Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 10 năm 2022-2023 có đáp án - Trường THPT Nguyễn Trãi

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:21

Thêm vào BST

Báo xấu

13
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nhằm giúp các bạn học sinh đang chuẩn bị bước vào kì thi có thêm tài liệu ôn tập, TaiLieu.VN giới thiệu đến các bạn ‘Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 10 năm 2022-2023 có đáp án - Trường THPT Nguyễn Trãi’ để ôn tập nắm vững kiến thức. Chúc các bạn đạt kết quả cao trong kì thi!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 10 năm 2022-2023 có đáp án - Trường THPT Nguyễn Trãi

TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÃI KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 10 Năm học 2022-2023 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 90 phút; (Đề thi gồm có 06 trang 50- câu trắc nghiệm) Mã đề thi 111 Họ, tên học sinh:.............................................................................................................. Số báo danh::.............................................................................................................. Câu 1. Trong các mệnh đề sau tìm mệnh đề đúng? A. " x  : x 2  0" . B. " x  : x 3" . C. " x  : − x 2  0" . D. " x  : x  x 2 " . Câu 2. Miền nghiệm của bất phương trình nào sau đây được biểu diễn bởi nửa mặt phẳng không bị gạch trong hình vẽ sau? A. 2 x − y  3 . B. x − y  3 . C. 2 x − y  3 . D. 2 x + y  3 . Câu 3. Cho tam giác ABC . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC , AC . Có bao nhiêu véc tơ khác 0 cùng phương với MN có điểm đầu và cuối lấy trong các điểm dã cho? A. 5 . B. 6. . C. 7 . D. 8. Câu 4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai vectơ a = ( x − 1; y + 2 ) và b = (1; −3) . Khi đó a = b khi và chỉ khi  x = −2  x = −2 x = 2 x = 0 A.  . B.  . C.  . D.  .  y = −1 y =1  y = −5 y =1  x 2 − 2 x khi x  1 Câu 5. Cho hàm số y =  5 − 2 x  . Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số?  khi x  1  x −1 A. ( 4; −1) . B. ( −2; −3) . C. ( −1;3) . D. ( 2;1) . Câu 6. Hàm số y = −3x 2 + x − 2 nghịch biến trên khoảng nào sau đây? A.  ; +  . B.  −; −  . C.  − ; +  . D.  −;  . 1 1 1 1         6   6  6   6 Câu 7. Giá trị nguyên dương lớn nhất của x để hàm số y = 5 − 4 x − x 2 xác định là? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4 Câu 8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(−2;4); B(−6;1) là: A. 3x + 4 y − 10 = 0 . B. 3x − 4 y + 22 = 0 . C. 3x − 4 y + 8 = 0 . D. 3x − 4 y − 22 = 0 . Trang 1/6 Mã đề 111
Câu 9. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , có bao nhiêu cặp đường thẳng song song trong các đường thẳng sau? 1 1 ( d1 ) : y = − x − 2; ( d 2 ) : y = − x + 3; 2 2 1 2 ( d3 ) : y = x + 3; ( d4 ) : y = − x−2 2 2 A. 3 . B. 2 . C. 1 . D. 0 . Câu 10. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C ) : x 2 + y 2 − 4 x + 8 y − 5 = 0 tại tiếp điểm A(−1;0) là A. 4 x + 3 y + 4 = 0 . B. 3x + 4 y + 3 = 0 . C. 3x − 4 y + 3 = 0 . D. −3x + y + 22 = 0 . Câu 11. Số các tập hợp con có 3 phần tử có chứa a, b của tập hợp C = a; b; c; d ; e; f ; g là: A. 5 B. 6 C. 7 D. 8  y − 2x  2  Câu 12. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = y − x trên miền xác định bởi hệ 2 y − x  4 là  x+ y 5  A. min F = 1 khi x = 2 , y = 3 . B. min F = 2 khi x = 0 , y = 2 . C. min F = 3 khi x = 1 , y = 4 . D. min F = 0 khi x = 0 , y = 0 . 2 cot  − 3 tan  Câu 13. Cho biết cos  = − . Giá trị của biểu thức E = bằng bao nhiêu? 3 2 cot  − tan  25 11 11 25 A. − . B. − . C. − . D. − . 3 13 3 13 Câu 14. Cho tam giác ABC có b + c = 2a . Trong đó R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC đẳng thức nào sau đây là đúng? 3rR 4Rr 6rR 8Rr A. c = . B. c = . C. c = . . D. c = b b b b Câu 15. Cho hình vuông ABCD có cạnh là a. O là giao điểm của hai đường chéo. Tính OA − CB a 3 a 2 A. a 3 B. C. D. a 2 2 2 Câu 16. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho các điểm A ( 4; 2 ) , B ( −2;1) , C ( 0;3) , M ( −3;7 ) . Giả sử AM = x. AB + y. AC ( x, y  ) . Khi đó x + y bằng 12 12 A. . B. 5 . C. − . D. −5 . 5 5 Câu 17. Cho hình thoi ABCD tâm O , cạnh 3a và ABC = 60 . Tính AC DA . 3a 2 9a 2 9a 2 A. − . B. −9a .2 C. − . D. − . 2 4 2 3x + 5 Câu 18. Tập xác định của hàm số y = − 4 là ( a; b  với a, b là các số thực. Tính tổng a + b . x −1 A. a + b = −8 . B. a + b = −10 . C. a + b = 8 . D. a + b = 10 . Trang 2/6 Mã đề 111
3 1 Câu 19. Xác định hàm số y ax 2 bx c biết đồ thị có đỉnh I ; và cắt trục hoành tại điểm có 2 4 hoành độ bằng 2. A. y x 2 3x 2. B. y x2 3x 2 . 2 2 C. y x 3x 2 . D. y x 3x 2 . Câu 20. Cho parabol ( P ) : y = ax + bx + c, ( a  0 ) có đồ thị như hình bên. 2 y 1 -1 O 2 3 x -4 Tập hợp các giá trị của tham số m để phương trình 2 f ( x ) − m = 0 có hai nghiệm phân biệt là A. m  −4 . B. m  −4 . C. m  −8 . D. m  −4 . Câu 21. Tập hợp các giá trị của tham số m để tam thức f ( x) = x − (m + 2) x + 8m + 1 không âm với 2 mọi x là A. m  28 . B. 0  m  28 . C. m  1. . D. 0  m  28 . Câu 22. Gọi S là tập hợp các nghiệm của phương trình x 2 − x − 2 = 2 x 2 + x − 1 . Tổng các phần tử của S là: A. 3 . B. 2 . C. 1 . D. −1 . Câu 23. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A ( 2; 4 ) , B ( 5;0 ) và C ( 2;1) . Trung tuyến BM của tam giác đi qua điểm N có hoành độ bằng 20 thì tung độ bằng 25 27 A. −12. B. − . C. −13. D. − . 2 2 Câu 24. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng d : ( m − 1) x + y + m = 0 và  : 6 x + my + 9 = 0 . Nếu m0 là giá trị của tham số m để d song song với  thì m0 thuộc khoảng nào sau đây? A. (0; 4) . B. (−2;10) . C. (3;15) . D. ( −10; 2) . Câu 25. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A(1; −2), B(1; 2) và C (5; 2) . Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là A. x 2 + y 2 − 3x + 2 y + 1 = 0 . B. x 2 + y 2 − 3x + 1 = 0 . C. x 2 + y 2 − 6 x − 1 = 0 . D. x 2 + y 2 − 6 x + 1 = 0 . Câu 26. Cho hai tập hợp A =  −3; −1   2; 4 , B = ( m − 1; m + 2 ) . Tập tất cả các giá trị của tham số m để A  B   là A. m  5 và m  0 . B. m  5 . C. 1  m  3 . D. m  0 .  0 y4  x0 Câu 27. Giá trị lớn nhất của biết thức F ( x; y ) = x + 2 y với điều kiện   là  x − y −1  0  x + 2 y − 10  0  A. 6 . B. 8 . C. 10 . D. 12 . Trang 3/6 Mã đề 111
Câu 28. Tam giác ABC có AB = 2 , BC = 4 , AC = 3 . Tính độ dài đường phân giác trong góc A . 3 6 3 5 3 9 6 3 A. . B. . C. . D. . 5 10 5 5 Câu 29. Cho hình bình hành ABCD . Gọi M , N lần lượt là hai điểm nằm trên hai cạnh AB và CD sao cho AB = 3 AM , CD = 2CN và G là trọng tâm tam giác MNB . Phân tích các vectơ AG qua các véctơ AB và AC ta được kết quả AG = m AB + n AC , hãy chọn đáp án đúng? 1 1 1 1 A. m − n = − . B. m − n = − . C. m − n = − . D. m − n = . 18 6 8 6 Câu 30. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho 3 điểm A ( 3; 2 ) , B ( 4;3) , C ( −1;3) . Điểm N nằm trên tia BC . Biết điểm M ( x0 ; y0 ) là đỉnh thứ 4 của hình thoi ABNM . Giá trị của x0 thuộc khoảng nào sau đây?  3 3  A. ( 0;1) B. 1;  C.  ; 2  D. ( 2;3 )  2 2  Câu 31. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A ( −3;0 ) , B ( 3;0 ) và C ( 2;6 ) . Gọi H ( a; b ) là trực tâm tam giác đã cho. Giá trị của biểu thức a + 6b bằng A. a + 6b = 5 B. a + 6b = 6 C. a + 6b = 7 D. a + 6b = 8 Câu 32. Tập hợp các giá trị của tham số m để hàm số y x2 m 1 x 2 nghịch biến trên khoảng 1;2 là A. m 5 . B. m 5 . C. m 3 . D. m 3 . Câu 33. Cho parabol ( P ) : y = x 2 + 2 x − 5 và đường thẳng d : y = 2mx + 2 − 3m . Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để ( P ) cắt d tại hai điểm phân biệt nằm về phía bên phải của trục tung là 7 7 A. 1  m  . B. m  1. C. m  . D. m  1 3 3 Câu 34. Có nhiều nhất bao nhiêu số nguyên của tham số m thuộc nửa khoảng [-2017;2017) để phương trình 2 x 2 − x − 2m = x − 2 có nghiệm. A. 2014. B. 2021. C. 2013. D. 2020. Câu 35. Cho bất phương trình ( m 2 − 4 ) x 2 + (m − 2) x + 1  0 . Tập tất cả các giá trị của tham số m làm cho bất phương trình vô nghiệm có dạng (−; a]  [b; +) . Giá trị của a.b bằng 20 20 A. − . B. 4. C. −4 . D. . 3 3 Câu 36. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên không dương của tham số m để phương trình 2 x + m = x − 1 có nghiệm duy nhất? A. 4. B. 3. C. 1. D. 2. Câu 37. Tìm các giá trị của m để phương trình 2 x + 1 = x + m có nghiệm: A. m  2 . B. m  2 . C. m  2 . D. m  2 . Câu 38. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD biết phương trình cạnh AD : x − y − 2 = 0 , điểm B nằm trên đường thẳng d :2 x − y − 2 = 0 và diện tích hình vuông ABCD bằng 8 . Viết phương trình tổng quát của AB có dạng ax + by − 10 = 0 biết B có hoành độ dương. Khi đó giá trị của biểu thức a + b bằng A. 5. B. −1. C. 2. D. −3. Trang 4/6 Mã đề 111
Câu 39. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD ( AB // CD ) có A ( −1; 2 ) , 1 D ( −2;3) và I (1;1) là giao điểm của hai đường chéo AC , BD . Biết rằng AB = CD . 2 Phương trình đường thẳng CD đi qua điểm nào dưới đây? A. N (1; 2 ) . B. P ( 2; −2 ) . C. M ( 5; −1) . D. Q ( −1;3) . Câu 40. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC biết trực tâm H (1;1) và phương trình cạnh AB : 5x − 2 y + 6 = 0 , phương trình cạnh AC : 4 x + 7 y − 21 = 0 . Phương trình cạnh BC là A. 4 x − 2 y + 1 = 0. B. x − 2 y + 14 = 0. C. x + 2 y − 14 = 0 D. x − 2 y − 14 = 0. Câu 41. Cho tam giác ABC có BC = a; CA = b; BA = c và diện tích là S . Biết S = b2 - (a - c)2 . Giá trị của tanB là 1 8 4 6 A. . B. . C. . D. . 15 15 15 15 Câu 42. Cho AD và BE là hai phân giác trong của tam giác ABC . Biết AB = 4 , BC = 5 và CA = 6 . Khi đó DE bằng: 5 3 3 5 9 3 3 9 A. CA − CB . B. CA − CB . C. CA − CB . D. CA − CB . 9 5 5 9 5 5 5 5 Câu 43. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho A ( 3; −1) , B ( −1; 2 ) và I (1; −1) . Xác định tọa độ các điểm C , D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành biết I là trọng tâm tam giác ABC . Tìm tọa tâm O của hình bình hành ABCD ?  5  5  5  5 A. O  2;  . B. O  −2;  . C. O  2; −  . D. O  −2; −  .  2  2  2  2 Câu 44. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho ba điểm A(3;4) , B(2;1) và C (−1; −2) . Tọa độ điểm M trên đường thẳng BC để góc AMB = 450 là A. M ( 5; 4 ) . B. M ( 2;3) . C. M ( −5; 4 ) . D. M ( 2; − 3) . Câu 45. Cho parabol ( P ) : y = ax 2 + bx + c với a  0 . Biết ( P ) đi qua M ( 4;3) , ( P ) cắt tia Ox tại N ( 3;0 ) và Q sao cho MNQ có diện tích bằng 1 đồng thời hoành độ điểm Q nhỏ hơn 3 . Khi đó a + b + c bằng 24 12 A. . B. . C. 5 . D. 4 . 5 5 Câu 46. Gọi S là tập các giá trị nguyên của tham số m để f ( x ) = 2 x 2 − ( 2m + 1) x + m 2 − 2m + 2  0 1  với mọi x   ;1 . Tổng tất cả các phần tử của S bằng 2  A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 0 . Câu 47. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có B ( 2; −1) , C ( 4;1) . Biết tam giác ABC có diện tích bằng 6 và có trọng tâm thuộc đường thẳng 2 x − y − 9 = 0 . Tọa độ điểm A là A. A ( 6; 4 ) , A ( 5;7 ) . B. A ( 6; −3) , A (18; 21) . C. A ( 3;6 ) , A ( 5;7 ) . D. A ( 6;3) , A (19; 22 ) . Trang 5/6 Mã đề 111
Câu 48. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC với đỉnh A 2; 4 , trọng tâm 2 G 2; . Biết rằng đỉnh B nằm trên đường thẳng d có phương trình x y 2 0 và 3 đỉnh C có hình chiếu vuông góc trên d là điểm H 2; 4 . Giả sử B a ; b , khi đó T a 3b bằng A. T 4. B. T 2. C. T 2. D. T 0. Câu 49. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng  :5 x − 2 y − 19 = 0 và đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 − 4 x − 2 y = 0 . Từ 1 điểm M nằm trên đường thẳng  kẻ 2 tiếp tuyến MA , MB đến đường tròn ( C ) với A , B là 2 tiếp điểm. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác AMB biết AB = 10 . 2 2 2 2  195   35  5  197   101  5 A.  x −  + y −  = . B.  x −  + y−  = .  58   26  2  58   58  2 2 2 2 2  197   37  7  195   35  7 C.  x −  + y −  = . D.  x −  + y −  = .  58   26  2  58   26  2 Câu 50. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A ( 0;9 ) , B ( 3;6 ) . Gọi D là miền nghiệm 2 x − y + a  0 của hệ phương trình  . Tập hợp tất cả các giá trị của a để AB  D là 6 x + 3 y + 5a  0  27   17   7 27   20 39  A.  − ;0  . B. 0;  . C.  ;  . D.  ;  .  5   5 5 5  7 5 …………………………………….HẾT……………………………………. Trang 6/6 Mã đề 111
TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÃI ĐÁP ÁN ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 10 Năm học 2022-2023 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 90 phút; (Đề thi gồm có 06 trang 50- câu trắc nghiệm) ĐÁP ÁN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D A C C B A A B D C 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A A C C C A D D D C 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 B D B D D A C A A C 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 C C C A A B C C C D 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 B A C A A B B C B A Hướng dẫn một số câu Câu 26. Cho hai tập hợp A =  −3; −1   2; 4 , B = ( m − 1; m + 2 ) . Tập tất cả các giá trị của m để A  B   là A. m  5 và m  0 . B. m  5 . C. 1  m  3 . D. m  0 . Lời giải Chọn A Ta đi tìm m để A  B =     m + 2  −3  m  −5 −5  m  5 m 5   m − 1  4  m  5  A  B      hay   m  0 m  0   −1  m − 1  m = 0   m + 2  2   0 y4  x0  Câu 27. Giá trị lớn nhất của biết thức F ( x; y ) = x + 2 y với điều kiện  là  x − y −1  0  x + 2 y − 10  0  A. 6 . B. 8 . C. 10 . D. 12 .
Lời giải Vẽ đường thẳng d1 : x − y − 1 = 0 , đường thẳng d1 qua hai điểm ( 0; − 1) và (1;0 ) . Vẽ đường thẳng d 2 : x + 2 y − 10 = 0 , đường thẳng d 2 qua hai điểm ( 0;5 ) và ( 2; 4 ) . Vẽ đường thẳng d3 : y = 4 . Miền nghiệm là ngũ giác ABCOE với A ( 4;3) , B ( 2; 4 ) , C ( 0; 4 ) , E (1;0 ) . Ta có: F ( 4;3) = 10 , F ( 2; 4 ) = 10 , F ( 0; 4 ) = 8 , F (1;0 ) = 1 , F ( 0;0 ) = 0 . Vậy giá trị lớn nhất của biết thức F ( x; y ) = x + 2 y bằng 10 . Câu 28. Tam giác ABC có AB = 2 , BC = 4 , AC = 3 . Tính độ dài đường phân giác trong góc A . 3 6 3 5 3 9 6 3 A. . B. . C. . D. . 5 10 5 5 Lời giải Chọn A DB AB 2 DB 2 8 Gọi D là chân đường phân giác trong góc A . Ta có: = =  =  DB = . DC AC 3 BC 5 5 BC + BA − AC 2 2 2 4 + 2 − 3 11 2 2 2 Theo định lý cosin và hệ quả của nó: cos B = = = . 2.BC.BA 2.4.2 16 2 8 8 11 54 3 6 AD = AB + BD − 2 AB.BD.cos B = 2 +   − 2.2. . = 2 2 2 2  AD = . 5 5 16 25 5 Câu 29. Cho hình bình hành ABCD . Gọi M , N lần lượt là hai điểm nằm trên hai cạnh AB và CD sao cho AB = 3 AM , CD = 2CN và G là trọng tâm tam giác MNB . Phân tích các vectơ AG qua các véctơ AB và AC ta được kết quả AG = m AB + n AC , hãy chọn đáp án đúng? 1 1 1 1 A. m − n = − . B. m − n = − . C. m − n = − . D. m − n = . 18 6 8 6 Lời giải
A B M G D N C Do G là trọng tâm tam giác MNB nên ta có: 1 4 1 5 3AG = AM + AB + AN = AB + AB + AC + CN = AB + AC − AB = AB + AC . 3 3 2 6 5 1 5 1 1 Suy ra AG = AB + AC và m = , n =  m − n = − . 18 3 18 3 18 Câu 30. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho 3 điểm A ( 3; 2 ) , B ( 4;3) , C ( −1;3) . Điểm N nằm trên tia BC . Biết điểm M ( x0 ; y0 ) là đỉnh thứ 4 của hình thoi ABNM . Giá trị của x0 thuộc khoảng nào sau đây?  3 3  A. ( 0;1) B. 1;  C.  ; 2  D. ( 2;3 )  2 2  Lời giải Chọn C y C N B M A O x B, C thuộc đường thẳng y = 3 . Ta có AB = (1;1) , AB = AB = 2 , N  tia BC nên N ( xN ;3) , BN = ( xN − 4;0) . Vì ABNM là hình thoi N  tia BC nên AB = BN  xN − 4 = 2  xN = 4 − 2 . x = 3 − 2  AM = ( x0 − 3; y0 − 2 ) = BN   0  x0  (1,58;1,59 ) .  y0 = 2  Câu 31. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A ( −3;0 ) , B ( 3;0 ) và C ( 2;6 ) . Gọi H ( a; b ) là trực tâm tam giác đã cho. Tính a + 6b ? A. a + 6b = 5 B. a + 6b = 6 C. a + 6b = 7 D. a + 6b = 8 Lời giải Chọn C Ta có AH = ( a + 3; b ) , BC = ( −1;6 ) , BH = ( a − 3; b ) , AC = ( 5;6 ) .
 AH ⊥ BC  AH .BC = 0  −1. ( a + 3) + 6b = 0  Vì H là trực tâm ABC nên     BH ⊥ AC  BH . AC = 0  5. ( a − 3) + 6b = 0  a = 2 −a + 6b = 3    5  a + 6b = 7 . 5a + 6b = 15 b = 6  Câu 32. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y x2 m 1 x 2 nghịch biến trên khoảng 1;2 . A. m 5 . B. m 5 . C. m 3 . D. m 3 . Lời giải Chọn C Với mọi x1 x2 , ta có f x1 f x2 x12 m 1 x1 2 2 x2 m 1 x2 2 x1 x2 m 1. x1 x2 x1 x2 Để hàm số nghịch biến trên 1;2 x1 x2 m 1 0 , với mọi x1 , x 2 1;2 m x1 x2 1 , với mọi x1 , x 2 1;2 m 1 1 1 3 Câu 33.Cho parabol ( P ) : y = x 2 + 2 x − 5 và đường thẳng d : y = 2mx + 2 − 3m . Tìm tất cả các giá trị m để ( P ) cắt d tại hai điểm phân biệt nằm về phía bên phải của trục tung. 7 7 A. 1  m  . B. m  1. C. m  . D. m  1 3 3 Lời giải Chọn C Phương trình hoành độ giao điểm của ( P ) và d là x 2 + 2 x − 5 = 2mx + 2 − 3m  x 2 + 2 (1 − m ) x − 7 + 3m = 0 (*) ( P ) cắt d tại hai điểm phân biệt nằm về phía bên phải của trục tung khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt     0 (1 − m )2 + 7 − 3m  0  m 2 − 5m + 8  0 m  1  −b     7    0  −2 (1 − m )  0  1 − m  0  7 m . a −7 + 3m  0 3m − 7  0 m  3  3 c    a  0  7 Vậy m  . 3
Câu 34. Có nhiều nhất bao nhiêu số nguyên m thuộc nửa khoảng [-2017;2017) để phương trình 2 x 2 − x − 2m = x − 2 có nghiệm: A. 2014. B. 2021. C. 2013. D. 2020. Lời giải Chọn A x  2 x  2 Phương trình đã cho tương đương với:  2  2  2 x − x − 2m = x − 4 x + 4  x + 3 x − 4 = 2m 2 Để phương trình đã cho có nghiệm điều kiện là 2m  6  m  3 . Mà m [−2017;2017) suy ra 3  m  2017 . Vậy có nhiều nhất 2014 số nguyên thuộc nửa khoảng [3;2017) thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 35. Cho bất phương trình ( m 2 − 4 ) x 2 + (m − 2) x + 1  0 . Tập tất cả các giá trị của tham số m làm cho bất phương trình vô nghiệm có dạng (−; a]  [b; +) . Tính giá trị của a.b . 20 20 A. − . B. 4. C. −4 . D. . 3 3 Lời giải Chọn A Xét bất phương trình ( m 2 − 4 ) x 2 + (m − 2) x + 1  0 m = 2 - Truờng hợp 1: m2 − 4 = 0    m = −2 - Với m = 2 thì (1)  1  0 : vô nghiệm. Vậy m = 2 thỏa mãn. 1 - Với m = −2 thì (1)  −4 x + 1  0  x  . Vậy m = −2 không thỏa mãn. 4 - Truờng hợp 2: m  2 Bất phương trình (1) vô nghiệm  ( m2 − 4 ) x 2 + (m − 2) x + 1  0 x  R  m  2   a = m 2 − 4  0   m  −2  10      m  − 3 10    Δ = (m − 2) − 4(m − 4)  0 m  − 2 2   3 m  2   m  2 
 10  20 Từ hai trường hợp trên ta có m   −; −   [2; +) . Vậy a  b = − .  3 3 Câu 36. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên không dương của tham số m để phương trình 2 x + m = x − 1 có nghiệm duy nhất? A. 4. B. 3. C. 1. D. 2. Lời giải Chọn B x −1  0 x  1  2x + m = x −1    2 . 2 x + m = ( x − 1)  x − 4 x + 1 − m = 0 ( *) 2  Phương trình có nghiệm duy nhất khi hệ có nghiệm duy nhất. Xét x 2 − 4 x + 1 − m = 0;  = 3 + m TH1:  = 0  m = −3 thì * ) có nghiệm kép x = 2  1 (thỏa). TH2:   0  m  −3 thì phương trình có nghiệm duy nhất khi (*) có 2 nghiệm thỏa x1  1  x2  ( x1 − 1)( x2 − 1)  0  x1 x2 − ( x1 + x2 ) + 1  0  1 − m − 4 + 1  0  m  −2 . Vì m không dương nên m {−3; −1;0} . Câu 37. Tìm các giá trị của m để phương trình 2 x + 1 = x + m có nghiệm: A. m  2 . B. m  2 . C. m  2 . D. m  2 . Lời giải Chọn C x + m  0 Phương trình (1) tương đương:  4( x + 1) = x + 2mx + m 2 2  x  −m  2  x + 2(m − 2) x + m − 4 = 0(2) 2 Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) có ít nhất một nghiệm lớn hơn hoặc bằng −m . Xét phương trình (2) có:  = 8 − 4m . Phương trình (2) có nghiệm khi   0  m  2 .  x = 2 − m − 8 − 4m Khi đó phương trình (2) có hai nghiệm là:  1 .  x2 = 2 − m + 8 − 4m  Nhận xét: x2 = 2 − m + 8 − 4m  −m với mọi m  2 . Suy ra với mọi m  2 thì phương trình (2) luôn có ít nhất một nghiệm lớn hơn −m . Vậy các giá trị m cần tìm là: m  2 .
Câu 38. Trong hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD biết phương trình cạnh AD : x − y − 2 = 0 , điểm B nằm trên đường thẳng d :2 x − y − 2 = 0 và diện tích hình vuông ABCD bằng 8 . Viết phương trình tổng quát của AB có dạng ax + by − 10 = 0 biết B có hoành độ dương. Khi đó giá trị của biểu thức a + b bằng A. 5. B. −1. C. 2. D. −3. Lời giải Chọn C B C 2x-y-2=0 A x-y-2=0 D Vì diện tích hình vuông ABCD bằng 8 nên AB = 2 2 Đặt B ( t ; 2 t − 2 )  d với t  0 . t − 2t + 2 − 2 t t = 4 Ta có d ( B; AD ) = AB = = =2 2 2 2 t = −4(loai ) Vậy B ( 4, 6 ) Phương trình đường thẳng AB : x + y − 10 = 0 Câu 39. Cho hình thang ABCD ( AB // CD ) có A ( −1; 2 ) , D ( −2;3) và I (1;1) là giao điểm của hai 1 đường chéo AC , BD . Biết rằng AB = CD . Phương trình đường thẳng CD đi qua điểm nào dưới 2 đây? A. N (1; 2 ) . B. P ( 2; −2 ) . C. M ( 5; −1) . D. Q ( −1;3) . Lời giải Chọn C A B I D C
IC ID CD Ta có AB // CD nên = = = 2 (định lý Ta-lét). IA IB AB −2 − 1 = 2 (1 − xB )  5   xB = 5  Suy ra ID = 2 BI    2  B  ;0  . 3 − 1 = 2 (1 − yB )   yB = 0 2   7  Ta có AB =  ; −2   đường thẳng DC có vectơ chỉ phương u = ( 7; −4 ) 2  Khi đó đường thẳng DC đi qua điểm D ( −2;3) nhận n = ( 4;7 ) làm vectơ pháp tuyến. Phương trình tổng quát của đường thẳng DC : 4 ( x + 2 ) + 7 ( y − 3) = 0  4 x + 7 y − 13 = 0 . Vậy đường thằng DC đi qua điểm M ( 5; −1) . Câu 40. Cho tam giác ABC biết trực tâm H (1;1) và phương trình cạnh AB : 5x − 2 y + 6 = 0 , phương trình cạnh AC : 4 x + 7 y − 21 = 0 . Phương trình cạnh BC là A. 4 x − 2 y + 1 = 0. B. x − 2 y + 14 = 0. C. x + 2 y − 14 = 0 D. x − 2 y − 14 = 0. Lời giải Chọn D Ta có A = AB  AC suy ra tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình 5 x − 2 y = −6 x = 0   .Vậy A ( 0;3)  AH = (1; −2 ) . 4 x + 7 y = 21 y = 3 Ta có BH ⊥ AC  BH có VTPT là n = ( 7, − 4 ) . Suy ra BH : 7 x − 4 y − 3 = 0 . Mà B = AB  BH suy ra tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình  x = −5 5 x − 2 y = −6   19    19 . Vậy B  −5; −  . 7 x − 4 y = 3 y = − 2  2   19  Phương trình BC nhận AH = (1; −2 ) là VTPT và qua B  −5; −  .  2  19  Suy ra BC : ( x + 5 ) − 2  y +  = 0  x − 2 y − 14 = 0 .  2 Câu 41. Cho tam giác ABC có BC = a; CA = b; BA = c và diện tích là S . Biết S = b2 - (a - c)2 . Giá trị của tanB là 1 8 4 6 A. . B. . C. . D. . 15 15 15 15 Lời giải Chọn B 1 Ta có: S = b 2 -(a - c)2  ac sin B = a 2 +c 2 - 2accosB - a 2 - c 2 + 2ac 2
1 1  ac sin B = 2ac(1- cosB )  sin B = 4(1- cosB )  cosB = 1- sin B(*) 2 4 1 17 2 1 Mặt khác: sin B+cos B = 1  sin B + (1- sin B) = 1  2 2 2 2 sin B - sin B = 0 4 16 2 8 15 8  sin B = (do sin B > 0) Kết hợp với (*) ta được cosB =  tan B = . 17 17 15 Câu 42. Cho AD và BE là hai phân giác trong của tam giác ABC . Biết AB = 4 , BC = 5 và CA = 6 . Khi đó DE bằng: 5 3 3 5 9 3 3 9 A. CA − CB . B. CA − CB . C. CA − CB . D. CA − CB . 9 5 5 9 5 5 5 5 Lời giải Chọn A CD AC 6 CD 6 AD là phân giác trong của tam giác ABC nên = =  = DB AB 4 CD + DB 6 + 4 CD 6 3 CE 5 5  =  CD = CB . Tương tự: =  CE = CA . CB 10 5 CA 9 9 5 3 Vậy DE = CE − CD = CA − CB . 9 5 Câu 43. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A ( 3; −1) , B ( −1; 2 ) và I (1; −1) . Xác định tọa độ các điểm C , D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành biết I là trọng tâm tam giác ABC . Tìm tọa tâm O của hình bình hành ABCD ?  5  5  5  5 A. O  2;  . B. O  −2;  . C. O  2; −  . D. O  −2; −  .  2  2  2  2 Lời giải Chọn C xA + xB + xC Vì I là trọng tâm tam giác ABC nên xI =  xC = 3xI − x A − xB = 1 3 y A + yB + yC yI =  yC = 3 yI − y A − yB = −4 . Suy ra C (1; −4 ) 2
Tứ giác ABCD là hình bình hành suy ra −1 − 3 = 1 − xD  xD = 5 AB = DC     D(5; −7) 2 + 1 = −4 − yD  yD = −7 Điểm O của hình bình hành ABCD suy ra O là trung điểm AC do đó xA + xC y + yC 5  5 xO = = 2, yO = A = −  O  2; −  2 2 2  2 Câu 44. Cho ba điểm A(3;4) , B(2;1) và C (−1; −2) . Tìm điểm M trên đường thẳng BC để góc AMB = 450 . A. M ( 5; 4 ) . B. M ( 2;3) . C. M ( −5; 4 ) . D. M ( 2; − 3) . Lời giải Chọn A Giả sử M ( x; y ) suy ra MA = ( 3 − x;4 − y ) , MB = ( 2 − x;1 − y ) , BC = ( −3; −3) . Vì AMB = 450 suy ra cos AMB = cos MA; BC ( ) MA.BC 2 −3 ( 3 − x ) − 3 ( 4 − y )  cos 450 =  = 2 (3 − x ) + ( 4 − y ) 9+9 2 2 MA . BC  (3 − x ) + ( 4 − y ) = x+ y−7 2 2 (*). Mặt khác M thuộc đường thẳng BC nên hai vectơ MB, BC cùng phương. 2 − x 1− y Suy ra =  x = y + 1 thế vào (*) ta được: −3 −3 (2 − y) + (4 − y) = 2 y − 6  y 2 − 6 y + 8 = 0  y = 2 hoặc y = 4 . 2 2 + Với y = 2  x = 3 , ta có MA = ( 0; 2 ) , MB = ( −1; −1)  cos AMB = cos MA; MB = − ( ) 1 2 . Khi đó AMB = 1350 (không thỏa mãn). + Với y = 4  x = 5 , MA = ( −2;0 ) , MB = ( −3; −3)  cos AMB = cos MA; MB = ( ) 1 2 . Khi đó AMB = 450 . Vậy M ( 5; 4 ) là điểm cần tìm.
Câu 45. Cho parabol ( P ) : y = f ( x ) = ax 2 + bx + c, a  0 . Biết ( P ) đi qua M ( 4;3) , ( P ) cắt tia Ox N ( 3;0 ) tại và Q sao cho MNQ có diện tích bằng 1 đồng thời hoành độ điểm Q nhỏ hơn 3 . Khi đó a + b + c bằng 24 12 A. . B. . C. 5 . D. 4 . 5 5 Lời giải Chọn A Gọi điểm H là hình chiếu vuông góc của M lên trục Ox . 7  MH .NQ = . y M . ( xN − xQ ) = 1  .3 ( 3 − xQ ) = 1  xQ = nên Q  ;0  1 1 1 7 Ta có S MNQ = 2 2 2 3 3  .  9  a = 5 16a + 4b + c = 3  7    −48 Ta thu được: M ( 4;3) , N ( 3;0 ) , Q  ;0   ( P )  9a + 3b + c = 0  b = . 3   49  5 7  a+ b+c =0  63 9 3 c = 5  Câu 46. Gọi S là tập các giá trị nguyên của m để f ( x ) = 2 x 2 − ( 2m + 1) x + m 2 − 2m + 2  0 với mọi 1  x   ;1 . Tính tổng tất cả các phần tử của S . 2  A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 0 . Lời giải Chọn B Do a = 2  0  không tồn tại m để f ( x )  0 x  . f ( x ) = 2 x 2 − ( 2m + 1) x + m2 − 2m + 2 , có  = −4m2 + 20m − 15  5 − 10 5 + 10   2 ; 2  , khi đó ( ) có hai nghiệm Xét   0  m    f x  
2m + 1 −  2m + 1 +  x1 = , x2 = ( x1  x2 ). 4 4 Và f ( x )  0  x   x1 ; x2  .  1  1 1 2. f  0 f  0 Do đó yêu cầu bài toán  x1   1  x2   2  2 2 2. f f  (1)  0  (1)  0   1 2 1 2.   − ( 2m + 1) . + m − 2m + 2  0 m 2 − 3m + 2  0 1  m  2 2    2 2  2  1 m  2 . 2.12 − 2m + 1 .1 + m 2 − 2m + 2  0  m − 4m + 3  0  1  m  3  ( ) Vì m nguyên ta suy ra S = 1; 2 , tổng các phần tử của S là 3. Câu 47. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có B ( 2; −1) , C ( 4;1) . Biết tam giác ABC có diện tích bằng 6 và có trọng tâm thuộc đường thẳng 2 x − y − 9 = 0 . Tọa độ điểm A là A. A ( 6; 4 ) , A ( 5;7 ) . B. A ( 6; −3) , A (18; 21) . C. A ( 3;6 ) , A ( 5;7 ) . D. A ( 6;3) , A (19; 22 ) . Lời giải Từ giả thiết suy ra BC = 2 2 và phương trình của đường thẳng chứa cạnh BC là: x − y −3 = 0. 1 Dựng AH ⊥ BC và GK ⊥ BC . Ta có GK = AH . 3 2S ABC 1 Diện tích tam giác ABC bằng 6 nên có AH = = 3 2  GK = AH = 2 . BC 3 Điểm G  d : x + y − 5 = 0  G ( xG ; 2 xG − 9 ) . xG − yG + 1 x = 4 GK = 2  d ( G, BC ) = 2  = 2  xG − ( 2 xG − 9 ) − 3 = 2   G 2  xG = 8 +) Với G ( 4; −1) ta tìm được điểm A ( 6; −3) . +) Với G ( 8;7 ) ta tìm được điểm A (18; 21) 2 Câu 48. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC với đỉnh A 2; 4 , trọng tâm G 2; . 3 Biết rằng đỉnh B nằm trên đường thẳng d có phương trình x y 2 0 và đỉnh C có hình chiếu vuông góc trên d là điểm H 2; 4 . Giả sử B a ; b , khi đó T a 3b bằng A. T 4. B. T 2. C. T 2. D. T 0.
Lời giải Chọn C A G B M C H Gọi M là trung điểm của cạnh BC . Ta có 3 xM 2 2 2 3 2 AM AG , suy ra M 2; 1 . 2 3 2 yM 4 4 2 3 HM 0;3 suy ra HM không vuông góc với d nên B không trùng với H . B a;b d b a 2. Tam giác BHC vuông tại H và HM là trung tuyến nên ta có 2 2 a 1 MB MH a 2 a 1 9 a2 a 2 0 a 2 l Suy ra B 1; 1 và T a 3b 2. Câu 49. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng  :5 x − 2 y − 19 = 0 và đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 − 4 x − 2 y = 0 . Từ 1 điểm M nằm trên đường thẳng  kẻ 2 tiếp tuyến MA , MB đến đường tròn ( C ) với A , B là 2 tiếp điểm. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác AMB biết AB = 10 . 2 2 2 2  195   35  5  197   101  5 A.  x −  + y −  = . B.  x −  + y−  = .  58   26  2  58   58  2 2 2 2 2  197   37  7  195   35  7 C.  x −  + y −  = . D.  x −  + y −  = .  58   26  2  58   26  2 Lời giải Chọn B
A I M H B *Các tam giác IAM , IBM là các tam giác vuông nên đường tròn đường kính IM đi qua 2 điểm A , B nên đường tròn ngoại tiếp tam giác AMB là đường tròn đường kính IM . * Đường tròn ( C ) có tâm I ( 2;1) bán kính R = 5 . 2  10  ( 5) 10 IA2 2 Ta có IH = IA − AH = 2 2 −  2  =  IM = = 10 .   2 IH  5a − 19  2  5a − 19     . Ta có IM = 10  ( a − 2 ) +  − 1 = 10 . 2 2 Gọi M  a ;  2   2  a = 3  M ( 3; − 2 )  Giải phương trình ta được     139 72   a = 139   29 29  M ;  29    5 1 *Với M ( 3; − 2 ) thì trung điểm IM là  ; −  , phương trình đường tròn đường kính 2 2 IM là 2 2  5  1 5 x−  +y+  = .  2  2 2  139 72   197 101  * Với M  ;  thì trung điểm IM là  ;  , phương trình đường tròn đường  29 29   58 58  2 2  197   101  5 kính IM là  x −  + y−  =  58   58  2 Câu 50. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A ( 0;9 ) , B ( 3;6 ) . Gọi D là miền nghiệm của 2 x − y + a  0 hệ phương trình  . Tập hợp tất cả các giá trị của a để AB  D là 6 x + 3 y + 5a  0