Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán lớp 9 năm 2012 - 2013

Chia sẻ: Đức Tuấn | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:0

Thêm vào BST

Báo xấu

455
lượt xem 69
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán lớp 9 năm 2012 - 2013 của Sở GD&ĐT Phú Yên dành cho các em học sinh đang chuẩn bị cho kỳ kiểm tra, qua đó các em sẽ được làm quen với cấu trúc đề thi và củng cố lại kiến thức căn bản nhất.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán lớp 9 năm 2012 - 2013

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS PHÚ YÊN Năm học : 2012 – 2013 Môn thi : Toán ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian : 150 phút (Đề thi có 1 trang) ( Không kể thời gian phát đề) Họ và tên thí sinh Số báo danh Chữ kí Câu 1: ( 5,0 điểm) a) Cho A  2012  2011; B= 2013  2012 . So sánh A và B? b) Tính giá trị biểu thức: C  3 15 3  26  3 15 3  26 . 3 2x2  3 y2  4z 2 c) Cho 2 x  3 y  4 z . Chứng minh rằng: 3 3 3 1 3 2333 4 1 1 5 Câu 2: ( 3,0 điểm) Giải phương trình :   . x  2x  2 x  2 x  3 2 2 2 2 4 8  2 x  y  2  10  4 x 2  y 2   3  2 x  y  2  0  Câu 3: ( 4,0 điểm) Giải hệ phương trình :  2 .  2 x  y   2  2x  y Câu 4: ( 3,0 điểm) Cho tam giác ABC. Gọi Q là điểm trên cạnh BC ( Q khác B; C). Trên AQ lấy điểm P( P khác A; Q). Hai đường thẳng qua P song song với AC, AB lần lượt cắt AB; AC tại M, N. AM AN PQ a) Chứng minh rằng :   1 AB AC AQ AM  AN  PQ 1 b) Xác định vị trí điểm Q để  AB  AC  AQ 27 Câu 5: ( 3,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Điểm C thuộc bán kính OA. Đường vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn (O) tại D. Đường tròn tâm I tiếp xúc với nửa đường tròn (O) và tiếp xúc với các đoạn thẳng CA, CD. Gọi E là tiếp điểm của AC với đường tròn ( I ) . Chứng minh : BD = BE. Câu 6: ( 2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của P = 1 – xy, trong đó x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện : x 2013  y 2013  2 x1006 y1006 ----------------- Hết --------------- Thí sinh không sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. Giám thị không giải thích gì thêm. GV: Nguyễn Đình Huynh 1 Tổ : Toán - Tin
ĐÁP ÁN THAM KHẢO Câu 1: ( 5,0 điểm) a) Cho A  2012  2011; B= 2013  2012 . So sánh A và B? b) Tính giá trị biểu thức: C  3 15 3  26  3 15 3  26 . 3 2x2  3 y2  4z 2 c) Cho 2 x 3  3 y 3  4 z 3 . Chứng minh rằng: 1 3 2333 4 Giải: a) Ta có : A  2012  2011  2012  2011  1  2012  2011  2012  2011 B  2013  2012  2013  2012  1  2013  2012  2013  2012 Mà 2012  2011  2013  2012 1 1 Nên  hay A > B. 2012  2011 2013  2012 b) Tính giá trị biểu thức: C  3 15 3  26  3 15 3  26 .  3 3 3  18  12 3  8  3 3 3  18  12 3  8 3 2 3 2  3  3 3  2  3 3  2 2  23  3  3 3  2  3 3  2 2  23 3 3     3 3  3 32 3 32  32 32  4 c)Cho 2 x 3  3 y 3  4 z 3 . Chứng minh rằng: Mình chưa biết giải, bạn nào biết chỉ giúp. Nhưng mình kiểm tra thấy đề không đúng. Cho x  3 12; y = 3 8; z = 3 6 Thì 2 x3  3 y 3  4 z 3  2 12  3  8  4  6  24 ( Thỏa mãn đẳng thức) 3 2x2  3 y2  4z 2 3 2 3 12 2  3 3 82  4 3 6 2 Nhưng  1 3 233 3 4 3 2 33 3 4 1 1 5 Câu 2: ( 3,0 điểm) Giải phương trình :   (*) . x  2x  2 x  2 x  3 2 2 2 2 4 1 1 5    ĐKXĐ : x  R   x  1  1   x  1  2 2 2 2 2 4 Đặt t  x 2  2 x  2 thì t   x  1  1  1 2 GV: Nguyễn Đình Huynh 2 Tổ : Toán - Tin
1 1 5 (*)     4  t  1  4t 2  5t 2  t  1 2 2  t  1 4 2 2 t  5t 4  10t 3  3t 2  8t  4  0   t  1 5t 3  15t 2  12t  4   0  t 1  0  t 1  3   . Vậy S  1  5t  15t 2  12 t  4  0  Pt voâ nghieä m vì t  1 Câu 3: ( 4,0 điểm) Giải hệ phương trình : 8  2 x  y  2  10  4 x 2  y 2   3  2 x  y  2  0   2 I  .  2x  y  2  2x  y y * Điều kiện xác định : x  . 2     y 2     y   2  10  4     3 2   y  0    2     2   y0 y    Nếu x  thì  I    2  1 : PTVN 2   2  y  2   y   2  y  2  Nên hệ PT ( I ) vô nghiệm. y Nếu x  Chia 2 vế phương trình (1) cho  2 x  y  2 x  y  . Ta có : 2 8  2 x  y  2  10  4 x 2  y 2   3  2 x  y  2  0  2x  y 2x  y  8 2 x  y  10  3 2 x  y  0 (*)   2    2 x  y   2  2x  y  2  2  2x  y  2x  y (**) 2x  y Đặt t  thì 2x  y 3  3  1 3 1 *  8t  10  t  0   t  2  t  4   0  t  2 Ê; t= 4    3 2x  y 3 5 + Với t  thì  x y 2 2x  y 2 2 Thay vào (**). Ta có : 5 2 1 2 y  y   2  6y  2 2 5 2y 2 y  y 2 GV: Nguyễn Đình Huynh 3 Tổ : Toán - Tin
 1  1 1 1  12y 2  4 y  1  0   y   y    0  y  ; y   2  6 2 6 1 5 1 5  Với y   x    ( thỏa mãn ĐKXĐ) 2 2 2 4 1 5 1 5  Với y   x    ( thỏa mãn ĐKXĐ) 6 2 6 12 1 2 x  y 1 3 + Với t  thì  x y . Thay vào (**). Ta có : 4 2x  y 4 10 3 2 2 y y 2  8y2  20 y  25  0 : Phương trình vô nghiệm 10 3 2 y y 10  5 1  5 1 Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm :  ;  và  ;   2 6  4 2 Câu 4: ( 3,0 điểm) Cho tam giác ABC. Gọi Q là điểm trên cạnh BC ( Q khác B; C). Trên AQ lấy điểm P( P khác A; Q). Hai đường thẳng qua P song song với AC, AB lần lượt cắt AB; AC tại M, N. A AM AN PQ c) Chứng minh rằng :   1 AB AC AQ M AM  AN  PQ 1 d) Xác định vị trí điểm Q để  N AB  AC  AQ 27 GIẢI: P Gọi H  PN  BC ; I=MP  BC . AN NC Ta có:   1. (1) AC AC Mặt khác : Áp dụng định lí Talet. Ta có: NC CH CI  IH CI IH     (2) B H Q I C AC BC BC BC BC CI AM Vì MI // AC nên  ; (3) BC AB Vì ABC PHI (g-g) IH PH PH PQ IH PQ   mà  nên  (4) BC AB AB AQ BC AQ AN NC AN CI IH AN AM PQ Từ (1), (2), (3) và (4). Suy ra :        1 AC AC AC BC BC AC AB AQ AM AN PQ Hay   1 AB AC AQ AM  AN  PQ CI  AN  IH CI  BH  IH 1 b) Từ câu a. Ta có :    AB  AC  AQ BC  AC  BC BC  BC  BC 27 GV: Nguyễn Đình Huynh 4 Tổ : Toán - Tin
BC 3  CI  IH  HB  . 27 Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức cô si cho ba số không âm.  CI  IH  HB  3 BC 3 Ta có : CI  IH  HB   . 33 27 Dấu “ = ” xảy ra khi CI = IH = HB. A Đẳng thức xảy ra khi Q là trung điểm của BC 2 N và AP  AQ. M 3 P B H Q I C Câu 5: ( 3,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Điểm C thuộc bán kính OA. Đường vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn (O) tại D. Đường tròn tâm I tiếp xúc với nửa đường tròn (O) và tiếp xúc với các đoạn thẳng CA, CD. Gọi E là tiếp điểm của AC với đường tròn ( I ) . Chứng minh : BD = BE. Giải: Cách vẽ: + Vẽ phân giác của ADB cắt AB tại E. Đường phân giác của ACD và đường thẳng vuông góc với AB tại E cắt nhau tại I. Ta có :  I ; IE  là đường tròn tiếp xúc với AC; DC và (O). Thật vậy : Hạ IF  DC . Ta có : IE = IF ( t/c đường phân giác) Nên (I; IE) tiếp xúc với AC; DC và IECF là hình vuông. Chứng minh: + Chứng minh ba điểm B; F và G thẳng hàng. sd PF Ta có : IGF cân tại I nên IFG  IGF  2 Xét OBG : AOG  2OBG ( Tính chất góc ngoài) 1 1  GE  EP  1  GE EF  FP  1  EF FP   OBG  AOG          GFI  IFE    2 2  2  2 2   2  2   2 2  = 1 2  1  GFI  450  450  IGF   2IGF  IGF 2 Nên ba điểm G, F và B thẳng hàng ( vì 2 tia GF và GB trùng nhau) + Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ADB : ADB  900 Nên BD2  BC  BA (1). +Áp dụng tính chất tiếp tuyến. Ta có : BE 2  BF .BG (2) GV: Nguyễn Đình Huynh 5 Tổ : Toán - Tin
Mặt khác : AGB FCB ( g-g). AB BG   BF  BG  AB  BC (3) BF BC Từ (2) và (3). Suy ra : BE 2  AB.BC (4) Từ (1) và (4), suy ra : BD = BE. D G F I P A E C O B Câu 6: ( 2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của P = 1 – xy, trong đó x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện : x 2013  y 2013  2 x1006 y1006 Giải: Từ x 2013  y 2013  2 x1006 y1006 * Nếu x = 0  y  0 ; Nếu y = 0  x  0 * Nếu x  0; y  0 1006 1006 x 2013  y 2013 x y Thì x 2013 y 2013  2x 1006 1006 y  2 x   y   2 ( *) x 1006 y1006 y x x Đặt t  0 y 1 Thì  *  xt  y   2  xt 2  2t  y  0 t Giải phương trình theo biến t. Ta có :  '  b '2  ac   1  xy  1  xy . 2 Để phương trình có nghiệm ( Dấu đẳng thức xảy ra ) Thì  '  1  xy  0  xy  1 Nên giá trị nhỏ nhất của P = 1 – xy = 0 khi xy = 1 ( Nếu có thắc mắc cần trao đổi xin liên hệ qua hòm thư “ tailieu20112012@gmail.com” ) GV: Nguyễn Đình Huynh 6 Tổ : Toán - Tin
GV: Nguyễn Đình Huynh 7 Tổ : Toán - Tin