Đề thi chọn học sinh giỏi vòng tỉnh môn Toán lớp 9 2012 - 2013

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH KIÊN GIANG<br /> <br /> KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2012-2013<br /> <br /> HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 9 Câu Đáp án 2 Câu 1a - Hàm số y = (m – 2m)x + m2 – 1 nghịch biến 2 (1,25đ) ⇔ m – 2m < 0 ⇔ m(m – 2) < 0<br /> ⎡ ⎧m > 0 ⎢⎨ ⎢ ⎩m < 2 ⇔ 0 < m < 2 (1) ⎢ ⎧m < 0 ⎢⎨ (loai ) ⎢ ⎩m > 2 ⎣ - Cắt trục tung : m2 – 1 = 3 ⇔ m = ±2 (2) Từ (1) và (2) ⇒ m ∈ ∅ ⎡ ⎧m > 0 ⎢⎨ ⎩m − 2 < 0 ⇔ ⇔⎢ ⎢ ⎧m < 0 ⎢⎨ ⎢ ⎩m − 2 > 0 ⎣<br /> <br /> Điểm 0,25 0,25 0,25 0,5<br /> <br /> Câu 1b Tìm giá trị nhỏ nhất của : (1,5đ) M = 5x2 + y2 + z2 - z – 4x – 2xy – 1 M = x2 - 2xy + y2 + 4x2 – 4x + 1 + z2 - z +<br /> 2<br /> <br /> 1 9 − 4 4<br /> <br /> 0,25 0,5 0,25 0,5<br /> <br /> 1 9 9 = (x – y)2 + (2x – 1)2 + ⎛ z − ⎞ – ≥ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ 4<br /> <br /> 4<br /> <br /> Giá trị nhỏ nhất của M = −<br /> <br /> 9 4<br /> <br /> ⎧ ⎪x − y = 0 ⎪ 1 ⇔ ⎨2 x − 1 = 0 ⇔ x = y = z = 2 ⎪ 1 ⎪z − = 0 2 ⎩<br /> <br /> Câu 1c Cho x + y = - 5 và x2 + y2 = 11. Tính x3 + y3 (1,25đ) Ta có : x3 + y3 = (x+y)(x2 + y2 – xy) = -5(11 – xy) (1) Mà x + y = -5 ⇒ x2 + y2 +2xy = 25 (2) ⇒ 11 + 2xy = 25 ⇒ xy = 7 3 3 Từ (1) và (2) ⇒ x + y = -5(11- 7) = -20<br /> <br /> 0,25 0,5 0,5<br /> <br /> Câu 2a (2,0đ)<br /> <br /> Rút gọn : A =<br /> <br /> x 2 + 5x + 6 + x 9 − x 2 3x − x + (x + 2) 9 − x<br /> 2 2<br /> <br /> : 2. 1 +<br /> <br /> 2x 3− x<br /> <br /> A=<br /> <br /> (x + 3)(x + 2) + x 3 + x . 3 − x : 2 3 − x + 2 x 3− x 3− x x(3 − x ) + ( x + 2) 3 + x . 3 − x 3 + x [( x + 2 ) 3 + x + x 3 − x ] 3+ x = :2 3− x 3 − x [x 3 − x + ( x + 2 ) 3 + x .]<br /> = =<br /> 1 2 3+ x 3− x :2 3+ x 3− x<br /> <br /> ĐK : -3 < x < 3<br /> <br /> 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25<br /> <br /> 1 Câu 2b Cho a, b c thỏa mãn : 1 + 1 + 1 = a b c a+b+c (2,0đ) Tính giá trị biểu thức Q = (a27 + b27)(b41 + c41)(c2013+ a2013)<br /> <br /> Ta có :<br /> <br /> 1 1 1 1 1 1 1 1 − + + = ⇒ + = a b c a+b+c a b a+b+c c a+b − (a + b ) ⇒ = ab c(a + b + c ) ⇒ (a+b)c(a+b+c) = -ab(a+b) ⇒ (a+b)[c(a+b+c) +ab] = 0 ⇒ (a+b)[c(a+c)+bc +ab] = 0 ⇒ (a+b)[c(a+c) +b(a+c)] = 0 ⇒ (a+b)(a+c)(b+c) = 0 ⎡a + b = 0 ⎡a = −b ⇒ ⎢b + c = 0 ⇒ ⎢b = −c ⎢ ⎢ ⎢c + a = 0 ⎢c = − a ⎣ ⎣<br /> <br /> 0,25 0,25<br /> <br /> 0,5 0,25 0,75<br /> <br /> - Thế vào tính được Q = 0 Câu 3a (2,0đ) Giải phương trình :<br /> 3<br /> <br /> (<br /> <br /> 3<br /> <br /> x + 10 + 3 17 − x<br /> <br /> )<br /> <br /> x + 10 + 3 17 − x = 3<br /> <br /> 3<br /> <br /> = 33<br /> <br /> x + 10 + 17 – x + 3. 3 ( x + 10)(17 − x) .3 = 27 (x+10)(17 – x) = 0 x = -10 , x = 17<br /> <br /> 0,5 0,5 0,5 0,5<br /> <br /> Câu 3b ⎧ 2x − 3 y+5 2,0đ Giải hệ phương trình : ⎪ y + 5 + 2 x − 3 = 2 ⎨<br /> ⎪3 x + 2 y = 19 ⎩<br /> <br /> (với x > , y > −5 ) Đặt<br /> 2x − 3 =m>0 y+5 1 2 ⇒ m+ = 2 ⇔ m 2 − 2m + 1 = 0 ⇔ (m − 1) = 0 ⇔ m = 1 (nhận) m ⇒<br /> <br /> 3 2<br /> <br /> 0,5 0,5 0,5 0,5<br /> <br /> 2x − 3 = 1 ⇔ 2x − 3 = y + 5 ⇔ 2x − y = 8 y+5 ⎧2 x − y = 8 ⎧4 x − 2 y = 16 ⎧x = 5 Giải hệ ⎨ ⇔⎨ ⇔⎨ ⎩3x + 2 y = 19 ⎩3x + 2 y = 19 ⎩y = 2<br /> <br /> Câu 4 (4,0đ)<br /> <br /> Hình 0,5đ<br /> <br /> Câu a (1,0đ)<br /> <br /> a) Chứng minh : KD = CI và EF//AB. – Cminh ABID, ABCK là hình bình hành ⇒ DI = CK (cùng bằng AB) ⇒ DI + IK = CK + IK ⇒ DK = CI<br /> AE AB = EK KD<br /> <br /> 0,5 0,25 0,25<br /> <br /> (1,25đ) - C/m : ΔAEB đồng dạng Δ KED (g.g)<br /> ⇒<br /> <br /> 0,5 0,25 0,5<br /> <br /> Δ AFB đồng dạng Δ CFI (g.g)<br /> <br /> AF AB ⇒ = FC CI<br /> <br /> Mà KD = CI (cmtrên)<br /> ⇒<br /> <br /> AE AF = ⇒ EF / /KC (Đlí Talet đảo trong Δ AKC) EK FC<br /> <br /> Câu b b) Chứng minh AB2 = CD. EF. (1,25đ) Ta có : Δ KED đồng dạng ΔAEB (cmtrên)<br /> ⇒<br /> <br /> DK DE = AB EB<br /> <br /> ⇒<br /> <br /> DK + AB DE + EB = AB EB DK + KC DB = ⇒ AB EB<br /> ⇒ DC DB (1) = AB EB<br /> <br /> 0,5 0,25<br /> <br /> Do EF//DI (theo CMT: EF//KC, I ∈ KC)<br /> <br /> ⇒<br /> <br /> DB DI DB AB = ⇒ = (2) EB EF EB EF<br /> <br /> (Vì DI = AB) 0,5<br /> <br /> Từ (1) và (2) ⇒<br /> <br /> DC AB = ⇒ AB 2 = DC .EF AB EF<br /> <br /> Câu 5 4,0đ<br /> <br /> A<br /> <br /> Hình 0,5đ<br /> <br /> B H<br /> <br /> K M<br /> <br /> O D<br /> <br /> Q C<br /> <br /> Câu a (1,75đ)<br /> <br /> a) Chứng minh MC + MB = MA ? - Trên MA lấy D sao cho MD = MB ⇒ ΔMBD cân tại M góc BMD = góc BCA = 600 (cùng chắn cung AB) ⇒ ΔMBD đều - Xét ΔMBC và ΔDBA Ta có : MB = BD (vì ΔMBD đều) BC = AB (vì ΔABC đều) Góc MBC = góc DBA (cùng cộng góc DBC bằng 600) ⇒ ΔMBC = ΔDBA (c-g-c) ⇒ MC = DA Mà MB = MD (gt) ⇒ MC + MB = MA b) Xác định vị trí của điểm M để tổng MA + MB + MC đạt giá trị lớn nhất. Ta có : MA là dây cung của (O;R) ⇒ MA ≤ 2R ⇒ MA + MB + MC ≤ 4R (không đổi) Dấu “ = “ xảy ra ⇔ MA là đường kính ⇔ M là điểm chính giữa của cung BC<br /> c) CMR : MH + MK + MQ =<br /> 2 3 ( S + 2S ') 3R<br /> <br /> 0,25 0,5<br /> <br /> 0,5 0,5<br /> <br /> Câu b (075đ)<br /> <br /> 0,25 0,25 0,25<br /> <br /> Câu c (1,0đ)<br /> <br /> Ta có<br /> <br /> MH . AB MK .BC MQ. AC + + = S MAB + S MBC + S MAC 2 2 2<br /> <br /> 0,25 0,25<br /> <br /> ⇒ AB.(MH + MK + MQ ) = 2 (S + 2S’)<br /> <br /> Tính hoặc nói AB là cạnh tam giác đều nội tiếp (O;R)<br /> <br />