Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán 9 năm 2017-2018 có đáp án - Phòng GD&ĐT Tiền Hải

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> TIỀN HẢI<br /> <br /> ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2017–2018<br /> MÔN: TOÁN 9<br /> (Thời gian làm bài 120 phút)<br /> <br /> Bài 1 (4,0 điểm). Tính giá trị của các biểu thức sau:<br /> a) A =<br /> <br /> 4 + 10 + 2 5 +<br /> <br /> b) B <br /> <br />  a  bc  b  ca    c  ab  b  ca    c  ab  a  bc <br /> <br /> 4-<br /> <br /> 10 + 2 5<br /> <br /> c  ab<br /> a  bc<br /> b  ca<br /> (Với a, b, c là các số thực dương và a + b + c = 1)<br /> Bài 2 (3,0 điểm)<br /> <br /> a) Tìm các số a, b sao cho đa thức f(x) = x4 + ax3 + bx – 1 chia hết cho đa thức<br /> x2 – 3x + 2.<br /> b) Chứng minh rằng: B = 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2 là một số chính<br /> phương với x, y, z là các số nguyên.<br /> Bài 3 (4,0 điểm)<br /> a) Tìm m để phương trình:<br /> <br /> 2m  1<br />  m  3 vô nghiệm.<br /> x2<br /> <br /> b) Giải phương trình: 4 x  1  x 2  5x  14 .<br /> c) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:<br /> <br /> xy yz zx<br /> <br /> <br />  3.<br /> z<br /> x<br /> y<br /> <br /> Bài 4 (7,0 điểm)<br /> Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Kẻ AH vuông góc với BC tại H.<br /> Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC.<br /> a) Biết AB = 6cm, HC = 6,4cm. Tính BC, AC.<br /> b) Chứng minh rằng DE3 = BC.BD.CE<br /> c) Đường thẳng kẻ qua B vuông góc với BC cắt HD tại M, Đường thẳng kẻ qua<br /> C vuông góc với BC cắt HE tại N. Chứng minh rằng M, A, N thẳng hàng.<br /> d) Chứng minh rằng BN, CM, DE đồng qui.<br /> Bài 5 (2,0 điểm)<br /> Cho đa thức f(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d (Với a, b, c, d là các số thực)<br /> Biết f(1) = 10; f(2) = 20; f(3) = 30. Tính giá trị biểu thức A = f (8) + f (- 4) .<br /> –––––––––––––––Hết––––––––––––––––<br /> <br /> Họ và tên thí sinh: .................................................................................<br /> Số báo danh: ................................................. Phòng số:.........................<br /> <br /> PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO<br /> TIỀN HẢI<br /> <br /> KỲ KHẢO SÁT SINH GIỎI NĂM HỌC 2017-2018<br /> ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM CHẤM<br /> (Đáp án và biểu điểm chấm gồm 03 trang)<br /> <br /> BÀI<br /> <br /> ĐIỂM<br /> <br /> NỘI DUNG<br /> <br /> Ý<br /> <br /> A=<br /> <br /> 4 + 10 + 2 5 +<br /> <br /> 4-<br /> <br /> 10 + 2 5 > 0<br /> <br /> (<br /> <br /> Û A = 4 + 10 + 2 5 + 4 -<br /> <br /> 10 + 2 5 + 2 16 - 10 + 2 5<br /> <br /> 2<br /> <br /> )<br /> <br /> Û A2 = 8 + 2 6 - 2 5<br /> a<br /> 2.0<br /> <br /> (<br /> <br /> Û A2 = 8 + 2<br /> <br /> 0.25<br /> 2<br /> <br /> )<br /> <br /> 5- 1<br /> <br /> 0.25<br /> <br /> Û A2 = 8 + 2 5 - 2<br /> Û A2 = 6 + 2 5<br /> Û A2 =<br /> <br /> 1<br /> <br /> Û A=<br /> <br /> (<br /> <br /> 0.25<br /> 0.25<br /> <br /> 2<br /> <br /> )<br /> <br /> 5+1<br /> <br /> 5+ 1<br /> <br /> 0.25<br /> <br /> (doA > 0)<br /> <br /> 0.25<br /> <br /> Vì a, b, c dương và a+b+c=1 nên biểu thức B có nghĩa và 0 < a,b,c < 1. Ta có:<br /> B<br /> <br /> b<br /> 2.0<br /> <br /> B<br /> <br /> B<br /> <br /> 1  b  c  bc 1  a  c  ca <br /> 1  a  b  ab<br /> <br /> <br /> <br /> 1  a  b  ab 1  a  c  ca <br /> 1  b  c  bc<br /> <br /> <br /> <br /> 1  a  b  ab 1  b  c  bc <br /> 1  a  c  ca<br /> <br /> 0.25<br /> 0.25<br /> <br /> 1  b 1  c 1  a 1  c  1  a 1  b 1  a 1  c  1  a 1  b 1  b 1  c <br /> <br /> <br /> 1  a 1  b <br /> 1  b 1  c <br /> 1  a 1  c <br /> <br /> 0.5<br /> <br /> 1  c <br /> <br /> 0.25<br /> <br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> 1  a <br /> <br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> 1  b <br /> <br /> 2<br /> <br /> B |1  c |  |1  a |  |1  b |<br /> B  1  c  1  a  1  b (vì 0 < a,b,c < 1)<br /> <br /> 2<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> Tính đúng: B = 2<br /> Ta có: x2 – 3x + 2 = (x – 1)(x – 2). Theo bài ra: f(x) (x - 1)(x - 2)<br /> f(x) chia hết cho x – 1 Þ f(1) = 0<br /> (1)<br /> Þ a + b = 0 Þ b = –a<br /> f(x) chia hết cho x – 2 Þ f(2) = 0<br /> (2)<br /> Þ 8a + 2b = –15<br /> a<br /> 5<br /> 5<br /> 2.0 Từ (1) và (2) Þ 8a + 2(–a) = –15 Þ a = – Þ b =<br /> 2<br /> 2<br /> 5<br /> 5<br /> 1<br /> 1<br /> Thử lại: (x4 – x3 + x – 1):(x2 – 3x + 2) = x2 + x –<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 5<br /> 5<br /> Vậy a = – , b =<br /> 2<br /> 2<br /> B = 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2<br /> B= 4(x2 + xy + xz)(x2 + xy + xz + yz) + y2z2<br /> 1.0<br /> B= 4(x2 + xy + xz)2 + 4(x2 + xy + xz).yz + y2z2<br /> B= (2x2 + 2xy + 2xz + yz)2<br /> <br /> 0.25<br /> 0.25<br /> 0.25<br /> 0.25<br /> 0.25<br /> 0.25<br /> 0.25<br /> 0.25<br /> 0.25<br /> 0.25<br /> 0.25<br /> 0.25<br /> 0.25<br /> 0.25<br /> 0.25<br /> <br /> Vì x, y, z là số nguyên nên 2x2 + 2xy + 2xz + yz là số nguyên<br /> Þ B là số chính phương<br /> ĐKXĐ: x  2<br /> 2m - 1<br /> = m - 3  2m - 1 = (x - 2)(m - 3)<br /> x- 2<br /> Þ 2m - 1 = mx - 2m - 3x + 6  (m - 3)x = 4m - 7<br /> <br /> a<br /> <br /> 1.5<br /> <br /> 0.25<br /> <br /> (*)<br /> + Xét m = 3, phương trình (*) trở thành 0.x = 5 (vô lí)<br /> Þ m = 3 phương trình đã cho vô nghiệm<br /> + Xét m  3 , phương trình (*) có nghiệm x <br /> <br /> 4m  7<br /> m3<br /> <br /> 4m - 7<br /> 1<br /> Để phương trình đã cho vô nghiệm thì<br /> = 2Þ m=<br /> m- 3<br /> 2<br /> <br /> Vậy với m = 3, m = ½ thì phương trình đã cho vô nghiệm.<br /> ĐKXĐ: x  1<br /> 3<br /> <br /> 0.25<br /> 0.25<br /> <br /> 0.25<br /> <br /> 4 x + 1 = x 2 - 5x + 14 Û x 2 - 5x - 4 x + 1 + 14 = 0<br /> <br /> 0.25<br /> 0.25<br /> 0.25<br /> <br />  x 2 - 6x + 9 + x + 1- 4 x + 1 + 4 = 0<br /> <br /> 0.25<br /> <br />  (x - 3) +<br /> 2<br /> <br /> B<br /> 1.5<br /> <br /> 0.25<br /> <br /> (<br /> <br /> 2<br /> <br /> )<br /> <br /> 0.25<br /> <br /> x + 1- 2 = 0<br /> <br /> ïì x - 3 = 0<br />  ïí<br /> ïï x + 1 - 2 = 0<br /> î<br /> ïì x = 3<br />  ïí<br />  x = 3(tm)<br /> ïïî x = 3<br /> <br /> 0.25<br /> 0.25<br /> <br /> Áp dụng BĐT Cosi cho các số dương ta có:<br /> C<br /> 1.0<br /> <br /> 3<br /> <br /> xy yz zx<br /> xy yz zx<br />   ³ 33<br /> . .<br />  3 3 xyz Þ xyz £ 1<br /> z<br /> x<br /> y<br /> z x y<br /> <br /> Vì x, y, z là các số nguyên dương nên từ (1) Þ x = y = z = 1<br /> Thử lại : Đúng.<br /> Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình là (x;y;z) = (1;1;1)<br /> <br /> 0.25<br /> 0.25<br /> 0.25<br /> 0.25<br /> <br /> N<br /> <br /> A<br /> <br /> 4<br /> E<br /> <br /> M<br /> <br /> D<br /> <br /> B<br /> <br /> a<br /> 2.5<br /> <br /> I<br /> <br /> H<br /> <br /> Đặt BH = x (0 < x < 6) Þ BC = x + 6,4<br /> AB2 = BH.BC Þ 62 = x(x + 6,4)<br /> <br /> C<br /> <br /> 0.25<br /> 0.5<br /> <br /> b<br /> 2.0<br /> <br /> c<br /> 1.5<br /> <br /> d<br /> 1.0<br /> <br /> 5<br /> <br /> 2.0<br /> <br /> Þ x = 3,6<br /> Þ BC = 10cm<br /> Þ AC = 8cm<br /> Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật Þ DE = AH<br /> Chứng minh: BH2 = BD.BA, CH2 = CE.CA<br /> AH2 = HB.HC Þ AH4 = HB2.HC2 = BD.BA.CE.CA<br /> Þ AH4 = BD.CE.BC.AH<br /> Þ AH3 = BD.CE.BC<br /> Vậy DE3 = BD.CE.BC<br /> Chứng minh ÐCNH = ÐBHM , HD = AE<br /> Gọi giao điểm của NA với HD là M’.<br /> Ta có:<br /> NE NC NE<br /> AE<br /> cos 2CNH =<br /> .<br /> =<br /> =<br /> NC NH NH M'H<br /> HD HB HD<br /> AE<br /> cos 2 BHM =<br /> .<br /> =<br /> =<br /> HB HM HM HM<br /> AE<br /> AE<br /> Þ<br /> =<br /> Þ M'H = MH<br /> M'H MH<br /> Þ M’ trùng M Þ M, A, N thẳng hàng<br /> Có BM//CN, BD // NE, MD // CE<br /> (1)<br /> Þ D BDM ~ D NEC Þ BD/NE = DM/EC<br /> Gọi I là giao của MC với DE Þ DI/EI = DM/EC<br /> (2)<br /> Gọi I’ là giao của BN với DE Þ DI’/EI’ = BD/NE<br /> (3)<br /> Từ (1), (2), (3) Þ DI/EI = DI’/EI’ Þ I và I’ trùng nhau<br /> Vậy BN, CM, DE đồng qui.<br /> Xét đa thức g(x) = f(x) – 10x Þ bậc của đa thức g(x) bằng 4<br /> Từ giả thiết Þ g(1) = g(2) = g(3) = 0.<br /> Mà g(x) có bậc 4 nên g(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – a) (với a là số<br /> thực nào đó).<br /> Þ f(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – a) + 10x<br /> ìï f (8) = 7.6.5.(8 - a) + 80<br /> Þ ïí<br /> ïïî f (- 4) = (- 5)(- 6)(- 7)(- 4 - a) - 40<br /> <br /> 0.75<br /> 0.25<br /> 0.75<br /> 0.5<br /> 0.5<br /> 0.5<br /> 0.25<br /> <br /> Þ f(8) + f(–4) = 5.6.7.(8 – a + 4 + a) + 40<br /> Vậy f(8) + f(–4) = 2560.<br /> <br /> 0.25<br /> 0.25<br /> <br /> 0.25<br /> 0.5<br /> <br /> 0.25<br /> <br /> 0.25<br /> 0.25<br /> 0.25<br /> 0.5<br /> 0.25<br /> 0.25<br /> 0.25<br /> 0.25<br /> 0.25<br /> 0.25<br /> 0.5<br /> <br /> *) Mọi cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa theo thang điểm.<br /> *) Tổ giám khảo bám sát biểu điểm thảo luận đáp án và thống nhất.<br /> *) Chấm và cho điểm từng phần, điểm của toàn bài là tổng các điểm thành phần không làm tròn.<br /> <br />