Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán 8 năm 2016-2017 có đáp án - Phòng GD&ĐT huyện Nga Sơn

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO<br /> HUYỆN NGA SƠN<br /> <br /> ĐỀ CHÍNH THỨC<br /> (Đề thi gồm có 01 trang)<br /> <br /> ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 THCS CẤP HUYỆN<br /> <br /> NĂM HỌC: 2016 - 2017<br /> Môn thi: Toán 8<br /> Thời gian làm bài: 150 phút<br /> Ngày thi: 04/04/2017<br /> <br /> Câu 1: (4 điểm).<br />   a  12<br /> 1  2a 2  4a<br /> 1  a3  4a<br /> <br /> <br /> :<br /> Cho biểu thức M = <br /> 2<br /> a3  1<br /> a  1  4a 2<br />  3a   a  1<br /> <br /> <br /> <br /> a) Rút gọn M.<br /> b) Tìm a để M > 0.<br /> c) Tìm giá trị của a để biểu thức M đạt giá trị lớn nhất.<br /> Câu 2: ( 5 điểm).<br /> 1) Giải các phương trình:<br /> x 2 x 4 x6 x8<br /> <br /> <br /> <br /> a)<br /> .<br /> 98<br /> 96<br /> 94<br /> 92<br /> b) x6 - 7x3 - 8 = 0.<br /> 2) Tìm m để phương trình sau vô nghiệm:<br /> 1 x<br /> x  2 2(x  m)  2<br /> <br /> <br /> .<br /> xm xm<br /> m2  x 2<br /> 3) Tìm a, b sao cho f  x   ax3  bx 2  10x  4 chia hết cho đa thức g  x   x 2  x  2 .<br /> Câu 3: ( 4 điểm).<br /> 1) Cho: x + y + z = 1 và x3 + y3 + z3 = 1. Tính A = x2015 + y2015 + z2015<br /> 2) Một người dự định đi xe máy từ A đến B với vận tốc 30km/h, nhưng sau khi đi<br /> được 1 giờ người ấy nghỉ hết 15 phút, do đó phải tăng vận tốc thêm 10km/h để đến B<br /> đúng giờ đã định. Tính quãng đường AB?<br /> Câu 4: (5 điểm).<br /> Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O, M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC (M<br /> khác B, C).Tia AM cắt đường thẳng CD tại N. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE =<br /> CM.<br /> a) Chứng minh: ∆OEM vuông cân.<br /> b) Chứng minh: ME // BN.<br /> c) Từ C kẻ CH  BN ( H  BN). Chứng minh rằng ba điểm O, M, H thẳng hàng.<br /> Câu 5: (2 điểm).<br /> Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  2016 . Tìm giá trị nhỏ nhất của<br /> biểu thức:<br /> 2a  3b  3c  1 3a  2b  3c 3a  3b  2c 1<br /> <br /> <br /> P=<br /> .<br /> 2015  a<br /> 2016  b<br /> 2017  c<br /> .................................... Hết ......................................<br /> Họ và tên thí sinh: ........................................................ Số báo danh: ....................<br /> <br /> PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO<br /> TẠO NGA SƠN<br /> <br /> HƯỚNG DẪN CHẤM HỌC SINH GIỎI LỚP 8<br /> Năm học 2016 - 2017<br /> Môn: Toán<br /> Nội dung<br /> <br /> Câu<br /> a (2đ)<br /> Điều kiện: a  0; a  1<br /> <br /> Điểm<br /> 0,5<br /> <br />  a  1  1  2a 2  4a  1  : a3  4a<br /> <br /> 2<br /> a3  1<br /> a  1  4a 2<br />  3a   a  1<br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> Ta có: M = <br /> <br />   a  12<br /> 1  2a 2  4a<br /> 1 <br /> 4a 2<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> .<br /> = 2<br />  a  a  1  a  1 a 2  a  1 a  1  a a 2  4<br /> <br /> <br /> <br />  a  1<br /> =<br /> <br /> 3<br /> <br /> <br /> <br />  1  2a 2  4a  a 2  a  1<br /> <br />  a  1  a<br /> <br /> 2<br /> <br /> <br /> <br />  a 1<br /> <br /> <br /> <br /> .<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> <br /> <br /> 4a<br /> a 4<br /> 2<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> a3  3a 2  3a  1  1  2a 2  4a  a 2  a  1 4a<br /> . 2<br /> =<br /> a 4<br />  a  1 a 2  a  1<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> a  1 4a<br /> 4a<br /> . 2<br /> = 2<br /> 3<br /> a 1 a  4<br /> a 4<br /> 4a<br /> Vậy M = 2<br /> với a  0; a  1<br /> a 4<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> b) (1đ)<br /> M > 0 khi 4a > 0suy ra a > 0<br /> kết hợp với ĐKXĐ<br /> Vậy M > 0 khi a > 0 và a  1<br /> c) (1đ)<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 3<br /> <br /> =<br /> 1<br /> 4.0đ<br /> <br /> <br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br />  <br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> a 2  4  a 2  4a  4<br /> a  2<br /> <br /> 4a<br />  1 2<br /> Ta có M = 2<br /> =<br /> a2  4<br /> a 4<br /> a 4<br /> <br />  a  2<br /> Vì 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> a 4<br /> <br /> 0<br /> <br />  a  2<br /> với mọi a nên 1 <br /> <br /> Dấu “=” xảy ra khi<br /> <br /> 2<br /> <br /> a2  4<br /> <br />  a  2<br /> <br /> 0,5<br /> <br />  1 với mọi a<br /> <br /> 2<br /> <br /> a2  4<br /> <br /> 0a2<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Vậy MaxM = 1 khi a = 2.<br /> a) (1đ)<br /> x2 x4 x6 x8<br /> <br /> <br /> <br /> 98<br /> 96<br /> 94<br /> 92<br /> x2<br /> x4<br /> x6<br /> x8<br /> +1) + (<br /> + 1) = (<br /> + 1) + (<br /> + 1)<br /> (<br /> 98<br /> 96<br /> 94<br /> 92<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> +<br /> )=0<br />  ( x + 100 )(<br /> 98 96 94<br /> 92<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br />  0<br /> Vì :<br /> + 98 96 94<br /> 92<br /> <br /> Ta có<br /> 2<br /> 5,0đ<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 2<br /> <br /> Do đó: x + 100 = 0  x = -100<br /> Vậy phương trình có nghiệm: x = -100<br /> b) (1đ)<br /> Ta có x6 – 7x3 – 8 = 0  (x3 + 1)(x3 – 8) = 0<br />  (x + 1)(x2 – x + 1)(x – 2)(x2 + 2x + 4) = 0 (*)<br /> Do x2 – x + 1 = (x –<br /> <br /> 1 2 3<br /> ) + > 0 và x2 + 2x + 4 = (x + 1)2 + 3 > 0 với mọi x,<br /> 2<br /> 4<br /> <br /> nên (*)  (x + 1)(x – 2) = 0  x {- 1; 2}<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 2) (2đ)<br /> Tìm m để phương trình sau vô nghiệm.<br /> <br /> 1  x x  2 2( x  m)  2<br /> (1)<br /> <br /> <br /> xm xm<br /> m2  x 2<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> ĐKXĐ: x+ m  0 và x- m  0  x  m<br /> <br />  (1  x)( x  m)  ( x  2)( x  m)  2  2( x  m)<br />  (2m  1) x  m  2(*)<br /> 1<br /> 3<br /> + Nếu 2m -1= 0  m  ta có (*) 0x =<br /> (vô nghiệm)<br /> 2<br /> 2<br /> 1<br /> m2<br /> + Nếu m  ta có (*)  x <br /> 2m  1<br /> 2<br /> <br /> - Xét x = m<br /> <br /> <br /> 0,5<br /> 0,25đ<br /> <br /> m2<br />  m  m  2  2m 2  m<br /> 2m  1<br /> 2<br /> <br /> 1 3<br /> <br />  2m  2m  2  0  m  m  1  0   m     0<br /> 2 4<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> (Không xảy ra vì vế trái luôn dương)<br /> Xét x= - m<br /> <br /> m2<br />  m  m  2  2m2  m  m2  1  m  1<br /> 2m  1<br /> 1<br /> Vậy phương trình vô nghiệm khi m  hoặc m = 1<br /> 2<br /> <br /> 0,25đ<br /> <br /> <br /> <br /> 0,5đ<br /> <br /> 3)(1đ)<br /> Ta có : g  x   x 2  x  2=  x 1 x  2 <br /> Vì f  x   ax3  bx 2  10x  4 chia hết cho đa thức g  x   x 2  x  2<br /> Nên tồn tại một đa thức q(x) sao cho f(x)=g(x).q(x)<br />  ax  bx  10x  4=  x+2  .  x-1 .q  x <br /> 3<br /> <br /> 0.25đ<br /> 0.25đ<br /> <br /> 2<br /> <br /> Với x=1  a+b+6=0  b=-a-6 1<br /> <br /> 0.25đ<br /> <br /> Với x=-2  2a-b+6=0  2<br /> Thay (1) vào (2) . Ta có : a=-4 và b=-2<br /> 0.25đ<br /> 3<br /> <br /> 1)(2đ)<br /> Từ x + y + z = 1  (x + y + z)3 = 1<br /> Mà: x3 + y3 + z3 = 1<br /> 3<br /> 3<br /> 3<br /> 3<br />  (x + y + z) - x - y - z = 0<br /> 3<br />   x  y  z   z 3   x3  y 3   0<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 2<br />   x  y  z  z   x  y  z    x  y  z  z  z 2    x  y  x  xy  y 2  0<br /> <br /> 0,25<br /> <br />   x  y   3z 2  3xy  3 yz  3xz   0<br /> <br /> 0.25đ<br /> <br /> 2<br /> <br />   x  y   x 2  y 2  z 2  2xy  2 yz  2xz+xz  yz  z 2  z 2  x 2  xy  y 2   0<br /> <br />   x  y  3  y  z  x  z   0<br /> x  y  0<br /> x   y<br /> <br />  y  z  0   y  z<br /> <br /> <br />  x  z  0<br />  x   z<br /> * Nếu x   y  z  1  A  x 2015  y 2015  z 2015  1<br /> * Nếu y   z  x  1  A  x 2015  y 2015  z 2015  1<br /> * Nếu x   z  y  1  A  x 2015  y 2015  z 2015  1<br /> 2) (2điểm).<br /> Gọi x (km) là độ dài quãng đường AB. ĐK x > 0.<br /> 3<br /> x<br /> (4,0đ)<br /> Thời gian dự định đi hết quãng đường:<br /> (giờ)<br /> 30<br /> Quãng đường đi được sau 1 giờ: 30 (km)<br /> Quãng đường còn lại : (x-30) (km)<br /> x  30<br /> Thời gian đi quãng đường còn lại :<br /> (giờ)<br /> 40<br /> x<br /> 1 x  30<br /> 1 <br /> Lập được phương trình :<br /> 30<br /> 4<br /> 40<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br />  4 x  30.5  3( x  30)<br />  x  60 (thỏa mã đk)<br /> Vậy quãng đường AB là 60km<br /> <br /> 4<br /> <br /> E<br /> <br /> A<br /> <br /> B<br /> 1<br /> <br /> 1<br /> O<br /> <br /> 2<br /> 3<br /> <br /> M<br /> H'<br /> 1<br /> <br /> H<br /> <br /> D<br /> C<br /> <br /> N<br /> <br /> a) (2đ)<br /> Xét ∆OEB và ∆OMC<br /> Vì ABCD là hình vuông nên ta có OB = OC<br /> 0,5<br /> <br /> Và B1  C1  450<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> BE = CM ( gt )<br /> Suy ra ∆OEB = ∆OMC ( c .g.c)<br /> <br /> 4(5đ)<br /> <br />  OE = OM và O1  O3<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Lại có O2  O3  BOC  900 vì tứ giác ABCD là hình vuông<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> O2  O1  EOM  900 kết hợp với OE = OM  ∆OEM vuông cân tại O<br /> <br /> b)(1.5đ)<br /> Từ (gt) tứ giác ABCD là hình vuông  AB = CD và AB // CD<br /> AM BM<br /> ( Theo ĐL Ta- lét) (*)<br /> <br /> MN MC<br /> Mà BE = CM (gt) và AB = CD  AE = BM thay vào (*)<br /> <br /> 0,5<br /> 0,5<br /> <br /> + AB // CD  AB // CN <br /> <br /> Ta có :<br /> <br /> AM AE<br /> <br />  ME // BN ( theo ĐL đảo của đl Ta-lét)<br /> MN EB<br /> <br /> c)(1.5đ)<br /> Gọi H’ là giao điểm của OM và BN<br /> Từ ME // BN  OME  MH ' B<br /> Mà OME  450 vì ∆OEM vuông cân tại O<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> 0,25<br /> <br />  MH ' B  450  C1<br />  ∆OMC<br /> <br /> <br /> ∆BMH’ (g.g)<br /> <br /> OM<br /> MC<br /> <br /> , kết hợp OMB  CMH ' ( hai góc đối đỉnh)<br /> BM MH ,<br /> <br />  ∆OMB<br /> <br /> ∆CMH’ (c.g.c)  OBM  MH ' C  450<br /> <br /> 0,5<br /> 0,5<br /> <br /> Vậy BH ' C  BH ' M  MH ' C  90  CH '  BN<br /> 0<br /> <br /> 5<br /> <br />