Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2012-2013 – Sở Giáo dục và Đào tạo Ninh Bình (Đề chính thức)

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:11

Thêm vào BST

Báo xấu

11
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2012-2013 – Sở Giáo dục và Đào tạo Ninh Bình (Đề chính thức) đây là tài liệu tham khảo hữu ích dành cho các em học sinh, giáo viên trong quá trình ôn luyện, củng cố, đánh giá năng lực Toán của học sinh lớp 12.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2012-2013 – Sở Giáo dục và Đào tạo Ninh Bình (Đề chính thức)

SỞ GDĐT NINH BÌNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT Kỳ thi thứ nhất Năm học 2012 – 2013 ĐỀ THI CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN Ngày thi 09/10/2012 (Thời gian lam bai 180 phút) ̀ ̀ Đề thi gồm 04 câu, trong 01 trang Câu 1 (5 điểm): x 3 = y 2 − 2y + 8 Giải hệ phương trình: y = z − 2z + 8 3 2 z3 = x 2 − 2x + 8 Câu 2 (5 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi P, Q lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác ABH và ACH. Các đường thẳng AP, AQ lần lượt cắt BC tại D và E. Chứng minh rằng đường thăng AH, DQ, EP đông quy tai môt ̉ ̀ ̣ ̣ ̉ điêm. Câu 3 (6 điểm): Cho phương trình (ẩn x, tham số n nguyên dương): 3 x + 2x 2 + 3x 3 + ... + nx n − = 0 4 a) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n phương trình có 1 nghiệm dương duy nhất, kí hiệu nghiệm đó là x n . 1 b) Chứng minh rằng lim x n = . 3 Câu 4 (4 điểm): Cho tập Sn = {1; 2; 3;…; n} với n là số nguyên dương lớn hơn 2. Có bao nhiêu cách chia tập Sn thành ba tập con khác rỗng (hợp với nhau bằng S n và đôi một giao với nhau bằng rỗng) sao cho mỗi tập con không chứa hai số nguyên liên tiếp? HẾT Họ và tên thí sinh :....................................................... Số báo danh .............................
Họ và tên, chữ ký: Giám thị 1:.......................................................................... Giám thị 2:..........................................................................
SỞ GD&ĐT NINH BÌNH HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT Kỳ thi thứ nhất Năm học 2012 – 2013 MÔN: TOÁN Ngày thi 09/10/2012 (hướng dẫn chấm gồm 04 trang) Câu Đáp án Điểm �x 3 = y 2 − 2y + 8 �x 3 = (y − 1) 2 + 7 �3 �3 Ta có: �y = z − 2z + 8 � �y = (z − 1) + 7 � x, y, z > 1 2 2 1,0 �z3 = x 2 − 2x + 8 �z 3 = (x − 1) 2 + 7 � � 1 Giả sử x = max{x; y;z} � (y 1) 2 = max{(x 1) 2 ;(y 1) 2 ;(z 1) 2} 1,0 y = max{x; y;z} � x = y � y = z . Vậy x = y = z. 1,5 5 điểm Khi đó ta có phương trình: x 3 = x 2 − 2x + 8 � x 3 − x 2 + 2x − 8 = 0 � (x − 2)(x 2 + x + 4) = 0 �x=2 1,0 Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x; y; z) = (2; 2; 2). 0,5 2 A 5 điểm Q P B C D H E Cách 1: ﾷ BAH ﾷ = ACH ﾷﾷﾷﾷ 1ﾷ 1,0 BAE = BAH + HAE = BAH + HAC 2 ﾷﾷﾷﾷ 1ﾷ BEA = ACH + EAC = ACH + HAC 2 ﾷﾷ � BEA = EAB � tam giác ABE cân tại đỉnh B. 1,0 ﾷ Mà BP là đường phân giác góc ABE BP là đường trung trực của đoạn AE � PA = PE . 1,0
ﾷﾷﾷ 1 ﾷﾷ 1ﾷ Mặt khác PAE = PAH + HAE = (BAH + HAC) = BAC = 450 2 2 � ∆PAE vuông cân tại đỉnh P � EP ⊥ AD . 1,0 Tương tự: � DQ ⊥ AE . Vậy AH, DQ, EQ là các đường cao của tam giác ADE suy ra AH, DQ, EP đồng quy. 1,0 Cách 2: Áp dụng tính chất tia phân giác các góc trong tam giác: PA AB QE CE HD AH EC AC = , = , = , = PD BD QA AC DB AB HE AH 2,0 PA HD EC QE = AB AH AC CE = CE . . . . . . PD DB HE QA BD AB AH AC BD 1,5 PA HD QE � . . =1 PD HE QA 0,5 AH, DQ, EP đồng quy (Định lí Ceva) 1 3 a) 2 điểm (6 điểm) 3 Xét f n ( x ) = x + 2x 2 + 3x 3 + ... + nx n − 4 f n ( x ) = 1 + 2 x + 3 x + ... + n .x ' 2 2 2 2 n −1 0,5 Ta có f n' ( x ) > 0 ∀x R f n ( x ) đồng biến, liên tục trên R. 0,5 Mà f n ( 0 ) < 0; f n ( 1) > 0 0,5 � f n ( x ) = 0 có nghiệm duy nhất và nghiệm đó thuộc ( 0;1) 0,5 b) 4 điểm 2 n −1 �1 � 1 �1 � �1 � 9 3f � �= 1 + 2. + 3 � �+ ... + n � � − �3 � 3 �3 � �3 � 4 2 n −1 n �1 � 1 �1 � �1 � �1 � 3 f � �= + 2 � �+ ... + ( n − 1) � � + n � �− �3 � 3 �3 � �3 � �3 � 4 �1 � 1 �1 � �1 � 2 n 3 � 2f � �= 1 + + � �+ ... + � � − n − = − ( 3 + 2n ) n −1 �3 � 3 �3 � �3 � 3 2 2.3n �1 � ( 2n + 3) � f � �= − n < 0 ∀n �N* 1,0 �3 � 4.3 �1 � 1 Suy ra f � �< f n ( x n ) suy ra x n > (do f n ( x ) là hàm số đồng 0,5 �3 � 3 biến trên R)
�1 � Với mọi n N* , theo định lý Lagrange, tồn tại cn � ;x n � sao �3 � 1 1 cho: f n (x n ) − f n ( )− = f n' (c n )(x n − ) 3 3 0,5 1 1 2n + 3 1 1 2n + 3 2n + 3 � xn − = ' � x n − = < 3 f n (x n ) 4.3n 3 f n' (c n ) 4.3n 4.3n 1,0 (vì f n' ( x ) > 1 ∀x �(0; +�) ) 2n + 3 1 Mà lim = 0 � lim xn = . n + 4.3n n + 3 1,0 Kí hiệu S(n) là số cách chia tập S thành ba tập con khác rỗng sao cho mỗi tập con không chứa hai số nguyên liên tiếp. Các khả năng xảy ra khi chia tập Sn+1 = {1; 2; 3;...; n; n+1}. Khả năng 1: {n+1} không là một trong ba tập con của Sn+1. Ta thực hiện cách chia như sau: Chia S n thành 3 tập con (thỏa mãn đề bài) và bổ xung phần tử ( n + 1 ) vào một trong hai tập không chứa 1,5 phần tử n. Do đó số cách chia trong trường hợp này là 2S(n). Khả năng 2: {n+1} không là một trong ba tập con của Sn+1. Khi đó các phần tử Sn phải nằm trong hai tập còn lại. Có thể thấy ngay chỉ có một cách chia thỏa mãn (một tập chứa các số chẵn và 4 1,0 một tập chứa các số lẻ). Do đó, số cách chia trong trường hợp này là 4 điểm 1 cách. Vậy ta thu được công thức truy hồi: S ( n + 1) = 2S ( n ) + 1 0,5 � S ( n + 1) + 1 = 2 � S ( n ) + 1� � � Đặt u n = S ( n ) + 1 � u n +1 = 2u n . Vậy ( u n ) là một cấp số nhân có công bội bằng 2. Mặt khác, ta thấy S ( 3) = 1 vậy nên ta có S ( n ) = 2n − 2 − 1, ∀n 3 . 1,0 Vậy số cách chia thỏa mãn yêu cầu bài toán là S ( n ) = 2n −2 − 1, ∀n 3 . Hết
SỞ GDĐT NINH BÌNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT Kỳ thi thứ nhất Năm học 2012 – 2013 ĐỀ THI CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN Ngày thi 10/10/2012 (Thời gian lam bai 180 phút) ̀ ̀ Đề thi gồm 04 câu, trong 01 trang Câu 1 (5 điểm): x 2 + y 2 − 4x − 2y + 1 = 0 ́ ố thực x, y, z, t thoả mãn: Cho cac s z 2 + t 2 − 4z − 2t + 1 = 0 ́ ̣ ơn nhât cua biêu th Tim gia tri l ̀ ́ ́ ̉ ̉ ức: P = (x – z)(y – t). Câu 2 (5 điểm): x+2 y+2 Chứng minh rằng phương trình + = 6 có vô số nghiệm nguyên y x dương. Câu 3 ( 5 điêm) ̉ Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, các đường cao AM, BN. Điểm D trên cung BC không chứa A của đường tròn (O) và khác B, C. Hai đường thẳng DA và BN cắt nhau tại Q, hai đường thẳng DB và AM cắt nhau tại P. Gọi I là trung điểm của PQ. Chứng minh rằng ba điểm M, N, I thẳng hàng. Câu 4 (5 điểm): Tìm tất cả các hàm số f : ﾷﾷ thỏa mãn điều kiện: f ( x + f ( y ) ) = 4x 3f ( y ) + 6x 2 ( f (y) ) + 4x ( f (y) ) + ( f (y) ) + f ( − x ) với mọi x, y ﾷ . 2 3 4 HẾT
Họ và tên thí sinh :....................................................... Số báo danh ............................. Họ và tên, chữ ký: Giám thị 1:.......................................................................... Giám thị 2:..........................................................................
SỞ GD&ĐT NINH BÌNH HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT Kỳ thi thứ nhất Năm học 2012 – 2013 MÔN: TOÁN Ngày thi 10/10/2012 (hướng dẫn chấm gồm 03 trang) Đáp án Điể Câu m 1 �x 2 + y 2 − 4x − 2y + 1 = 0 (x − 2) 2 + (y − 1) 2 = 4 � 05 Cách 1: �2 2 � 0,5 điểm �z + t − 4z − 2t + 1 = 0 (z − 2) 2 + (t − 1) 2 = 4 � a 2 + b2 = 4 Đặt a = x 2, b = y 1, c = z 2, d = t 1, ta có: c2 + d 2 = 4 P = (x − z)(y − t) = (a − c)(b − d) (a − c)(b − d) 1 2(a 2 + c 2 )2(b 2 + d 2 ) = 2 (a 2 + c 2 )(b 2 + d 2 ) 1 =a 2+ +b+2 �c2 d2 8 P 8 1 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: (a − c)(b − d) 0 a = −c a=b= 2 x =2+ 2 x =2− 2 �b = −d �c = d = − 2 y =1+ 2 y =1− 2 2 2 hoặc 1,5 a + c = b2 + d2 a=b=− 2 z =2− 2 z =1+ 2 a 2 + b2 = 4 c=d= 2 t =1− 2 t =1+ 2 c +d =4 2 2 Vậy MaxP = 8 . �x + y − 4x − 2y + 1 = 0 (x − 2) 2 + (y − 1) 2 = 4 2 2 � Cách 2: �2 2 � 0,5 �z + t − 4z − 2t + 1 = 0 (z − 2) 2 + (t − 1) 2 = 4 � x = 2 + 2cos α; y = 1 + 2sin α � ∃α, β �R thỏa mãn: z = 2 + 2cos β; y = 1 + 2sin β 1 sin 2 sin 2 1 1 Khi đó: P = (xz)(yt) = 4 sin( ) 4 1 =8 2 2 2 2 2 Đẳng thức xảy ra � sin 2α = sin 2β = − sin(α + β) = 1 0,5
π 0,5 α= + kπ 4 (k, m Z ) π β = + 2mπ − (k + 1)π 4 x = 2+ 2 x 2 2 y = 1+ 2 y 1 2 hoặc 0,5 z = 2− 2 z 2 2 t = 2− 2 t 2 2 Vậy MaxP = 8 . x+2 y+2 0,5 + =6 x2 2(3y1)x + y2 + 2y = 0 (*) y x x 0 = 1; x1 = 1 0,5 Xét dãy số {xn} xác định bởi công thức: x n + 2 = 6x n +1 − x n − 2 ∀n N Ta có: {xn} tăng và x n �N*∀n �N* . 0,5 Với mọi n N ta có: x n + 2 = 6x n +1 − x n − 2 � x n +2 + x n = 6x n +1 − 2 (1) 0,5 x n+2 + x n + 2 x + x n + 2 x n +1 + x n −1 + 2 � = 6 � n +2 = ∀n �N* x n +1 x n +1 xn 0,5 2 � x n + 2 x n + x n2 + 2x n = x n2 +1 + x n +1x n1 + 2x n +1 ∀n �N* 5 điểm 0,5 � x n + 2 x n x n2 +1 2x n +1 = x n +1x n1 x n2 2x n ∀n �N * � x n + 2 x n x n2 +1 2x n +1 = x 2 x 0 x12 2x1 = 0 ∀n �N � x n + 2 x n = x n2 +1 + 2x n +1 ∀n N (2) 0,5 Từ (1), (2) suy ra x n , x n + 2 là hai nghiệm của phương trình: t 2 2(3x n +1 1)t + x 2n +1 + 2x n +1 = 0 ∀n N 0,5 � x 2n 2(3x n +1 1)x n + x 2n +1 + 2x n +1 = 0 ∀n �N 0,5 Suy ra ( x n , x n +1 ) là nghiệm của phương trình (*) ∀n N. Do đó ta có điều phải chứng minh. 0,5 3 A 5điểm N Q H M I B C P D
Gọi H là trực tâm tam giác. AN BM 1 Tam giác ANH và BMH đồng dạng nên: = (1) NH MH AN BM Tam giác ANQ và BMP đồng dạng nên: = (2) 1 NQ MP NQ MP 1 Từ (1) và (2) suy ra = NH MH NQ MH IP 1 � . . =1 NH MP IQ Ba điểm M, I, N thẳng hàng (Định lí Menelaus) 1 f ( x + f ( y ) ) = 4x 3f ( y ) + 6x 2 ( f (y) ) + 4x ( f (y) ) + ( f (y) ) + f ( − x ) ∀ x, y R (1) 2 3 4 4 5điểm + Nhận xét: f ( x ) 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán. 0,5 + Xét trường hợp: f ( x ) 0 . Đặt a = f(0). Thay x = 0 vào (1) ta được f ( f ( y ) ) = ( f ( y ) ) + a, ∀y ﾷ (2) 4 0,5 Tiếp tục thay x bởi ( −f (x) ) vào (1) ta được f ( f ( y ) − f (x) ) = − 4(f (x))3 f ( y ) + 6(f (x)) 2 (f (y)) 2 − 4f (x)(f (y)) 3 + (f (y)) 4 − f ( f (x) ) ∀ x, y ﾷ � f ( f ( y ) − f ( x ) ) = ( f ( y ) − f ( x ) ) + f ( f ( x ) ) − ( f ( x ) ) ∀x, y �ﾷ (3) 4 4 1 Từ (2) và (3) suy ra f ( f ( y ) − f ( x ) ) = ( f ( y ) − f ( x ) ) + a ∀x, y 4 ﾷ (4) 0,5 Giả sử x 0 ﾷ thỏa mãn f ( x 0 ) 0 . Thay y = x 0 vào (1) ta thu được: f ( x + f ( x 0 ) ) − f ( − x ) = 4x 3f ( x 0 ) + 6x 2 ( f (x 0 ) ) + 4x ( f (x 0 ) ) + ( f (x 0 ) ) ∀ x R 2 3 4 0,5 Vế phải là đa thức bậc ba theo biến x nên nó là hàm số có tập giá trị là 0,5 ﾷ . Vậy nên, vế trái cũng là một hàm số có tập giá trị là ﾷ ∀x ﾷ đều tồn tại u, v ﾷ để f ( u ) − f ( v ) = x . 0,5 Do đó từ (4) suy ra: f ( x ) = f ( f ( u ) − f ( v ) ) = ( f ( u ) − f ( v ) ) + a = x 4 + a, ∀x ﾷ 0,5 4 Thử lại dễ thấy: f ( x ) = x 4 + a, ∀ x ﾷ (với a là hằng số) thỏa mãn (1) 0,5 Vậ y f ( x ) 0 và f ( x ) = x 4 + a, ∀x ﾷ (với a là hằng số) là các hàm số
cần tìm. Hết