Đề thi chọn học sinh giỏi huyện Trực Ninh môn toán lớp 9

Chia sẻ: Nguyen Quynh Chi | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

574
lượt xem 90
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo về Đề thi chọn học sinh giỏi huyện Trực Ninh môn toán lớp 9...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi chọn học sinh giỏi huyện Trực Ninh môn toán lớp 9

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2009 - 2010 HUYỆN TRỰC NINH MÔN: TOÁN - LỚP 9 Ngày thi: 08 tháng 12 năm 2009 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề Đề thi có 01 trang Bài 1: (4,0 điểm) 1   2x + x − 1 2x x + x − x  1 Cho biểu thức A =  − + ÷: ÷ x   1− x 1− x 1+ x x  1 Với x > 0; x ≠ ; x ≠ 1 4 a) Rút gọn biểu thức A. b) Tính giá trị của A khi x = 17 − 12 2 c) So sánh A với A . Bài 2: (3,5 điểm) Chứng minh rằng: ( ) ( ) 1 a) 2 a − b < < 2 b − c Biết a; b; c là 3 số thực thỏa mãn điều kiện: b a = b + 1 = c + 2 ; c >0. 20082 2008 b) Biểu thức B = 1 + 20082 + + có giá trị là một số tự nhiên. 20092 2009 Bài 3: (3,0 điểm) Giải phương trình a) x 2 − 3x + 2 + x + 3 = x − 2 + x 2 + 2x − 3 x+3 b) 4x + 1 − 3x − 2 = . 5 Bài 4.(8,0 điểm) Cho AB là đường kính của đường tròn (O;R). C là một điểm thay đổi trên đ ường tròn (C khác A và B), kẻ CH vuông góc với AB tại H. Gọi I là trung điểm của AC, OI cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn (O;R) tại M, MB cắt CH tại K. a) Chứng minh 4 điểm C, H, O, I cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh MC là tiếp tuyến của (O;R). c) Chứng minh K là trung điểm của CH. d) Xác định vị trí của C để chu vi tam giác ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất đó theo R. ( ) ( ) 2008 2008 Bài 5: (1,5 điểm) Cho M = 3+ 2 + 3− 2 a) Chứng minh rằng M có giá trị nguyên. b) Tìm chữ số tận cùng của M. Chú ý: Thí sinh không được sử dụng máy tính. ----- Hết ----- Họ tên thí sinh:…………………………. Chữ ký giám thị 1:………………………. Số báo danh : ………………………… Chữ ký giám thị 2:……………………….
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2009-2010 MÔN TOÁN LỚP 9 Bài 1 (4 điểm) a) Rút gọn biểu thức (2 điểm) 1   2x + x − 1 2x x + x − x   1  1 A = − + ÷ x > 0;x ≠ ;x ≠ 1÷ ÷:  1 − x x  ÷  1− x 1+ x x 4    ( )  x 2x + x − 1  x − 1 + x  2x + 2 x − x − 1 0.5  = + : ( )( )( )( )( )  1− x 1+ x 1+ x 1− x + x  x 1− x   ( )( )( )( )  x x + 1 2 x −1  2 x −1  x + 1 2 x −1 0.5  = + : ( )( )( )( )( ) x x − 1  1− x 1+ x 1+ x 1− x + x    0.25 2 x −1   1 ( ) x = :  2 x −1  +  1 − x 1 − x + x ÷ ( ) ÷ x x −1      0.25 ( ) 1− x + x + x 1− x ( ) 2 x −1 = : 2 x −1 : ( ) ( 1− x ) ( 1− ) x −1 x +x x 0.5 1− x + x 1 1 = = : ( ) ( 1− x ) ( 1− ) x −1 x +x x x b) Tính giá trị của A khi x = 17 − 12 2 (1 điểm). ( ) ( 3− 2 2 ) = 3− 2 2 2 Tính x = 17 − 12 2 = 3 − 2 2 ⇒ x= 2 = 3− 2 2 0.5 ( ) 2 5( 3 − 2 2 ) 1 − 3 − 2 2 + 17 − 12 2 0.5 15 − 10 A= = = =5 3− 2 2 3− 2 2 3− 2 2 c) So sánh A với A (1 điểm). 1− x + x 1 0.25 Biến đổi A = = x+ −1 x x 0.25 1 1 Chứng minh được x + > 2 với mọi x > 0;x ≠ ;x ≠ 1 4 x ( ) 1 ⇒A = x+ −1 > 1⇒ A > 1⇒ A −1 > 0 ⇒ A A −1 > 0 0.5 x ⇒ A − A > 0⇒ A > A Bài 2 (3 điểm) ( ) ( ) 1 a− b <
kiện a = b + 1 = c + 2 ; c > 0 (2 điểm). Ta có: a = b + 1 ⇒ a − b = 1 ⇒ a > b ( 1) . 0.5 b + 1 = c + 2 ⇒ b − c = 1 ⇒ b > c > 0 ( 2 ) . (c > 0 theo (gt)) 0.25 0.25 Từ (1) và (2) suy ra a > b > c > 0. ( )( ) 1 1 Mặt khác a − b = 1 ⇒ a− b a + b = 1⇒ a − b = < (Vì a >b>0) a+ b 2 b 0.5 ( ) 1 ⇒2 a− b < . b ( ) 1 0.25
( )( ) = x+3 ⇔ 0.25 4x + 1 − 3x − 2 . 4x + 1 + 3x − 2 4x + 1 − 3x + 2 x+3 ( 1) ⇔ = 4x + 1 + 3x − 2 4x + 1 + 3x − 2 5 5 0.25 4x + 1 − 3x + 2 x+3 x+3 x+3 ⇔ = ⇔ = ⇔ 4x + 1 + 3x − 2 = 5 (2) 4x + 1 + 3x − 2 4x + 1 + 3x − 2 5 5 2 0.5 (Vì x ≥ nên x + 3 > 0). 3 Giải tiếp phương trình (2) ta được nghiệm của phương trình là x = 2. Bài 4 (8 điểm) M C I K A B O H 1) Chứng minh 4 điểm C, H, O, I cùng thuộc một đường tròn. (2 điểm) Chứng minh OI ⊥ AC. 0.75 Suy ra ∆ OIC vuông tại I suy ra I thuộc đường tròn đường kính OC. 0.25 CH ⊥ AB (gt) ∆ CHO vuông tại H ⇒ H thuộc đường tròn đường kính OC. 0.75 Suy ra I, H cùng thuộc đường tròn đường kính OC. hay C, I, O, H cùng thuộc một đường tròn. 0.25 2) Chứng minh MC là tiếp tuyến của đường tròn (O; R). (2 điểm) · · - Chứng minh AOM = COM . 0.75 - Chứng minh ∆ AOM = ∆ COM 0.75 - Chứng minh MC ⊥ CO 0.25 ⇒ MC là tiếp tuyến của (O; R). 0.25 3) Chứng minh K là trung điểm của CH. ( 2 điểm) 1 KH HB AM.HB AM.HB ∆ MAB có KH//MA (cùng ⊥ AB) ⇒ = ⇒ KH = = (1) AM AB AB 2R Chứng minh cho CB // MO ⇒ AOM = CBH (đồng vị). · · M A AO AM.HB AM.HB 0.75 C/m ∆ MAO đồng dạng với ∆ CHB ⇒ = ⇒ CH = = (2) CH HB AO R Từ (1) và (2) suy ra CH = 2 KH ⇒ CK = KH ⇒ K là trung điểm của CH. 0.25 4) Xác định vị trí của C để chu vi ∆ ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất đó. Chu vi tam giác ACB là P CB = AB + AC + CB = 2R + AC + CB 0.5 A Ta lại có
( AC − CB) 2 ≥ 0 ⇒ AC2 + CB2 ≥ 2AC.CB ⇒ 2AC2 + 2CB2 ≥ AC2 + CB2 + 2AC.CB ( ) ( ) 2 AC2 + CB2 ≥ ( AC + CB) ⇒ AC + CB ≤ 2 AC2 + CB2 ⇒ AC + CB ≤ 2AB2 (Pitago) 2 0.75 AC + CB ≤ 2.4R2 ⇒ AC + CB ≤ 2R 2 . Đẳng thức xảy ra khi AC = CB ⇔ M là điểm chính giữa cung AB. 0.25 ( ) Suy ra P ≤ 2R + 2R 2 = 2R 1 + 2 , dấu "=" xảy ra khi M là điểm chính giữa cung AB ACB 0.25 ( ) Vậy max P = 2R 1 + 2 đạt được khi M là điểm chính giữa cung AB. ACB 0.25 Bài 5 (1,5 điểm) a) Chứng minh giá trị của M là một số nguyên. (1 điểm) ( ) ( ) 1004 1004 Biến đổi M = 5 + 2 6 + 5−2 6 0.25 . Đặt a = 5 + 2 6 ; b = 5 − 2 6 ⇒ a + b = 10 và a.b = 1 . Đặt U n = a + b với n ∈ N . Khi đó M = U1004 n n Ta có U n + 2 = a + b = a.a + b.b = ( 10 − b ) a + ( 10 − a ) b n+2 n+2 n +1 n +1 n +1 n +1 = 10 ( a n +1 + b n +1 ) − ab ( a n + b n ) = 10U n +1 − U n (vì ab = 1). 0.25 ⇒ U n + 2 = 10U n +1 − U n (*). Ta thấy U0 = 2 ∈ Z ; U1 = a + b = 10 ∈ Z. U 2 = a 2 + b 2 = ( a + b ) − 2ab = 102 − 2.1 = 98 ∈ Z . 2 Theo công thức (*) thì U 3 = 10U 2 − U1 mà U1, U2 ∈ Z suy ra U 3 ∈ Z . 0.25 Lại theo (*) U 4 = 10U 3 − U 2 cũng có giá trị nguyên. Quá trình trên lặp đi lặp lại vô hạn suy ra Un có giá trị nguyên với mọi n ∈ N* . 0.25 Suy ra M = U1004 có giá trị là một số nguyên. a)Tìm chữ số tận cùng của M. (0.5 điểm) Từ (*) suy ra U n + 2 + U n = 10U n +1 M 10 ⇒ U n + 4 − U n = ( U n + 4 + U n + 2 ) − ( U n + 2 + U n ) M ⇒ ( U n + 4 − U n ) M ⇒ U 4k + r và Ur 10 10 0.25 có chữ số tận cùng giống nhau. 1004 = 4.251 suy ra U1004 và U0 có chữ số tận cùng giống nhau. 0.25 Mà U0 có chữ số tận cùng là 2 (theo c/m câu a) nên M có chữ số tận cùng bằng 2. Chú ý: 1. Nếu thí sinh làm bài bằng cách khác đúng thì vẫn cho điểm tương đương. 2. Điểm toàn bài không được làm tròn.