Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn Toán 10 năm 2017-2018 có đáp án - Trường THPT Quỳ Hợp 1

SỞ GD & ĐT NGHỆ AN<br /> TRƯỜNG THPT QUỲ HỢP 1<br /> Ngày thi: 30/01/2018<br /> ***<br /> Câu I ( 2+2=4 điểm)<br /> <br /> ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG<br /> Năm học 2017 – 2018<br /> Môn thi: Toán – Lớp 10<br /> (Thời gian làm bài: 150 phút)<br /> <br /> Cho parabol ( P) : y  ax 2  bx  1<br /> <br />  3 11 <br /> 1) Tìm các giá trị của a; b để parabol có đỉnh S  ;<br /> .<br />  2 2 <br /> 2) Với giá trị của a; b tìm được ở câu 1, tìm giá trị của k để đường thẳng<br />  : y  x(k  6)  1 cắt parabol tại hai điểm phân biệt M ; N sao cho trung điểm của<br /> đoạn thẳng MN nằm trên đường thẳng d : 4 x  2 y  3  0 .<br /> Câu II ( 2 điểm)<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Cho tam giác đều ABC và các điểm M , N , P thỏa mãn BM  k BC , CN  2 CA ,<br /> 3<br /> <br />  4 <br /> AP  AB . Tìm k để AM vuông góc với PN .<br /> 15<br /> <br /> Câu III( 3+3+3=9 điểm)<br /> <br /> 1)<br /> <br /> Tìm m để phương trình x  6 x  9  m x  2 x  9  8  x <br /> <br /> 3m  1<br /> 2<br /> <br /> có hai nghiệm x1 , x 2 sao cho x1  10  x 2<br /> 2)<br /> 3)<br /> <br /> Giải phương trình x  3  x . 4  x  4  x . 5  x  5  x . 3  x<br /> 2<br />  2<br /> Giải hệ phương trình  x  y  2 y  6  2 2 y  3  0<br /> <br /> ( x  y )( x  xy  y  3)  3( x  y )  2<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> .<br /> <br /> Câu IV( 1.5+1.5=3 điểm)<br /> <br /> Cho hình vuông ABCD cạnh có độ dài là a. Gọi E; F là các điểm xác định bởi<br />  1  <br /> 1 <br /> CF<br /> <br /> <br /> CD, đường thẳng BF cắt đường thẳng AE tại điểm I .<br /> BE  BC ,<br /> 3<br /> 2<br />  <br /> 1) Tính giá trị của EA.CE theo a.<br /> AIC  900 .<br /> 2) Chứng minh rằng <br /> Câu V ( 2 điểm)<br /> Cho các số dương a, b, c có a+b+c=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức<br /> P<br /> <br /> a a<br /> b b<br /> c c<br /> .<br /> <br /> <br /> 2c  a  b<br /> 2a  b  c<br /> 2b  c  a<br /> <br /> - - - - Hết - - - - “CHÚ Ý : HỌC SINH KHÔNG ĐƯỢC SỬ DỤNG MÁY TÍNH”<br /> <br /> Bài<br /> Bài 1<br /> <br /> Câu 1<br /> <br /> HƯỚNG DẪN CHẤM<br /> <br /> Tìm<br /> <br /> Điểm<br /> 4<br /> điểm<br /> 2<br /> điểm<br /> <br /> ….<br /> <br /> Do Parabol nên<br /> và có trục đối xứng<br /> .<br /> mà<br /> Tọa độ đỉnh có tung độ là<br /> hay<br /> Ta có hệ pt<br /> thế vào ta được:<br /> <br /> nên<br /> nên ta có:<br /> <br /> Nếu<br /> loại.<br /> Nếu<br /> thỏa mãn.<br /> Vậy<br /> là giá trị cần tìm.<br /> Câu 1 Tìm m … với parabol<br /> ý2<br /> Để đường thẳng cắt Parabol tại hai điểm phân biệt thì pt<br /> có hai nghiệm phân biệt<br /> 2<br /> hay pt: 2 x  kx  2  0 có hai nghiệm phân biệt<br /> có<br /> Khi đó, giao điểm<br /> nên trung điểm của đoạn<br /> <br /> Bài 2<br /> <br /> ,<br /> <br /> 2<br /> điểm<br /> <br /> ,<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> .<br /> <br /> 1 <br /> <br /> 2  3k  k 2 <br /> <br /> k<br /> k<br /> 2<br /> Theo định lý Viet ta có x1  x2  nên I  ;<br /> <br /> 2<br /> 2<br /> 4<br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> nên k  8k  2  0 hay<br /> Do I thuộc đường thẳng<br /> k  4  18 thì thỏa mãn bài toán.<br /> <br /> <br /> Cho tam giác đều ABC và các điểm M , N , P thỏa mãn BM  k BC ,<br /> <br /> 0,5<br /> 0,5<br /> <br />  2   4 <br /> CN  CA , AP  AB . Tìm k để AM vuông góc với PN .<br /> 3<br /> 15<br /> <br /> <br />  <br />  <br /> A<br /> +) BM  k BC  AM  AB  k ( AC  AB)<br /> <br /> <br /> <br /> <br />  AM  (1  k ) AB  k AC .<br /> <br /> P<br /> N<br /> <br />   <br /> 4  1 <br /> +) PN  AN  AP   AB  AC<br /> 15<br /> 3<br /> B<br /> <br /> M<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 1,0<br /> <br /> ,<br /> <br /> là<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> C<br /> <br />  <br /> Để AM vuông góc với PN thì AM .PN  0<br /> <br /> <br />   4  1  <br />  (1  k ) AB  k AC    AB  AC   0<br /> 3<br />  15<br /> <br /> 4(1  k )<br /> k<br /> 1  k 4k  <br />  ) AB AC  0<br /> AB 2  AC 2  (<br /> 15<br /> 3<br /> 3<br /> 15<br /> 4(1  k ) k 1  k 4k<br /> <br />  (<br />  )cos600  0<br /> 15<br /> 3<br /> 3<br /> 15<br /> 1<br /> k<br /> 3<br /> <br /> <br /> KL: k <br /> <br /> 1<br /> 3<br /> <br /> Câu 3<br /> <br /> 1)<br /> <br /> Tìm m để phương trình<br /> x6 x9 m x2 x9 8  x<br /> <br /> 3m  1<br /> 2<br /> <br /> Giải:<br /> PT  x  9  3  m  x  9  1  x <br /> <br /> 3m  1<br /> đặt t  x  9, t  0<br /> 2<br /> <br /> PT trở thành :<br /> 3m  1<br />  2t 2  2  m  1 t  m  13  0 (1)<br /> 2<br /> PT ban đầu có nghiệm x1  10  x 2<br /> <br /> t  3  m  t  1  t 2  9 <br /> <br />  '  0<br /> <br />  (1) có nghiệm 0  t 1  1  t 2    t1  1 t 2  1  0<br /> <br />  t1  t 2  0<br /> <br />  m  1 2  2  m  13   0<br /> m 2  25  0<br /> <br /> <br />  m  13<br /> <br />  m  1  1  0  13  m  0  m  13<br />  2<br />  m  1<br /> <br /> m  1  0<br /> <br /> <br /> 2) Giải phương trình<br /> x  3  x. 4  x  4  x. 5  x  5  x. 3  x<br /> giải:<br /> Điều kiện: x  3<br /> <br /> Đặt 3  x  a ; 4  x  b ; 5  x  c với a, b, c là số thực<br /> không âm.<br /> Ta có x  3  a 2  4  b 2  5  c 2  a.b  b.c  c.a<br /> Do đó<br /> 3  a 2  ab  bc  ca<br />  a  b  c  a   3<br /> <br /> <br /> 2<br /> 4  b  ab  bc  ca   b  c  a  b   4<br /> <br /> <br /> 2<br />  c  a  b  c   5<br /> 5  c  ab  bc  ca<br /> Nhân từng vế ba phương trình ta được<br />  a  b  b  c  c  a   2 15<br /> <br /> 2 15<br /> a  b <br /> 5<br /> <br /> <br /> 2 15<br /> 15<br /> 15<br /> 15<br /> Suy ra b  c <br /> abc<br /> <br /> <br /> 3<br /> 5<br /> 4<br /> 3<br /> <br /> <br /> 2 15<br /> c  a <br /> 4<br /> <br /> <br /> 671<br /> 671<br /> . Thử lại x <br /> thỏa mãn phương trình.<br /> 240<br /> 240<br /> 671<br /> Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x <br /> 240<br /> Suy ra x <br /> <br /> 2<br />  2<br /> 3) Giải hệ phương trình  x  y  2 y  6  2 2 y  3  0<br /> <br /> ( x  y )( x  xy  y  3)  3( x  y )  2<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> .<br /> <br /> Giải<br /> 2<br />  2<br /> Giải hệ phương trình  x  y  2 y  6  2 2 y  3  0<br /> <br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> ( x  y )( x  xy  y  3)  3( x  y )  2<br /> <br /> (1)<br /> <br /> .<br /> <br /> (2)<br /> <br /> ĐKXĐ: y  1, 5 .<br /> (2) <br /> x3  y 3  3x  3 y  3  x 2  y 2   2   x  1   y  1  x  1  y  1  y  x  2<br /> 3<br /> <br /> 3<br /> <br /> Thay vào pt thứ nhất ta được:<br /> 2<br /> 2<br />  2x 1  1  x<br /> 1 <br /> 1<br /> <br /> x 2  3x  1   2 x  1   x     2 x  1    <br /> 2 <br /> 2<br /> <br />  2 x  1  x<br /> <br /> (Có thể bình phương được pt:  x  1 ( x 2  4 x  2)  0 )<br /> Giải hai pt này ta được x  1, x  2  2<br /> 2<br /> <br /> Vậy hệ có hai nghiệm là  x; y   1; 1 ,  2  2,  2  .<br /> Câu 4<br /> <br /> Giải:<br /> 1. Tính<br /> Ta có<br /> <br /> theo a.<br /> ;<br /> <br /> Ta có<br /> Mặt khác:<br /> Trong tam giác vuông<br /> Nên<br /> 2.<br /> Chứng minh<br /> Ta có<br /> Do<br /> Nên<br /> <br /> nên<br /> ta có<br /> <br /> . Giả sử<br /> <br /> thẳng hàng nên:<br /> và<br /> <br /> nên<br /> <br /> nên<br /> <br /> Nên<br /> .<br /> <br /> Câu 5<br /> <br /> Cho các số dương a, b, c có a+b+c=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu<br /> thức P <br /> <br /> a a<br /> b b<br /> c c<br /> .<br /> <br /> <br /> 2c  a  b<br /> 2a  b  c<br /> 2b  c  a<br /> <br /> Giải<br /> a a<br /> a3<br /> a3<br /> a3<br /> c3 c3<br /> 1<br /> <br />  (<br /> <br /> <br /> )<br /> 8<br /> 16<br /> 2c  a  b<br /> c  (a  b  c) 2 c  3<br /> c3<br /> a3<br /> a 3 c  3 c  3 3a c  3<br /> <br /> <br /> <br /> 16<br /> 4<br /> 16<br /> c3 c3 8<br /> a a<br /> 3a c  3<br /> Suy ra:<br /> <br /> <br /> 16<br /> 2c  a  b 4<br /> b b<br /> 3b a  3 và<br /> c c<br /> 3c b  3<br /> Tương tự<br />  <br />  <br /> 16<br /> 16<br /> 2a  b  c 4<br /> 2b  a  c 4<br /> 1<br />  33<br /> 2<br /> <br />