Mời các bạn cùng tham khảo đề thi để có thêm tư liệu trong quá trình giảng dạy, phân loại năng lực của học sinh. Đồng thời đây còn là tài liệu tham khảo hữu ích cho các em học sinh nhằm rèn luyện, củng cố, nâng cao kiến thức môn Toán lớp 9.
AMBIENT/
Chủ đề:
Nội dung Text: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 9 năm học 2016-2017 – Phòng Giáo dục và Đào tạo Vĩnh Lộc
- UBND HUYỆN VĨNH LỘC
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2016 2017
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (4,0 điểm)
3x 9x 3 x 1 x 2
Cho biểu thức P =
x x 2 x 2 x 1
a. Tìm ĐKXĐ và rút gọn P
b. Tìm x để P
- 2 8
A = 3x + 4 y + +
5x 7 y
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 9
Bài Nội dung cần đạt Điểm
Câu a: (2,0 điểm)
Tìm được ĐKXĐ: x 0, x 1 0,5
Ta có
3x + 9 x − 3 x +1 x −2 0,5
− −
x+ x −2 x +2 x −1
3x + 3 x − 3 ( x + 1)( x − 1) ( x − 2)( x + 2)
= − −
( x + 2)( x − 1) ( x + 2)( x − 1) ( x + 2)( x − 1)
3x + 3 x − 3 − x + 1 − x + 4
=
( x + 2)( x − 1) 0,5
x+3 x +2
=
1 ( x + 2)( x − 1)
( x + 2)( x + 1) x +1
= = 0,5
( x + 2)( x − 1) x −1
Câu b: (2,0 điểm)
Ta có: P
- x 2 − 7 x = 6 x + 5 − 30
x 2 − 8 x + 16 + x + 5 − 6 x + 5 + 9 = 0
( )
2
( x − 4)
2
+ x+5−3 = 0 1,0
( )
2
Vì ( x − 4 )
2
0; x+5 −3 0 nên
( x − 4)
2
=0 0,5
( )
2
x+5 −3 = 0
x−4=0 0,25
x +5 −3 = 0
x=4
(thỏa mãn ĐKXĐ)
Nghiệm của phương trình đã cho là x = 4
Câu b: (2,0 điểm)
1 1
Cho hai số dương a và b. Chứng minh rằng ( a + b ) . + 4
a b 0,75
Ta có
1 1 a b
( a + b) . + = 2+ +
a b b a
2 0,75
Vì a,b >0.nên áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số dương
a b a b
+ 2 . = 2
b a b a
0,5
1 1
Do đó ( a + b ) . + 4
a b
- 3 Câu a: (2,0 điểm)
Tìm số tự nhiên n sao cho A = n 2 + n + 6 là số chính phương
Để A là số chính phương thì A = n 2 + n + 6 = a2 (a N ) 0,25
4n 2 + 4n + 24 = 4a 2 0,5
( 2a ) − ( 2n + 1) = 23
2 2
Ta có: n 2 + n + 6 =a2
( 2a + 2n + 1) . ( 2a − 2n − 1) = 23 0,5
Vì a, n là các số tự nhiên nên (2a +2n +1) là số tự nhiên và
2a + 2n + 1 > 2a – 2n 1. Do đó 0,25
2a + 2n + 1 = 23
2a − 2n − 1 = 1
4a = 24
4n = 20
a=6
n=5
Vậy n = 5 0,5
Câu b: (2,0 điểm)
Cho các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn x 2 y2 z2
Chứng minh A = xy chia hết cho 12
Xét phép chia của xy cho 3 1,0
Nếu xy không chia hết cho 3 thì
x 1(mod 3)
y 1(mod 3)
x2 1(mod 3)
2
(Vô lí)
y 1(mod 3)
z 2 = x2 + y 2 2(mod 3)
Vậy xy chia hết cho 3 (1)
Xét phép chia của xy cho 4
Nếu xy không chia hết cho 4 thì
- x 1(mod 4) 0,5
y 1(mod 4)
x2 1(mod 4)
TH1: (vô lí )
y2 1(mod 4)
z 2 = x2 + y 2 2(mod 4)
TH2: Trong hai số x,y một số chia 4 dư 2, một số chia 4 dư 1 hoặc 1.
Không mất tính tổng quát giả sử
x 1(mod 4)
y 2(mod 4)
x2 1(mod 8)
( vô lí)
y2 4(mod 8)
0,5
z 2 = x2 + y 2 5(mod 8)
Vậy xy chia hết cho 4 (2)
Từ (1) và (2): Vậy xy chia hết cho 12
4 A
B'
C
N
M
B C
A'
Câu a (2,0 điểm): Chứng minh ΔAC'C : ΔAB'B
Xét ΔAC'C; ΔAB'B có
Góc A chung 2,0
- ﾷ ' = 900
ﾷ '=C
B
Suy ra: ΔAC'C : ΔAB'B
Câu b (2,0 điểm): Chứng minh AM = AN. 0,5
Xét ∆AMC vuông tại M đường cao MB'
AM 2 = AB '. AC 0,5
Xét ∆ANB vuông tại N đường cao NC' 0,5
AN 2 = AC '. AB 0,5
Theo câu a ta có AB'.AC = AC'.AB
Do đó: AM = AN
S'
Câu c: (2,0 điểm) Chứng minh cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C = 1 −
S
0,5
2
S AB 'C ' AB '
Chỉ ra được = = cos 2 A
S ABC AB
S BA 'C '
Tương tự = cos 2 B
S ABC
0,5
SCA ' B '
= cos 2 C
S ABC
Do đó:
S AB 'C ' + S BA 'C ' + SCA ' B ' 0,5
cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C =
S ABC
S ABC − S A ' B ' C ' S'
= = 1− 0,5
S ABC S
5 34
Cho x, y là các số dương thỏa mãn x + y
35
2 8
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 3x + 4 y + + 0,5
5x 7 y
Ta có:
2 8
A = 3x + 4 y +
+
5x 7 y
1 1 2 5x 8 7 y
= x+ y+ + + +
2 2 5x 2 7 y 2
0,5
- Áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số dương ta được
2 5x 2.5 x 0,25
+ 2 =2
5x 2 5 x.2
8 7x 8.7 x
+ 2 =4
7x 2 7 x.2
34 1 34 17
Vì x + y nên A . +2+4 = 6
35 2 35 35
2 5x
=
5x 2 2 0,5
x=
8 7y 5
Dấu "=" xảy ra khi =
7y 2 4
y=
34 7
x+ y =
35
2 0,25
x=
17 5
A đạt giá trị nhỏ nhất là 6 khi
35 4
y=
7
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
