Đề tài: “Về nhóm đồng luân của không gian tôpô”

Chia sẻ: Nguyen Van An An | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:41

Thêm vào BST

Báo xấu

287
lượt xem 82
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tôpô đại số là một trong những ngành cơ bản của toán học hiện đại. Nó ra đời vào những năm thế kỉ XX. Từ đó cho đến nay, tôpô đại số được nhiều nhà toán học lỗi lạc trên thế giới như H.Poincaré, S.Lefschetz, P.S.Alexandrov, E.Noether, S.Eilenberg, N.Esteerod, E.Cech, A.Kolmogorov, E.Cartan, Ch.Ehresman, H.Cartan, R.Godement, ... quan tâm nghiên cứu và phát triển. Ngày nay, tôpô đại số đã đạt được những thành tựu vô cùng rực rỡ và trở thành một trong những lĩnh vực hàng đầu để mọi người làm toán quan tâm học tập và nghiên cứu....

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề tài: “Về nhóm đồng luân của không gian tôpô”

1 Đề tài “Về nhóm đồng luân của không gian tôpô”
2 MỤC LỤC Trang LỜI NÓI ĐẦU 1 CHƯƠNG 1 2 NHÓM CƠ BẢN CỦA KHÔNG GIAN TÔPÔ 1.1. Định nghĩa cơ bản……………………………………………….. 2 1.2. Định lý Van - Kampen ………………………………………….. 11 1.3. Nhóm cơ bản của nhóm tôpô……………………………………. 14 1.4. Nhóm cơ bản của tích các không gian tôpô……………………… 16 CHƯƠNG 2 17 NHÓM ĐỒNG LUÂN CỦA KHÔNG GIAN TÔPÔ 2.1. Nhóm đồng luân tuyệt đối của không gian tôpô………………… 17 2.2. Nhóm đồng luân tương đối. Dãy khớp đồng luân của cặp không 23 gian tôpô………………………………………………………… 2.3. Liên hệ với nhóm đồng đều……………………………………… 29 KẾT LUẬN 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO 36
3 MỞ ĐẦU Tôpô đại số là một trong những ngành cơ bản của toán học hiện đại. Nó ra đời vào những năm thế kỉ XX. Từ đó cho đến nay, tôpô đại số được nhiều nhà toán học lỗi lạc trên thế giới như H.Poincaré, S.Lefschetz, P.S.Alexandrov, E.Noether, S.Eilenberg, N.Esteerod, E.Cech, A.Kolmogorov, E.Cartan, Ch.Ehresman, H.Cartan, R.Godement, ... quan tâm nghiên cứu và phát triển. Ngày nay, tôpô đại số đã đạt được những thành tựu vô cùng rực rỡ và trở thành một trong những lĩnh vực hàng đầu để mọi người làm toán quan tâm
4 học tập và nghiên cứu. Đây chính là lý do để tác giả chọn “Về nhóm đồng luân của không gian tôpô” làm đề tài nghiên cứu luận văn tốt nghiệp. Nội dung chính của luận văn là tìm hiểu việc thiết lập một bất biến của các không gian tôpô, đồng thời thiết lập mối quan hệ giữa các nhóm đồng luân và các nhóm đồng điều của cùng một không gian tôpô. Luận văn này gồm hai chương: Chương I – Nhóm cơ bản của không gian tôpô.Trong chương này tác giả trình bày các khái niệm, kết quả và một số kiến thức cơ sở nhóm cơ bản của không gian tôpô, có liên quan trực tiếp đến việc nghiên cứu của đề tài. Chương II – Nhóm đồng luân của không gian tôpô. Đây là nội dung chính của luận văn, và sẽ được trình bày từ các trường hợp đơn giản đến phức tạp. Luận văn được thực hiện dưới sự hướng dẫn nghiêm túc và chu đáo của PGS.TS. Nguyễn Thành Quang. Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn PGS.TS. Nguyễn Thành Quang Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới PGS.TS. Ngô Sỹ Tùng, PGS.TS. Lê Quốc Hán, các thầy cô giáo trong Bộ môn Đại số và Khoa Toán, Khoa Sau Đại học đã tận tâm dạy bảo chúng em trong thời gian học tập vừa qua, dưới mái trường Đại học Vinh thân yêu. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới những người bạn học viên cao học khóa 16 chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số đã tận tình giúp đỡ trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này. Luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả mong nhận được sự chỉ bảo của thầy cô giáo cùng các bạn học viên. Tác giả
5 CHƯƠNG 1 NHÓM CƠ BẢN CỦA KHÔNG GIAN TÔPÔ 1.1. Định nghĩa cơ bản 1.1.1. Định nghĩa. Cho X là một không gian tôpô, I = [ 0,1] là không gian con của đường thẳng thực R . Một ánh xạ liên tục ω :I → X được gọi là một con đường trong không gian tôpô X. Điểm ω (0) gọi là điểm gốc, điểm ω (1) được gọi là điểm cuối của con đường ω . Nếu ω (0) = ω (1) = x0 ∈ X thì ω được gọi là con đường đóng tại x0 .
6 1.1.2. Định nghĩa. Cho ω , ω ' là hai con đường trong không gian tôpô X mà ω (1) = ω '(0) . Ánh xạ liên tục ω ∗ ω ' : I → X cho bởi ⎧ 1 ⎪ω (2t ) ⎪ nÕu 0 ≤ t ≤ 2 ω ∗ ω '(t ) = ⎨ ⎪ω '(2t − 1) 1 nÕu ≤ t ≤1 ⎪ ⎩ 2 được gọi là nối tiếp hai con đường ω , ω ' . Chú ý rằng ω ∗ ω ' là ánh xạ liên tục vì ω ⎛ 2. ⎞ = ω ' ⎛ 2. − 1⎞ . Con đường 1 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝ 2 ⎠ ω ∗ ω ' có điểm gốc ω ∗ ω '(0) = ω (0) và điểm cuối ω ∗ ω '(1) = ω '(1) . ω (1) . ω '(1) . . ω (0) ω '(0) 1.1.3. Định nghĩa. Cho hai con đường ω , ω ' có cùng điểm gốc và điểm cuối trong không gian tôpô X. Ta nói ω tương đương đồng luân mút cố định với ω ' và kí hiệu ω ω ' rel I nếu tồn tại một ánh xạ liên tục h : I × I → X sao cho: & h(t , 0) = ω (t ) h(t ,1) = ω '(t ) h(0,τ ) = ω (0) = ω '(0) h(1,τ ) = ω (1) = ω '(1) với mọi t ∈ I , τ ∈ I . Khi đó ta cũng nói ω đồng luân mút cố định với ω ' nhờ h .
7 . h(t , 0) ω '(0) ω (1) . . ω (0) . h(t ',τ ) ω '(1) . h(t ,1) Nhận xét: Quan hệ đồng luân mút cố định giữa các con đường trong không gian tôpô X là một quan hệ tương đương. Thật vậy ω ω rel I vì có thể chọn ánh xạ h theo công thức h(t ,τ ) = ω (t ), ∀t , τ ∈ I . & Nếu ω ω ' rel I& nhờ ánh xạ h thì ω ' ω rel I& nhờ ánh xạ h ' với h '( t , τ ) = h ( t , 1 − τ ) . Nếu ω ω ' rel I& nhờ ánh xạ h , ω ' ω '' rel I& nhờ ánh xạ h ' thì ω ω '' rel I& nhờ ánh xạ h '' xác định công thức ⎧ 1 ⎪h(t , 2τ ) ⎪ nÕu 0 ≤ τ ≤ 2 h ''(t ,τ ) = ⎨ ⎪ h '(t , 2τ − 1) 1 nÕu ≤τ ≤1 ⎪ ⎩ 2 Lớp tương đương của con đường ω được kí hiệu là [ω ] . 1.1.4. Mệnh đề. 1. Nếu ω1 ω rel I&, ω1' = ω ' rel I& và ω(1) = ω '(0) thì [ω ∗ ω '] = ⎡ω1 ∗ ω1' ⎤ . ⎣ ⎦ 2. Giả sử ε x : I → X , ε x (t ) = x, ∀t ∈ I (với x là phần thuộc X ) và ω là một con đường trong X nối x0 với x1 . Khi đó ⎡ε x0 ∗ ω ⎤ = [ω ] , ⎡ω ∗ ε x1 ⎤ = [ω ] . ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 3. Cho ω : I → X , ω (0) = x0 , ω (1) = x1
8 Ta xác định con đường ω bởi công thức ω (t ) = ω (1 − t ) Khi đó ⎡ω ∗ ω ⎤ = ⎡ε x ⎤ , ⎡ω ∗ ω ⎤ = ⎡ε x ⎤ . ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ 0 ⎦ ⎣ ⎦ 1 4. Nếu ω nối x0 với x1 , ω ' nối x1 với x2 , ω '' nối với x2 với x3 thì ⎡(ω ∗ ω ' ) ∗ ω ''⎤ = ⎡ω ∗ (ω '∗ ω '') ⎤ . ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Chứng minh. 1. Giả sử ω1 ω rel I& nhờ h, ω1' ω ' rel I& , nhờ h ' . Ta xác định ánh xạ h '' : I × I → X bởi công thức ⎧ 1 ⎪h(2t ,τ ) ⎪ nÕu 0 ≤ t ≤ 2 h ''(t ,τ ) = ⎨ ⎪ h '(2t − 1,τ ) nÕu 1 ≤ t ≤ 1 ⎪ ⎩ 2 Vì h(1,τ ) = h '(0,τ ) nên h '' là ánh xạ liên tục. Ta có ⎧ 1 ⎪h(2t , 0) nÕu 0 ≤ t ≤ ⎪ 2 h ''(t , 0) = ⎨ ⎪ h '(2t − 1, 0) 1 nÕu ≤ t ≤1 ⎪ ⎩ 2 ⎧ 1 ⎪ω1 (2t ) ⎪ nÕu 0 ≤ t ≤ 2 =⎨ ⎪ ω ' (2t − 1) nÕu 1 ≤ t ≤ 1 ⎪ 1 ⎩ 2 = ω1 ∗ ω1' (t ) Tương tự, h ''(t ,1) = ω ∗ ω '(t ) Dễ thấy h ''(0,τ ) = ω1 (0), h ''(1,τ ) = ω1' (1) . Do đó ω1 ∗ ω1' ω ∗ ω 'rel I& , tức là ⎡ω1 ∗ ω1' ⎤ = [ω ∗ ω '] . ⎣ ⎦ 2. Xác định ánh xạ ϕ : I → I
9 ⎧ 1 ⎪0 nÕu 0 ≤ t ≤ ⎪ 2 ϕ (t ) = ⎨ ⎪ 2t − 1 1 nÕu ≤ t ≤1 ⎪ ⎩ 2 Ánh xạ này có đoạn ⎡0, ⎤ về 0 và dãn ⎡ ,1⎤ thành I 1 1 ⎢ 2⎥ ⎣ ⎦ ⎢2 ⎥ ⎣ ⎦ 1 1 1 1 2 2 0 0 Xét ánh xạ h : I × I → X h(t ,τ ) = ω (τ ϕ (t ) + (1 − τ )t ) Ta có h(t , 0) = ω (t ) ⎧ 1 ⎪ω (0) ⎪ nÕu 0 ≤ t ≤ 2 h(t ,1) = ω (ϕ (t )) = ⎨ ⎪ ω (2t − 1) 1 nÕu ≤ t ≤ 1 ⎪ ⎩ 2 ⎧ 1 ⎪ε x0 (2t ) ⎪ nÕu 0 ≤ t ≤ 2 =⎨ = ε x0 ∗ ω (t ) ⎪ω (2t − 1) 1 nÕu ≤ t ≤ 1 ⎪ ⎩ 2 Dễ thấy h(0, τ ) = ω (0), h(1, τ ) = ω (1) Vậy ω = ε x ∗ ω rel I& hay [ω ] = ⎡ε x ∗ ω ⎤ 0 ⎣ ⎦ 0 Xét ánh xạ ψ :I →I
10 ⎧ 1 ⎪2t nÕu 0 ≤ t ≤ ⎪ 2 ψ (t ) = ⎨ ⎪1 1 nÕu ≤ t ≤1 ⎪ ⎩ 2 và ánh xạ h ' : I × I → X h '(t ,τ ) = ω ((1 − τ )ϕ (t ) + tτ ) Dễ kiểm tra rằng ω ∗ ε x 1 ω rel I , tức là ⎡ω ∗ ε x ⎤ = [ω ] & ⎣ ⎦ 1 3. Vì (ω ) = ω nên chỉ cần chứng minh ω ∗ ω ε x . Xét ánh xạ h : I × I → X 0 ⎧ τ ⎪ x0 nÕu 0 ≤ t ≤ 2 ⎪ ⎪ω (2t − τ ) τ 1 nÕu ≤ t ≤ ⎪ 2 2 h (t , τ ) = ⎨ ⎪ω (2 − 2t − τ ) 1 2 −τ nÕu ≤ t ≤ ⎪ 2 2 ⎪ 2 −τ ⎪ x0 nÕu ≤ t ≤ 1 ⎩ 2 Dễ thấy ánh xạ h là liên tục ⎧ 1 ⎪ ω (2t ) nÕu 0 ≤ t ≤ Ta có h(t , 0) = ⎪ ⎨ 2 ⎪ω (2 − 2t ) nÕu 1 ≤ t ≤ 1 ⎪ ⎩ 2 ⎧ 1 ⎪ω (2t ) ⎪ nÕu 0 ≤ t ≤ 2 =⎨ ⎪ω (2t − 1) nÕu 1 ≤ t ≤ 1 ⎪ ⎩ 2 = ω ∗ ω (t ) h(t , 1) = x0 = ε x0 (t ), h(0, τ ) = h(1, τ ) = x0 Vậy ω ∗ ω ε x rel I& 0 4. Ta xác định ánh xạ h : I × I → X
11 ⎧ ⎛ 4t ⎞ τ +1 ⎪ω ⎜ 1 + τ ⎟ nÕu 0 ≤ t ≤ 4 ⎪ ⎝ ⎠ ⎪ τ +1 τ +2 h(t ,τ ) = ⎨ ω '(4t − τ − 1) nÕu ≤ t ≤ ⎪ 4 4 ⎪ ⎛ 4t − 2 − τ ⎞ τ +2 ⎪ ω '' ⎜ ⎟ nÕu ≤ t ≤1 ⎩ ⎝ 2 −τ ⎠ 4 Dễ thấy h là ánh xạ liên tục và h(t , 0) = ((ω ∗ ω ') ∗ ω '') (t ) h(t , 1) = (ω ∗ (ω ' ∗ ω '')) (t ) h(0, τ ) = ω (0); h(1, τ ) = ω ''(1) Vậy (ω ∗ ω ') ∗ ω ∗ (ω ' ∗ ω '') rel I& . 1.1.5. Định nghĩa Cho không gian tôpô X và x0 ∈ X . Kí hiệu π 1 ( X , x0 ) là tập các lớp đồng luân mút cố định của các con đường đóng tại π 1 ( X , x0 ) = {[ω ] ; ω : I → X , ω (0) = ω (1) = x0 } Ta xác định một phép toán hai ngôi trên tập π 1 ( X , x0 ) : Với [ω ] , [ω '] thuộc π 1 ( X , x0 ) ta định nghĩa [ω ] ∗ [ω '] = [ω ∗ ω '] Từ định lý trên ta suy ra Sn ( X , x0 ) = { f : ( I n , I&n ) → ( X , x0 )} cùng với phép toán ∗ là một nhóm. Nhóm π 1 ( X , x0 ) được gọi là nhóm cơ bản của không gian tôpô X với điểm đánh dấu x0 (hay với điểm gốc x0 ). Chú ý. Ta xét các cặp ( X , A) trong đó X là không gian tôpô và A là một tập con của X . Khi A là một điểm { x0 } thì viết ( X , x0 ) và gọi là không gian tôpô X với điểm đánh dấu x0 (hay điểm gốc x0 ).
12 Ánh xạ f :( X , A) → (Y , B) được hiểu là ánh xạ liên tục f : X → Y sao cho f ( A) ⊂ B . Cho X ' là không gian con của X , hai ánh xạ f , g : ( X , A) → (Y , B ) được gọi là tương thích trên X ' nếu f x' =g x . Hai ánh xạ f , g : ( X , A) → (Y , B) tương thích trên X ' được gọi là tương đương đồng luân cố định trên X ' nếu có ánh xạ liên tục H : X × I → Y , I = [ 0, 1] thoả mãn các điều kiện: H ( x, 0) = f ( x), H ( x, 1) = g ( x) H ( x, t ) = f ( x) = g ( x), ∀x ∈ X ', t ∈ I Khi đó ta kí hiệu f g rel X ' và nói H là đồng luân cố định trên X ' nối f với g cũng là một quan hệ tương đương và hợp thành các ánh xạ tương đương đồng luân cố định. Với thuật ngữ này, con đường ω trong X đóng tại x0 là ánh xạ ω :( I , I ) → ( X , x0 ) , trong đó I = {0,1} là biên của I , còn [ω ] là lớp các ánh xạ liên & & tục đồng luân cố định trên I& với ω . Cho f g rel X ' và nói H là đồng luân cố định trên X ' nối f với g . Quan hệ đồng luân cố định cũng là một quan hệ tương đương và hợp thành các ánh xạ tương đương đồng luân cố định. Với thuật ngữ này, con đường ω trong X đóng tại x0 là ánh xạ ω : ( I , I&) → ( X , x0 ) trong đó I = {0,1} là biên của I , còn [ω ] là lớp các ánh xạ & liên tục đồng luân cố định trên I& với ω . Cho f : ( X , x0 ) → (Y , y0 ) Khi đó nếu ω và ω ' là hai con đường trong X đóng tại x0 thì f ω và f ω ' là hai con đường trong Y đóng tại y0 . Dễ thấy, nếu ω ω ' rel I& thì foω & foω ' rel I Do đó ta có ánh xạ f :π 1 ( X , x0 ) → π 1 (Y , y 0 )
13 f* ([ω ]) = [ foω ] 1.1.6. Mệnh đề. Ánh xạ f* : π 1 ( X , x0 ) → π 1 (Y , y0 ) là đồng cấu nhóm. Chứng minh. Ta cần chứng minh f* ([ω1 ] ∗ [ω2 ]) = f* ([ω1 ]) ∗ f* ([ω2 ]) với ω1 và ω2 là hai đường trong X đóng tại x0 . Điều này là hiển nhiên vì f o (ω1 ∗ ω2 ) = ( f oω1 ) ∗ ( f oω2 ) . Đồng cấu f∗ được gọi là đồng cấu cảm sinh bởi f . Dễ thấy ( f o g ) . = f∗ o g∗ và (1×)∗ = 1π ( X , x ). . 1 0 1.1.7. Mệnh đề. Cho f , g :( X , x0 ) → (Y , y0 ) . Nếu f g rel { x0 } thì f∗ = g∗ . Chứng minh. Giả sử ω : ( I , I&) → ( X , x0 ) ta có f∗ ([ω ]) = [ f ω ] , g∗ ([ω ]) = [ gω ] . Gọi H là đồng luân cố định nối f với g , H : X × I → Y . Với mỗi t ∈ I , xét ánh xạ H t : X → Y , H t ( x) = H ( x, t ) Xét ánh xạ h : I × I → Y , h(t , τ ) = Hτ . ω (t ) Khi đó h(t , 0) = f . ω (t ) h(t , 1) = g . ω (t ) h(0, τ ) = h(1, τ ) = y0 Do đó f . ω g . ω rel I& , tức là [ f . ω ] = [ g . ω ] . Chú ý. Nếu x0 , x1 là hai điểm của không gian tôpô X và giả sử tồn tại con đường θ trong X nối x0 với x1 , θ (0) = x0 , θ (1) = x1 . Khi đó ánh xạ π 1 ( X , x0 ) a π 1 ( X , x1 )
14 [ω ] a ⎡θ ∗ ω ∗ θ ⎤ ⎣ $ ⎦ ω θ . . x1 x0 Dễ thấy ánh xạ trên là một đẳng cấu nhóm. Như vậy, nếu X là liên thông cung thì với x0 , x1 tuỳ ý của X , các nhóm π 1 ( X , x0 ) và π 1 ( X , x1 ) luôn đẳng cấu. Các nhóm đẳng cấu đó được kí hiệu chung là π 1 ( X ) và gọi là nhóm cơ bản của không gian liên thông cung X . Vậy nhóm cơ bản là một bất biến đồng luân của các không gian tôpô liên thông cung. 1.1.8. Định nghĩa. Không gian tôpô liên thông cung có nhóm cơ bản tầm thường được gọi là không gian tôpô đơn liên. Ví dụ. Không gian thắt được gọi là không gian đơn liên. Cho không gian thắt được X và x0 , x1 là hai điểm tuỳ ý của X . Vì X là không gian thắt được nên tồn tại ánh xạ liên tục h : X × I → X mà h( x, 0) = x, h( x, 1) = x0 , h( x0 , t ) = x0 , ∀t ∈ I . Xét ánh xạ θ : I → X ⎧ 1 ⎪h( x0 , 2t ) nÕu 0 ≤ t ≤ ⎪ 2 θ (t ) = ⎨ ⎪ h( x , 2 − 2t ) nÕu 1 ≤ t ≤ 1 ⎪ 1 ⎩ 2 Rõ ràng θ là ánh xạ liên tục suy ra θ là con đường trong X nối x0 với x1 . Giả sử [ω ] ∈ π 1 ( X , x0 ) là một phần tử tuỳ ý. Xác định ánh xạ h ':I × I → X
15 h '(t , τ ) = h(ω (t ), τ ) Khi đó h '(t , 0) = ω (t ) h '(t , 1) = x0 = ε x0 (t ) h '(0, τ ) = h '(1, τ ) = x0 Vậy ω ε x rel I& , hay [ω ] = ⎡ε x ⎤ , suy ra π 1 ( X , x0 ) là nhóm tầm thường. 0 ⎣ ⎦ 0 1.2. Định lý Van - Kampen Cho X là không gian liên thông cung, X 1 và X 2 là hai không gian con mở liên thông cung của X , X = X 1 ∪ X 2 và X 0 = X 1 ∩ X 2 liên thông cung khác rỗng. Với x0 ∈ X 0 ta có các nhúng j1 : ( X 0 , x0 ) → ( X 1 , x0 ) j2 : ( X 0 , x0 ) → ( X 2 , x0 ) k1 : ( X 1 , x0 ) → ( X , x0 ) k2 : ( X 2 , x0 ) → ( X , x0 ) k0 : ( X 0 , x0 ) → ( X , x0 )
16 Ta có biểu đồ giao hoán của các nhóm và các đồng cấu (k1)* π1(X1, x0) π1(X1, x0) (j1)* (k2)* (k0)* π2(X0, x0) π2(X2, x0) (j2)* vì k1 o j1 = k0 , k2 o j2 = k0 1.2.1. Mệnh đề. Nhóm cơ bản π 1 ( X , x0 ) được sinh ra bởi các ảnh của các đồng cấu (k1 )* và (k2 )* . Chứng minh. Giả sử [ω ] ∈ π 1 ( X , x0 ) . Xét một phân hoạch của đoạn [0,1] : 0 = t0 < t1 < ... < tn < tn +1 = 1 Và ω1 : I → X , ωi (t ) = ω ((ti +1 − ti )t + ti ) Như vậy ωi là con đường nối ω (ti ) với ω (ti +1 ) , tức là thu hẹp của ω trên đoạn [ti , ti +1 ] . Theo giả thiết { X 1 , X 2 } là một phủ mở của X , theo định lý Lebesgue về ε - phủ ta có thể chọn phân hoạch của [0,1] sao cho ωi ( I ) = ω ([ti , ti +1 ]) được chứa hoàn toàn trong X 1 hoặc X 2 và ω2 (0) = ω (ti ) ∈ X 0 . Với mỗi i = 1, 2, ..., n tồn tại một con đường θi trong X 0 nối x0 với ω (ti ) (vì X 0 liên thông cung). x2 ω x1 θ2 o θ1 x0
17 Ta có: [ω ] = [ω0 ∗ ω1 ∗ ... ∗ ωn ] = ⎡ω0 ∗ θ1 ∗ θ1 ∗ ω1 ∗ θ 2 ∗ θ 2 ∗ ... ∗ θ n ∗ θ n ∗ ωn ⎤ ⎣ ⎦ = ⎡ω0 ∗ θ1 ⎤ ∗ ⎡θ1 ∗ ω1 ∗ θ 2 ⎤ ∗ ... ∗ [θ n ∗ ωn ] ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Mỗi con đường ω0 ∗ θ1 ∗ ω1 ∗ θ 2 ,..., θ n ∗ ωn đóng tại x0 và chứa X 1 hoặc X 2 nên mệnh đề được chứng minh. 1.2.2. Hệ quả. Với các giả thiết như mệnh đề trên và nếu X 1 , X 2 đơn liên thì X đơn liên. Ví dụ .Với n ≥ 2 , mặt cầu S n là không gian đơn liên. Đặt: X 1 = S n − { N } , X 2 = S n − {S } trong đó N = (0, 0, ..., 1), S = (0, 0, ..., − 1) Khi đó X 1 và X 2 đồng phôi với R n Vì R là không gian thắt được nên X 1 và X 2 đơn liên. Ngoài ra X 0 = X 1 ∩ X 2 n đồng phôi với R \ {0} là liên thông cung nếu n ≥ 2 . Do đó S n là không gian n tôpô đơn liên. Chú ý . Mệnh đề 1.2.2. Là một trường hợp riêng của định lý Van - Kampen, ta sẽ không chứng minh định lý này. 1.2.3. Định lý Van – Kampen. Cho X là một không gian tôpô liên thông cung, x0 ∈ X , {Uα }α∈A là một phủ mở của X đóng kín với giao hữu hạn (tức là nếu Uα ∩ U β ≠ ∅ thì có γ ∈ A để Uα ∩ U β = Uγ ) và mọi Uα liên thông chứa x0 . Gọi ϕα : π 1 (U ω , x0 ) → π 1 ( X , x0 ) là đồng cấu gây bởi nhúng: Uα → X . Nếu Uα ⊂ U β gọi ϕ βα : π (U ω , x0 ) → π 1 (U β , x0 ) là đồng cấu gây bởi nhúng Uα → U β
18 Khi đó, với một nhóm G tuỳ ý và họ các đồng cấu nhóm gα : π 1 (U ω , x0 ) → G sao cho ∀α , β ∈ A, Uα ⊂ U β ta có g β , ϕ βα = g a thì có một và chỉ một đồng cấu nhóm g : π 1 ( X , x0 ) → G sao cho g . ϕα = g a với mọi α ∈ A . π1(Uα, x0) gα ϕα ϕβα G g π1(X, x0) gβ ϕβ π1(Uβ, x0) 1.3. Nhóm cơ bản của nhóm tôpô 1.3.1. Định nghĩa. Cho G là một nhóm tôpô, ω và ω ' là hai đường trong G . Tích của hai đường ω và ω ' là một đường trong G , kí hiệu là ω . ω ' , và được xác định như sau: ω . ω ' : I → G, (ω . ω ')(t ) = ω (t ) . ω '(t ) Dễ thấy nếu ω và ω ' là hai đường đóng tại phần tử đơn vị e ∈ G thì đường ω.ω ' cũng là đường đóng tại e .
19 1.3.2. Mệnh đề. Nếu ω ω ' rel I&, ω1 ω1' rel I& bởi h ' . Ta xác định ánh xạ h '' : I × I → G . h ''(t , π ) = h(t , τ ) . h '(t , τ ) h ''(t , 0) = h(t , 0) . h '(t , 0) = ω (t ) . ω '(t ) = (ω . ω ')(t ) h ''(t , 1) = h(t , 1) . h '(t , 1) = ω1 (t ) . ω1' (t ) = (ω1 . ω1' )(t ) h ''(0, τ ) = (ω . ω1 )(0) = (ω '. ω1' )(0) h ''(1, τ ) = (ω . ω1 )(1) = (ω '. ω1' )(1) Vậy ω . ω1 ω . ω1' rel I& bởi h '' . 1.3.3. Mệnh đề. Nếu ω , ω ' là hai đường trong nhóm G đóng tại e thì các đường ω . ω ', ω ' ∗ đồng luân cố định trên I& . Chứng minh. Giả sử h1 : ω & ω ∗ ε e rel I h2 : ω & ε e ∗ ω rel I h2 : ω ' & ε e ∗ ω rel I h3 : ω ' & ε e ∗ ω ' rel I h4 : ω ' & ω ' ∗ ε e rel I Ta xét các ánh xạ h ', h '', h ''' từ I × I vào G cho bởi các công thức h '( t , τ ) = h1 ( t , τ ) . h3 ( t , τ ) h ''( t , τ ) = h 2 ( t , τ ) . h 4 ( t , τ ) h '''( t , τ ) = h 4 ( t , τ ) . h 2 ( t , τ ) Ta có h '(t , 0) = h1 (t , 0) . h3 (t , 0) = ω (t ) . ω '(t ) = (ω . ω ')(t ) h '( t , 1) = h1 ( t , 1) . h3 ( t , 1) = (ω ∗ ε e )( t ) . (ε e ∗ ω ')( t ) ⎧ 1 ⎪ω (2t ) ⎪ nÕu 0 ≤ t ≤ 2 =⎨ ⎪ ω '(2t − 1) nÕu 1 ≤ t ≤ 1 ⎪ ⎩ 2
20 = (ω ∗ ω ')(t ) h '(0, τ ) = h1 (0, τ ) . h3 (0, τ ) = e h '(1, τ ) = h1 (1, τ ) . h 3 (1, τ ) = e Vậy ω . ω ' ω ∗ ω ' r e l I& Tương tự ω . ω ' ω ' ∗ ω r e l I& ω'.ω ω ' ∗ ω rel I& . 1.3.4. Mệnh đề. Nhóm cơ bản π 1 (G, e) của nhóm tôpô G là nhóm giao hoán. Chứng minh. Theo mệnh đề trên [ω ] ∗ [ω '] = [ω ∗ ω '] = [ω . ω '] = [ω '. ω ] = [ω ' ∗ ω ] = [ω '] ∗ [ω ] . 1.4. Nhóm cơ bản của tích các không gian tôpô 1.4.1. Mệnh đề. Đối với hai không gian tôpô ( X 1 , x0 ), (Y , y0 ) các phép chiếu p1 : X × Y → X , p1 ( x , y ) = x p2 : X × Y → X , p2 ( x, y ) = x cảm sinh đẳng cấu ( p1 ) ∗ × ( p 2 ) ∗ : π 1 ( X × Y , ( x0 , y 0 )) → π 1 ( X , x0 ) × π 1 ( y , y 0 ) [ω ] a (( p1 ) ∗ ([ω ]); ( p 2 ) ∗ ([ω ])) .