Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán 9 năm 2018-2019 có đáp án - Sở GD&ĐT GD&ĐT Hải Dương

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO<br /> HẢI DƯƠNG<br /> ĐỀ CHÍNH THỨC<br /> <br /> KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH<br /> LỚP 9_THCS NĂM HỌC 2018-2019<br /> MÔN TOÁN<br /> Thời gian làm bài: 150 phút<br /> Năm học 2018-2019.Ngày thi 04/01/2019<br /> Thời gian làm bài :150 phút<br /> <br /> Câu 1( 2,0 i m<br /> a)Cho P <br /> <br /> x<br /> xy  x  3<br /> <br /> <br /> <br /> y<br /> yz  y  1<br /> <br /> <br /> <br /> 3 z<br /> và xyz  9 .Tính 10 P1<br /> xz  3 z  3<br /> <br /> b) Cho x,y,z > 0 thỏa mãn : x  y  z  xyz  4 .<br /> <br /> Tính B= x(4  y)(4  z)  y(4  z)(4  x)  z(4  x)(4  y)<br /> Câu 2( 2,0 i m<br /> x2<br />  3  3x 2  6x<br /> a)Giải phương trình<br /> 2<br /> ( x  2)<br />  x 2  y 2  xy  1  2x<br /> b)Giải hệ phương trình <br /> 2<br /> 2<br />  x ( x  y)  x  2  2 y<br /> Câu 3( 2,0 i m<br /> a)Tìm tất cả nghiệm nguyên của phương trình x 2 +x +2y2  y  2xy2  xy  3<br /> b)Chứng minh rằng a13  a23  a33  ...  an3 chia hết cho 3 biết a1 , a2 , a3 ,..., an là các<br /> chữ số của 20192018<br /> Câu 4 (3,0 i m Cho tam giác MNP có 3 M , N , P nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O<br /> bán kính R. Gọi Q là trung điểm của NP và các đường cao MD, NE, PF của tam<br /> giác MNP cắt nhau tại H.<br /> a) MH  2OQ<br /> b) Nếu MN  MP  2 NP thì sin N  sin P  2sin M .<br /> c) ME.FH  MF .HE  R 2 2 biết NP  R 2<br /> <br /> Câu 5( 1 i m) Cho a, b, c dương thỏa mãn<br /> của biểu thức<br /> <br /> P<br /> <br /> ab2<br /> bc 2<br /> ca2<br /> <br /> <br /> ab bc ca<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> <br /> <br />  3 .Tìm giá trị nhỏ nhất<br /> ab bc ca<br /> <br /> BÀI LÀM<br /> Câu 1( 2,0 i m<br /> a)Ta có P <br /> Khi đó<br /> <br /> x<br /> <br /> xy  x  3<br /> 10 P1  3 .<br /> <br /> <br /> <br /> y<br /> yz  y  1<br /> <br /> <br /> <br /> 3 z<br />  1 vì xyz  9  xyz  3 .<br /> xz  3 z  3<br /> <br /> b)Ta có x  y  z  xyz  4  4(x  y  z)  4 xyz  16 .Khi đó ta có:<br /> x(4  y)(4  z)  x(16  4y  4z  yz)<br />  x(yz  4 xyz  4x)  x. ( yz  2 x ) 2  xyz  2x (1).<br /> <br /> Tương tự<br /> <br /> y(4  z)(4  x)  xyz  2y (2) ,<br /> <br /> z(4  x)(4  y)  xyz  2z (3) . Từ (1), (2), (3) suy ra<br /> B  2(x  y  z  xyz)  2.4  8 .<br /> <br /> Câu 2( 2,0 i m<br /> x2<br /> x2<br /> 2<br />  3  3x  6x <br />  3( x  1)2  0<br /> a)Điều kiện x  2 .Ta có<br /> 2<br /> 2<br /> ( x  2)<br /> ( x  2)<br />  x<br />  x<br /> <br /> <br />  3( x  1) <br />  3( x  1)  0 .Từ đó ta có nghiệm phương trình<br />  ( x  2)<br />   ( x  2)<br /> <br /> là<br /> <br /> x<br /> <br /> 1  3  28  2 3<br /> 1  3  28  2 3<br /> ;x <br /> ;<br /> 2 3<br /> 2 3<br /> <br /> 1  3  28  2 3<br /> 1  3  28  2 3<br /> ;x <br /> 2 3<br /> 2 3<br /> 2<br /> 2<br />  x  y  xy  1  2x<br /> 2x( x  y)  2 y 2  4x  2  0<br /> b)Ta có <br /> <br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> x<br /> (<br /> x<br /> <br /> y<br /> )<br /> <br /> x<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> y<br /> <br />  x ( x  y)  x  2  2 y<br /> x<br /> <br /> x 2  y 2  xy  1  2x<br /> <br /> <br /> <br /> .Từ đó suy ra kết quả.<br /> 2<br /> x<br /> (<br /> x<br /> <br /> y<br /> )<br /> <br /> 2(<br /> x<br /> <br /> y<br /> )<br /> <br /> 3<br /> <br /> 0<br /> <br /> <br />  <br /> <br /> <br /> Câu 3( 2,0 i m<br /> a)Ta có x 2 +x +2y2  y  2xy2  xy  3  ( x  1)( x 2  2 y2  y  2)  1 . Xét trường<br /> hợp là xong.<br /> b) Ta có (a13  a23  a33  ...  an3 )  (a1  a2  a3  ...  an ) chia hết cho 3.Theo đề ta có<br /> a1 , a2 , a3 ,..., an là các chữ số của 20192018 nên suy ra (a1  a2  a3  ...  an ) chia hết<br /> cho 3 .Từ đó suy ra a13  a23  a33  ...  an3 chia hết cho 3<br /> Câu 4 (3,0 i m Cho tam giác MNP có 3 M , N , P nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O<br /> bán kính R. Gọi Q là trung điểm của NP và các đường cao MD, NE, PF của tam<br /> giác MNP cắt nhau tại H.<br /> <br /> a) MH  2OQ<br /> <br /> b) Nếu MN  MP  2 NP thì sin N  sin P  2sin M .<br /> c) ME.FH  MF .HE  R 2 2 biết NP  R 2<br /> <br /> (rãnh gõ lời giải nhé ,gõ hình chán ).<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> Câu 5( 1 i m) Ta có<br /> <br /> <br />  3  a  b  c  3abc .Lúc đó<br /> ab bc ca<br /> ab2<br /> bc 2<br /> ca2<br /> ab2 bc 2 ca2<br /> ab2 bc 2 ca2<br /> . Ta đặt 3 3<br /> P<br /> <br /> <br />  33<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> Q.<br /> ab bc ca<br /> ab bc ca<br /> ab bc ca<br /> Nên ta có<br /> 3abc<br /> abc<br /> 3<br /> PQ<br /> <br />  .Vậy giá trị nhỏ nhất của<br /> 3 ab<br /> <br />  b  c  c  a  a  b  b  c  c  a 2<br /> 3<br /> a  b  c  3abc<br />  2<br /> 3<br /> bc 2<br /> ca 2<br />  ab<br /> P là .Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi <br /> <br /> <br />  a  b  c  1.<br /> 2<br /> a<br /> <br /> b<br /> b<br /> <br /> c<br /> c<br /> <br /> a<br /> <br /> a  b  b  c  c  a<br /> <br />