Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán 8 năm 2017-2018 có đáp án - Phòng GD&ĐT huyện Thủy Nguyên

UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN<br /> ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN<br /> PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> NĂM HỌC: 2017-2018<br /> MÔN: TOÁN 8<br /> Thời gian: 120 phút( Không kể thời gian giao đề)<br /> Câu 1. (3 điểm)<br /> 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :<br /> a, x 4  4<br /> b,  x  2 x  3 x  4 x  5  24<br /> 2. Cho<br /> <br /> a<br /> b<br /> c<br /> <br /> <br />  1. Chứng minh rằng:<br /> b  c c a a b<br /> a2<br /> b2<br /> c2<br /> <br /> <br /> 0<br /> b  c c  a a b<br /> <br /> Câu 2: (2 điểm)<br /> 1. Tìm a,b sao cho f  x   ax 3  bx 2  10x  4 chia hết cho đa thức<br /> g  x   x2  x  2<br /> <br /> 2. Tìm số nguyên a sao cho a 4  4 là số nguyên tố<br /> Câu 3.( 3,5 điểm)<br /> Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD.<br /> Kẻ ME  AB, MF  AD.<br /> a. Chứng minh: DE = CF<br /> b. Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy.<br /> c. Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất.<br /> Câu 4.(1,5 điểm)<br /> Cho a, b dương và a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002<br /> Tinh: a2011 + b2011<br /> <br /> --------------------------HẾT--------------------------<br /> <br /> UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN<br /> PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> <br /> HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG<br /> MÔN: TOÁN 8<br /> <br /> Đáp án<br /> <br /> Câu<br /> 1a.<br /> <br /> 1b.<br /> <br /> x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 - 4x2<br /> <br /> Điểm<br /> 0,5<br /> <br /> = (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> = (x2 + 2 + 2x)(x2 + 2 - 2x)<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24<br /> = (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24<br /> <br /> 1<br /> <br /> = [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> = (x2 + 7x + 11)2 - 52<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> = (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16)<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> = (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16)<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 2. Nhân cả 2 vế của:<br /> <br /> a<br /> b<br /> c<br /> <br /> <br /> 1<br /> b  c c a a b<br /> <br /> với a + b + c<br /> rút gọn  đpcm<br /> <br /> 0,5<br /> 0,5<br /> <br /> 1. Ta có : g  x   x 2  x  2=  x  1 x  2  Vì<br /> f  x   ax 3  bx 2  10x  4 chia hết cho đa thức<br /> <br /> 2<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> g  x   x2  x  2<br /> <br /> Nên tồn tại một đa thức q(x) sao cho f(x)=g(x).q(x)<br />  ax3  bx 2  10x  4=  x+2  .  x-1 .q  x <br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Với x=1  a+b+6=0  b=-a-6 1<br /> Với x=-2  2a-b+6=0  2<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Thay (1) vào (2) . Ta có : a=2 và b=4<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 2. Ta có : a 4  4=  a 2 -2a+2  a 2 +2a+2 <br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Vì a  Z  a 2 -2a+2  Z ;a 2 +2a+2  Z<br /> Có a 2 +2a+2=  a+1  1  1 a<br /> 2<br /> <br /> Và a 2 -2a+2=  a-1  1  1 a<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Vậy a 4  4 là số nguyên tố thì a 2 +2a+2=1 hoặc a 2 - 2a+2=1<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 2<br /> <br /> Nếu a 2 -2a+2=1  a  1 thử lại thấy thoả mãn<br /> Nếu a 2 +2a+2=1  a  1 thử lại thấy thoả mãn<br /> A<br /> <br /> E<br /> <br /> 0,25<br /> B<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> F<br /> <br /> M<br /> <br /> D<br /> <br /> AE  FM  DF<br /> <br /> 0,5<br /> <br />  AED  DFC  đpcm<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> a. Chứng minh:<br /> <br /> 3<br /> <br /> C<br /> <br /> b. DE, BF, CM là ba đường cao của EFC  đpcm<br /> <br /> 1<br /> <br /> c. Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi<br /> <br />  ME  MF  a không đổi<br /> <br /> 0,5<br /> <br />  SAEMF  ME.MF lớn nhất<br /> <br /> 0,25<br /> <br />  ME  MF (AEMF là h.v)<br /> <br /> 0,25<br /> <br />  M là trung điểm của BD.<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> (a2001 + b2001).(a+ b) - (a2000 + b2000).ab = a2002 + b2002<br /> <br /> 4<br /> <br /> 0,25<br /> <br />  (a+ b) – ab = 1<br /> <br /> 0,25<br /> <br />  (a – 1).(b – 1) = 0<br /> <br /> 0,25<br /> <br />  a = 1 hoặc b = 1<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Vì a = 1 => b2000 = b2001 => b = 1; hoặc b = 0 (loại)<br /> Vì b = 1 => a2000 = a2001 => a = 1; hoặc a = 0 (loại)<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Vậy a = 1; b = 1 => a2011 + b2011 = 2<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> * Chú ý : Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa<br /> <br /> -----------------HẾT------------------<br /> <br />