Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán 9 năm 2018-2019 có đáp án - Phòng GD&ĐT Hoài Nhơn

Chia sẻ: Lotte Xylitol Cool | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

242
lượt xem 12
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giúp học sinh đánh giá lại kiến thức đã học cũng như trau dồi kinh nghiệm ra đề thi của giáo viên. Mời các bạn và quý thầy cô cùng tham khảo Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán 9 năm 2018-2019 có đáp án - Phòng GD&ĐT Hoài Nhơn dưới đây. Chúc các em thi tốt.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán 9 năm 2018-2019 có đáp án - Phòng GD&ĐT Hoài Nhơn

Tel: 0905.884.951 – 0929.484.951 Đề ôn thi HSG 9 UBND HUYỆN HOÀI NHƠN PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO Đề chính thức ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học 2018 – 2019 Môn: TOÁN 9 Ngày thi: 01/12/2018 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Bài 1. (4.0 điểm) a) Thu gọn biểu thức: A  b) Cho x  2  3  6  8 4 . 2 3 4 2 1 2  1 1  . Tính giá trị của biểu thức B  1  2 x  x 2  x 3  x 4  2018 1 . 2 1 1 c) Cho x  3 3  2 2  3 3  2 2 và y  3 17  12 2  3 17 12 2 . Tính giá trị của biểu thức: C  x 3  y 3  3  x  y   2018 . Bài 2. (4.0 điểm) a) Tìm các số nguyên dương có hai chữ số, biết số đó là bội của tích hai chữ số của chính số đó.  1 1 1 1  b) Chứng minh rằng số tự nhiên A  1.2.3.....2017.2018.1    ...    chia hết cho  2 3 2017 2018  2019 . Bài 3. (5.0 điểm) 2 2 2 3.1. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a 2  b 2  c 2  a  b   b  c   c  a  a) Tính a  b  c , biết rằng ab  bc  ca  9 . b) Chứng minh rằng: Nếu c  a, c  b thì c  a  b . 3.2. Cho ba số dương x , y, z thỏa mãn x 2019  y 2019  z 2019  3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: E  x 2  y2  z2 . Bài 4. (4.0 điểm) Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a . Hai điểm M , N lần lượt di động trên AM AN  1 . Đặt AM  x và AN  y . Chứng minh rằng:  hai đoạn thẳng AB, AC sao cho MB NC a) MN 2  x 2  y 2  xy . b) MN  a  x  y . c) MN luôn tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác ABC . Bài 5. (3.0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn O  , gọi M là trung điểm của cạnh BC , H là trực tâm của tam giác ABC và K là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh KM và AM  30 cm. BC . Tính diện tích của tam giác ABC , biết OM  HK  4 ----------  HẾT  ---------- Trường THCS Đào Duy Từ GV: Lê Hồng Quốc " Đi rồi sẽ đến " Năm học 2018 – 2019 Trang 1 Tel: 0905.884.951 – 0929.484.951 Đề ôn thi HSG 9 ĐÁP ÁN THAM KHẢO Bài 1. (4.0 điểm) 2  3  6  8 4 . 2 3 4 a) Thu gọn biểu thức: A  Lời giải. 2 3 4  2   2 3 4 2  3  6  8 4   1 2 . 2 3 4 2 3 4 2018 2 b) Cho x  . Tính giá trị của biểu thức B  1  2 x  x 2  x 3  x 4  . 1 1  2 1 1 2  1 1 Ta có: A  2 Ta có: x  1 2  1 1  1  2 1 1  thức, ta được: B  1  2 2   Lời giải. 2 2    2  1 1  2    2   2   2  2. Thay x  2 vào biểu 3 4 2018 2 1 1   1 2 2  2  2 2  4  2018  1 2018 1. c) Cho x  3 3  2 2  3 3  2 2 và y  3 17  12 2  3 17 12 2 . Tính giá trị của biểu thức: C  x 3  y 3  3  x  y   2018 . Lời giải.  3  2 2  3  2 2   3  2 2  3.x  3  2 2  6  3x   17  12 2  17  22 2   17  12 2  3. y  17 12 2  34  3 y ● Ta có x 3  3 3 3 3 và y 3 3 3 ● Cộng vế theo vế, ta được: x 3  y 3  40  3 x  3 y  x 3  y 3  3  x  y   2018  2058 .  Vậy C  2058 khi x  3 3  2 2  3 3  2 2 và y  3 17  12 2  3 17 12 2 . Bài 2. (4.0 điểm) a) Tìm các số nguyên dương có hai chữ số, biết số đó là bội của tích hai chữ số của chính số đó. Lời giải. Gọi số cần tìm là ab , theo đề, ta có 10a  b  k.a.b . (Trong đó: 1  a, b  9 và a, b, k   ). 10 10 1 10 10 Suy ra b  . Vì 1  b  9  1   9   k   10. k.a 1 1 1 9 a k k a a a 10 1  9  k  a  10 1  5 5  Từ    k    ;2; ;5;10 .  1 a  3 2   10 : k    a  a  1 a  3    1 5 a.3k  5  3 8  ab  36 . ● Nếu k       k  (không thỏa) hoặc k  2 (thỏa)    a 3 b  6 3 b  6  b  6 Trường THCS Đào Duy Từ GV: Lê Hồng Quốc " Đi rồi sẽ đến " Năm học 2018 – 2019 Trang 2 Tel: 0905.884.951 – 0929.484.951 Đề ôn thi HSG 9 a  1   a.k  2  1  1   k      2  ab  15 . ● Nếu k  3 (thỏa)     a 5 b       b  5 a  1   1 5 a.2 k  5  2 7 ● Nếu k       k  (không thỏa) hoặc  a 2 b  4 2  b  4  a  2   ab  24 . k  3 (thỏa)   b  4  a  1 a.k  5  1 1    k  6 (thỏa)   ab  12 . ● Nếu k   5     a b  2 b  2    a  1 a.k 10  1 1    k  11 (thỏa)   ab  11 . ● Nếu k   10     a 1 b     b  1 Vậy ab  11;12;15;24;36 .  1 1 1 1  b) Chứng minh rằng số tự nhiên A  1.2.3.....2017.2018.1    ...    chia hết cho  2 3 2017 2018  2019 . Lời giải.  1 1 1 Ta có B  1.2.3.....n.1    ...    là số tự nhiên. Thật vậy  2 3 n   đúng. ● Với n  1 thì B  1      đúng. ● Với n  2 thì B  3     1 1 1 ● Giả sử  đúng khi n  k , nghĩa là B  1.2.3.....k.1    ...     .  2 3 k  1 1 1  ● Cần chứng minh  đúng khi n  k  1 , nghĩa là B  1.2.3.....k  1.1    ...    .  2 3 k  1  1 1  1 1 1  1 Ta có 1.2.3.....k  1.1    ...    1.2.3.....1    ...  .k  1  1.2.3.....k .  2 3  2 3 k k  1    1.2.3.....1  1  1  ...  1     2 3  k   Có k  1    B  .  1.2.3.....k      1 1 1 Vậy 1.2.3.....n.1    ...   là số tự nhiên.  2 3 n  1 1  1 1 1 Suy ra, với n  2 k thì 1.2.3.....2 k.1    ...   và 1.2.....k.1   ...   là các số tự nhiên  2 3  2 k 2k   1 1 1     ...  .k  1k  2.....2 k cũng là các số tự nhiên.   k  1 k  2 2k  ● Áp dụng các chứng minh ta có:  1 1  1.2.....1009.1   ...    2 1009  và  1 1 1    ...  .1010.1011.....2018 cũng là các số tự nhiên.  1010 1011 2018  Trường THCS Đào Duy Từ GV: Lê Hồng Quốc " Đi rồi sẽ đến " Năm học 2018 – 2019 Trang 3 Tel: 0905.884.951 – 0929.484.951 Đề ôn thi HSG 9 1011 3  1010.1011.....1342.....2018  2019 Ta có   1342 673  1 1   1.2.....1009.1   ...   .1010.1011.....1342.....2018 2019 .  2 1009  3 3 Và    1.2.3.....673.....1009  2019 673 673  1 1 1   1.2.....1009.   ...   .1010.1011.....2018 2019 . 1010 1011 2018   1 1 1 1   Vậy số tự nhiên A  1.2.3.....2017.2018.1    ...    chia hết cho 2019 .  2 3 2017 2018  Bài 3. (5.0 điểm) 2 2 2 3.1. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a 2  b 2  c 2  a  b   b  c   c  a  a) Tính a  b  c , biết rằng ab  bc  ca  9 . Lời giải. 2 2 2 2 2 2  a 2  b 2  c 2  2 ab  bc  ca   4 ab  bc  ca  . Từ a  b  c  a  b   b  c   c  a   a , b , c 0  a  b  c  6 . Mà ab  bc  ca  9 nên a  b  c   36  2 b) Chứng minh rằng: Nếu c  a, c  b thì c  a  b . Lời giải. 2 Ta có a 2  b 2  c 2  a  b   b  c   c  a   c  a  b   4 ab . 2 2 2 Không mất tính tổng quát, giả sử: c  a  b . Khi đó, ta có: c  a  b  2b 1 2 . c  a  b   4 ab  4b 2   c  a  b  2b 2  c  a b . ● 1  c  a  b  0  ● 1  c  a  b  2b  c  a  b  0  , mà c  a  0 suy ra  vô lí.  Vậy: nếu c  a, c  b thì c  a  b . 3.2. Cho ba số dương x , y, z thỏa mãn x 2019  y 2019  z 2019  3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: E  x 2  y2  z2 . Lời giải. Cách 1. ● Áp dụng bất đẳng thức COSI ta có các đánh giá sau:  x 2019  x 2019  1  1  1  ...  1  2019 x 2 . Dấu "  " xảy ra khi x  1 . 2017 so 1  y 2019  y 2019  1  1  1  ...  1  2019 y 2 . Dấu "  " xảy ra khi y  1 . 2017 so 1  z 2019 z 2019  1  1  1  ...  1  2019 z 2 . Dấu "  " xảy ra khi z  1 . 2017 so 1 ● Khi đó: 6  x 2019 y 2019 x y z 3  z 2019   6051  2019  x 2  y 2  z 2        x 2  y2  z 2  3 . 2019 2019 2019 Dấu "  " xảy ra khi x  y  z  1 .  Vậy E đạt giá trị lớn nhất bằng 3 khi x  y  z  1 . Cách 2. ● Áp dụng bất đẳng thức COSI ta có các đánh giá sau: Trường THCS Đào Duy Từ GV: Lê Hồng Quốc " Đi rồi sẽ đến " Năm học 2018 – 2019 Trang 4 Tel: 0905.884.951 – 0929.484.951 Đề ôn thi HSG 9  x 2019  1  1  1  ...  1  673 x 3 ; y 2019  1  1  1  ...  1  673 y 3 và z 2019  1  1  1  ...  1  673 z 3 672 so 1  x 2019 672 so 1  1  1  1  ...  1  2019 x ; y 2019  1  1  1  ...  1  2019 y và z 2018 so 1 ● Khi đó:  x 2019 y 672 so 1 2019  1  1  ...  1  2019 z  1 2018 so 1 2019 z 2019 2018 so 1  2016  673  x  y  z 3 3 3 x       x 2019  y 2019  z 2019 3 3  y3  z 3  3 . Dấu "  " xảy ra khi x  y  z  1 . x y z 3  x 2019  y 2019  z 2019  6054  2019  x  y  z       x  yz 3. 2019 2019 2019 Dấu "  " xảy ra khi x  y  z  1 . COSI  x 2  y2  z 2  3 . ● Suy ra 6  x 3  x  y 3  y  z 3  z  2  x 2  y 2  z 2     x3  x   3  x  y  z  1. Dấu "  " xảy ra khi   y  y    3   z  z  Vậy E đạt giá trị lớn nhất bằng 3 khi x  y  z  1 . Cách 3. (Sử dụng BĐT HOLDER) ● Áp dụng bất đẳng thức HOLDER, ta có  x 2019  y 2019  z 2019  x 2019  y 2019  z 2019  32017   x 2  y 2  z 2  2019 x y z 3      32019   x 2  y 2  z 2   3  x 2  y2  z 2 . 2019 2019 2019 2019 Dấu bằng xảy ra khi x  y  z  1 .  Vậy E đạt giá trị lớn nhất bằng 3 khi x  y  z  1 . Bài 4. (4.0 điểm) Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a . Hai điểm M , N lần lượt di động trên AM AN   1 . Đặt AM  x và AN  y . Chứng minh rằng: hai đoạn thẳng AB, AC sao cho MB NC a) MN 2  x 2  y 2  xy . b) MN  a  x  y . c) MN luôn tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác ABC . Lời giải. AN a  AM  AN   1 1  x    x a x    AM AN  MB  NC  NC 2 ● Vì  1        x  y a. MB NC  AN  1  AM  AM  1  y  a  y  y  a  MB 2  MB  NC Không mất tính tổng quát ta giả sử AM  AN . Kẻ MH  AC như hình vẽ bên. AM Khi đó, ta có AH  AM .cos 60  . 2 a) Áp dụng định lí PYTAGO, ta có: 2  MN 2  MH 2  HN 2  AM 2  AH 2   AN  AH   AM 2  AN 2  2 AN . AH  AM 2  AN 2  AM . AN  x 2  y 2  xy   x  y   3 xy . 2  Vậy MN 2  x 2  y 2  xy   x  y   3 xy 1 2 b) Theo đề, ta có: AM AN AB AC  1 1  1  1  MB NC MB NC Trường THCS Đào Duy Từ GV: Lê Hồng Quốc " Đi rồi sẽ đến " Năm học 2018 – 2019 Trang 5