PHÒNG GIÁO D C - ĐÀO T OỤ Ạ
HUY N TR C NINHỆ Ự
Đ CHÍNH TH CỀ Ứ
Đ THI CH N H C SINH GI I HUY NỀ Ọ Ọ Ỏ Ệ
NĂM H C 2009 - 2010Ọ
MÔN: TOÁN - L P 9 Ớ
Ngày thi: 08 tháng 12 năm 2009
Th i gian làm bài 120 phút không k th i gian giao đờ ể ờ ề
Đ thi có 01 trangề
Bài 1: (4,0 đi m) ể
Cho bi u th c ể ứ
1 1 2x x 1 2x x x x
A : 1 x
1 x x 1 x x
+ − + −
= − +
÷
÷ −
− +
V i ớ
> ≠ ≠
1
x 0; x ; x 1
4
a) Rút g n bi u th c A.ọ ể ứ
b) Tính giá tr c a A khi ị ủ
x 17 12 2
= −
c) So sánh A v i ớ
A
.
Bài 2: (3,5 đi m) ểCh ng minh r ng:ứ ằ
a)
( ) ( )
1
2 a b 2 b c
b
− < < −
Bi t a; b; c là 3 s th c th a mãn đi u ki n: ế ố ự ỏ ề ệ
a = b + 1 = c + 2 ; c >0.
b) Bi u th c ể ứ
2
2
2
2008 2008
B 1 2008 2009 2009
= + + +
có giá tr là m t s t nhiên.ị ộ ố ự
Bài 3: (3,0 đi m) ểGi i ph ng trìnhả ươ
a)
2 2
x 3x 2 x 3 x 2 x 2x 3
− + + + = − + + −
b)
x 3
4x 1 3x 2 5
+
+ − − =
.
Bài 4.(8,0 đi m)ể
Cho AB là đ ng kính c a đ ng tròn (O;R). C là m t đi m thay đ i trên đ ngườ ủ ườ ộ ể ổ ườ
tròn (C khác A và B), k CH vuông góc v i AB t i H. G i I là trung đi m c a AC, OI c tẻ ớ ạ ọ ể ủ ắ
ti p tuy n t i A c a đ ng tròn (O;R) t i M, MB c t CH t i K.ế ế ạ ủ ườ ạ ắ ạ
a) Ch ng minh 4 đi m C, H, O, I cùng thu c m t đ ng tròn.ứ ể ộ ộ ườ
b) Ch ng minh MC là ti p tuy n c a (O;R).ứ ế ế ủ
c) Ch ng minh K là trung đi m c a CH.ứ ể ủ
d) Xác đ nh v trí c a C đ chu vi tam giác ACB đ t giá tr l n nh t? Tìm giá trị ị ủ ể ạ ị ớ ấ ị
l n nh t đó theo R.ớ ấ
Bài 5: (1,5 đi m) ểCho
a) Ch ng minh r ng M có giá tr nguyên.ứ ằ ị
b) Tìm ch s t n cùng c a M. ữ ố ậ ủ
Chú ý: Thí sinh không đ c s d ng máy tínhượ ử ụ .
----- H t -----ế
H tên thí sinh:………………………….ọ
S báo danh : …………………………ố
Ch ký giám th 1:……………………….ữ ị
Ch ký giám th 2:……………………….ữ ị
H NGƯỚ D N CH M THI Ẫ Ấ
H C SINH GI I C P HUY N NĂM H C 2009-2010Ọ Ỏ Ấ Ệ Ọ
MÔN TOÁN L P 9Ớ
Bài 1 (4 đi m)ể
a) Rút g n bi u th c ọ ể ứ (2 đi m)ể
1 1 2x x 1 2x x x x 1
A : x 0;x ;x 1
1 x 4
1 x x 1 x x
+ − + −
= − + > ≠ ≠
÷ ÷
÷ ÷
−
− +
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
+ −
− + + − −
= +
− − + + − +
x 2x x 1
x 1 x 2x 2 x x 1
:
x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x x
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
+ − + −
−
= +
− − + + − +
x 1 2 x 1 x x 1 2 x 1
2 x 1 :
x x 1 1 x 1 x 1 x 1 x x
( ) ( )
2 x 1 1 x
: 2 x 1
1 x 1 x x
x x 1
−
= − +
÷
÷
− − +
−
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 x x x 1 x
2 x 1 : 2 x 1 :
x x 1 1 x 1 x x
− + + −
−
= −
− − − +
( ) ( ) ( )
1 1 1 x x
:
x
x x 1 1 x 1 x x
− +
= =
− − − +
0.5
0.5
0.25
0.25
0.5
b) Tính giá tr c a A khi ị ủ
x 17 12 2= −
(1 đi m).ể
Tính
( ) ( )
2 2
x 17 12 2 3 2 2 x 3 2 2 3 2 2 3 2 2= − = − ⇒ = − = − = −
( ) ( )
1 3 2 2 17 12 2 5 3 2 2
15 10 2
A 5
3 2 2 3 2 2 3 2 2
− − + − −
−
= = = =
− − −
0.5
0.5
c) So sánh A v i ớ
A
(1 đi m).ể
Bi n đ i ế ổ
1 x x 1
A x 1
x x
− +
= = + −
Ch ng minh đ c ứ ượ
1
x 2
x
+ >
v i m i ớ ọ
1
x 0;x ;x 1
4
> ≠ ≠
( )
1
A x 1 1 A 1 A 1 0 A A 1 0
x
A A 0 A A
⇒ = + − > ⇒ > ⇒ − > ⇒ − >
⇒ − > ⇒ >
0.25
0.25
0.5
Bài 2 (3 đi m)ể
a) Ch ng minh r ng ứ ằ
( ) ( )
1
2 a b 2 b c
b
− < < −
bi t a; b; c là ba s th c tho mãn đi uế ố ự ả ề
ki n a = b + 1 = c + 2 ; c > 0 ệ(2 đi m).ể
Ta có:
( )
a b 1 a b 1 a b 1= + ⇒ − = ⇒ >
.
( )
b 1 c 2 b c 1 b c 0 2+ = + ⇒ − = ⇒ > >
. (c > 0 theo (gt))
T (1) và (2) suy ra a > b > c > 0.ừ
M t khác ặ
( ) ( )
1 1
a b 1 a b a b 1 a b
a b 2 b
− = ⇒ − + = ⇒ − = <
+
(Vì a >b>0)
( )
1
2 a b
b
⇒ − <
.
Ch ng minh t ng t cho tr ng h p: ứ ươ ự ườ ợ
( )
12 b c
b< −
.
V y ậ
( ) ( )
1
2 a b 2 b c
b
− < < −
(đpcm).
0.5
0.25
0.25
0.5
0.25
0.25
b) Bi u th c ể ứ
2
2
2
2008 2008
B 1 2008 2009 2009
= + + +
có giá tr là m t s t nhiên ị ộ ố ự (1 đi m).ể
Ta có :
( )
2 2
2
2
2 2
2008 2008 2008 2008
B 1 2008 1 2008 2.1.2008
2009 2009 2009 2009
= + + + = + − + +
.
( )
2
2
2
2
2008 2008 2008 2008 2008
2009 2.2009. 2009
2009 2009 2009 2009 2009
= − + + = − +
÷
.
2008 2008 2008 2008
2009 2009 2009
2009 2009 2009 2009
= − + = − + =
.
V y B có giá tr là m t s t nhiên.ậ ị ộ ố ự
0.5
0.75
0.25
Bài 3 (3đi m)ể Gi i ph ng trìnhả ươ
a)
2 2
x 3x 2 x 3 x 2 x 2x 3− + + + = − + + −
(1.75 đi m)ể
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x 1 x 2 x 3 x 2 x 1 x 3 1⇔ − − + + = − + − +
Đi u ki n ề ệ
( ) ( )
( ) ( )
x 1 x 2 0
x 3 0 x 2
x 2 0
x 1 x 3 0
− − ≥
+ ≥
⇔ ≥
− ≥
− + ≥
( )
( ) ( )
1 x 2 x 1 1 x 3 x 1 1 0⇔ − − − − + − − =
( ) ( )
x 1 1 0 x 1 1
x 1 1 x 2 x 3 0 x 2
x 2 x 3 0 x 2 x 3
− − = − =
⇔ − − − − + = ⇔ ⇔ ⇔ =
− − + = − = −
x = 2 tho mãn đi u ki n xác đ nh. V y ph ng trình có nghi m duy nh t x = 2.ả ề ệ ị ậ ươ ệ ấ
0.5
0.25
0.25
0.5
0.25
b)
x 3
4x 1 3x 2 5
+
+ − − =
(1). (1.25 đi m).ể
Đi u ki n ề ệ
2
x3
≥
.0.25
( )
( ) ( )
4x 1 3x 2 . 4x 1 3x 2 x 3 4x 1 3x 2 x 3
15 5
4x 1 3x 2 4x 1 3x 2
+ − − + + − + + − + +
⇔ = ⇔ =
+ + − + + −
4x 1 3x 2 x 3 x 3 x 3 4x 1 3x 2 5
5 5
4x 1 3x 2 4x 1 3x 2
+ − + + + +
⇔ = ⇔ = ⇔ + + − =
+ + − + + −
(2)
(Vì
2
x3
≥
nên x + 3 > 0).
Gi i ti p ph ng trình (2) ta đ c nghi m c a ph ng trình là x = 2.ả ế ươ ượ ệ ủ ươ
0.25
0.25
0.5
Bài 4 (8 đi m)ể
1) Ch ng minh 4 đi m C, H, O, I cùng thu c m t đ ng tròn. ứ ể ộ ộ ườ (2 đi m)ể
Ch ng minh OI ứ
⊥
AC.
Suy ra
∆
OIC vuông t i I suy ra I thu c đ ng tròn đ ng kính OC.ạ ộ ườ ườ
CH
⊥
AB (gt)
∆
CHO vuông t i H ạ
⇒
H thu c đ ng tròn đ ng kính OC.ộ ườ ườ
Suy ra I, H cùng thu c đ ng tròn đ ng kính OC. hay C, I, O, H cùng thu c m t đ ng tròn.ộ ườ ườ ộ ộ ườ
0.75
0.25
0.75
0.25
2) Ch ng minh MC là ti p tuy n c a đ ng tròn (O; R). ứ ế ế ủ ườ (2 đi m)ể
- Ch ng minh ứ
·
·
=AOM COM
.
- Ch ng minh ứ
∆
AOM =
∆
COM
- Ch ng minh ứ
⊥MC CO
⇒
MC là ti p tuy n c a (O; R).ế ế ủ
0.75
0.75
0.25
0.25
3) Ch ng minh K là trung đi m c a CH. ứ ể ủ ( 2 đi m)ể
∆
MAB có KH//MA (cùng
⊥
AB)
⇒
KH HB AM.HB AM.HB
KH
AM AB AB 2R
= ⇒ = =
(1)
Ch ng minh cho CB // MO ứ
⇒
·
·
AOM CBH=
(đ ng v ).ồ ị
C/m
∆
MAO đ ng d ng v i ồ ạ ớ
∆
CHB
⇒
MA AO AM.HB AM.HB
CH
CH HB AO R
= ⇒ = =
(2)
T (1) và (2) suy ra CH = 2 KH ừ
⇒
CK = KH
⇒
K là trung đi m c a CH.ể ủ
1
0.75
0.25
4) Xác đ nh v trí c a C đ chu vi ị ị ủ ể
∆
ACB đ t giá tr l n nh t? Tìm giá tr l n nh t đó.ạ ị ớ ấ ị ớ ấ
Chu vi tam giác ACB là
ACB
P AB AC CB 2R AC CB= + + = + +
Ta l i cóạ
0.5
K
M
I
C
O
H
B
A
( )
22 2 2 2 2 2
AC CB 0 AC CB 2AC.CB 2AC 2CB AC CB 2AC.CB− ≥ ⇒ + ≥ ⇒ + ≥ + +
( )
( )
( )
2
2 2 2 2 2
2 AC CB AC CB AC CB 2 AC CB AC CB 2AB+ ≥ + ⇒ + ≤ + ⇒ + ≤
(Pitago)
2
AC CB 2.4R AC CB 2R 2+ ≤ ⇒ + ≤
.
Đ ng th c x y ra khi AC = CB ẳ ứ ả
⇔
M là đi m chính gi a cung AB.ể ữ
Suy ra
( )
ACB
P 2R 2R 2 2R 1 2≤ + = +
, d u "=" x y ra khi M là đi m chính gi a cung ABấ ả ể ữ
V y max ậ
( )
ACB
P 2R 1 2= +
đ t đ c khi M là đi m chính gi a cung AB.ạ ượ ể ữ
0.75
0.25
0.25
0.25
Bài 5 (1,5 đi m)ể
a) Ch ng minh giá tr c a M là m t s nguyên. ứ ị ủ ộ ố (1 đi m)ể
Bi n đ i ế ổ
( ) ( )
1004 1004
M 5 2 6 5 2 6= + + −
.
Đ t ặ
a 5 2 6= +
;
b 5 2 6= −
a b 10⇒ + =
và
a.b 1=
.
Đ t ặ
n n
n
U a b= +
v i ớ
n N∈
. Khi đó M = U1004
Ta có
( ) ( )
n 2 n 2 n 1 n 1 n 1 n 1
n 2
U a b a.a b.b 10 b a 10 a b
+ + + + + +
+= + = + = − + −
( ) ( )
n 1 n 1 n n
n 1 n
10 a b ab a b 10U U
+ + +
= + − + = −
(vì ab = 1).
n 2 n 1 n
U 10U U
+ +
⇒ = −
(*).
Ta th y Uấ0 = 2
∈
Z ; U1 = a + b = 10
∈
Z.
( )
2
2 2 2
2
U a b a b 2ab 10 2.1 98 Z= + = + − = − = ∈
.
Theo công th c (*) thì ứ
3 2 1
U 10U U= −
mà U1, U2
Z∈
suy ra
3
U Z∈
.
L i theo (*) ạ
4 3 2
U 10U U= −
cũng có giá tr nguyên.ị
Quá trình trên l p đi l p l i vô h n suy ra Uặ ặ ạ ạ n có giá tr nguyên v i m i n ị ớ ọ
*
N∈
.
Suy ra M = U1004 có giá tr là m t s nguyên.ị ộ ố
0.25
0.25
0.25
0.25
a)Tìm ch s t n cùng c a M. ữ ố ậ ủ (0.5 đi m)ể
T (*) suy ra ừ
n 2 n n 1
U U 10U 10
+ +
+ = M
( ) ( ) ( )
n 4 n n 4 n 2 n 2 n n 4 n 4k r
U U U U U U 10 U U 10 U
+ + + + + +
⇒ − = + − + ⇒ − ⇒M M
và Ur
có ch s t n cùng gi ng nhau.ữ ố ậ ố
1004 = 4.251 suy ra U1004 và U0 có ch s t n cùng gi ng nhau.ữ ố ậ ố
Mà U0 có ch s t n cùng là 2 (theo c/m câu a) nên M có ch s t n cùng b ng 2. ữ ố ậ ữ ố ậ ằ
0.25
0.25
Chú ý: 1. N u thí sinh làm bài b ng cách khác đúng thì v n cho đi m t ng đ ng.ế ằ ẫ ể ươ ươ
2. Đi m toàn bài không đ c làm tròn.ể ượ