Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 môn: Toán - Vòng 2 (Năm học 2013-2014)

Chia sẻ: Tạ Duy Phương | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

80
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Kì thi học sinh giỏi là kì thi quan trọng đối với mỗi học sinh. Dưới đây là đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 môn "Toán - Vòng 2" năm học 2013-2014 giúp các em kiểm tra lại đánh giá kiến thức của mình và có thêm thời gian chuẩn bị ôn tập cho kì thi sắp tới được tốt hơn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 môn: Toán - Vòng 2 (Năm học 2013-2014)

PHÒNG GD & ĐT ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 VÒNG II THANH OAI Năm học: 2013 2014 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Bài 1 ( 5 điểm ) 1. Chứng minh rằng: Nếu n là số nguyên thì n5 + 5n3 – 6n chia hết cho 30 x3 2. Cho f(x) = . Hãy tính giá trị biểu thức sau: 1 3x 3x 2 1 2 2010 2011 A= f f ... f f 2012 2012 2012 2012 Bài 2 ( 5 điểm ) 1 3x 3 y3 1. Giải hệ phương trình : x y 2 2 x y 1 2. Giải phương trình nghiệm nguyên: 5(x2 + xy + y2) = 7(x + 2y) Bài 3 ( 3 điểm ) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn điểu kiện 1 1 1 1 1 1 15 10 2014 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : a2 b2 c2 ab bc ca 1 1 1 P = 5a 2 2ab 2b 2 5b 2 2bc 2c 2 5c 2 2ca 2a 2 Bài 4 ( 6 điểm ) Cho hai đường tròn ( O; R) và ( O ’; R’) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. Từ một điểm C thay đổi trên tia đối của tia AB. Vẽ các tiếp tuyến CD; CE với đường tròn tâm O ( D; E là các tiếp điểm và E nằm trong đường tròn tâm O’). Hai đường thẳng AD và AE cắt đường tròn tâm O’ lần lượt tại M và N ( M và N khác với điểm A). Đường thẳng DE cắt MN tại I. Chứng minh rằng: a. MI.BE = BI.AE b. Khi điểm C thay đổi thì đường thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định. Bài 5 ( 1 điểm ) x2 1 y2 1 Cho x, y là các số nguyên khác 1 thỏa mãn là số nguyên. Chứng y 1 x 1 minh rằng : x2y22 – 1 chia hết cho x + 1 ________________________________________________________ __
phßng Gi¸o dôc & §µo t¹o Híng dÉn chÊm thi häc sinh giái líp 9 vßng II Thanh oai N¨m häc 2013 - 2014 M«n thi : To¸n Bài Nội dung Điểm Bài 1 1, A= n5 + 5n3 – 6n = ( n5 – n ) + ( 5n3 – 5n) (5đ) = n( n 1)( n + 1)( n2 +1) 5n( n + 1)( n 1) 1,5đ. Mỗi số hạng của A đều chia hết cho 6 và 5 mà ( 5; 6) = 1 nên A 30 1,0đ. x3 (1 x) 3 2, f(x) = 3 > f(1 x) = 3 x (1 x) 3 x (1 x) 3 > f(x) + f(1 – x) = 1 1 1 > x + y = 1 > f(x) + f(y) = 1, f = 1,5đ. 2 2 1 2011 2 2010 A= f f f f 2012 2012 2012 2012 1005 1007 1006 1 ... f f f 1005 1005,5 2012 2012 2012 2 1,0đ. Bài 2 1 (5đ) 3x 3 y3 (3 x 3 y 3 )( x y ) 1 (1) 1. x y x 2 y 2 1 x2 y2 1 (2) Từ (1) và (2) > (3x3 – y3)(x + y) = (x2 + y2 )2 ……. ( x – y)(x + 2y)(2x2 + xy + y2) = 0 1,5đ. x y 0 x 2y 0 2 2x xy y 2 0 2 * Nếu x – y = 0 > x = y thay vào (2) > x = y = 2 2 hoặc x = y = 2 2 5 5 * Nếu x + 2y = 0 thay vào (2) > x = , y = 5 5
2 5 5 hoặc x = , y = 5 5 * Nếu 2x2 + xy + y2 = 0 > x = y = 0 loại 2 2 2 2 2 5 5 2 5 5 1,0đ. Vậy (x; y) = ; ; ; ; ; ; ; 2 2 2 2 5 5 5 5 2. 5(x2 + xy + y2) = 7(x + 2y) (1) > 7(x + 2y)  5 > x + 2y  5 , Đặt x + 2y = 5t (t z ) (2) (1) x2 + xy + y2 = 7t (3) Từ (2) > x = 5t – 2y thay vào (3) có: 1,5đ. 3y2 15ty + 25t2 – 7t = 0 (*) ∆ = 84t – 75t2 Để (*) có nghiệm thì ∆ ≥ 0 84t – 75t2 ≥ 0 28 0 ≤ t ≤ t z > t = 0 hoặc 1 25 Nếu t = 0 từ (*) > x1 = 0, y1= 0 Nếu t = 1 từ (*) > x2 = 1, y2 = 3 hoặc x3 = 1, y3 = 2 1,0đ. 1 1 1 Bài 3 Đặt x , y , z a b c (3đ) Từ gt có 15(x + y + z ) = 5( 2xy+2yz+2xz) + 2014 2 2 2 ≤ 10(x2 + y2 + z2) + 2014 > 5(x2 + y2 + z2) ≤ 2014 2014 Do ( x+y+z)2 ≤ 3(x2 + y2 + z2) ≤ 3. 1,0đ. 5 Có 5a2 + 2ab + 2b2 = 4a2 + 2ab + b2 + (a2 +b2) ≥ 4a2 + 2ab + b2 + 2ab = ( 2a+ b)2 1 1 1 2 1 1 > . 2x y 5a 2 2ab 2b 2 2a b 9 a b 9 1,0đ. 1 1 Tương tự có : 2y z 5b 2 2bc 2c 2 9 1 1 2z x 5c 2 2ca 2a 2 9 1 x y z > P 2x y 2y z 2z x 9 3
1 2014 2014 3. 3 5 15 2014 15 > Max P = a = b = c = 1,0đ. 15 2014 Bài 4 (6đ) a, BDE = BAE, BAE = BMN > BDE = BMN > BDI = BMI > BDMI là tứ giác nội tiếp 1,5đ. > MDI = MBI = ABE BMI = BAE > ∆MBI ̴ ∆ABE ( g.g). > đpcm. 1,5đ. b, Q là giao điểm của CO và DE, K là giao điểm của OO’ và DE, H là giao điểm của AB và OO’ ∆v OCD có OQ.OC = OD2 = R2 ∆vKQO ̴ ∆ CHO (g.g) > OC.OQ = KO.OH 1,5đ. R2 > KO. OH = R2 > OK = OH Vì OH cố định, R không đổi > OK không đổi > K cố định. 1,5đ. x2 1 a y2 1 c (a; b; c; d Bài 5 Đặt , Z ; ( a; b) 1; (c; d ) 1, b, d 0) y 1 b x 1 d (1đ) x2 1 y2 1 a c ad bc K ( K Z) y 1 x 1 b d bd > ad + bc = bdk > ad + bc  b, ad  b > d  b ( vì (a; b) = 1) Tương tự b  d > b = d 0,5đ.
a c x2 1 y2 1 . . ( x 1)( y 1) m Z ( Vì x,y Z) b d y 1 x 1 > ac = mbd > ac  b > c  b ( vì ( a; b) = 1) > c  d ( vì b = d) và (c; d) = 1 > d = 1 > ( y2 – 1)  ( x + 1) x2y22 – 1= x2(y22 – 1) + x2 1 Do y22 – 1  y2 – 1 > y22 – 1  x + 1 > x2(y22 – 1)  x + 1 mà x2 – 1  x + 1 0,5đ. > x2y22 – 1  x + 1