x2 + x - 2 = 0 x = 1 (lo¹i) ⇔  x = −2 * Trêng hîp 2 : x + y - 1 = 5 ⇔ y = 1 - x Thay vµo (11) ta cã : x2 - x - 1 = 0 Trang 3
  4. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm - TriÖu S¬n 4 GV: Ng« ThÞ Xu©n  1+ 5 x = 2 ⇔  1− 5 (lo¹i) x =  2 1+ 5 VËy ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm : x = - 2 vµ x = 2 Bµi 3 : Gi¶i ph¬ng tr×nh : tg 2 x − 2tgx − 3 = tgx + 3 (13) Gi¶i : §Æt tgx = X (13) ⇔ X + 3 = X 2 − 2 X − 3 ⇔ X + 3 = ( X − 1) 2 − 4 §iÒu kiÖn : X + 3 ≥ 0 ⇔ X ≥ −3 X + 3 = Y − 1 víi ®iÒu kiÖn Y ≥ 1 ta cã : X + 3 = (Y − 1) 2 §Æt ( X − 1) 2 = Y + 3  (14) Khi ®ã ta cã hÖ :  (Y − 1) 2 = X + 3  (15) LÊy (14) - (15), ta ®îc : ( X − Y )( X + Y − 1) = 0 * Trêng hîp 1 : Víi X = Y, thay vµo (14) ta ®îc : X 2 − 3X − 2 = 0  3 + 17 X = 2 ⇔  3 − 17 (lo¹i) X =  2 * Trêng hîp 2 : Víi X + Y − 1 = 0 ⇔ Y = 1 − X thay vµo (14), ta cã : X 2 − X −3 = 0  1 + 13 (lo¹i) X = 2 ⇔  1 − 13 X =  2 3 + 17 3 + 17 * Víi X = ta cã : tgx = 2 2 (k ∈ Z ) 3 + 17 ⇔ x = α + kΠ víi = tgα 2 Trang 4
  5. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm - TriÖu S¬n 4 GV: Ng« ThÞ Xu©n 1 − 13 1 − 13 * Víi X = ta cã : tgx = 2 2 ⇔ x = β + k'Π (k '∈ Z ) 1 − 13 víi = tgβ 2 VËy ph¬ng tr×nh cã 2 hä nghiÖm : 3 + 17 x = α + kΠ , k ∈ Z vµ tgα = 2 x = β + k ' Π , k '∈ Z vµ tgβ = 1 + 13 2 Bµi 4 : Gi¶i ph¬ng tr×nh : 2 2 x − 2 x + 6 = 6 (16) Gi¶i : §Æt : 2 x = u > 0 Khi ®ã : (16) ⇔ u 2 − 6 = u + 6 §Æt u + 6 = v ≥ 0 Khi ®ã : u + 6 = v 2 u 2 = v + 6  (17) Ta cã hÖ ph¬ng tr×nh :  2 v = u + 6  (18) u = v LÊy (17) - (18) ta ®îc : ( u − v ) (u + v + 1) = 0 ⇔  u + v + 1 = 0 u = 3 + Víi u = v ⇒ ta ®îc : u − u − 6 = 0 ⇔  2 u = −2 (lo¹i) Víi u = 3 ⇔ 2 x = 3 ⇔ x = log 2 3 + Víi u + v + 1 = 0 ta ®îc ph¬ng tr×nh : u 2 + u − 5 = 0  − 1 + 21 u = 2 ⇔  − 1 − 21 (lo¹i) u =  2 21 − 1 21 − 1 21 − 1 Víi u = ⇔ 2x = ⇔ x = log 2 2 2 2 21 − 1 VËy ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm : x = log 2 3 vµ x = log 2 2 Bµi 5 : Gi¶i ph¬ng tr×nh : log 3 x − 2 log 3 x = log 3 x + 1 2 (19) Trang 5
  6. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm - TriÖu S¬n 4 GV: Ng« ThÞ Xu©n Gi¶i : §Æt log 3 x = U Khi ®ã (19) cã d¹ng : U 2 − 2U = U + 1 (U − 1) 2 − 1 = U + 1 §iÒu kiÖn : U ≥ −1 §Æt : U + 1 = V − 1 víi V ≥ 1 Khi ®ã : U + 1 = (V − 1) 2 (V − 1) 2 = U + 1  (20) Ta cã hÖ ph¬ng tr×nh :  (U − 1) 2 = V + 1  (21) LÊy (20) - (21) ta ®îc : (U − V )(U + V − 1) = 0 U = V ⇔ U + V − 1 = 0 U = 0 (lo¹i) + Víi U = V ta cã : U2 - 3U = 0 ⇔  U = 3 Víi U = 3 ⇔ log 3 x = 3 ⇔ x = 27 + Víi U + V − 1 = 0 , ta ®îc ph¬ng tr×nh : U 2 −U −1 = 0  1+ 5 U = (lo¹i) 2 ⇔ 1− 5 1− 5  1− 5 ⇔ log 3 x = ⇔ x=3 2 U = 2  2 VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm : x = 27 1− 5 vµ x = 3 2 3. C¸c bµi tËp tù gi¶i : 1) x 2 − x − 1000 1 + 8000 x = 1000 2) x 2 + x + 5 = 5 3) − 4 x 2 + 13x − 5 = 3x + 1 4) x + 3 + x = 3 5) log 2 x + log 2 x + 1 = 1 2 6) 4 x 2 + 2 x + 1 + 5 = 12 x D¹ng 2 : Ph¬ng tr×nh chøa c¨n bËc ba vµ luü thõa bËc ba. 1. Bµi to¸n tæng qu¸t : Trang 6
  7. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm - TriÖu S¬n 4 GV: Ng« ThÞ Xu©n Gi¶i ph¬ng tr×nh : 3 a1 x + b1 = c(a 2 x + b2 ) 2 + dx + e (II) Víi a1 , a 2 , c ≠ 0 vµ a 2 = a1c + d ; b2 = b1c + e Gi¶i : §Æt 3 a1 x + b1 = a 2 y + b2 ⇔ a1 x + b1 = (a 2 y + b2 ) 3 (*) Ta cã (II) ⇔ c(a 2 y + b2 ) 2 = a 2 y − dx + b2 − e c( a 2 x + b2 ) 2 = a 2 y − dx + b2 − e  (1) Ta cã hÖ ph¬ng tr×nh :  c( a 2 y + b2 ) 2 = a1cx + b1c  (2) LÊy (1) - (2) ta ®îc : ( x − y ) ( cA 2 + cAB + cB 2 + 1) = 0 ⇔ x = y hoÆc cA2 + cAB + cB 2 + 1 = 0 Víi A = (a 2 x + b2 ) ; B = a 2 y + b2 Trêng hîp 1 : x = y thay vµo (*) ta ®îc ph¬ng tr×nh bËc 3 : ( a 2 x + b2 ) 3 = a1 x + b1 Trêng hîp 2 : ( ) c A 2 + AB + B 2 + 1 = 0 (3) B 3B 2 NhËn xÐt : A 2 + AB + B 2 = ( A + ) 2 + ≥0 2 4 NÕu c > 0 th× (3) v« nghiÖm. c < 0 th× gi¶i hÖ (*) vµ (3). 2. Bµi tËp : Bµi 1 : Gi¶i ph¬ng tr×nh : 23 2 x + 1 = x 3 − 1 Gi¶i : §Æt 3 2x + 1 = y ⇔ y 3 = 2x + 1 x 3 = 2 y + 1  (4) Ta cã hÖ ph¬ng tr×nh :  3  y = 2x + 1  (5) LÊy (4) - (5) ta ®îc : ( x − y ) ( x 2 + xy + y 2 + 2) = 0 ⇔x=y Thay vµo (4) ta ®îc : x 3 − 2 x − 1 = 0  x = −1 ⇔ 2 x − x −1 = 0 Trang 7
  8. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm - TriÖu S¬n 4 GV: Ng« ThÞ Xu©n  x = −1 ⇔ x = 1 ± 5   2 XÐt líp ph¬ng tr×nh d¹ng : a 3 af ( x) + b = [ f ( x )] − b 3 Bµi 2 : Gi¶i ph¬ng tr×nh : 4 3 81x − 8 = x 3 − 2 x 2 + x−2 (5) 3 Gi¶i : 2 46 (5) ⇔ 3 81x − 8 = ( x − ) 3 − 3 27 1 46 ⇔ 3 81x − 8 = (3 x − 2) 3 − 27 27 §Æt : 3 81x − 8 = 3 y − 2 ⇔ ( 3 y − 2 ) = 81x − 8 3 (6) 1 1 ⇔ (3 y − 2) 3 = (81x − 8) 27 27 1 8 ⇔ (3 y − 2) 3 = 3 x − 27 27 Ta cã hÖ ph¬ng tr×nh : 1 8 (7 )  27 (3x − 2) = 3 y − 27 3    1 (3 y − 2) 3 = 3x − 8 (8)  27  27 LÊy (7) - (8) ta ®îc : ( x − y )  1 [( 3x − 2) 2 + (3x − 2)(3 y − 2) + (3 y − 2) 2 ] + 3 = 0    27  ⇔x=y Thay vµo (6) ta ®îc : (3x − 2) 3 = 81x − 8 ⇔ 9 x 3 − 18 x 2 − 23 x = 0 x = 0 ⇔ 2 9 x − 18 x − 23 = 0 Trang 8
  9. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm - TriÖu S¬n 4 GV: Ng« ThÞ Xu©n x = 0 ⇔ x = 3 ± 4 2   3 3± 4 2 VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã 3 nghiÖm : 0; 3 Bµi 3 : Gi¶i ph¬ng tr×nh : (8 cos 3 x + 1) 3 = 162 cos x − 27 Gi¶i : §Æt : 2 cos x = X ; §iÒu kiÖn : | X |≤ 2 Ta cã ph¬ng tr×nh : ( X 3 + 1) = 81x − 27 3 (9) §Æt : X 3 + 1 = 3Y Thay vµo (9) ta ®îc : Y 3 = 3 X − 1  X 3 + 1 = 3Y  (10) Ta cã hÖ ph¬ng tr×nh :  3 Y + 1 = 3 X  (11) LÊy (10) - (11) ta ®îc : ( X − Y )( X 2 + XY + Y 2 + 1) = 0 ⇔ X =Y Thay vµo (10) ta ®îc : X 3 − 3 X + 1 = 0 Thay X = 2 cos x ta ®îc : 8 cos 3 x − 6 cos x = −1 ⇔ 2( 4 cos 3 x − 3 cos x) = −1 ⇔ 2 cos 3 x = −1 1 ⇔ cos 3 x = − 2 2Π ⇔ 3x = ± + k 2Π , k∈Z 3 2Π k 2Π ⇔x=± + k ∈Z 9 3 [ ] XÐt líp d¹ng : [ f ( x ) ] 3 + 1 = 81 f ( x ) − 4 3 Bµi 4 : Gi¶i ph¬ng tr×nh : 3 2 x − 9 = (2 x − 3) 3 + 6 Gi¶i : §Æt : 2 x = X , X >0 X − 9 = ( X − 3) + 6 3 Ta cã ph¬ng tr×nh : 3 Trang 9
  10. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm - TriÖu S¬n 4 GV: Ng« ThÞ Xu©n §Æt : 3 X −9 =Y −3 ⇔ X − 9 = (Y − 3) 3  ( X − 3) = Y − 9 3 (12) Ta cã hÖ ph¬ng tr×nh :  (Y − 3) 3 = X − 9  (13) LÊy (11) - (12) ta ®îc : [ ] ( X − Y ) ( X − 3) 2 + ( X − 3)(Y − 3) + (Y − 3) 2 + 1 = 0 ⇔ X =Y Thay vµo (12) ta ®îc : X 3 − 9 X 2 + 27 X − 18 = 0 X = 1 ⇔ 2  X − 9 X + 18 = 0 X =1 ⇔ X = 6  (tho¶ m·n) X = 3  Víi X = 1 ⇒ 2x = 1 ⇔ x = 0 X = 6 ⇒ 2 x = 6 ⇔ x = log 2 6 X = 3 ⇒ 2 x = 3 ⇔ x = log 2 3 3. Bµi tËp tù gi¶i : 1) x 3 + 2 = 33 3 x − 2 2) x 3 + 1 = 23 2 x − 1 3) 3 3x − 5 = 8 x 3 − 36 x 2 + 53x − 25 4) x 3 − 3 x 2 + 3 x − 163 x − 9 = 0 Nh÷ng khã kh¨n mµ häc sinh thêng gÆp lµ vÊn ®Ò chän sè a2, b2 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn : a2 = a1c + d b2 = b1c + e D¹ng 3 : Ph¬ng tr×nh d¹ng : f(f(x)) = x (III) 1.- Bµi to¸n tæng qu¸t : Gi¶i ph¬ng tr×nh f(f(x)) = x Víi f (x) lµ hµm sè ®ång biÕn trªn D x ⊂ R Trang 10
  11. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm - TriÖu S¬n 4 GV: Ng« ThÞ Xu©n Gi¶i : §Æt f ( x) = y Ta cã : f ( y) = x Do y = f (x) lµ hµm sè ®ång biÕn trªn D x nªn f ( y ) = x lµ hµm sè ®ång biÕn trªn Dy ⊂ R .  f ( x) = y (1) Ta cã hÖ ph¬ng tr×nh :   f ( y) = x (2) Gi¶ sö D = Dx = Dy khi ®ã tõ (1) vµ (2) ⇒ y − x = f ( x) − f ( y ) ⇔ f ( x) + x = f ( y) + y (3) Do f (x) lµ hµm sè ®ång biÕn ⇒ f ( x) + x lµ hµm sè ®ång biÕn. Nªn tõ (3) ⇒ x = y Thay vµo (1), ta cã : f ( x) = x XÐt hµm sè : g ( x) = f ( x) − x Sö dông ®Þnh lý R«n : NÕu g (x) låi hoÆc lâm trªn D th× ph¬ng tr×nh g ( x) = 0 nÕu cã nghiÖm th× cã kh«ng qu¸ hai nghiÖm ∈ D . Gi¶i ph¬ng tr×nh t×m nghiÖm cña g ( x) = 0 (ChØ cÇn chØ ra 2 nghiÖm tho¶ m·n g ( x) = 0 ) 2. Bµi tËp : Bµi 1 : Gi¶i ph¬ng tr×nh : log 2 [ 3 log 2 (3x − 1) − 1] = x (4) 1 Gi¶i : §iÒu kiÖn : 3 x − 1 > 0 ⇔ x > 3 §Æt log 2 (3 x − 1) = y ⇔ 2 y = 3 x − 1 Khi ®ã (4) ⇔ log 2 (3 y − 1) = x ⇔ 2x = 3y −1 2 x = 3 y − 1  (5) Ta cã hÖ ph¬ng tr×nh :  y 2 = 3 x − 1  (6) LÊy (5) - (6) ta ®îc : 2 x + 3 x = 2 y + 3 y (7 ) §Æt : f (t ) = 2 t + 3t Ta cã : f ' (t ) = 2 t ln 2 + 3 > 0 , ∀t ∈ R ⇒ f (t ) lµ hµm sè ®ång biÕn. Khi ®ã, tõ (7) ta cã : x = y Trang 11
  12. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm - TriÖu S¬n 4 GV: Ng« ThÞ Xu©n Thay vµo (5), ta cã : 2 x = 3x − 1 ⇔ 2 x − 3x + 1 = 0 1  §Æt g ( x) = 2 x − 3 x + 1 trªn D =  ,+ ∞ 3  g ' ( x) = 2 x ln 2 − 3 1  g ' ' ( x) = 2 x ln 2 2 > 0 , ∀x ∈  ,+ ∞ 3  ⇒ g (x) lµ lâm trªn D Theo ®Þnh lý R«n : Ph¬ng tr×nh g ( x) = 0 nÕu cã nghiÖm th× cã kh«ng qu¸ 2 nghiÖm. NhËn thÊy : g(3) = g(1) = 0 ⇒ ph¬ng tr×nh : 2 x − 3 x + 1 = 0 cã 2 nghiÖm lµ 3 vµ 1. VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã 2 nghiÖm lµ 1 vµ 3. Bµi 2 : Gi¶i ph¬ng tr×nh : sin(sin x ) = x víi x ∈ [ − 1;1] Gi¶i : §Æt sin x = y ; y ∈ [ − 1;1] sin x = y (8) Ta cã hÖ ph¬ng tr×nh :  sin y = x (9) LÊy (8) - (9) ta ®îc : sin x + x = sin y + y (10) §Æt g (t ) = sin t + t Ta cã : g ' (t ) = cos t + 1 ≥ 0 , ∀t ∈ [ − 1;1] ⇒ g ( t ) ) lµ hµm sè ®ång biÕn trªn [ − 1;1] Nªn ph¬ng tr×nh (10) ⇔ x = y Thay vµo phÐp ®Æt ta cã : sin x = x §Æt : f ( x) = sin x − x Ta cã : f ' ( x) = cos x − 1 ≤ 0 , ∀x ∈ R ⇒ f (x) lµ hµm sè nghÞch biÕn trªn [ − 1;1] Vµ f ( x) = 0 ⇔ cos x = 1 ⇔ x = 0 do x ∈ [ − 1;1] B¶ng biÕn thiªn cña hµm sè f ( x) = sin x − x Trang 12
  13. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm - TriÖu S¬n 4 GV: Ng« ThÞ Xu©n x -1 0 1 f'(x) - 0 - f(x) 0 VËy ph¬ng tr×nh f ( x) = 0 cã nghiÖm x = 0 KÕt luËn : Ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm x = 0 Bµi 3 : Gi¶i ph¬ng tr×nh : (x 2 ) 2 ( + 3x − 4 + 3 x 2 + 3x − 4 = x + 4 ) Gi¶i : §Æt : x 2 + 3 x − 4 = y  2  x + 3x − 4 = y (11) Ta cã hÖ ph¬ng tr×nh :  2  y + 3y − 4 = x  (12) LÊy (11) - (12) ta ®îc : ( x − y )( x + y + 4) = 0 x = y ⇔ x + y + 4 = 0 Trêng hîp 1 : Víi x = y th× (11) cã d¹ng : x 2 + 2x − 4 = 0  x = −1 − 5 ⇔  x = −1 + 5  Trêng hîp 2 : Víi x + y + 4 = 0 ⇔ y = −4 − x Khi ®ã (11) cã d¹ng : x 2 + 4x = 0 x = 0 ⇔  x = −4 VËy ph¬ng tr×nh cã 4 nghiÖm : − 4 ; − 1− 5 ; 0; 1+ 5 Bµi 4 : Gi¶i biÖn luËn ph¬ng tr×nh : f ( f ( x)) = x Víi f ( x) = x 2 + 2 x + m Gi¶i : §Æt : f ( x) = y x 2 + 2x + m = y  (13) Ta cã hÖ :  2 y + 2y + m = x  (14) LÊy (13) - (14) ta cã : ( x − y )( x + y + 3) = 0 Trang 13
  14. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm - TriÖu S¬n 4 GV: Ng« ThÞ Xu©n Trêng hîp 1 : Víi x = y th× (14) cã d¹ng : x2 + x + m = 0 (15) ∆ = 1− 4m 1 + m> th× (15) v« nghiÖm. 4 1 1 + m= th× (15) cã nghiÖm kÐp x = − 4 2 1 − 1 ± 1 − 4m + m< th× (15) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt : x1, 2 = 4 2 Trêng hîp 2 : Víi x + y + 3 = 0 ⇔ y = − x − 3 th× (13) cã d¹ng : x 2 + 3x + m + 3 = 0 (16) ∆ = −3 − 4 m 3 + m>− th× (16) v« nghiÖm. 4 3 3 + m=− th× (16) cã nghiÖm kÐp : x = − 4 2 3 − 3 ± − 3 − 4m + m ph¬ng tr×nh ®· cho v« nghiÖm. 4 1 1 + m= ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm kÐp x = − 4 2 3 3 + m=− ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm kÐp x = − 4 2 3 3 1 + m ∈ (−∞ ;− ) ∪ (− ; ) : Ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt. 4 4 4 3. Bµi tËp tù gi¶i : 1) cos(cos x) = x víi x ∈ [ − 1;1] 2) f ( f ( x)) = x víi f ( x) = x 2 + 5 x + 3 vµ x ≥ 0 3) Cho ph¬ng tr×nh : ( ) 2 ( a ax 2 + bx + c + b ax 2 + bx + c + c = x ) T×m ®iÒu kiÖn cña a, b, c ®Ó ph¬ng tr×nh trªn v« nghiÖm. D¹ng 4 : Ph¬ng tr×nh mò vµ logarit 1. Bµi to¸n tæng qu¸t : Gi¶i ph¬ng tr×nh : S a1x +b1 = c log S (a 2 x + b2 ) + dx + e (IV) Trang 14
  15. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm - TriÖu S¬n 4 GV: Ng« ThÞ Xu©n Víi a1 , a 2 ≠ 0 ; 0 < S ≠ 1 ; a 2 = a1c + d ; b2 = b1c + e Gi¶i : §iÒu kiÖn : a 2 x + b2 > 0 §Æt : log S (a 2 x + b2 ) = a1 y + b1 ⇔ S a1 y +b1 = a 2 x + b2 S a1 y +b1 = a 2 x + b2  (1) Ta cã hÖ ph¬ng tr×nh :  a1x +b1 S  = a1cy + ( a 2 − a1c) x + b2 (2) LÊy (1) - (2) ta ®îc : S a1x +b1 + a1cx = S a1 y +b1 + a1cy (3) XÐt hµm sè : f (t ) = S a t +b + a1ct trªn D. 1 1 NÕu f (t ) ®¬n ®iÖu trªn D th× tõ (3) suy ra : x = y Thay vµo (1) ta cã : S a x +b = a 2 x + b2 1 1 §Æt : g ( x) = S a x +b − a 2 x − b2 1 1 Cã thÓ sö dông bÊt ®¼ng thøc Becnuli hoÆc ®Þnh lý R«n ®Ó gi¶i ph¬ng tr×nh g ( x) = 0 2. Bµi tËp : Bµi 1 : Gi¶i ph¬ng tr×nh : 3 x = 1 + x + log 3 (1 + 2 x ) Gi¶i : 1 §iÒu kiÖn : 1 + 2 x ≥ 0 ⇔ x > − 2 §Æt : log 3 (1 + 2 x) = y ⇔ 1 + 2 x = 3 y 3 y = 2 x + 1  (5) Ta cã hÖ ph¬ng tr×nh :  x 3 = y + x + 1  (6) LÊy (5) - (6) ta ®îc : 3x + x = 3 y + y (7) §Æt : g (t ) = 3t + t Ta cã : g ' (t ) = 3t ln 3 + 1 > 0, ∀t ⇒ g ( t ) ) lu«n ®ång biÕn trªn R. VËy (7) ⇔ x = y Thay vµo (5) ta ®îc : 3 x = 2 x + 1 Trang 15
  16. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm - TriÖu S¬n 4 GV: Ng« ThÞ Xu©n  1  XÐt hµm sè : g ( x ) = 3 x − 2 x − 1 trªn  − ,+ ∞  2  Ta cã : g ' ( x ) = 3 x ln 3 − 2  1  g ' ' ( x) = 3 x ln 2 3 > 0 , ∀x ∈  − ,+ ∞  2   1  ⇒ g (x) lu«n lâm trªn  − ,+ ∞  2  Theo ®Þnh lý R«n : Ph¬ng tr×nh g ( x) = 0 nÕu cã nghiÖm th× cã kh«ng qu¸ 2 nghiÖm. NhËn thÊy : g (0) = g (1) = 0 VËy ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm : x = 0 vµ x = 1. Bµi 2 : Gi¶i ph¬ng tr×nh : 7 x −1 = 1 + 2 log 7 (6 x − 5) 3 (8) 5 Gi¶i : §iÒu kiÖn : 6 x − 5 > 0 ⇔ x > 6 x −1 (8) ⇔ 7 = 1 + 6 log 7 (6 x − 5) (9) §Æt : log 7 (6 x − 5) = y − 1 ⇔ 6 x − 5 = 7 y −1 Khi ®ã (9) ⇔ 7 x −1 = 1 + 6( y − 1) = 6 y − 5 7 x −1 = 6 y − 5  (10) Ta cã hÖ ph¬ng tr×nh :  y −1 7 = 6 x − 5  (11) LÊy (10) - (11) ta ®îc : 7 x −1 + 6( x − 1) = 7 y −1 + 6( y − 1) (12) XÐt hµm sè : g (t ) = 7 t + 6t Ta cã : g ' (t ) = 7 t ln 7 + 6 > 0 , ∀t ⇒ g (t ) lu«n ®ång biÕn nªn (12) ⇔ x = y Thay vµo (10) ta cã ph¬ng tr×nh : 7 x −1 = 6 x − 5 5  XÐt hµm sè : f ( x) = 7 x −1 − 6 x + 5 trªn  ,+ ∞ 6  Ta cã : f ' ( x) = 7 x −1 ln 7 − 6 5 f ' ' ( x) = 7 x −1 ln 2 7 > 0 , ∀x ∈ ( ,+ ∞) 6 Trang 16
  17. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm - TriÖu S¬n 4 GV: Ng« ThÞ Xu©n ⇒ f (x) lu«n lâm trªn D. Theo ®Þnh lý R«n : Ph¬ng tr×nh f ( x) = 0 nÕu cã nghiÖm th× cã kh«ng qu¸ 2 nghiÖm. NhËn thÊy : f (1) = f (2) = 0 VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã 2 nghiÖm : x = 1 vµ x = 2. Bµi 3 : Gi¶i ph¬ng tr×nh : ln(sin x + 1) = e sin x − 1 (13) Gi¶i : §iÒu kiÖn : sin x ≠ −1 §Æt : sin x = t , ®iÒu kiÖn : | t |≤ 1 Khi ®ã, (13) cã d¹ng : ln(t + 1) = e t − 1 §Æt : ln(t + 1) = y ⇔ t + 1 = e y e t − 1 = y  (14) Ta cã hÖ ph¬ng tr×nh :  y e − 1 = t  (15) LÊy (14) - (15) ta ®îc : et + t = e y + y (16) §Æt : g ( s ) = e S + s Ta cã : g ( s ) = e S + 1 > 0 , ∀s ∈ R ⇒ g (s ) lµ hµm sè ®ång biÕn nªn (16) ⇔ x = y Thay vµo (14) ta ®îc : e t = t + 1 XÐt ph¬ng tr×nh : f (t ) = e t − t − 1 trªn [ − 1;1] Ta cã : f ' (t ) = e t − 1 f ' ' (t ) = 0 ⇔ e t − 1 = 0 ⇔ t = 0 B¶ng biÕn thiªn : t -1 0 1 f'(t) - 0 + f(t) 0 Tõ b¶ng biÕn thiªn ta thÊy ph¬ng tr×nh f ( x) = 0 cã nghiÖm duy nhÊt x = 0 VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm : x = 0 3. Bµi tËp tù gi¶i : 1) 6 x = 1 + 2 x + 3 log 6 ( 5 x + 1) Trang 17
  18. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm - TriÖu S¬n 4 GV: Ng« ThÞ Xu©n 2 sin 2 x Π 2)   1   + sin ( ) = cos 2 x + log 4 4 cos 3 x − cos 6 x − 1 2 6 3) ln[ f ( x) + 1] = e f ( x ) − 1 a) Víi : f ( x) = log 2 x b) Víi : f ( x) = cos x V.- KÕt luËn : XuÊt ph¸t tõ thùc tÕ gi¶ng d¹y, t«i nhËn thÊy khi gi¶i ph¬ng tr×nh cã chøa c¸c hµm sè ngîc nhau häc sinh thêng gÆp nhiÒu khã kh¨n. Sau khi nghiªn cøu tÝnh chÊt cña c¸c hµm sè ngîc nhau t«i thÊy cã nhiÒu thó vÞ vµ nhÊt lµ khi vËn dông ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô ®Ó ®a ph¬ng tr×nh vÒ hÖ ph¬ng tr×nh ®èi xøng, do ®ã t«i ®· viÕt ®Ò tµi nµy víi mong muèn gióp häc sinh t×m ra ph¬ng ph¸p gi¶i tèi u. MÆc dï t«i rÊt cè g¾ng nhng kh«ng tr¸nh khái nh÷ng thiÕu xãt. RÊt mong sù gãp ý cña b¹n ®äc nhÊt lµ c¸c b¹n ®ång nghiÖp. RÊt mong c¸c ®ång nghiÖp sÏ tiÕp tôc nghiªn cøu ®Ó lµm phong phó h¬n ®Ò tµi. T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n ! TriÖu S¬n, ngµy 10 th¸ng 4 n¨m 2006 Gi¸o viªn thùc hiÖn Ng« Xu©n Trang 18
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
16=>1