Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn Toán lớp 11 có đáp án

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

16
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Vận dụng kiến thức và kĩ năng các bạn đã được học để thử sức với "Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn Toán lớp 11 có đáp án" này nhé. Thông qua đề kiểm tra các bạn sẽ được ôn tập và nắm vững kiến thức môn học. Chúc các bạn thi tốt!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn Toán lớp 11 có đáp án

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Môn thi: Toán – Lớp 11 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu I. (4,0 điêm ̉ ) x3 Cho hàm số y = - x 2 + x + m có đồ thị là ( C ) . Tìm tất cả các giá trị của m để tiếp tuyến của 3 đồ thị ( C ) tại điểm M có x M = 3 chắn hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 2 . Câu II. (6,0 điêm ̉ ) 1) Giải phương trình � p� ￷￷ = sin x + cos x - 1 2 sin ￷￷￷2x - ￷￷ ￷� 4� 2) Tìm số nguyên dương lẻ n sao cho C n1 - 2.2C n2 + 3.22C n3 - 4.23C n4 + ... + n .2n - 1C nn = 2022. 3) Tính giới hạn I = lim 2022(2023 - x 2 ) - 2022 x￷ 1 x- 1 Câu III. (4,0 điêm ̉ ) 1) Giải phương trình: 2x + 3 + x + 1 = 3x - 16 + 2 2x 2 + 5x + 3 ￷ x 3 - y 3 + 3x 2 + 6x - 3y + 4 = 0 ￷ 2) Giải hệ phương trình: ￷￷ ( x , y ￷ R) ￷￷ 3 4x + 1 + 2 3 2x + 4y - 8 = x + 2y + 5 ￷ Câu IV. (4,0 điêm ̉ ) 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình vuông A BCD có đỉnh C thuộc đường thẳng d : x + 2y - 6 = 0 , điểm M ( 1;1) thuộc cạnh B D biết rằng chình chiếu vuông góc của điểm M trên cạnh A B , A D đều nằm trên đường thẳng D : x + y - 1 = 0 . Tìm tọa độ đỉnh C . 2) Cho hình vuông A BCD cạnh a . Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Trên nửa đưởng thẳng Ox vuông góc với mặt phẳng chứa hình vuông, ta lấy điểm S sao cho góc SCB ? = 600 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và SD . Câu V. (2,0 điêm ̉ ) Cho a, b, c, d là các số thực thoả mãn a 2 + b2 = 25; c2 + d 2 = 16 và ac + bd ￷ 20 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = a + d . Hết Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:……….………..…….................…….….….; Số báo danh:……….....………. HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Môn: Toán – Lớp 11 Câu Lời giải sơ lược Điể m 1(4,0 điểm)
Ta có y ' = x 2 − 2x +1 Theo giả thiết ta có M(3;3 + m) (C), phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M là: 2,0 y = y '(3)(x − 3) + 3 + m � y = 4(x − 3) + 3 + m � y = 4x − 9 + m (Δ) �9 − m � Gọi AΔ= Ox �� A � ;0 �; B = ∆ �� Oy B ( 0; m − 9 ) �4 � 1 1 9−m (m − 9) 2 Diện tích tam giác OAB: SOAB = OA.OB = m−9 = 2 2 4 8 2,0 (m − 9) 2 m = 13 Theo giả thiết: SOAB = 2 � = 2 � (m − 9) 2 = 16 � 8 m=5 Vậy m = 5;m = 13. � p� ￷￷ = sin x + cos x - 1 . (1) 2.1 (2 điểm) 2 sin ￷￷2x - ￷￷ ￷� 4� (1) sin 2 x − cos 2 x = sin x + cos x − 1 � sin 2 x − sin x = cos 2 x + cos x − 1 0,5 � 2sin x cos x − sin x = 2cos 2 x + cos x − 1 � sin x(2cos x − 1) = (2cosx − 1)(cosx + 1) 1 cos x = (a) 1,0 � (2cos x − 1)(sinx − cos x − 1) = 0 2 sin x − cos x = 1(b) π (a ) � x = � + k 2π 3 π π = + k 2πx− π 0,5 � π� 4 4 x= + k 2π (b) � 2 sin �x − �= 1 � 2 � 4 � π 3π x− = + k 2π x = π + k 2π 4 4 2.2 (2 điểm). n Ta có ( 1 + x ) = C n0 + C n1x + C n2x 2 + C n3x 3 + ... + C nn x n n- 1 1,0 Lấy đạo hàm 2 vế ta được: n ( 1 + x ) 1 2 3 2 = C + 2C x + 3C x + ... + C x n n n n n n- 1 n- 1 Cho x = - 2 � n (- 1)n - 1 = C n1 - 2C n2 2 + 3C n3 22 - ... + nC nn ( - 2) 1,0 Vì n lẻ nên ta có: n = C n1 - 2C n2 2 + 3C n3 22 - ... + n 2n - 1C nn = 2022 Vậy n = 2022 2.3 (2 điểm) 2022 ( 1 − x 2 ) 2022 ( ) 2023 − x 2 − 2022 = lim ( ) + I = lim 1,0 x 1 x −1 x 1 ( x − 1) 2023 − x 2 + 2022 − 2022 ( 1 + x ) −2 2022 = lim = = −1 x 1 2023 − x 2 + 2022 2 2022 1,0 Vậy I = −1 3.1 (2 điểm)
ĐKXĐ: x ￷ - 1 Đặt t = 2x + 3 + x + 1 , đk: t > 0 � t 2 = 3x + 4 + 2 2x 2 + 5x + 3 � 3x + 2 2x 2 + 5x + 3 = t 2 - 4 1,0 ￷t = - 4 PT trở thành: t = t 2 - 4 - 16 � t 2 - t - 20 = 0 � ￷￷ �t = 5 t￷ = 5 ￷ Với t = 5 � 2x + 3 + x + 1 = 5 � 3x + 4 + 2 2x 2 + 5x + 3 = 25 ￷ 21 - 3x ￷ 0 2 ￷ ￷￷ � 2 2x + 5x + 3 = 21 - 3x ￷￷ 4(2x 2 + 5x + 3) = 441 - 126x + 9x 2 ￷ 1,0 ￷x ￷ 7 ￷x ￷ 7 ￷ ￷￷ 2 ￷ ￷￷ �x =3 ￷￷ x - 146x + 429 = 0 ￷￷ x = 143 �x = 3 ￷ Vậy phương trình có nghiệm là x = 3 ￷ x 3 - y 3 + 3x 2 + 6x - 3y + 4 = 0 (1) ￷ 3.2 (2 điểm) Giải hệ phương trình: ￷￷ ( x , y ￷ R) ￷￷ 3 4x + 1 + 2 3 2x + 4y - 8 = x + 2y + 5 (2) ￷ ￷x ￷ - 1 / 4 ￷ Điều kiện ￷ 0,5 ￷￷ 2x + 4y - 8 ￷ 0 Phương trình (1) tương đương với ( x + 1)3 + 3( x + 1) = y 3 + 3 y � (x + 1 − y) � ( x + 1) 2 + ( x + 1) y + y 2 + 3� � �= 0 (*) 0,5 Vì ( x + 1) 2 + ( x + 1) y + y 2 + 3 > 0, ∀x, y nên (*) � x + 1 − y = 0 � y = x + 1 Thay vào phương trình (2) của hệ ta được 3 4x + 1 + 2 3 6x − 4 = 3x + 7 �� 3 4x + 1 − ( 2x + 5 ) ��+ � �2 3 6x − 4 − (x + 2) � �= 0 −4(x − 2) 2 −(x − 2) 2 (x + 10) � + =0 3 4x + 1 + 2x + 5 4 3 (6x − 4) 2 + 2(x + 2) 3 6x − 4 + (x + 2) 2 1,0 (x − 2) = 0 � x = 2(tm) � y = 3(tm) 2 −4 −(x + 10) + = 0(**) 3 2x + 8 + x + 12 4 3 (6x − 4) 2 + 2(x + 2) 3 6x − 4 + (x + 2) 2 Nhận xét: Với x −1 / 4 ,vế trái của phương trình (**) luôn âm , nên (**) vô nghiệm Vậy hệ phương trình có nghiệm ( 2;3) 4.1 (2 điểm)
Gọi H và K là hình chiếu vuông góc của M trên AB và A H B AD; Gọi N là giao điểm của KM và BC, gọi I là giao điểm của CM và HK. Ta có ∆DKM vuông tại K và I ￷ MDK = 450 KM = KD=NC. K N Lại có MH = MN (do MHBN là hình vuông) suy ra M ￷ ￷ ￷ . Mà NMC ￷ 1,0 ∆KMH = ∆CNM � HKM = MCN = IMK nên IMK ￷ ￷ + HKM ￷ = NMC ￷ + NCM = 900 � CI ⊥ HK . D C Đường thẳng CI qua M(1;1) và vuông góc với đường thẳng d nên có phương trình: −( x − 1) + ( y − 1) = 0 � x − y = 0 . Do điểm C thuộc đường thẳng CI và đường thẳng ∆ nên �x − y = 0 �x = 2 1,0 tọa độ điểm C là nghiệm hệ pt � � �x + 2 y − 6 = 0 �y = 2 Vậy C(2;2). 4.2 (2 điểm) S Gọi I, H là trung điểm của BC và SD. ￷ Ta có SO là trục hình vuông và SCB = 600 SA=SB=SC=SD=CB=a và BC//mp(SCD) nên d ( BC , SD ) = d ( I , mp(SAD)) J Ta lại có AD ⊥ ( SIH ) � ( SIH ) ⊥ ( SAD ) theo giao tuyến 1,0 SH. Trong mặt phẳng (SIH) dựng A B IJ ⊥ SH � IJ ⊥ ( SAD ) � d ( I ,( SAD )) = IJ H 60 O I D C a 2 SO.HI a. 2 a 6 Tam giác SIH có: IJ = = = SH a 3 3 1,0 2 a 6 Vậy d ( BC , SD) = 3 5 (2 điểm) Cho a , b, c, d là các số thực thoả mãn a 2 + b2 = 25; c2 + d 2 = 16 và ac + bd ￷ 20 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = a + d . a = 5sin α ; b = 5cos α Từ a 2 + b2 = 25; c2 + d 2 = 16 ￷ tồn tại hai góc α ; β sao cho c = 4 cos β ; d = 4sin β Khi đó biểu thức ac + bd ￷ 20 có dạng sin a cos b + cos a sin b ￷ 1 hay sin ( a + b) ￷ 1 , 1,0 p nên sin ( a + b) = 1 do đó b = - a + k 2p, k ￷ ? . Vậy sin b = cos a 2 Ta có P = 5sin α + 4sin β = 5sin α + 4cos α 41 � Pmax = 41 1,0
Vậy giá trị lớn nhất của P là 41 1. Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược một cách giải. Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới được tính điểm tối đa. 2. Với các cách giải đúng nhưng khác đáp án, tổ chấm trao đổi và thống nhất điểm chi tiết nhưng không được vượt quá số điểm dành cho bài hoặc phần đó. Mọi vấn đề phát sinh trong quá trình chấm phải được trao đổi trong tổ chấm và chỉ cho điểm theo sự thống nhất của cả tổ. 3. Điểm toàn bài là tổng số điểm của các phần đã chấm, không làm tròn điểm