Đề thi chọn học sinh giỏi cụm môn Toán lớp 10 năm 2021-2022 có đáp án - Sở GD&ĐT Hà Nội

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

22
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mời các bạn tham khảo “Đề thi chọn học sinh giỏi cụm môn Toán lớp 10 năm 2021-2022 có đáp án - Sở GD&ĐT Hà Nội” sau đây để hệ thống lại kiến thức đã học và biết được cấu trúc đề thi cũng như những nội dung chủ yếu được đề cập trong đề thi để từ đó có thể đề ra kế hoạch học tập và ôn thi một cách hiệu quả hơn. Chúc các bạn ôn tập thật tốt!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi chọn học sinh giỏi cụm môn Toán lớp 10 năm 2021-2022 có đáp án - Sở GD&ĐT Hà Nội

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CỤM LỚP 10 CỤM TRƯỜNG THPT NĂM HỌC 2021 - 2022 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút Bài I (4,0 điểm) Cho Parabol (P ) : y  x 2  2x  3 . 1) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị (P ) . 2) Tìm tọa độ điểm M thuộc (P ) sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng y  4x  7 đạt giá trị nhỏ nhất. Bài II (6,0 điểm)  x  y  xy  1 2 2 1) Giải hệ phương trình  .  x  y  xy  3  2) Giải phương trình sau: a) 2x 2  3x  5  x  1 ; b) x 2  3x  2  6  2 x  1  3 x  2. Bài III (4,0 điểm) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  3 . a 3 b3 1) Chứng minh 2  2  a  b . b a a 3 b3 c 3 2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  2  2  2 . b c a Bài IV (3,0 điểm) Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a . Gọi G là trọng tâm tam giác, M là một điểm thỏa mãn MA  2MB  3MC  0. 1) Chứng minh: 6GM  A C . 2) Gọi D , E , F là hình chiếu của M lên các cạnh BC ,CA, AB . Tính MD  ME  MF theo a . Bài V (3,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có các đường cao AD, BE ,CF . Biết điểm E (5, 4), điểm F (1, 2) và phương trình đường thẳng BC là y  1 . 1) Viết phương trình đường thẳng EF và tìm tọa độ trung điểm của B C . 2) Tính diện tích tam giác DEF . - - - - - - - - - - Hết - - - - - - - - - Họ và tên thí sinh:.................................................... Số báo danh:............................................
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CỤM LỚP 10 CỤM TRƯỜNG THPT NĂM HỌC 2021 - 2022 Môn thi: TOÁN HƯỚNG DẪN CHẤM Bài Câu Nội dung điểm 1 1 TXĐ: 0,25 (4,0đ) Đỉnh I  1; 4 0,25 Bảng biến thiên: x  -1    y 0,5 -4 Đồ thị: 0,25 (P) Giao với trục Ox :  3;0 ; 1;0 0,25 (P) Giao với trục Oy :  0; 3 Vẽ đồ thị hàm số 0,5 (Chú ý: học sinh biểu diễn tọa độ các điểm trên hình vẽ vẫn được điểm tối đa) 2 Gọi M  x, y    P  suy ra y  x 2  2 x  3 0,25 y  4x  7 x2  2 x  4 Khi đó d  M , d    0,5 17 17 Ta có: x2  2 x  4   x  1  3  3 2 3 17 0,5 Suy ra d  M , d   . 17 3 17 Suy ra giá trị nhỏ nhất của d  M , d   . 17 0,5 Dấu bằng xảy ra khi x  1, y  0. Vậy M 1,0 . 0,25 2 1  x  y  xy  1 2 2  (x  y )  3xy  1 2 (6,0đ)    x  y  xy  3 x  y  xy  3 0,25   x  y  S Đặt   xy  P 0,25
Hệ phương trình trở thành  S  3P  1 2  S  3S  10  0 2 S  2, P  1 0,5      S P  3   P  3S S  5, P  8 Với S  5, P  8 suy ra x , y là nghiệm của phương trình 0,5 X 2  5X  8  0 ( vô nghiệm) Với S  2, P  1 suy ra x , y là nghiệm của phương trình X 2  2X  1  0  X  1 suy ra x  y  1 0,5     Vậy hệ có nghiệm là x , y  1;1 2a  x  1  x  1 2x  3x  5  x  1   2 2  2   x x 6  0 2 2x  3x  5  x  1   1,0  x  1    x  2(l ) . Vậy phương trình có nghiệm là: x  3 1,0  x  3(tm )   2b  x  1  a Điều kiện x  2. Đặt  0,5  x  2  b a  3 Phương trình trở thành ab  6  2a  3b  (a  3)(b  2)  0   0,5 b  2 Với a  3  x  10(tm) Với b  2  x  6(tm) 1,0 Vậy tập nghiệm của phương trình là S  {6;10}. 3 1 Biến đổi : (4,0đ) a 3 b3 b 2     2  a  b  a 5  b5  a 3b2  a 2b 3  a 3 a 2  b2  b3 a 2  b2  0 a  1,0      a  b  a  2  a 2  b2 a 3  b 3  0  a  b 2  ab  b2  0 1,0 2 a3 Áp dụng bđt Cauchy ta có:  b  b  3a b2 b3 c3 1,0  c  c  3b ;  a  a  3c c2 a2 Suy ra a 3 b3 c 3 a 3 b3 c 3    2(a  b  c )  3(a  b  c )  2  2  2  a  b  c  3 b2 c 2 a 2 b c a 1,0 Dấu bằng xảy ra khi a =b= c =1 Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 3 khi a =b = c =1.
4 1 Ta có: GM  A M  A G 0,25 (3,0đ) 1 1 Ta có MA  2MB  3MC  0  AM  AB  AC 0,25 3 2 1 1 Ta có G là trọng tâm tam giác ABC  A G  A B  A C 0,25 3 3 1 Suy ra GM  A C  6GM  A C 0,25 6 2 Từ M kẻ các đường thẳng song song với 3 cạnh của tam giác, cắt các cạnh này tại P,Q,H,K,I,J. Suy ra D,E,F là trung điểm các cạnh HK, IJ, PQ. 0,5 Suy ra  MD  1 2  1 MH  MK ; ME  MI  MJ ; 2   0,5 1   MF  MP  MQ 2  Suy ra  MD  ME  MF  1 2  MH  MK  MI  MJ  MP  MQ    1 0,5  MA  MB  MC 2   Mà MA  MB  MC  3MG  MD  ME  MF  3 2 1 MG  CA 4 0,5 1 a  MD  ME  MF  A C  4 4 5 1 Ta có: EF ( 4, 2) / / (2,1) (3,0đ) 0,25 Suy ra pt đường thẳng EF là: x  2y  3  0 0,25
Gọi M là trung điểm BC suy ra M (x ,1). 0,25 1 Chứng minh ME  MF (  BC ) 0,5 2 Suy ra  x  5   1  4    x  1  1  2   8x  32  0  x  4 2 2 2 2 0,5 Vậy tọa độ trung điểm BC là: M (4,1). 0,25 2 Gọi F’ đối xứng với F qua BC suy ra F '(1, 0). 0,25 Chứng minh DA là phân giác của góc EDF suy ra F’, D, E thẳng hàng 0,25 Pt EF’: x  y  1  0 0,25 Suy ra tọa độ điểm D (2, 1). 1 1 2  2.1  3 Suy ra S DEF  d (D, EF ).EF  .2 5  3 0,25 2 2 5