Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán 10 năm 2017-2018 có đáp án - Sở GD&ĐT Bà rịa-Vũng Tàu

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU<br /> <br /> ĐỀ THI OLYMPIC 27/4 - NĂM HỌC 2017- 2018<br /> MÔN THI: TOÁN LỚP 10<br /> <br /> ĐỀ THI CHÍNH THỨC<br /> <br /> Ngày thi: 06/03/2018<br /> Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề<br /> <br /> Câu 1 (6,0 điểm):<br /> 1) Giải phương trình<br /> <br /> x3 +<br /> <br /> x2 =<br /> <br /> x 2  3x  2<br /> <br /> 3<br /> 3<br /> 2<br /> 2<br />  x  y  x  y  xy  1  y  x<br /> 2) Giải hệ phương trình <br /> 2<br />  2 x  y  3x  2 y  2  3x  y  4<br /> <br /> Câu 2 (4,0điểm):<br /> <br /> 1) Cho tam giác ABC có diện tích S và bán kính của đường tròn ngoại tiếp R thỏa mãn hệ thức<br /> 2<br /> S = R 2  sin 3 A  sin 3 B  sin 3 C  . Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều.<br /> 3<br /> 2) Cho tam giác ABC đều có độ dài cạnh bằng 3 . Trên các cạnh BC , CA, AB lần lượt lấy các<br /> điểm N , M , P sao cho BN  1, CM  2, AP  x (0  x  3).<br /> <br />  <br /> a) Phân tích véc tơ AN theo hai vectơ AB, AC.<br /> <br /> b) Tìm giá trị của x để AN vuông góc với PM .<br /> Câu 3 (2,0 điểm): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD vuông tại A, D và<br /> 3<br /> AC. Biết điểm B(5;3), đường thẳng DI<br /> 4<br /> có phương trình 3 x  y  8  0 và điểm D có hoành độ dương. Tìm tọa độ điểm D.<br /> <br /> AD  CD  2 AB . Điểm I thuộc đoạn AC sao cho AI <br /> <br /> Câu 4 (3,0 điểm): Cho phương trình x 2   4m  1 x  3m 2  2m  0 (m là tham số).<br /> <br /> 1) Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn<br /> x13  x23  18 .<br /> <br /> 2) Tìm tất cả các giá trị nguyên của m nguyên sao cho phương trình đã cho có nghiệm nguyên.<br /> Câu 5 (3,0 điểm): Cho 4 số thực dương a, b, c, d thỏa mãn a  b  c  d  4 . Chứng minh rằng:<br /> a<br /> b<br /> c<br /> d<br /> <br /> <br /> <br />  2.<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 1  b c 1  c d 1  d a 1  a 2b<br /> <br /> Câu 6 (2,0 điểm): Cho 2018 số nguyên dương phân biệt và nhỏ hơn 4034. Chứng minh tồn tại 3 số<br /> phân biệt trong 2018 số đã cho mà một số bằng tổng hai số kia.<br /> ----------------- HẾT -----------------<br /> <br /> Họ và tên thí sinh............................................................................ Số báo danh ..................................<br /> Chữ ký của giám thị 1 ....................................................................<br /> SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> <br /> ĐỀ THI OLYMPIC 27/4 - NĂM HỌC 2017- 2018<br /> <br /> TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU<br /> <br /> MÔN THI: TOÁN LỚP 10<br /> <br /> HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC<br /> (Hướng dẫn chấm có 04 trang)<br /> Câu<br /> Câu 1<br /> 6,0<br /> điểm<br /> <br /> Nội dung<br /> <br /> 1) Đk x  3<br /> x 3 +<br /> <br /> x2 =<br /> <br /> x 2  3x  2  x  3  x  2  2 x 2  5 x  6  x 2  3x  2<br /> <br />  x2  5x  3  2 x2  5x  6  0  x2  5x  6  2 x2  5x  6  3  0<br /> <br /> 2x0,25<br /> <br /> Đặt t  x 2  5 x  6, t  0. Ta được pt : t 2  2t  3  0<br /> t  1(l<br />  t 2  2t  3  0  <br /> t  3(n)<br /> <br /> 2x0,25<br /> <br /> <br /> 5  37<br /> 5  37<br /> (l )<br /> x <br /> .<br /> KL<br /> pt<br /> có<br /> nghiệm<br /> là<br /> x<br /> <br /> 2<br /> 2<br /> <br /> <br /> 5  37<br /> ( n)<br /> x <br /> <br /> 2<br /> 3<br /> 3<br /> 2<br /> 2<br /> (1)<br />  x  y  x  y  xy  1  y  x<br /> <br /> 2<br />  2 x  y  3 x  2 y  2  3 x  y  4 (2)<br /> (1)  ( x  1)3  3( x  1)  y 3  3 y<br /> <br />  ( x  1 - y)  x 2  xy  y 2 + 1  0<br />  y  x 1<br />  2<br /> 2<br />  x  xy  y + 1 = 0<br /> Ta có x 2  xy  y 2 + 1 = 0 vô nghiệm<br /> Với y = x + 1 thay vào pt (2) ta được pt:<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> 3x  1 + 3x  4  3x 2  x  3<br /> <br /> ( 3 x  1 - ( x  1)  ( 3 x  4  ( x  2)  3 x 2  3 x<br /> x  x2<br /> x  x2<br /> <br />  3x 2  3x<br /> 3x  1  x  1<br /> 5x  4  x  2<br /> 1<br /> 1<br /> <br /> <br />  ( x 2  x) <br /> <br />  3  0<br /> 5x  4  x  2<br />  3x  1  x  1<br /> <br /> <br /> <br /> <br />  x2  x  0<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> <br /> <br />  3  0 (vn vi : x  )<br />  3 x  1  x  1<br /> 3<br /> 5x  4  x  2<br /> x  0<br /> <br /> x  1<br /> KL: Hpt có nghiệm là (0; 1), (1; 2).<br /> <br /> 1) Theo định lí sin ta có : sin 3 A <br /> <br /> 2x0,25<br /> 0,5<br /> <br /> t  3  x2  5x  6  3  x2  5x  3  0<br /> <br /> Cầu 2<br /> 4điểm<br /> <br /> Điểm<br /> 0,5<br /> <br /> a3<br /> B3<br /> c3<br /> 3<br /> 3<br /> <br /> <br /> ;<br /> sin<br /> B<br /> ;sin<br /> C<br /> 8R3<br /> 8R3<br /> 8R3<br /> <br /> 2x0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 2x0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 2x0,25<br /> 2x0,25<br /> <br /> VT =<br /> <br /> 2 2  a3<br /> b3<br /> c3  1<br /> R  3  3  3   R(a 3  b3  c3 )<br /> 3  8R 8R 8R  12<br /> <br /> Áp dụng bắt đẳng thức cô – si ta có: a  b  c  3abc<br /> abc<br />  VT <br /> 4R<br /> abc<br /> Mà S <br /> , dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c  ABC đều<br /> 4R<br />     1   2  1 <br /> 2) a) AN = AB  BN = AB  AC  AB  AB + AC<br /> 3<br /> 3<br /> 3<br />    1  x <br /> b) Ta có PM = PA  AM  AC - AB<br /> 3<br /> 3<br />  <br /> <br /> <br /> 1    1  x  <br /> 2<br /> AN  PM  AN .PM  0   AB  AC  .  AC  AB   0<br /> 3<br /> 3<br /> 3<br />  3<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 2x<br /> 1<br /> x<br />  AB. AC <br /> AB  AB. AC  AC  0<br /> 9<br /> 9<br /> 9<br /> 9<br /> x<br />  1 2x  1  0<br /> 2<br /> 4<br /> x<br /> 5<br /> 3<br /> <br /> <br /> <br /> Câu 3<br /> 2,0<br /> điểm<br /> <br /> 3<br /> <br /> 3<br /> <br /> <br /> <br /> Đặt AD = a<br /> 5a 2<br /> 5a 2<br /> 5a 2<br /> BD 2 =<br /> ; DI 2 =<br /> ; MI 2 <br /> 4<br /> 8<br /> 8<br /> Suy ra BDI vuông cân tại I.<br /> Do đó BI : x  3 y  14  0.<br /> Mà I là giao điểm của BI và DI  I(-1; 5).<br /> Vì D  DI  D(x; 3x + 8) mà DI = BI<br />  x  1(n)<br />  ( x  1) 2  (3x  3) 2  40  <br /> D(1;11)<br />  x  3(l )<br /> <br />    4m  1  4  3m2  2m   4m 2  1  0, m  R .<br /> 2<br /> <br /> 2x0,25<br /> 2x0,25<br /> <br /> 0,25x2<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 2x0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> 0,5<br /> 0,5<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25x2<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Suy ra phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 . Theo viet ta có<br />  x1  x2  4m  1<br /> <br /> 2<br />  x1.x2  3m  2m<br /> <br /> 2<br /> 2<br /> x13  x23   x1  x2   x1  x2   3 x1 x2    4m  1  4m  1  3  3m 2  2m  <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 3<br /> 2<br />  28m  15m  6m  1<br /> x13  x23  18  28m3  15m 2  6m  1  18<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br />   m  1  28m 2  13m  19   0  m  1<br /> <br /> Phương trình có nghiệm nguyên suy ra  là bình phương của 1 số nguyên<br /> x  0<br /> (thỏa)<br /> Nếu m = 0 thì ta có pt : x 2  x  0  <br />  x  1<br /> <br /> 0,5<br /> 0,5<br /> <br /> Nếu m  0 thì 4m 2  1   2k  1 (k  Z ) do 4m 2  1 là số lẻ<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 2<br /> <br />  m 2  k  k  1<br /> <br /> Mà  k , k  1  1  k,k+1 là hai số chính phương (vô lí).<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Vậy chỉ có m =0 thỏa<br /> a<br /> ab 2 c<br /> ab 2 c<br /> ab c<br /> <br /> a<br /> <br /> <br /> a<br /> <br /> a<br /> Ta có<br /> 2<br /> 2<br /> 1 b c<br /> 1 b c<br /> 2<br /> 2b c<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> ab c<br /> b a.ac<br /> 1<br /> 1<br /> a<br />  a  b  a  ac   a   ab  abc <br /> 2<br /> 2<br /> 4<br /> 4<br /> a<br /> 1<br />  a   ab  abc <br /> Vậy<br /> 2<br /> 1 b c<br /> 4<br /> Chứng minh tương tự ta có<br /> b<br /> 1<br /> c<br /> 1<br /> d<br /> 1<br />  b  (bc  bcd ),<br />  c  (cd  cda ),<br />  d  (da  dab)<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 1 c d<br /> 4<br /> 1 d a<br /> 4<br /> 1 a b<br /> 4<br /> a<br /> b<br /> c<br /> d<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 1  b c 1  c d 1  d a 1  a 2b<br /> 1<br />  a  b  c  d   ab  bc  cd  da  abc  bcd  cda  dab <br /> 4<br /> <br /> Lại có a <br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 2<br /> <br />  abcd <br /> Lại có ab  bc  cd  da   a  c  b  d   <br />  4<br /> 2<br /> <br /> <br /> 4<br /> <br /> 16<br />  1 1 1 1   abcd <br /> abc  bcd  cda  dab  abcd       <br />  .<br /> 4<br /> a b c d  <br />  abcd<br /> 1<br /> 3<br />  a  b  c  d   4<br /> 16<br /> a<br /> b<br /> c<br /> d<br /> Do đó<br /> <br /> <br /> <br />  abcd 2  2<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 1  b c 1  c d 1  d a 1  a 2b<br /> Dấu « = » xảy ra  a  b  c  d  1<br /> Cho 2018 số nguyên dương khác nhau và nhỏ hơn 4034. Chứng minh tồn tại ba số<br /> trong 2018 số đó mà một số bằng tổng hai số kia.<br /> Gọi 2018 số nguyên dương đã cho là a1 , a2 ,..., a2018 . Không mất tính tổng quát giả sử<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 2,0đ<br /> 0,25<br /> <br /> 1  a1  a2  ...  a2017  a2018  4033 .<br /> <br /> Đặt bi  ai  a1  i  2,3,.., 2018 <br /> <br /> Suy ra 1  b2  b3  ...  b2018  4032<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Xét dãy gồm 4034 số a2 , a3 ,..., a2018 , b2 , b3 ,..., b2018 . Các số này nhận 4033 giá trị khác<br /> nhau nên có ít nhất 2 số trong dãy số trên bằng nhau .<br /> Mặt khác ta có : ai  a j ; bi  b j , i  j (2  i, j  2018) . Ngoài ra<br /> <br /> 0,5<br /> 0,5<br /> <br /> ai  bi , i  2,3,..., 2018 (do a1  0) . Suy ra tồn tại ax  by  x  y, 2  x, y  2018 <br /> Hay ax  a y  a1  a1  a x  a y (đpcm)<br /> <br /> 0,5<br /> <br />