SỞ GD & ĐT TRÀ VINH<br />
ĐỀ CHÍNH THỨC<br />
<br />
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH<br />
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2017-2018<br />
MÔN THI: TOÁN<br />
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)<br />
<br />
Học sinh làm tất cả các bài toán sau đây:<br />
Bài 1. (3.0 điểm) Giải hệ phương trình<br />
<br />
y 2 x2<br />
2 y x 1(1)<br />
<br />
x 1<br />
x 2 y 2 3x 1(2)<br />
<br />
GIẢI<br />
ĐKXĐ: x>1<br />
Từ (1) y 2 x2 2 y x 1 ( x 1)2 ( y x 1)2 x2 y x x 1<br />
*Thế y x x 1 vào (2), ta được: x 1( x 1 1) 0 x 1 (loại)<br />
*Thế y x x 1 vào (2), ta được: x 1( x 1 1) 0 x=1 (loại) hoặc x=2<br />
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x=2; y=-1)<br />
Bài 2.(2.0 điểm) Dân số xã A hiện nay có 10000 ngưới. Ngưới ta dự đoán sau hai<br />
năm dân số xã A là 10404 người. Hỏi trung bính hằng năm dân số xã A tăng bao<br />
nhiêu phấn trăm ?<br />
GIẢI<br />
Gọi x là tỉ lệ tăng dân số hằng năm (x>0)<br />
Số dân sau một năm: 10000(x+1)<br />
Số dân sau hai năm: 10000(x+1).(x+1)<br />
Vì sau hai năm số dân là 10404 nên ta có phương trình: 10000(x+1) 2 =10404<br />
Hay x 2 +2x - 0,0404 = 0 (x=0,02 hoặc x=-2,02)<br />
Vậy tỉ lệ tăng dân số là 2%<br />
Bài 3.(3.0 điểm) Cho ba số dương x, y, z thỏa điều kiện xy+yz+zx=1. Tính giá trị<br />
<br />
(1 y 2 )(1 z 2 )<br />
(1 z 2 )(1 x 2 )<br />
(1 x 2 )(1 y 2 )<br />
y<br />
z<br />
của biểu thức A= x<br />
1 x2<br />
1 y2<br />
1 z2<br />
GIẢI<br />
1 x2 xy yz zx x2 ( x y)( x z )<br />
Ta có:<br />
Tương tự : 1 y 2 xy yz zx y 2 ( y x)( y z)<br />
1 z 2 xy yz zx x2 ( z x)( z y)<br />
<br />
Do đó: A=x(y+z)+y(z+x)+z(x+y)=2(xy+yz+zx)=2.1=2<br />
Bài 4.(3.0 điểm) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a+b+c=1. Tìm giá trị lớn nhất<br />
của<br />
P=<br />
<br />
ab<br />
bc<br />
ca<br />
<br />
<br />
c ab<br />
a bc<br />
b ca<br />
<br />
GIẢI<br />
Theo điều đề bài ta có: 1-a>0 ; 1-b>0 ; 1-c>0. Nên theo BĐT Cô-si, ta có:<br />
a<br />
b<br />
ab<br />
<br />
2<br />
1 b 1 a<br />
(1 b)(1 a)<br />
b<br />
c<br />
bc<br />
<br />
2<br />
1 c 1 b<br />
(1 c)(1 b)<br />
c<br />
a<br />
ca<br />
<br />
2<br />
1 a 1 c<br />
(1 a)(1 c)<br />
<br />
<br />
ac bc ab<br />
ab<br />
bc<br />
ca<br />
<br />
<br />
2(<br />
<br />
<br />
)<br />
1 b 1 a 1 c<br />
c ab<br />
a bc<br />
b ca<br />
<br />
hay1 1 1 2(<br />
<br />
ab<br />
bc<br />
ca<br />
<br />
<br />
)<br />
c ab<br />
a bc<br />
b ca<br />
<br />
ab<br />
bc<br />
ca<br />
3<br />
<br />
<br />
<br />
c ab<br />
a bc<br />
b ca<br />
2<br />
3<br />
1<br />
Vậy maxP = tại a = b = c =<br />
2<br />
3<br />
<br />
<br />
Bài 5.(2.0 diểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình:<br />
<br />
x2 2 y 2 3xy 3x 5 y 15<br />
<br />
(*)<br />
<br />
GIẢI<br />
(*) x 2 3( y 1) x 2 y 2 5 y 15 0<br />
[3( y 1)]2 4.1.(2 y 2 5 y 15) ( y 1) 2 68 0<br />
<br />
Để phương trình có nghiệm nguyên thì ( y 1)2 68 m2 (m y 1)(m y 1) 68<br />
Giải phương trình nghiệm nguyên ta được y=-15 hoặc y=17<br />
*Với y=-15 thì x=12 hoặc x=30<br />
*Với y=17 thì x=-18 hoặc x=-36<br />
Vậy phương trình có 4 nghiệm: (12;-15),(30;-15),(-18;17)và (-36;17)<br />
Bài 6.(3.0 điểm) Cho x, y là các số dương thỏa mãn x+y=2. Chứng minh:<br />
<br />
x3 y 3 ( x3 y 3 ) 2<br />
GIẢI<br />
Do x, y>0 và x+y=2 nên<br />
( x y)3 x3 y3 3xy( x y) x3 y 3 6 xy<br />
<br />
Theo BĐT Cô-si ta có:<br />
2 xy 2 xy 2 xy <br />
<br />
2<br />
4 4 24 8 ( x y )3<br />
3<br />
x y<br />
3<br />
<br />
2<br />
x 3 y 3 6 xy<br />
x y3<br />
2<br />
Hay 3 3 x3 y 3<br />
x y<br />
6 xy <br />
<br />
3<br />
<br />
2 x3 y 3 ( x3 y 3 )<br />
<br />
Vậy 2 x3 y3 ( x3 y3 ) Dấu = xảy ra khi x=y=1<br />
<br />
Bài 7.(4.0 diểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O)và<br />
có AB
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
