Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn Toán 8 năm 2017-2018 có đáp án - Trường THCS Quảng Phú

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> TRƯỜNG THCS QUẢNG PHÚ<br /> <br /> KÌ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG<br /> Năm học 2017 - 2018<br /> <br /> Môn: Toán 8<br /> Ngày thi: 18 - 01 - 2018<br /> Thời gian làm bài: 120 phút<br /> <br /> ĐỀ THI CHÍNH<br /> <br /> Bài 1 (2,0 điểm).<br /> Cho biểu thức:<br /> <br /> x 2 + x  x +1 1<br /> 2 - x2 <br /> P= 2<br /> :<br /> +<br /> +<br />  (Với x ≠ 0 và x ≠ ±1)<br /> x - 2x +1  x<br /> x -1 x 2 - x <br /> a) Rút gọn P;<br /> 1<br /> 2<br /> <br /> b) Tìm x để P =  .<br /> Bài 2(2,0 điểm).<br /> a) Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 8x – 4 thành nhân tử.<br /> b) Cho f(x) là đa thức có hệ số nguyên. Biết f(0) và f(1) là các số lẻ, chứng<br /> minh rằng đa thức f(x) không có nghiệm nguyên.<br /> Bài 3 (1,5 điểm).<br /> a) Giải phƣơng trình sau:<br /> <br /> 15 x<br /> 1 <br />  1<br />  1  12 <br /> <br /> <br /> x  3x  4<br />  x  4 3x  3 <br /> 2<br /> <br /> b) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: x2  x  y 2  0<br /> Bài 4: ( 3,5 điểm )<br /> Cho hình thang ABCD có A  D = 900, CD = 2AD = 2AB. Gọi H là hình chiếu<br /> của D lên AC; M, P, Q lần lƣợt là trung điểm của CD, HC và HD.<br /> a) Chứng minh tứ giác ABMD là hình vuông và tam giác BCD là tam giác<br /> vuông cân.<br /> b) Chứng minh tứ giác DMPQ là hình bình hành<br /> c) Chứng minh AQ vuông góc với DP<br /> d) Chứng minh S ABCD  6S ABC<br /> Bài 5 : (1 điểm)<br /> a) Chứng minh bất đẳng thức sau :<br /> <br /> x y<br />   2 ( với x,y cùng dấu )<br /> y x<br /> <br /> b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :<br /> P<br /> <br />  x y<br /> x2 y 2<br />  2  3     5 với x ≠ 0; y ≠ 0<br /> 2<br /> y<br /> x<br />  y x<br /> <br /> PHÒNG GD & ĐT LƢƠNG TÀI<br /> TRƯỜNG THCS QUẢNG PHÚ<br /> <br /> HƯỚNG DẪN CHẤM<br /> Môn thi: Toán- Lớp 8<br /> <br /> Bài 1 (2,0 điểm).<br /> a) P <br /> <br /> P<br /> P<br /> <br /> 1<br /> (2,0)<br /> <br /> x  x  1  ( x  1)( x  1)<br /> x<br /> 2  x2 <br /> :<br /> <br /> <br />  Với x ≠ 0 và x ≠ ±1<br /> 2 <br /> x( x  1) x( x  1) <br />  x  1  x( x  1)<br /> <br /> x  x  1 x 2  1  x  2  x 2<br /> :<br /> 2<br /> x( x  1)<br />  x  1<br /> x  x  1<br /> <br />  x  1<br /> <br /> 2<br /> <br /> :<br /> <br /> x  x  1 x( x  1)<br /> x 1<br /> x2<br /> <br /> <br /> <br /> x( x  1)  x  12 x  1<br /> x 1<br /> <br /> 1<br /> x2<br /> 1<br /> <br /> <br /> 2<br /> x 1 2<br /> 2<br />  2 x   x  1  2 x2  x 1  0<br />  2 x2  2 x  x 1  0<br />   2 x  1 x  1  0<br /> <br /> b) P <br /> <br /> 0,25<br /> 0,5<br /> 0.5<br /> 0.25<br /> 0.25<br /> <br /> x=1/2 ( thỏa mãn ĐKXĐ), x = -1 ( không thỏa mãn ĐKXĐ)<br /> Vậy với x <br /> <br /> 1<br /> 1<br /> thì P <br /> 2<br /> 2<br /> <br /> 0.25<br /> <br /> Bài 2 (2,0 điểm).<br /> a) x3 – 5x2 + 8x – 4 = = (x3 - x2 ) - (4x2 - 4x) + (4x - 4)<br /> = x2(x - 1) - 4x(x - 1) + 4(x - 1)<br /> = (x - 1)(x2 - 4x + 4) = (x - 1)(x - 2)2<br /> 2<br /> (2 đ)<br /> <br /> b) Giả sử x = a là nghiệm nguyên của f(x)<br /> Khi đó f(x) = (x - a). Q(x), trong đó Q(x) là đa thức có hệ số nguyên.<br /> Vì thế f(0) = (- a).Q(0) (*); f(1) = (1 - a).Q(1) (**)<br /> Vì f(0) là số lẻ nên từ (*) suy ra a là số lẻ. Vì f(1) là số lẻ nên từ (**) suy<br /> ra 1- a cũng là số lẻ. Nghĩa là a và 1- a là hai số lẻ, mâu thuẫn. Tức là<br /> điều giả sử là sai.<br /> Vậy f(x) không có nghiệm nguyên.<br /> <br /> 0,75<br /> 0,5<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> Bài 3: (1,5 điểm)<br /> a) ĐK: x  1; x  4<br /> <br /> PT  15 x  x 2  3x  4  43x  3  x  4<br /> <br />  x 2  4x  0<br />  x  0(tm ); x  4(loai )<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> Vậy phƣơng trình có nghiệm x = 0<br /> a) Ta có<br /> x 2  x  y 2  0  4 x 2  4 x  4 y 2  0   2 x  1   2 y   1<br /> 2<br /> <br /> 3<br /> (1,5)<br /> <br /> 2<br /> <br /> 0,25<br /> <br />   2 x  2 y  1 2 x  2 y  1  1 *<br />  2 x  2 y  1  1<br />  x  0<br /> <br /> <br /> 2 x  2 y  1  1<br /> y  0<br /> <br /> Vì x, y nguyên nên từ (*)  <br /> <br /> 2 x  2 y  1  1   x  1<br /> <br /> <br />  2 x  2 y  1  1   y  0<br /> <br /> Vậy  x; y   0;0 ;  1;0  <br /> HS có thể đưa về x  x  1  y 2 rồi biên luận theo tích 2 số nguyên liên tiếp<br /> là SCP<br /> Bài 5: (3,5 điểm)<br /> Phần<br /> Nội dung đáp án<br /> Vẽ hình đúng và ghi đầy đủ GT-KL<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Điểm<br /> <br /> 0,5đ<br /> <br /> 1đ<br /> <br /> a)<br /> +/ Chứng minh cho tứ giác ABMD có 4 cạnh bằng nhau<br /> lại có A =900 nên ABMD là hình vuông.<br /> +/  BMD có BM là đƣờng trung tuyến ứng với cạnh DC và<br /> 1<br /> DC   BMD vuông tại B<br /> 2<br /> lại có BDM = 450   BMD vuông cân tại B<br /> <br /> BM =<br /> <br /> b)<br /> Tứ giác DMPQ có PQ // DM và PQ = DM<br /> <br /> 0,5<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,5đ<br /> 0,25<br /> <br />  tứ giác DMPQ là hình bình hành<br /> <br /> 0,25<br /> 0,5đ<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 1đ<br /> 0,25<br /> <br /> c)<br /> Chứng minh Q là trực tâm của tam giác ADP<br />  AQ  DP<br /> d)<br /> Chứng minh ABC = AMC (c.c.c)  S ABC  S AMC<br /> 1<br /> 2<br /> <br /> 1<br /> 4<br /> <br /> mà SAMC  AD.MC  AD 2<br /> <br /> 0,25<br /> 1<br /> 2<br /> <br /> 3<br /> 2<br /> <br /> Lại có S ABCD  S ABMD  S BCM  AD 2  AD 2  AD 2<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 2<br /> <br /> S ABCD<br /> S ABC<br /> <br /> 3<br /> AD<br /> 2<br /> <br />  6  S ABCD  6S ABC<br /> 1<br /> AD 2<br /> 4<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Bài 5 (1 điểm<br /> Ý<br /> <br /> Nội dung đáp án<br /> <br /> a)<br /> <br /> Chứng minh đƣợc<br /> <br /> b)<br /> <br /> Đặt t  <br /> <br /> x<br /> y<br /> <br /> Điểm<br /> 0,5 đ<br /> <br /> x y<br />   2 với x,y cùng dấu<br /> y x<br /> <br /> y<br /> x<br /> <br /> 0,25<br /> 2<br /> <br /> Đƣa đƣợc về t – 3t + 3 = (t-2) (t-1) + 1<br /> Với x, y khác dấu thì t < 0 => t-2 và t-1 là số âm<br />  (t-2) (t-1) > 0 => (t-2)(t-1) + 1 > 1<br /> Với x, y cùng dấu thì t ≥ 2; => t-2 ≥ 0; t-1 >0<br />  (t-2)(t-1) ≥ 0<br />  (t-2) (t-1) + 1 ≥ 1<br /> (t-2) ( t-1) đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1 khi t = 2 hay x = y<br /> Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P <br /> <br />  x y<br /> x<br /> y<br />  2  3     5 là 1<br /> 2<br /> y<br /> x<br />  y x<br /> 2<br /> <br /> khi x = y<br /> Chú ý : Các cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa.<br /> <br /> 2<br /> <br /> 0,25<br /> <br />