Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh THPT môn Toán năm 2022 có đáp án - Sở GD&ĐT Quảng Ninh (Bảng A)

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: DOCX | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

6
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mời quý thầy cô và các em học sinh tham khảo “Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh THPT môn Toán năm 2022 có đáp án - Sở GD&ĐT Quảng Ninh (Bảng A)”. Hi vọng tài liệu sẽ là nguồn kiến thức bổ ích giúp các em củng cố lại kiến thức trước khi bước vào kì thi sắp tới. Chúc các em ôn tập kiểm tra đạt kết quả cao!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh THPT môn Toán năm 2022 có đáp án - Sở GD&ĐT Quảng Ninh (Bảng A)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT NĂM 2022 TỈNH QUẢNG NINH Môn thi:TOÁN-Bảng A Ngày thi:02/12/2022 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1.(4,5 điểm)Cho hàm số có đồ thị và điểm . a) Tìm các giá trị của tham số để hàm sốđồng biến trên khoảng . b) Tìm các giá trị của tham số sao cho có hai điểm cực trị, đồng thời hai điểm cực trị của cùng với điểm tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng . Câu 2.(4,0 điểm) a) Cho tam giác đều . Trên mỗi cạnh lần lượt lấy 4 điểm phân biệt và không điểm nào trùng với các đỉnh . Hỏi lập được bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của nó thuộc tập hợp15 điểm đã cho (tính cả các điểm)? b)Một người chọn ngẫu nhiên mộtsố điện thoại, trong đómỗi số có mười chữ số và ba chữ số đầu cố định là 099. Số điện thoại này được gọi là may mắn nếu bốn chữ số tiếp theo là các chữ số chẵn đôi một khác nhau, ba chữ số cuối là các số lẻ và tổng ba chữ số này chia hết cho 3.Tính xác suất để người đó nhận được số điện thoại may mắn. Câu 3.(5,5 điểm) Cho hình chópcó đáylà hình chữ nhật,, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng . Điểm thuộc đoạn sao cho . Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng . a) Cho , tính thể tích khối chóp. b) Tính để khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng . c) Gọi và lần lượt là hình chiếu vuông góc của trên và . Chứng minh hình chóp nội tiếp một mặt cầu. Tính bán kính mặt cầu đó. Câu 4.(1,5 điểm) Cho hình chóp tứ giác đều có góc . Mặt phẳng qua và vuông góc với đường thẳng cắt hình chóp theo một thiết diện. Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng biết diện tích thiết diện bằng một nửa diện tích đáy . Câu 5.(3,0 điểm)Giải hệ phương trình . Câu 6. (1,5 điểm) Cho các số thực a, b, c thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . ------------------------- HẾT -------------------------- - Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay; - Giám thị không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Số báo danh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chữ ký của giám thị 1: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chữ ký của giám thị 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TẠO TỈNH QUẢNG NINH CẤP TỈNH THPT NĂM 2022 Môn thi:TOÁN - Bảng A ĐỀ THI CHÍNH THỨC Ngày thi:02/12/2022 (Hướng dẫn này có 05 trang) I. HƯỚNG DẪN CHUNG 1. Giám khảo chấm đúng theo hướng dẫn của Sở Giáo dục và Đào tạo. 2. Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược một cách giải. Bài làm của học sinh phải lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới được cho điểm tối đa. 3. Với các cách giải đúng nhưng khác đáp án, tổ chấm trao đổi và thống nhất điểm chi tiết, phù hợp với khung điểm của câu/ý đó.Mọi vấn đề phát sinh trong quá trình chấm phải được trao đổi trong tổ chấm và chỉ được cho điểm theo sự thống nhất của cả tổ sau khi đã được Chủ tịch HĐCT phê duyệt. 4. Giám khảo không quy tròn điểm thành phần của từng câu, điểm của bài thi.
II. ĐÁP ÁN, BIỂU ĐIỂM Câu Sơ lược lời giải/Một số gợi ý Điểm chính Cho hàm số có đồ thị và điểm . a) Tìm các giá trị của tham số 1a) 2.0 để hàm số đồng biến trên khoảng . Tập xác định: . 0.25 . 0.25 0.25 Tìm được nghiệm của là và 0.5 Bảng biến thiên x ∞ m 1 m+1 +∞ y' 0 + 0 y +∞ 0.25 ∞ Hàm số đồng biến trên khoảng. 0.5 b) Tìm các giá trị của tham số sao cho có hai điểm cực trị, đồng thời hai điểm cực trị của 1b) 2.5 cùng với điểm tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng . Từ phần a) suy ra đồ thị luôn có 0.25 hai điểm cực trị với mọi . Tính được ; . 0.5 , là các điểm cực trị của đồ thị 0.25 hàm số. Dễ thấy . Ta có nên là đường kính của 0.5 đường tròn. Suy ra hay 0.25 0.25 . 0.5 Cho tam giác đều . Trên mỗi cạnh , , lần lượt lấy 4 điểm phân biệt và không điểm nào trùng với các đỉnh , , . Hỏi có thể lập 2a) 2,0 được bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của nó thuộc tập hợp15 điểm đã cho (tính cả các điểm, , )? 0.25 Để lập được một tam giác ta cần
chọn ra 3 điểm không thẳng hàng. Do đó số tam giác lập được chính là số cách chọn ra 3 điểm không thẳng hàng. Chọn 3 điểm bất kì trong 15điểm đã cho (tính cả các 0.5 đỉnh , , ) có cách. Chọn 3 điểm thẳng hàng trong 6 0.25 điểm trên một cạnh có cách. Do có ba cạnh nên ta sẽ có số cách chọn ra 3 điểm thẳng hàng 0.5 là cách. Do đó, số cách chọn ra 3 điểm 0.5 không thẳng hàng là cách. Một người chọn ngẫu nhiên mộtsố điện thoại, trong đómỗi số có mười chữ số và ba chữ số đầu cố định là 099. Số điện thoại này được gọi là may mắn nếu bốn chữ số tiếp theo là các 2b) 2.0 chữ số chẵn đôi một khác nhau, ba chữ số cuối là các số lẻ và tổng ba chữ số này chia hết cho 3.Tính xác suất để người đó nhận được số điện thoại may mắn. Số phần tử của không gian mẫu 0.5 là . Gọi số điện thoại may mắn có dạng . 0.25 Số cách chọn các số là: . Các số được tạo thành từ các bộ 3 số sau: 0.25 ,, + Loại 1 có 5 số + Loại 2 có 4.3 = 12 số. 0.25 + Loại 3 có là 4.6 = 24 số. Suy ra số các số điện thoại may 0.25 mắn là: . Gọi là biến cố: “Người đó nhận được số điện thoại may mắn” 0.25 Có . Xác suất của biến cố là:. 0.25 Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, , đường thẳng vuông 3 góc với đáy. Điểm thuộc cạnh sao cho . Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng . 3a) a) Cho , tính thể tích khối chóp . 2.0
S0.25 Chỉ ra . 0.5 Chỉ ra góc giữa và là góc giữa và nên J 0.25 A Do đó . D I 0.5 Tính được . N B C 0.5 M Suy ra thể tích khối chóp là . 3b) Tính để khoảng cách giữa hai 2.0 đường thẳng và bằng . Kẻ (thuộc ) thì . 0.25 Gọi là hình chiếu của trên và là hình chiếu của trên, chỉ ra 0.25 suy ra Tính được . 0.5 Áp dụng hệ thức , tính được 0.5 suy ra Từ đó tính được nên hay . 0.5 c) Gọi và lần lượt là hình chiếu vuông góc của trên và . Chứng 3c) minh hình chóp nội tiếp một 1.5 mặt cầu. Tính bán kính mặt cầu đó. Gọi là tâm đường tròn ngoại S 0.25 tiếp tam giác Kẻ đường kính của . Chỉ ra nên . K Suy ra được vuông góc nên vuông góc nên thuộc mặt cầu A' H đường kính. A O D Tương tự chỉ ra thuộc mặt cầu 0.25 đường kính. Suy ra các điểm cùng thuộc mặt B C cầu đường kính. M Tính được . 0.5 Bán kính mặt cầu bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác 0.5 nên . * Lưu ý:Nếu học sinh chứng minh được tứ giác nội tiếp đường tròn, từ đó suy ra hình chóp nội tiếp một mặt cầu cho 0.5đ. 4 1.5 Cho hình chóp tứ giác đều có góc . Mặt phẳng qua và vuông góc với đường thẳng cắt hình
chóp theo một thiết diện. Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng biết diện tích thiết diện bằng một nửa diện tích đáy . S N P M I A D O B C S 0.25 N I A C O Gọi góc giữa cạnh bên và đáy là . Gọi là tâm hình vuông . Trong gọi là hình chiếu của trên nên , gọi là giao điểm của và. Trong , kẻ đường thẳng qua song song với cắt lần lượt tại và . 0.25 Chỉ ra suy ra được vuông góc. Do đó. Thiết diện là tứ giác có hai đường chéo vuông góc nên . 0.25 Do đó . Mặt khác . 0.25 Do đó . 0.25 Từ giả thiết suy ra nên tính 0.25 được . 5 Giải hệ phương trình. 3.0 Điều kiện . 0.25 (1) 0.25 Xét hàm số trên . Có. Suy ra 0.25 hàm số đồng biến trên .
(3) , thế vào (2) ta được 0.25 Chứng minh (4) không có nghiệm trên. Xét hàm số liêntục trên . Mà . 0.5 Với thì do đó . Suy ra hàm số đồng biến trên . Mặt khác, , nên . Xét thì 0.25 0.25 Vìnên. 0.25 (*) . 0.25 + Với , tính được . 0.25 + Với , tính được . 0.25 Cho các số thực a, b, c thỏa mãn 6 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 1.5 thức . Chỉ ra với thì do ; do ; do . 0.5 Do đó . 0.25 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy 0.5 cho các số không âm, ta được . Vậy . Dấu đẳng thức xảy ra khi . 0.25 ------------------------- HẾT --------------------------