Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh THPT năm học 2012-2013 môn Toán 10 - Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Tĩnh

Chia sẻ: Minh Thư | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

127
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Kì thi học sinh giỏi là kì thi quan trọng đối với mỗi học sinh, dưới đây là "Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh THPT năm học 2012-2013 môn Toán 10 - Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Tĩnh" giúp các em kiểm tra lại đánh giá kiến thức của mình và có thêm thời gian chuẩn bị ôn tập cho kì thi sắp tới được tốt hơn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh THPT năm học 2012-2013 môn Toán 10 - Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Tĩnh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT HÀ TĨNH NĂM HỌC 20122013 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đề thi có 1 trang, gồm 5 câu) Câu 1 . a) Giải bất phương trình x 2 − 6 x + 2 2(2 − x) 2 x − 1. x 5 + xy 4 = y10 + y 6 b) Giải hệ phương trình: 4x + 5 + y2 + 8 = 6 Câu 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm x 2 − m = y ( x + my ) x 2 − y = xy Câu 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm I (2; 4) và các đường thẳng d1 : 2 x − y − 2 = 0, d 2 : 2 x + y − 2 = 0 . Viết phương trình đường tròn (C ) có tâm I sao cho (C ) cắt d1 tại A, B và cắt d 2 tại C , D thỏa mãn AB 2 + CD 2 + 16 = 5 AB.CD. Câu4. 1. Cho tam giác ABC có AB= c ,BC=a ,CA=b .Trung tuyến CM vuông góc với phân CM 3 giác trong AL và = 5−2 5 . AL 2 b Tính và cos A . c 9 2. Cho a,b ﾡ thỏa mãn: (2 + a )(1 + b) = 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 16 + a 4 + 4 1 + b 4 Câu 5. Cho f ( x ) = x − ax + b với a,b ﾡ thỏa mãn điều kiện: Tồn tại các số nguyên m, n, p 2 đôi một phân biệt và 1 m, n, p 9 sao cho: f ( m ) = f ( n ) = f ( p ) = 7 . Tìm tất cả các bộ số (a;b). _____________ Hết _____________ Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm. 1
Họ và tên thí sinh: ………………………………………Số báo danh: ……………… SỞ GDĐT HÀ TĨNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 20122013 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN (Hướng dẫn chấm gồm 4 trang) Câu1 Đáp án Điể m 1 Điều kiện: x . Đặt t = 2 x − 1 ( t 0 ) thì 2 x = t 2 + 1. Khi đó ta có 2 1.0 x 2 − 6 x + 2 − 2(2 − x)t ��0 x 2 + 2tx − 4t − 3(t 2 + 1) + 2 �0 � ( x + t ) 2 − (2t + 1) 2 �0 � ( x + 3t + 1)( x − t − 1) �0 0.5 3 điểm 1 � x − 1 �t (do x + 3t + 1 > 0; ∀x ; ∀t 0 ). 0.5 2 x 1 Với x − 1 t ta có x −� 1 −�۳ 2 x+ 1 x 2 2. x2 − 2x + 1 2x − 1 1.0 Đối chiếu điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là S = [2 + 2; + ). x 5 + xy 4 = y10 + y 6 (1) 5 Điều kiện: x − 0.5 4 x + 5 + y + 8 = 6 (2) 2 4 Th1: y = 0 � x = 0 không thỏa mãn 0.5 Th2: y 0 ta có: 5 �x � x (1) � � �+ = y 5 + y � (t − y )(t 4 + t 3 y + t 2 y 2 + ty 3 + y 4 ) = 0 với t=x/y �y � y 0,5 3 điểm (t − y ) � (t + y ) + (t + y ) (t − yt + y ) + 2 � �= 0 2 2 2 2 2 2 � t=y hay y 2 = x Thay vào (2): 4 x + 5 + x + 8 = 6 � 2 4 x 2 + 37 x + 40 = 23 − 5 x 23 x 1 � 5 � x = 1 � y = �1 x − 42 x + 41 = 0 2 Đối chiếu đk ta được nghiêm hệ là: ( x; y ) = { (1;1);(−1;1)} 0.5 my 2 − y + m = 0 (1) Câu2 Hệ đã cho tương đương với: 0,5 x 2 − yx − y = 0 (2) y 0 Phương trình (2) (ẩn x ) có nghiệm là ∆ x = y + 4 y 2 0 0,5 y −4 Th1: m = 0, ta có y = 0, x = 0. Suy ra m = 0 thỏa mãn. 0,5 2
Th2: m 0. Phương trình (1) (ẩn y ) không có nghiệm thuộc khoảng (−�; −4] �[0; +�) (*) là (1) vô nghiệm hoặc (1) có 2 nghiệm đều thuộc (−4;0), điều kiện là ∆ = 1 − 4m 2 < 0 1 1 m �(−�; − ) �( ; +�) 2 2 ∆ = 1 − 4m 2 < 0 ∆ = 1 − 4m 0 2 1 ∆ = 1 − 4m 2 0 − m ) 0.5 5 5 Vậy phương trình đường tròn (C ) cần tìm là (C ) : ( x − 2) 2 + ( y − 4) 2 = 8. 0.5 4.a uuur b uuur c uuur Ta có: AL = AB + AC 0.5 3 điểm b+c b+c uuur uuur uuur uuur uuuur CA + CB AB − 2 AC CM = = 0.25 2 2 uuur uuuur Theo giả thiết: AL ⊥ CM � AL.CM = 0 0.25 uuur uuur uuur uuur ( )( ) � b AB + c AC AB − 2 AC = 0 � bc 2 + bc 2 cos A − 2cb 2 cos A − 2cb 2 = 0 0.5 � ( c − 2b ) ( 1 + cos A ) = 0 � c = 2b (do cos A > −1) b2 + a 2 c 2 a 2 − b2 0.25 Khi đó: CM 2 = − = 2 4 2 3
1 uuur uuur 2 1 uuur uuur 2 AL2 = (9 ) ( 9 ) AB + AC = AB 2 + AC 2 + 2 AB. AC = ( 9b 2 − a 2 ) 9 0.5 9 a −b ( ) 2 2 2 CM 3 CM 9 = 5−2 5 � = . 2 = 5−2 5 AL 2 AL 2 4 9b − a 2 4 0.5 a −b 2 2 a2 � 2 = 5 − 2 5 � = 6− 5 9b − a 2 b2 b 2 + c 2 − a 2 5b 2 − a 2 5 −1 cos A = = 2 = 0.25 2bc 4b 4 a b C/M được : a 2 + b 2 + c 2 + d 2 (a + c) 2 + (b + d ) 2 . ấu bằng xẩy ra khi: = 0.5 c d 2 2 p �a 2 � �a 2 � (a 2 + 4b 2 ) 2 Áp dụng (1) ta có : = 1 + � �+ 1 + b 4 4 + � + b2 � = 4 + 0.5 4 4 � � �4 � 16 9 5 Mặt khác: (1 + 2a)(1 + b) = a + 2b + ab = (2) 0.25 2 2 4.b 3 điểm a 2 + 1 2a 3( a 2 + 4b 2 ) Mà: 4b + 1 �� + 2 �2a + 4b + 2ab � a 2 + 4b 2 �2 (3) 2 4b 0.75 2 a + 4b 2 2 2ab 2 1 Từ (1) và (3) suy ra: p 2 17 .Dấu “=” xẩy ra khi: a=1 và b = 2 0.5 1 Vậy: MinP = 2 17 Đạt được khi a=1 và b = . 2 3 số f(m),f(n),f(p) hoặc cùng dương, âm hoặc có 2 số cùng dấu nên: Th1: f(m),f(n),f(p) cùng bằng 7 hoặc 7 loại vì phương trình f(x)7=0 có 3 nghiệm 0,5 phân biệt Th2: f ( m) = f ( n) = 7 và f ( p) = −7 Không mất tính tổng quát,giả sử m>n và m − p n − p ta có: m,n là nghiệm pt: x 2 − ax + b − 7 = 0 và p là nghiệm pt: x 2 − ax + b + 7 = 0 nên : 0,5 �n − p = 2 2 điểm m+n = a � n − m = 9(l ) p−m = 7 (n − p )(n + p − a) = 14 � (n − p )( p − m) = 14 n − p = −2 (m − p )(m + p − a ) = 14 � n − m = −9(l ) p − m = −7 Th3: f ( m) = f ( n) = −7 và f ( p) = 7 ,khiđó hoàn toàn tương tự ta có: 0,5 m − p = −7 m− p = 7 ( p − n)( m − p) = −14 hoặc p−n = 2 p − n = −2 Do m,n,p [ 1;9] nên tìm được 4 bộ là: (a;b)= { (11;17), (13; 29), (7; −1), (9;7)} . 0.5 Chú ý: Mọi cách giải đúng khác đều cho điểm tương ứng. 4