SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
GIA LAI
------------------
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 12 THPT, NĂM HỌC 2009 – 2010
Môn thi: Toán - Bảng A
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 22/01/2010
----------------------------------------------------------------------
Câu 1: (3 điểm)
Tìm các cặp số nguyên dương
x; y
thỏa mãn:
x x+1 x+2 x+3 = y y+1
.
Câu 2: (5 điểm)
a) Cho các số
a
,
b
,
c
thỏa mãn
. Chứng minh:
1 1 1
+ + =1
1+ + 1+ + 1+ +a ab b bc c ca
.
b) Giải phương trình:
1+cos2x 2cos2x 2009. cosx
+ =
1+cosx -sinx +cos2x 3cosx +sinx +2cos2x +cos3x +sin3x 2010
.
Câu 3: (5 điểm)
a) Tìm tất cả các hàm số
f
thỏa mãn
2
1f x x f x x
với mọi số thực
x
.
b) Xét dãy các số thực
n
x
,
1,2,3,...n
, xác định bởi:
10x
;
12 1
n n
x x
,
1,2,3,...n
Tìm số hạng tổng quát của dãy số. Suy ra giới hạn của dãy khi
n 
.
Câu 4: (3 điểm)
Cho 3 số dương
thỏa mãn
abc a c b
. Chứng minh:
2 2 2
2 2 3 10
1 1 1 3a b c
.
Đẳng thức xảy ra khi nào?
Câu 5: (4 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC và đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác đó. Các tiếp tuyến
với (O) ở A và B lần lượt cắt tiếp tuyến với (O) ở C tại M và N. AN cắt BC tại P. BM cắt
AC tại Q. Gọi S và T lần lượt làtrung điểm của AP và BQ. Đặt
BACα=
,
CBA=
,
ACBγ =
.
Chứng minh rằng:
a)
c o t A B S = 2 c o t α + 2 c o tβ + c o tγ
.
b)
ABS = BAT
.............................HẾT.............................
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
GIA LAI
-----------------
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 12 THPT, NĂM HỌC 2009 - 2010
Môn: Toán - Bảng B
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Ngày thi: 21/01/2010
------------------------------------------------------------
Câu 1:(5 điểm)
a) Giải phương trình :
3
3 3
15x 1 13x 1 4 x
.
b) Giải hệ phương trình :
x y
x y
e x y 1
e x y 1
.
Câu 2: (3 điểm)
Tìm số nguyên dương n để
n 13
n 17
là bình phương của số hữu tỉ dương.
Câu 3: (3 điểm)
Giả sử x, y là hai số thực không đồng thời bằng 0, thỏa mãn :
2 2
x ycos ( R)
xsin cos
xcos2 ysin2 0
.
a) Xác định
khi
x 0
.
b) Khi
x 0
tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào
.
Câu 4: (2,5 điểm)
Cho 3 số dương
a,b,c
thỏa mãn
a b c 3abc
.
Chứng minh :
2 2 2
a b c 3abc
.
Câu 5: (2,5 điểm)
Cho dãy số
n
(x )
thỏa mãn
2
n
1 n 1
x 4; x x 2; n 1
. Tìm:
n 1
nn
1 2
x
lim x x ......x

.
Câu 6: (4 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn, AB = c, BC = a, CA = b. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp
tam giác ABC.
a) Một đường thẳng d thay đổi, luôn đi qua I, cắt hai cạnh AB và AC lần lượt tại M
và N. Chứng minh rằng tổng
1 1
AM AN
có giá trị không đổi.
b) Gọi x, y, z lần lượt là độ dài của ba đường phân giác trong của tam giác ABC.
Chứng minh:
1 1 1 1 1 1
x y z a b c
.
---------------------------- HẾT ----------------------------