Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán 7 năm 2017-2018 có đáp án - Phòng GD&ĐT Hậu Lộc

PHÒNG GD&ĐT<br /> ĐỀ HSG TOÁN 7<br /> <br /> ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI<br /> MÔN: TOÁN 7<br /> NĂM HỌC 2017 – 2018<br /> Ngày thi: 26/3/2018<br /> (Thời gian làm bài: 120 phút)<br /> <br /> Bài 1. (4,0 điểm).<br /> 13<br /> 19  23<br /> 2<br /> 8<br /> .  0,5  .3    1  :1<br /> 15<br />  15 60  24<br /> 100<br /> 20<br /> b) So sánh: 16 và 2<br /> <br /> a) Tính: A = 1<br /> <br /> Bài 2. (3,0 điểm).<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 2<br /> 2<br /> 1 n<br /> b) Tìm số tự nhiên n biết: 3 .3  4.3n  13.35<br /> <br /> a) Tìm x biết: 2 x  7 <br /> Bài 3. (4,5 điểm).<br /> <br /> 2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d<br /> <br /> <br /> <br /> a<br /> b<br /> c<br /> d<br /> ab bc cd d a<br /> Tính giá trị biểu thức Q, biết Q =<br /> <br /> <br /> <br /> cd d a ab bc<br /> <br /> a) Cho dãy tỉ số bằng nhau:<br /> <br /> x<br /> y<br /> z<br /> t<br /> với x, y, z, t là các số<br /> <br /> <br /> <br /> x y z x yt y zt x zt<br /> tự nhiên khác 0. Chứng minh M 10  1025 .<br /> <br /> b) Cho biểu thức M <br /> <br /> Bài 4. (6,5 điểm).<br /> 1) Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm BC, D là điểm thuộc<br /> đoạn BM (D khác B và M). Kẻ các đường thẳng BH, CI lần lượt vuông góc với đường<br /> thẳng AD tại H và I. Chứng minh rằng:<br /> a) BAM = ACM và BH = AI.<br /> b) Tam giác MHI vuông cân.<br /> 2) Cho tam giác ABC có góc  = 900. Kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC). Tia<br /> phân giác của góc HAC cắt cạnh BC ở điểm D và tia phân giác của góc HAB cắt cạnh<br /> BC ở E. Chứng minh rằng AB + AC = BC + DE.<br /> Bài 5. (2,0 điểm).<br /> Cho x, y, z là 3 số thực tùy ý thỏa mãn x + y + z = 0 và 1  x  1 , 1  y  1 ,<br /> 1  z  1 . Chứng minh rằng đa thức x 2  y 4  z 6 có giá trị không lớn hơn 2.<br /> -----Hết----Họ và tên thí sinh: …………………………….. Số báo danh: ..............<br /> Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay khi làm bài.<br /> <br /> HƯỚNG DẪN CHẤM<br /> <br /> Câu<br /> Bài 1.<br /> <br /> Nội dung<br /> 7 47 47<br /> :<br /> 5 60 24<br /> 7 2<br /> = <br /> 5 5<br /> <br /> + Biến đổi: A  <br /> a) 2,0 đ<br /> <br /> =1<br /> + Biến đổi: 1620  24.20  280<br /> b) 2,0 đ + Có 280  2100 vì (1 < 2 ; 80 < 100)<br /> Vậy 1620  2100<br /> Bài 2.<br /> 1<br /> 1<br />  1 => 2 x  7  1<br /> 2<br /> 2<br /> a) 2,0 đ => 2 x  7  1 hoặc 2 x  7  1<br /> <br /> + Ta có 2 x  7 <br /> <br /> => x  4 hoặc x  3<br /> Vậy x  4 hoặc x  3 .<br /> + Biến đổi được 3n.(31  4)  13.35<br /> n<br /> 6<br /> b) 1,0 đ => 3  3<br /> => n = 6<br /> KL: Vậy n = 6<br /> Bài 3.<br /> <br /> 2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d<br /> <br /> <br /> <br /> a<br /> b<br /> c<br /> d<br /> 2a  b  c  d<br /> a  2b  c  d<br /> a  b  2c  d<br /> a  b  c  2d<br /> 1 <br /> 1 <br /> 1 <br /> 1<br /> a<br /> b<br /> c<br /> d<br /> a bc  d a b c  d a b c d a b c d<br /> <br /> <br /> <br /> a<br /> b<br /> c<br /> d<br /> + Nếu a + b + c + d  0 thì a = b = c = d => Q = 1 + 1 +1 +1 = 4<br /> <br /> Điểm<br /> 4,0 đ<br /> 1,0<br /> 0,50<br /> 0,50<br /> 0,5<br /> 1,0<br /> 0,5<br /> 3,0 đ<br /> 0,5<br /> 0,5<br /> 0,5<br /> 0,5<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 4,5 đ<br /> <br /> + Biến đổi:<br /> <br /> a)<br /> (2,5 đ)<br /> <br /> + Nếu a + b + c + d = 0<br /> thì a + b = - (c + d); b + c = - (d + a); c + d = - (a + b); d + a = - (b + c)<br /> => Q = (-1) + (-1) + (-1) +(-1) = - 4<br /> + KL : Vậy Q = 4 khi a + b + c + d  0<br /> Q = - 4 khi a + b + c + d = 0<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 1,0<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> + Ta có:<br /> <br /> x<br /> x<br /> <br /> x yz x y<br /> y<br /> y<br /> <br /> x yt x y<br /> <br /> 0,1<br /> <br /> z<br /> z<br /> <br /> y z t z t<br /> <br /> b)<br /> (2,0 đ)<br /> <br /> t<br /> t<br /> <br /> x z t z t<br /> M < (<br /> <br /> x<br /> y<br /> z<br /> t<br /> <br /> <br /> )(<br /> )<br /> xy xy<br /> zt zt<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> => M < 2<br /> <br /> 0,5<br /> 0,25<br /> <br /> + Có M10 < 210 (Vì M > 0) mà 210 = 1024 < 1025<br /> Vậy M10 < 1025<br /> A<br /> <br /> I<br /> <br /> Bài 4.<br /> 0,25<br /> D<br /> B<br /> <br /> M<br /> <br /> C<br /> <br /> H<br /> <br /> 1.a/<br /> 2,75 đ<br /> <br /> 1.b/<br /> 2,0 đ<br /> <br /> * Chứng minh: BAM  ACM<br /> + Chứng minh được: ABM = ACM (c-c-c)<br /> + Lập luận được: BAM  CAM  450<br /> + Tính ra được ACM  450<br /> => BAM  ACM<br /> * Chứng minh: BH = AI.<br /> + Chỉ ra: BAH  ACI (cùng phụ DAC )<br /> + Chứng minh được AIC = BHA (Cạnh huyền – góc nhọn)<br /> => BH = AI (2 cạnh tương ứng)<br /> b) Tam giác MHI vuông cân.<br /> + Chứng minh được AM  BC<br /> + Chứng minh được AM = MC<br /> + Chứng minh được HAM  ICM<br /> + Chứng minh được HAM = ICM (c-g-c)<br /> => HM = MI<br /> + Do HAM = ICM => HMA  IMC => HMB  IMA (do<br /> <br /> 0,5<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> 0,5<br /> 0,75<br /> 0,25<br /> <br /> (*)<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> AMB  AMC  900<br /> + Lập luận được: HMI  900<br /> <br /> (**)<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> Từ (*) và (**) => MHI vuông cân<br /> A<br /> <br /> 0,25<br /> 2)<br /> 1,5đ<br /> <br /> B<br /> <br /> E<br /> <br /> H<br /> <br /> D<br /> <br /> C<br /> <br /> + Chứng minh được :<br /> AEC  ABC  BAE  HAD  DAC  BAE  EAH  HAD  DAC  EAC<br /> (Vì B và HAC cùng phụ với BAH )<br /> <br /> Bài 5.<br /> 2,0 đ<br /> <br /> Suy ra tam giác AEC cân tại C =>AC = CE<br /> + Tương tự chứng minh được AB = BD<br /> + Từ (*) và (**) => AB + AC = BD + EC = ED + BC<br /> +) Trong ba số x, y, z có ít nhất hai số cùng dấu. Giả sử x; y  0<br /> => z = - x - y  0<br /> +) Vì 1  x  1 , 1  y  1 , 1  z  1 = > x2  y 4  z 6  x  y  z<br /> => x2  y 4  z 6  x  y  z<br /> => x2  y 4  z 6  2 z<br /> +) 1  z  1 và z  0 => x2  y 4  z 6  2<br /> KL: Vậy x2  y 4  z 6  2<br /> <br /> Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.<br /> <br /> 0,25<br /> (*)<br /> (**)<br /> <br /> 0,25<br /> 0,50<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,50<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,50<br /> 0,25<br /> <br />