Đề thi chọn HSG cấp trường môn Toán lớp 10 năm 2018-2019 có đáp án - Trường THPT Phùng Khắc Hoan

Chia sẻ: Xylitol Cool | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

58
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nhằm chuẩn bị kiến thức cho kì thi chọn học sinh giỏi cấp trường sắp tới mời các bạn học sinh lớp 10 cùng tham khảo Đề thi chọn HSG cấp trường môn Toán lớp 10 năm 2018-2019 có đáp án - Trường THPT Phùng Khắc Hoan dưới đây để ôn tập cũng như rèn luyện kỹ năng giải bài tập Toán học. Chúc các bạn ôn tập kiểm tra đạt kết quả cao.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi chọn HSG cấp trường môn Toán lớp 10 năm 2018-2019 có đáp án - Trường THPT Phùng Khắc Hoan

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THPT PHÙNG KHẮC KHOAN Lớp 10 – Năm học: 2018 - 2019 -THẠCH THẤT- Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (không kể giao đề) Câu 1.(5,0 điểm) 1) Cho hàm số y  x 2  x  1 có đồ thị (P). Tìm m để đường thẳng d : y  2 x  m cắt đồ thị (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O (với O là gốc tọa độ). 2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m ( m  R ) để phương trình x 4   3m  1 x 2  6m  2  0 có bốn nghiệm phân biệt đều lớn hơn 4 . Câu 2.(5,0 điểm ) 1) Giải bất phương trình:  2x  5  x 2  x  25  x2  5x  6  0 . 3 2 x  y  x  2 y  1  5 2) Giải hệ phương trình: 2 x  2 y  1  5 x  10 y  9 .  Câu 3.(2,0 điểm) Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, BA = c và diện tích là S . Biết S  b2  (a  c)2 . Tính tan B . Câu 4.(3,0 điểm) Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b và BAC  600. Các điểm M, N được xác định 1 bởi MC  2MB và NA  NB . Tìm hệ thức liên hệ giữa b và c để AM và CN vuông 2 góc với nhau. Câu 5.(3,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho A 1;2  , B  3; 4  . Tìm tọa độ điểm C sao cho ABC vuông tại C và có góc B  600 . Câu 6. (2,0 điểm) Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng: 2 x 2 y 2 z 1 1 1  3 2 3  2 2 2 x y 3 2 y z z x 2 x y z -------- Hết ------- Họ và tên thí sinh:……………………………………………………… Số báo danh: …….
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THPT PHÙNG KHẮC KHOAN Lớp 10 - Năm học: 2018 - 2019 -THẠCH THẤT- Môn: Toán Thời gian: 150 phút Câu 1.1 (3,0 đ) 1) Cho hàm số y  x 2  x  1 có đồ thị (P). Tìm m để đường thẳng d: y  2 x  m cắt đồ thị (P) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O (O là gốc tọa độ). PT hoành độ giao điểm: x  3x  1  m  0. (1) 2 Để d cắt (P) tại 2 điểm phân biệt  PT (1) có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 1,0 13    0  13  4m  0  m  . (*) 4  x1  x2  3 A( x1; 2 x1  m); B( x2 ; 2 x2  m) Giả sử . Theo hệ thức Vi-et:  0,5  x1.x2  m  1 Ta có OAB vuông tại O 1  21 1,0  OA.OB  0  5 x1 x2  2m  x1  x2   m 2  0  m 2  m  5  0  m  2 1  21 Đối chiếu đk (*) có 2 giá trị của m là m  0,5 2 Câu 1.2(2,0 điểm) 2) Tìm tất cả các giá trị m để phương trình x   3m  1 x  6m  2  0 có bốn 4 2 nghiệm phân biệt đều lớn hơn - 4. Đặt t  x 2  0 , thay vào phương trình ta được t 2   3m  1 t  6m  2  0 0,5 t  2  phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi t  3m  1  1 3m  1  0 m    3 . Khi đó pt đã cho có 4 nghiệm là  2;  3m  1 0,5 3m  1  2 m  1 17 Để các nghiệm đều lớn hơn 4 thì  3m  1  4  3m  1  4  m  . 3 0,5 Vậy các giá trị của m là m   ;  \ 1 1 17 3 3  0,5 Câu 2.1(3,0 điểm) Giải bất phương trình:  2x  5  x 2  x  25  x2  5x  6  0 x  3 Điều kiện:  0,5 x  2 *) Nếu x = 3 hoặc x = 2 thì bất phương trình nghiệm đúng. 0,5 x  3 *) Nếu  thì bất PT đã cho  2 x  5  x 2  x  25  0 (a) 0,5 x  2 2 x  5  0 (Do x 2  x  25  0) (1)  0,5 (a )  x 2  x  25  2 x  5   2 x  5  0   x 2  x  25  4 x 2  20 x  25 (2) 
+) Giải (1) và kết hợp đk  x   ;2  .  5  5 x 0,5 x   2  19  +) Giải (2): (2)   2   Kết hợp đk  x   3;  3x  19 x  0 2 0  x  19  3   3 Tập nghiệm S   ;2  3;  19  3 0,5 3 2 x  y  x  2 y  1  5 Câu 2.2(2,0 điểm) Giải hệ phương trình:  2 x  2 y  1  5 x  10 y  9 ĐK: 2 x  y  0, x  2 y  1  0 . Đặt u  2 x  y ,(u  0) và v  x  2 y  1,(v  0) . 0,5 3u  v  5 Ta được hệ phương trình:  2 4u  3v  2v  12  0 2 v  5  3u v  5  3u   u  1    0,5 23u  96u  73  0 2  u  73   23   2x  y  1 2 x  y  1 x  1 Với u  1  v  2     (t/m) 0,5      x  2y  3  y  1  x 2 y 1 2 73 104 x  1 Với u   v   , (loại vì đk v  0 ). Vậy hệ phương trình có nghiệm:  0,5 23 23  y  1 Câu 3.(2,0 điểm) Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, BA = c và diện tích là S . Biết S  b2  (a  c)2 . Tính tan B . 1 Ta có: S  b2  (a  c)2  ac sin B  a 2  c 2  2ac cos B  a 2  c 2  2ac 2 0,5 1 1  ac sin B  2ac(1  cos B )  sin B  4(1  cos B )  cos B  1  sin B (*) 2 4 0,5 2 Mặt khác sin 2 B  cos2 B  1  sin 2 B  1  sin B   1  sin 2 B  sin B  0 1 17 1  4  16 2 0,5 8  sin B  (do sinB > 0) 17 15 8 Kết hợp với (*) ta được: cos B   tan B  . 0,5 17 15 Câu 4.1(3,0 điểm) Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b và BAC  600. Các điểm M, N 1 được xác định bởi MC  2MB và NA  NB . Tìm hệ thức liên hệ giữa b và c để AM và 2 CN vuông góc với nhau. 0,75 Ta có: MC  2MB  AC  AM  2( AB  AM )  3 AM  2 AB  AC 0,75 Tương tự ta cũng có: 3CN  2CA  CB
0,5 Vậy: AM  CN  AM  CN  0  (2 AB  AC)(2CA  CB)  0  (2 AB  AC)( AB  3 AC)  0  2 AB2  3 AC 2  5 AB. AC  0 0,5 5bc 0,5  2c 2  3b 2  0  4c2  6b2  5bc  0 2 Câu 5.(3,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho A 1;2  , B  3; 4  . Tìm tọa độ điểm C sao cho ABC vuông tại C và có góc B  600 . Ta có AB   2; 6  , Giả sử C  x; y   AC   x  1; y  2  ; BC   x  3; y  4  . 0,5  AC  BC ABC vuông tại C và có góc B  60   0 1 0,5  BC  2 AB  AC.BC  0  x  1).( x  3)  ( y  2  (y  4)  0   0,5  AB 2    x  3   y  4   10 2 2  BC  2  4  x  y  4x  2 y  5  0  2 2  2  x  y  6 x  8 y  25  10  2 0,5  x2  y2  4 x  2 y  5  0  x2  y2  4x  2 y  5  0    2 x  6 y  20  0  x  3 y  10 0,5 9 y 2  60 y  100  y 2  12 y  40  2 y  5  0  x  3 y  10    x  3 y  10 10 y  50 y  55  0 2  53 3 5  3 x  ,y 0,5  2 2  53 3 5  3 . KL : … x  ,y  2 2 2 x 2 y 2 z 1 1 1 Câu 6. (2,0 điểm) Cho x, y, z  0 . CMR:  3 2 3  2 2 2 x y 3 2 y z z x 2 x y z Áp dụng BĐT côsi cho các số dương x, y, z ta có 0,5 x3  y 2  2 x3 y 2 ; y 3  z 2  2 y 3 z 2 ; z 3  x 2  2 z 3 x 2 2 x 2 y 2 z 2 x 2 y 2 z   3 2 3 2   1 x y 3 2 y z z x 2 x3 y 2 2 y 3 z 2 2 z 3 x 2 0,5 2 x 2 y 2 z 1 1 1  3  3 2 3 2   x y 2 y z z x xy yz zx 1 1 2 1 1 2 1 1 2 Mặt khác, ta có:  2 ; 2 2 ; 2 2 x 2 y xy y z yz z x zx 0,5 1 1 1 1 1 1  2 2 2    2 x y z xy yz zx 2 x 2 y 2 z 1 1 1 Từ 1 ,  2  ta có  3 2 3 2 2 2 2 0,5 x y 3 2 y z z x x y z Dấu ''  '' xảy ra x  y  z  1 Chú ý: Các cách giải khác đúng cho điểm tương tự.