SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br />
HÀ TĨNH<br />
<br />
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9<br />
NĂM HỌC 2016--2017<br />
PHẦN THI CÁ NHÂN<br />
Môn: TOÁN<br />
Thời gian làm bài: 120 phút<br />
<br />
ĐỀ THI CHÍNH THỨC<br />
<br />
I.<br />
PHẦN GHI KẾT QUẢ<br />
Câu 1. Có bao nhiêu hình chữ nhật trong hình vẽ sau:<br />
<br />
Câu 2. Tìm số hạng thứ 7 của dãy số sau đây: 1; 1; 2; 5; 29;……<br />
Câu 3. Có 5 đôi giày màu xanh và 10 đôi giày màu đỏ bỏ chung trong cái hộp. Hỏi<br />
phải lấy ra ít nhất bao nhiêu chiếc giày ( mà không nhìn vào trong hộp ) để chắc chắn có<br />
một đôi cùng màu và đi được .<br />
Câu 4. Có một nhóm bạn rủ nhau đi câu cá, bạn câu được ít nhất câu được<br />
câu được, bạn câu được nhiều cá nhất câu được<br />
<br />
1<br />
tổng số cá<br />
9<br />
<br />
1<br />
tổng số cá câu được. Biết rằng số cá<br />
7<br />
<br />
câu được của mỗi bạn là khác nhau. Hỏi nhóm bạn có bao nhiêu người<br />
Câu 5. Tìm các số hữu tỷ x, y thỏa mãn đẳng thức: x 2 y 2 2 3<br />
Câu 6. Giải phương trình 3 x 2 3 x 4 3 2<br />
2(x 2x y) 3 y<br />
Câu 7. Giải hệ phương trình 2<br />
2<br />
<br />
x 2xy y 2<br />
<br />
4<br />
y<br />
<br />
Câu 8. Cho các số x, y 0 thỏa mãn x 1 . Tìm giá trị lớn nhất của P <br />
<br />
x 2y y 2x <br />
x 2 y2<br />
<br />
Câu 9. Cho tam giác ABC có M là trung điểm cạnh AC và các đường thẳng AD, BM, CE<br />
đồng quy tại K nằm trong tam giác ( D BC;E AB ) Biết AKE và BKE có diện tích lần<br />
lượt là 10cm2 và 20cm2 . Tính diện tích tam giác ABC<br />
Câu 10. Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết đường cao AH, tung tuyến BM và phân giác<br />
trong CD đồng quy. Tính<br />
<br />
AB<br />
AC<br />
<br />
PHẦN II. TỰ LUẬN<br />
Câu 11. Tìm số tự nhiên có hai chữ số ab thỏa mãn a b <br />
<br />
ab<br />
ab<br />
<br />
Câu 12. Cho tứ giác ABCD nội tiếp được đường tròn và có các cạnh đối không song song .<br />
Gọi F là giao điểm của AB và CD, E là giao điểm của AD và BC; H, G theo thứ tự là trung<br />
điểm của các đoạn thẳng AC và BD. Đường phân giác góc BED cắt GH tại điểm I<br />
a) Chứng minh rằng IH.BD = IG.AC<br />
<br />
b) Cho độ dài CD = 2.AB . Tìm tỉ số diện tích<br />
<br />
S IAB<br />
S ICD<br />
<br />
Câu 13. Cho hình tròn ( C) có bán kính bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của số nguyên<br />
dương k sao cho với mọi cách vẽ k điểm bất kỳ và phân biệt thuộc hình tròn ( C) thì<br />
luôn tồn tại hai điểm trong k điểm đó thỏa mãn khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn 1.<br />
---HẾT--ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 9 HÀ TĨNH NĂM 2016-2017<br />
Câu 1. Số hình chữ nhật là (1+2+3+4+5).(1+2+3+4)=150<br />
Cách tính: Xét các hình chữ nhật kích thước m.n<br />
Câu 2. Đáp số: 750797<br />
Quy luật a n2 a 2n1 a 2n (n 1;n )<br />
Suy ra a 7 a62 a 52 a 52 a 24 a 25 750797<br />
Câu 3. Đáp số 16<br />
Câu 4. Đáp số 8 . Giả sử có n bạn và số cá của các bạn là a1 a2 ...... a n<br />
Ta có 9a n a1 a 2 ..... a n 7a1 9a n na n ;7a1 na1 n 8<br />
2<br />
<br />
Câu 5. Đáp số x= 6; y=<br />
<br />
1<br />
2<br />
<br />
Câu 6. Đáp số x=2; x=4. Cách giải: đặt ẩn phụ<br />
Câu 7. Đáp số (x;y) 1; 1 ; 3;7 <br />
Đặt t 2x y 0 . Ta có phương trình t 2 2t 3 0 t 1<br />
594<br />
257<br />
4<br />
x<br />
x 1<br />
2x 2 2y2 5xy<br />
5<br />
1 x 4<br />
;P <br />
2<br />
2<br />
2<br />
x y<br />
y<br />
y<br />
y 16<br />
x y<br />
<br />
y x<br />
x y x<br />
y<br />
255y<br />
1 255 257<br />
5.16 594<br />
<br />
<br />
2. <br />
<br />
P 2<br />
<br />
y x y 256x 256x<br />
16 256 16<br />
257 257<br />
Câu 9. Đáp số S BAC 75m2<br />
<br />
Câu 8. Đáp số Pmax <br />
<br />
Ta có<br />
<br />
S AKE AE 1<br />
<br />
, suy ra S BCE 2S ACE<br />
S BKE BE 2<br />
<br />
M là trung điểm AC nên S ABM S CBM ;S AKM S CKM S BCK 30 S ACE 25<br />
Vậy S ABC 75m 2<br />
Câu 10. Đáp số<br />
<br />
AB<br />
1 5<br />
<br />
AC<br />
2<br />
<br />
Sử dụng định lý Ceva và hệ thức lượng trong tam giác<br />
Câu 11. Do<br />
<br />
ab<br />
là số hữu tỉ và a+b là số nguyên dương nên từ<br />
ab<br />
<br />
Suy ra a b là số chính phương<br />
<br />
ab <br />
<br />
ab<br />
ab<br />
<br />
Do a b 18 a b 1;4;9;16<br />
Thử lại các trường hợp ta có a 2;b 7 Suy ra số cần tìm là 27<br />
Câu 12<br />
<br />
E<br />
A<br />
B<br />
H<br />
<br />
G<br />
I<br />
O<br />
D<br />
<br />
C<br />
<br />
F<br />
<br />
a) Ta có EBD và EAC đồng dạng nên các đường trung tuyến tương ứng bằng tỉ số<br />
đồng dạng . Suy ra<br />
<br />
EG BD DG DE<br />
<br />
<br />
<br />
EH AC CH EC<br />
<br />
Ta có EDG ECH (cùng nhìn cung AB) EDG đồng dạng với ECH<br />
Kéo theo DEG CEH , suy ra EI là phân giác GEH<br />
BD EG GI<br />
<br />
<br />
IH.BD IG.AC (dpcm)<br />
AC EH HI<br />
b) Ta có FBD và FCA đồng dạng<br />
<br />
Do đó<br />
<br />
FGD và FHA đồng dạng GFD HFA<br />
FG GD BD IG<br />
<br />
<br />
<br />
FI là phân giác GFH<br />
FH HA AC IH<br />
<br />
Suy ra FI là phân giác góc AFD<br />
Gọi M, N là chân đường vuông góc hạ từ I lên các đường thẳng AB, CD. Khi đó<br />
IM=IN<br />
Ta có<br />
<br />
S IAB<br />
S ICD<br />
<br />
1<br />
IM.AB<br />
1<br />
2<br />
<br />
<br />
1<br />
IN.CD 2<br />
2<br />
<br />
Câu 13.<br />
<br />
A<br />
O<br />
<br />
B<br />
<br />
Xét k = 7 , vẽ 7 điểm gồm 1 điểm ở tâm và 6 điểm trên cùng đường tròn tạo thành lục<br />
giác đều. Lúc đó khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ bằng 1. Suy ra k 8<br />
Với k=8, luôn tồn tại ít nhất 7 điểm không trùng tâm đường tròn. Ta kẻ các bán kính đi<br />
qua 7 điểm đó.<br />
Khả năng 1: Nếu có 2 điểm thuộc cùng 1 bán kính thì khoảng cách giữa hai điểm đó nhỏ<br />
hơn 1 (vì không có điểm nào trùng tâm)<br />
Khả năng 2: Không có 2 điểm nào cùng thuộc một bán kính, lúc đó có 7 bán kính, suy ra<br />
hai bán kính tạo với nhau 1 góc nhỏ hơn 600.<br />
Giả sử hai bán kính đó chứa A và B. Vì góc AOB không là góc lớn nhất của tam giác<br />
OAB nên AB max OA;OB 1<br />
Vậy trường hợp k=8 thỏa mãn<br />
Suy ra giá trị nhỏ nhất của k là 8<br />
<br />
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
